In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit dem Wasserstein Baryzentrumproblem diskreter Wahrscheinlichkeitsmaße sowie mit dem population Wasserstein Baryzentrumproblem gegeben von a Fréchet Mittelwerts von der rechnerischen und statistischen Seiten. Der statistische Fokus liegt auf der Schätzung der Stichprobengröße von Maßen zur Berechnung einer Annäherung des Fréchet Mittelwerts (Baryzentrum) der Wahrscheinlichkeitsmaße mit einer bestimmten Genauigkeit. Für empirische Risikominimierung (ERM) wird auch die Frage der Regularisierung untersucht zusammen mit dem Vorschlag einer neuen Regularisierung, die zu den besseren Komplexitätsgrenzen im Vergleich zur quadratischen Regularisierung beiträgt. Der Rechenfokus liegt auf der Entwicklung von dezentralen Algorithmen zurBerechnung von Wasserstein Baryzentrum: duale Algorithmen und Sattelpunktalgorithmen. Die Motivation für duale Optimierungsmethoden ist geschlossene Formen für die duale Formulierung von entropie-regulierten Wasserstein Distanz und ihren Derivaten, während, die primale Formulierung nur in einigen Fällen einen Ausdruck in geschlossener Form hat, z.B. für Gaußsches Maß. Außerdem kann das duale Orakel, das den Gradienten der dualen Darstellung für die entropie-regulierte Wasserstein Distanz zurückgibt, zu einem günstigeren Preis berechnet werden als das primale Orakel, das den Gradienten der (entropie-regulierten) Wasserstein Distanz zurückgibt. Die Anzahl der dualen Orakel rufe ist in diesem Fall ebenfalls weniger, nämlich die Quadratwurzel der Anzahl der primalen Orakelrufe. Im Gegensatz zum primalen Zielfunktion, hat das duale Zielfunktion Lipschitz-stetig Gradient aufgrund der starken Konvexität regulierter Wasserstein Distanz. Außerdem untersuchen wir die Sattelpunktformulierung des (nicht regulierten) Wasserstein Baryzentrum, die zum Bilinearsattelpunktproblem führt. Dieser Ansatz ermöglicht es uns auch, optimale Komplexitätsgrenzen zu erhalten, und kann einfach in einer dezentralen Weise präsentiert werden. / In this thesis, we consider the Wasserstein barycenter problem of discrete probability measures as well as the population Wasserstein barycenter problem given by a Fréchet mean from computational and statistical sides. The statistical focus is estimating the sample size of measures needed to calculate an approximation of a Fréchet mean (barycenter) of probability distributions with a given precision. For empirical risk minimization approaches, the question of the regularization is also studied along with proposing a new regularization which contributes to the better complexity bounds in comparison with the quadratic regularization. The computational focus is developing decentralized algorithms for calculating Wasserstein barycenters: dual algorithms and saddle point algorithms. The motivation for dual approaches is closed-forms for the dual formulation of entropy-regularized Wasserstein distances and their derivatives, whereas the primal formulation has a closed-form expression only in some cases, e.g., for Gaussian measures.Moreover, the dual oracle returning the gradient of the dual representation forentropy-regularized Wasserstein distance can be computed for a cheaper price in comparison with the primal oracle returning the gradient of the (entropy-regularized) Wasserstein distance. The number of dual oracle calls in this case will be also less, i.e., the square root of the number of primal oracle calls. Furthermore, in contrast to the primal objective, the dual objective has Lipschitz continuous gradient due to the strong convexity of regularized Wasserstein distances. Moreover, we study saddle-point formulation of the non-regularized Wasserstein barycenter problem which leads to the bilinear saddle-point problem. This approach also allows us to get optimal complexity bounds and it can be easily presented in a decentralized setup.

Nichtglatte Optimierungsprobleme in reflexiven Banachräumen treten in vielen Anwendungen auf. Häufig wird angenommen, dass alle vorkommenden Nichtdifferenzierbarkeiten durch Lipschitz-stetige Operatoren wie abs, min und max gegeben sind. Bei solchen Problemen kann es sich zum Beispiel um optimale Steuerungsprobleme mit möglicherweise nicht glatten Zielfunktionen handeln, welche durch partielle Differentialgleichungen (PDG) eingeschränkt sind, die ebenfalls nicht glatte Terme enthalten können. Eine effiziente und robuste Lösung erfordert eine Kombination numerischer Simulationen und spezifischer Optimierungsalgorithmen. Lokal Lipschitz-stetige, nichtglatte Nemytzkii-Operatoren, welche direkt in der Problemformulierung auftreten, spielen eine wesentliche Rolle in der Untersuchung der zugrundeliegenden Optimierungsprobleme. In dieser Dissertation werden zwei spezifische Methoden und Algorithmen zur Lösung solcher nichtglatter Optimierungsprobleme in reflexiven Banachräumen vorgestellt und diskutiert. Als erste Lösungsmethode wird in dieser Dissertation die Minimierung von nichtglatten Operatoren in reflexiven Banachräumen mittels sukzessiver quadratischer Überschätzung vorgestellt, SALMIN. Ein neuartiger Optimierungsansatz für Optimierungsprobleme mit nichtglatten elliptischen PDG-Beschränkungen, welcher auf expliziter Strukturausnutzung beruht, stellt die zweite Lösungsmethode dar, SCALi. Das zentrale Merkmal dieser Methoden ist ein geeigneter Umgang mit Nichtglattheiten. Besonderes Augenmerk liegt dabei auf der zugrundeliegenden nichtglatten Struktur des Problems und der effektiven Ausnutzung dieser, um das Optimierungsproblem auf angemessene und effiziente Weise zu lösen. / Non-smooth optimization problems in reflexive Banach spaces arise in many applications. Frequently, all non-differentiabilities involved are assumed to be given by Lipschitz-continuous operators such as abs, min and max. For example, such problems can refer to optimal control problems with possibly non-smooth objective functionals constrained by partial differential equations (PDEs) which can also include non-smooth terms. Their efficient as well as robust solution requires numerical simulations combined with specific optimization algorithms. Locally Lipschitz-continuous non-smooth non-linearities described by appropriate Nemytzkii operators which arise directly in the problem formulation play an essential role in the study of the underlying optimization problems. In this dissertation, two specific solution methods and algorithms to solve such non-smooth optimization problems in reflexive Banach spaces are proposed and discussed. The minimization of non-smooth operators in reflexive Banach spaces by means of successive quadratic overestimation is presented as the first solution method, SALMIN. A novel structure exploiting optimization approach for optimization problems with non-smooth elliptic PDE constraints constitutes the second solution method, SCALi. The central feature of these methods is the appropriate handling of non-differentiabilities. Special focus lies on the underlying structure of the problem stemming from the non-smoothness and how it can be effectively exploited to solve the optimization problem in an appropriate and efficient way.

[ES] Actualmente existen numerosas y variadas contribuciones basadas en el ADRC. Por un lado, algunos trabajos abordan la metodología ADRC. Sin embargo, son pocos los que ofrecen una explicación exhaustiva de su diseño y aplicación, dirigida a aquellos investigadores que están empezando a explorar esta estrategia de control. Por otro lado, la sintonización del ADRC y el control compuesto basado en ADRC son áreas de investigación abiertas. Una de las discusiones que se mantiene activa en la literatura está relacionada con la forma de seleccionar los parámetros principales del ADRC de modo que se alcance la estabilidad de lazo cerrado con un rechazo de perturbaciones y robustez apropiadas, especialmente cuando el ADRC se emplea para controlar procesos aproximados mediante representaciones más sencillas como el modelo de primer orden más retardo (FOPDT). Asimismo, la estimación activa de la incertidumbre y las perturbaciones ha hecho atractiva la idea de integrar la topología ADRC con técnicas de control avanzado, por ejemplo, con el control predictivo basado en modelo (MPC). El mayor desafío que surge al realizar esta combinación radica en cómo formular el lazo de control para que el mecanismo de rechazo de perturbaciones del ADRC transforme el comportamiento del sistema controlado en el de una planta deseada simplificada, relajando así el requisito de un modelo detallado y considerando directamente las restricciones en las variables del lazo. Esta tesis presenta tres contribuciones al conocimiento del ADRC para abordar los desafíos expuestos anteriormente. La primera de ellas es una guía para el diseño y aplicación de controladores lineales mediante el control convencional por rechazo activo de perturbaciones. Esta guía ofrece, a modo de tutorial, una revisión de la fundamentación teórica del ADRC y condensa en un algoritmo los pasos para el diseño de estos controladores con el propósito de facilitar su implementación de acuerdo con la formulación del problema en el marco de la estimación y rechazo de perturbaciones y la selección empírica de sus ganancias. La segunda contribución de esta disertación es un conjunto de reglas de sintonía para el cálculo de los tres parámetros distintivos del ADRC con los que se diseñan las ganancias del observador de estados y de la ley de control. Estas reglas permiten sintonizar el ADRC para el control de un proceso aproximado mediante un modelo FOPDT y ofrecen al diseñador diferentes conjuntos de parámetros de acuerdo con un nivel de robustez deseado. Esta contribución se basa en el desarrollo de procedimientos de diseño de optimización multiobjetivo enfocados al control de un grupo de plantas FOPDT nominales. Los resultados de dichos procedimientos se ajustaron a las fórmulas de sintonía proporcionadas. La tercera contribución es una nueva arquitectura de control que combina el mecanismo de rechazo de perturbaciones del ADRC y la estrategia de horizonte deslizante del MPC. En este lazo, una ley de control predictivo gobierna una planta de primer orden más integrador que se induce sobre proceso real sujeto a restricciones. Lo anterior es posible compensando el desajuste entre las plantas real y deseada e incorporando el término de compensación del ADRC en la formulación de las restricciones del controlador predictivo. El bucle pretende proporcionar una solución para controlar sistemas con restricciones para los que no se ha identificado un modelo nominal. Esta disertación está dirigida tanto a los investigadores interesados en explorar el control por rechazo activo de perturbaciones como a aquellos que consideran a esta tecnología como una de sus líneas de investigación principales. Las contribuciones sirven a quienes se inician en el estudio del ADRC, a los diseñadores de controladores que buscan implementar el ADRC lineal considerando el rechazo de perturbaciones de procesos FOPDT y a los investigadores abiertos a la discusión de los beneficios potenciales de de combinar el ADRC con el MPC. / [CAT] Actualment existeixen nombroses i variades contribucions basades en l'ADRC. D'una banda, alguns treballs aborden la metodologia ADRC. No obstant això, són pocs els que ofereixen una explicació exhaustiva del seu disseny i aplicació, dirigida a aquells investigadors que estan començant a explorar aquesta estratègia de control. D'altra banda, la sintonització de l'ADRC i el control compost basat en ADRC són àrees d'investigació obertes. Una de les discussions que es manté activa en la literatura està relacionada amb la manera de seleccionar els paràmetres principals de l'ADRC de manera que s'aconseguisca l'estabilitat de llaç tancat amb un rebuig de pertorbacions i robustesa apropiades, especialment quan l'ADRC s'empra per a controlar processos aproximats mitjançant representacions més senzilles com el model de primer ordre més retard (FOPDT). Així mateix, l'estimació activa de la incertesa i les pertorbacions ha fet atractiva la idea d'integrar la topologia ADRC amb tècniques de control avançat, per exemple, amb el control predictiu basat en model (MPC). El major desafiament que sorgeix en realitzar aquesta combinació radica en com formular el llaç de control perquè el mecanisme de rebuig de pertorbacions de l'ADRC transforme el comportament del sistema controlat en el d'una planta desitjada simplificada, relaxant així el requisit d'un model detallat i considerant directament les restriccions en les variables del llaç. Aquesta tesi presenta tres contribucions al coneixement de l'ADRC per a abordar els desafiaments exposats anteriorment. La primera d'elles és una guia per al disseny i aplicació de controladors lineals mitjançant el control convencional per rebuig actiu de pertorbacions. Aquesta guia ofereix, a manera de tutorial, una revisió de la fonamentació teòrica de l'ADRC i condensa en un algorisme els passos per al disseny d'aquests controladors amb el propòsit de facilitar la seua implementació d'acord amb la formulació del problema en el marc de l'estimació i rebuig de pertorbacions i la selecció empírica dels seus guanys. La segona contribució d'aquesta dissertació és un conjunt de regles de sintonia per al càlcul dels tres paràmetres distintius de l'ADRC amb els quals es dissenyen els guanys de l'observador d'estats i de la llei de control. Aquestes regles permeten sintonitzar l'ADRC per al control d'un procés aproximat mitjançant un model FOPDT i ofereixen al dissenyador diferents conjunts de paràmetres d'acord amb un nivell de robustesa desitjat. Aquesta contribució es basa en el desenvolupament de procediments de disseny d'optimització multiobjectiu enfocats al control d'un grup de plantes FOPDT nominals. Els resultats d'aquests procediments es van ajustar a les fórmules de sintonia proporcionades. La tercera contribució és una nova arquitectura de control que combina el mecanisme de rebuig de pertorbacions de l'ADRC i l'estratègia d'horitzó lliscant del MPC. En aquest llaç, una llei de control predictiu governa una planta de primer ordre més integrador que s'indueix sobre procés real subjecte a restriccions. L'anterior és possible compensant el desajustament entre les plantes real i desitjada i incorporant el terme de compensació de l'ADRC en la formulació de les restriccions del controlador predictiu. El bucle pretén proporcionar una solució per a controlar sistemes amb restriccions per als quals no s'ha identificat un model nominal. Aquesta dissertació està dirigida tant als investigadors interessats a explorar el control per rebuig actiu de pertorbacions com a aquells que consideren a aquesta tecnologia com una de les seues línies d'investigació principals. Les contribucions serveixen als qui s'inicien en l'estudi de l'ADRC, als dissenyadors de controladors que cerquen implementar l'ADRC lineal considerant el rebuig de pertorbacions de processos FOPDT i als investigadors oberts a la discussió dels beneficis potencials de de combinar l'ADRC amb el MPC. / [EN] Numerous and varied contributions based on the ADRC are currently available. On the one hand, some works address the ADRC methodology. Still, only some offer a comprehensive explanation of its design and application aimed at those researchers who are starting to explore this control strategy. On the other hand, the ADRC tuning and the ADRC-based composite control are open research areas. One of the discussions that remain active in the literature is related to how to select the LADRC main parameters so that closed-loop stability is achieved with appropriate disturbance rejection and robustness, mainly when the ADRC is used to control processes approximated by more straightforward representations such as the first-order plus delay (FOPDT) model. Likewise, the active estimation of uncertainty and disturbances has made integrating the ADRC topology with advanced control techniques, like Model-Based Predictive Control (MPC), attractive. The major challenge in realising this combination lies in how to formulate the control loop so that the ADRC disturbance rejection mechanism transforms the behaviour of the controlled system into that of a simplified desired plant, thus relaxing the requirement for a detailed model while directly considering the constraints on the loop variables. This thesis presents three contributions to ADRC knowledge to address the challenges mentioned above. The first is a guide for designing and applying linear controllers using conventional active disturbance rejection control. This guide offers a review of the theoretical foundation of the ADRC. It condenses in an algorithm the steps for designing these control loops to facilitate their implementation according to the problem formulation in the disturbance estimation and rejection framework and the empirical selection of their gains. The second contribution of this dissertation is a set of tuning rules for computing the three distinctive parameters of the ADRC with which the state observer and control law gains are designed. These rules allow tuning the ADRC to control an approximate process using a first-order plus delay model and offer different sets of parameters according to a desired level of robustness. This contribution is based on developing multi-objective optimisation design procedures focused on controlling a group of nominal FOPDT plants. The results of these procedures were fitted to the tuning formulae provided. The third contribution is a new control architecture that combines the disturbance rejection mechanism of the ADRC and the receding horizon strategy of the MPC. In this loop, a predictive control law governs a first-order plus integrator plant enforced on the real process subject to constraints. The above is possible by compensating for the mismatch between the real and desired plants and incorporating the ADRC compensation term in the constraints formulation of the predictive controller. The loop is intended to provide a solution to control constrained systems for which no nominal model has been identified. This dissertation addresses researchers interested in exploring active disturbance rejection control and those considering this technology as one of their main lines of research. The contributions of this dissertation serve those new to the study of ADRC, controller designers seeking to implement linear ADRC by considering the disturbance rejection response of processes approximated using first-order plus delay models, and researchers open to discussing the potential benefits of combining ADRC with advanced techniques such as MPC. / Martínez Carvajal, BV. (2023). Design of controllers based on active disturbance rejection control (ADRC) and its integration with model predictive control (MPC) [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/196581

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite. / The objects under consideration in this thesis are systems of first-order quasilinear equations. In the first part of the thesis, a study is made of an ideal plasticity model from the point of view of the classical Lie point symmetry group. Planar flows are investigated in both the stationary and non-stationary cases. Two new vector fields are obtained. They complete the Lie algebra of the stationary case, and the subalgebras are classified into conjugacy classes under the action of the group. In the non-stationary case, a classification of the Lie algebras admissible under the chosen force is performed. For each type of force, the vector fields are presented. For monogenic forces, the algebra is of the highest possible dimension. Its classification into conjugacy classes is made. The symmetry reduction method is used to obtain explicit and implicit solutions of several types. Some of them can be expressed in terms of one or two arbitrary functions of one variable. Others can be expressed in terms of Jacobi elliptic functions. Many solutions are interpreted physically in order to determine the shape of realistic extrusion dies. In the second part of the thesis, we examine solutions expressed in terms of Riemann invariants for first-order quasilinear systems. The generalized method of characteristics, along with a method based on conditional symmetries for Riemann invariants are extended so as to be applicable to systems in their elliptic regions. The applicability of the methods is illustrated by examples such as non-stationary ideal plasticity for an irrotational flow as well as fluid mechanics equations. A new approach is developed, based on the introduction of rotation matrices which satisfy certain algebraic conditions. It is directly applicable to non-homogeneous and non-autonomous systems. Its efficiency is illustrated by examples which include a system governing the non-linear superposition of waves and particles. The general solution is constructed in explicit form.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel. / This thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case.

This project, overall, involves a theory of law as dimensions. Throughout the history of the study of law, many different theoretical paradigms have emerged proffering different and competing ways to answer the question ‘what is law’? Traditionally, many of these paradigms have been at irreconcilable odds with one another. Notwithstanding this seeming reality, the goal of this project was to attempt to take three of the leading paradigms in legal theory and provide a way to explain how each might fit into a single coherent theory of law. I set out to accomplish this by drawing on the field of theoretical physics and that field’s use of spatial dimensions in explaining various physical phenomena. By engaging in a dimensional analysis of law, I found that I was able to place each paradigm within its own dimension with that dimension being defined by a specific element of time, and in doing so much of the conflict between the paradigms came to be ameliorated. The project has been divided into two main parts. PART I discusses the fundamentals of legal theory (Chapter 1) and the fundamentals of dimensions (Chapter 2). These fundamentals provide a foundation for a dimensional analysis of law which takes place throughout PART II. In Chapter 3, I argue that the three fundamental theses of Positivism coalesce with the 1st-dimension of law, which is defined as law as it exists at any one point in time. From there, I argue in Chapter 4 that the 2nd-dimension of law, being law as it exists between two points in time (i.e. when cases are adjudicated), is characterized by Pragmatism. I then turn, in Chapter 5, to argue that the 3rd-dimension of law, being law as it exists from the very first point in legal time to the ever changing present day, coalesces with the fundamental theses of Naturalism. Ultimately then, I argue that a theory of law as dimensions, through the vantage points of the specific elements of time, provides a more complete account of the nature of law.

Les objets d’étude de cette thèse sont les systèmes d’équations quasilinéaires du premier ordre. Dans une première partie, on fait une analyse du point de vue du groupe de Lie classique des symétries ponctuelles d’un modèle de la plasticité idéale. Les écoulements planaires dans les cas stationnaire et non-stationnaire sont étudiés. Deux nouveaux champs de vecteurs ont été obtenus, complétant ainsi l’algèbre de Lie du cas stationnaire dont les sous-algèbres sont classifiées en classes de conjugaison sous l’action du groupe. Dans le cas non-stationnaire, une classification des algèbres de Lie admissibles selon la force choisie est effectuée. Pour chaque type de force, les champs de vecteurs sont présentés. L’algèbre ayant la dimension la plus élevée possible a été obtenues en considérant les forces monogéniques et elle a été classifiée en classes de conjugaison. La méthode de réduction par symétrie est appliquée pour obtenir des solutions explicites et implicites de plusieurs types parmi lesquelles certaines s’expriment en termes d’une ou deux fonctions arbitraires d’une variable et d’autres en termes de fonctions elliptiques de Jacobi. Plusieurs solutions sont interprétées physiquement pour en déduire la forme de filières d’extrusion réalisables. Dans la seconde partie, on s’intéresse aux solutions s’exprimant en fonction d’invariants de Riemann pour les systèmes quasilinéaires du premier ordre. La méthode des caractéristiques généralisées ainsi qu’une méthode basée sur les symétries conditionnelles pour les invariants de Riemann sont étendues pour être applicables à des systèmes dans leurs régions elliptiques. Leur applicabilité est démontrée par des exemples de la plasticité idéale non-stationnaire pour un flot irrotationnel ainsi que les équations de la mécanique des fluides. Une nouvelle approche basée sur l’introduction de matrices de rotation satisfaisant certaines conditions algébriques est développée. Elle est applicable directement à des systèmes non-homogènes et non-autonomes sans avoir besoin de transformations préalables. Son efficacité est illustrée par des exemples comprenant un système qui régit l’interaction non-linéaire d’ondes et de particules. La solution générale est construite de façon explicite. / The objects under consideration in this thesis are systems of first-order quasilinear equations. In the first part of the thesis, a study is made of an ideal plasticity model from the point of view of the classical Lie point symmetry group. Planar flows are investigated in both the stationary and non-stationary cases. Two new vector fields are obtained. They complete the Lie algebra of the stationary case, and the subalgebras are classified into conjugacy classes under the action of the group. In the non-stationary case, a classification of the Lie algebras admissible under the chosen force is performed. For each type of force, the vector fields are presented. For monogenic forces, the algebra is of the highest possible dimension. Its classification into conjugacy classes is made. The symmetry reduction method is used to obtain explicit and implicit solutions of several types. Some of them can be expressed in terms of one or two arbitrary functions of one variable. Others can be expressed in terms of Jacobi elliptic functions. Many solutions are interpreted physically in order to determine the shape of realistic extrusion dies. In the second part of the thesis, we examine solutions expressed in terms of Riemann invariants for first-order quasilinear systems. The generalized method of characteristics, along with a method based on conditional symmetries for Riemann invariants are extended so as to be applicable to systems in their elliptic regions. The applicability of the methods is illustrated by examples such as non-stationary ideal plasticity for an irrotational flow as well as fluid mechanics equations. A new approach is developed, based on the introduction of rotation matrices which satisfy certain algebraic conditions. It is directly applicable to non-homogeneous and non-autonomous systems. Its efficiency is illustrated by examples which include a system governing the non-linear superposition of waves and particles. The general solution is constructed in explicit form.

Le contrôle explicite de la convergence des sommes convenablement normalisées de variables aléatoires, ainsi que l'étude du principe de déviations modérées associé à ces sommes constituent les thèmes centraux de cette thèse. Nous étudions principalement deux types de processus. Premièrement, nous nous intéressons aux processus indexés par un arbre binaire, aléatoire ou non. Ces processus ont été introduits dans la littérature afin d'étudier le mécanisme de la division cellulaire. Au chapitre 2, nous étudions les chaînes de Markov bifurcantes. Ces chaînes peuvent être vues comme une adaptation des chaînes de Markov "usuelles'' dans le cas où l'ensemble des indices à une structure binaire. Sous des hypothèses d'ergodicité géométrique uniforme et non-uniforme d'une chaîne de Markov induite, nous fournissons des inégalités de déviations et un principe de déviations modérées pour les chaînes de Markov bifurcantes. Au chapitre 3, nous nous intéressons aux processus bifurcants autorégressifs d'ordre p (). Ces processus sont une adaptation des processus autorégressifs linéaires d'ordre p dans le cas où l'ensemble des indices à une structure binaire. Nous donnons des inégalités de déviations, ainsi qu'un principe de déviations modérées pour les estimateurs des moindres carrés des paramètres "d'autorégression'' de ce modèle. Au chapitre 4, nous traitons des inégalités de déviations pour des chaînes de Markov bifurcantes sur un arbre de Galton-Watson. Ces chaînes sont une généralisation de la notion de chaînes de Markov bifurcantes au cas où l'ensemble des indices est un arbre de Galton-Watson binaire. Elles permettent dans le cas de la division cellulaire de prendre en compte la mort des cellules. Les hypothèses principales que nous faisons dans ce chapitre sont : l'ergodicité géométrique uniforme d'une chaîne de Markov induite et la non-extinction du processus de Galton-Watson associé. Au chapitre 5, nous nous intéressons aux modèles autorégressifs linéaires d'ordre 1 ayant des résidus corrélés. Plus particulièrement, nous nous concentrons sur la statistique de Durbin-Watson. La statistique de Durbin-Watson est à la base des tests de Durbin-Watson, qui permettent de détecter l'autocorrélation résiduelle dans des modèles autorégressifs d'ordre 1. Nous fournissons un principe de déviations modérées pour cette statistique. Les preuves du principe de déviations modérées des chapitres 2, 3 et 4 reposent essentiellement sur le principe de déviations modérées des martingales. Les inégalités de déviations sont établies principalement grâce à l'inégalité d'Azuma-Bennet-Hoeffding et l'utilisation de la structure binaire des processus. Le chapitre 5 est né de l'importance qu'a l'ergodicité explicite des chaînes de Markov au chapitre 3. L'ergodicité géométrique explicite des processus de Markov à temps discret et continu ayant été très bien étudiée dans la littérature, nous nous sommes penchés sur l'ergodicité sous-exponentielle des processus de Markov à temps continu. Nous fournissons alors des taux explicites pour la convergence sous exponentielle d'un processus de Markov à temps continu vers sa mesure de probabilité d'équilibre. Les hypothèses principales que nous utilisons sont : l'existence d'une fonction de Lyapunov et d'une condition de minoration. Les preuves reposent en grande partie sur la construction du couplage et le contrôle explicite de la queue du temps de couplage. / The explicit control of the convergence of properly normalized sums of random variables, as well as the study of moderate deviation principle associated with these sums constitute the main subjects of this thesis. We mostly study two sort of processes. First, we are interested in processes labelled by binary tree, random or not. These processes have been introduced in the literature in order to study mechanism of the cell division. In Chapter 2, we study bifurcating Markov chains. These chains may be seen as an adaptation of "usual'' Markov chains in case the index set has a binary structure. Under uniform and non-uniform geometric ergodicity assumptions of an embedded Markov chain, we provide deviation inequalities and a moderate deviation principle for the bifurcating Markov chains. In chapter 3, we are interested in p-order bifurcating autoregressive processes (). These processes are an adaptation of $p$-order linear autoregressive processes in case the index set has a binary structure. We provide deviation inequalities, as well as an moderate deviation principle for the least squares estimators of autoregressive parameters of this model. In Chapter 4, we dealt with deviation deviation inequalities for bifurcating Markov chains on Galton-Watson tree. These chains are a generalization of the notion of bifurcating Markov chains in case the index set is a binary Galton-Watson tree. They allow, in case of cell division, to take into account cell's death. The main hypothesis that we do in this chapter are : uniform geometric ergodicity of an embedded Markov chain and the non-extinction of the associated Galton-Watson process. In Chapter 5, we are interested in first-order linear autoregressive models with correlated errors. More specifically, we focus on the Durbin-Watson statistic. The Durbin-Watson statistic is at the base of Durbin-Watson tests, which allow to detect serial correlation in the first-order autoregressive models. We provide a moderate deviation principle for this statistic. The proofs of moderate deviation principle of Chapter 2, 3 and 4 are essentially based on moderate deviation for martingales. To establish deviation inequalities, we use most the Azuma-Bennet-Hoeffding inequality and the binary structure of processes. Chapter 6 was born from the importance that explicit ergodicity of Markov chains has in Chapter 2. Since explicit geometric ergodicity of discrete and continuous time Markov processes has been well studied in the literature, we focused on the sub-exponential ergodicity of continuous time Markov Processes. We thus provide explicit rates for the sub-exponential convergence of a continuous time Markov process to its stationary distribution. The main hypothesis that we use are : existence of a Lyapunov fonction and of a minorization condition. The proofs are largely based on the coupling construction and the explicit control of the tail of the coupling time.

Kmitočtové filtry a sinusoidní oscilátory jsou lineární elektronické obvody, které jsou používány v široké oblasti elektroniky a jsou základními stavebními bloky v analogovém zpracování signálu. V poslední dekádě pro tento účel bylo prezentováno velké množství stavebních funkčních bloků. V letech 2000 a 2006 na Ústavu telekomunikací, VUT v Brně byly definovány univerzální proudový konvejor (UCC) a univerzální napět'ový konvejor (UVC) a vyrobeny ve spolupráci s firmou AMI Semiconductor Czech, Ltd. Ovšem, stále existuje požadavek na vývoj nových aktivních prvků, které nabízejí nové výhody. Hlavní přínos práce proto spočívá v definici dalších původních aktivních stavebních bloků jako jsou differential-input buffered and transconductance amplifier (DBTA), current follower transconductance amplifier (CFTA), z-copy current-controlled current inverting transconductance amplifier (ZC-CCCITA), generalized current follower differential input transconductance amplifier (GCFDITA), voltage gain-controlled modified current-feedback operational amplifier (VGC-MCFOA), a minus-type current-controlled third-generation voltage conveyor (CC-VCIII-). Pomocí navržených aktivních stavebních bloků byly prezentovány původní zapojení fázovacích článků prvního řádu, univerzální filtry druhého řádu, ekvivalenty obvodu typu KHN, inverzní filtry, aktivní simulátory uzemněného induktoru a kvadraturní sinusoidní oscilátory pracující v proudovém, napět'ovém a smíšeném módu. Chování navržených obvodů byla ověřena simulací v prostředí SPICE a ve vybraných případech experimentálním měřením.

Normalformen drücken semantische Eigenschaften einer Logik durch syntaktische Restriktionen aus. Sie ermöglichen es Algorithmen, Grenzen der Ausdrucksstärke einer Logik auszunutzen. Ein Beispiel ist die Lokalität der Logik erster Stufe (FO), die impliziert, dass Graph-Eigenschaften wie Erreichbarkeit oder Zusammenhang nicht FO-definierbar sind. Gaifman-Normalformen drücken die Bedeutung einer FO-Formel als Boolesche Kombination lokaler Eigenschaften aus. Sie haben eine wichtige Rolle in Model-Checking Algorithmen für Klassen dünn besetzter Graphen, deren Laufzeit durch die Größe der auszuwertenden Formel parametrisiert ist. Es ist jedoch bekannt, dass Gaifman-Normalformen im Allgemeinen nur mit nicht-elementarem Aufwand konstruiert werden können. Dies führt zu einer enormen Parameterabhängigkeit der genannten Algorithmen. Ähnliche nicht-elementare untere Schranken sind auch für Feferman-Vaught-Zerlegungen und für die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski bekannt. Diese Arbeit untersucht die Komplexität der genannten Normalformen auf Klassen von Strukturen beschränkten Grades, für welche die nicht-elementaren unteren Schranken nicht gelten. Für diese Einschränkung werden Algorithmen mit elementarer Laufzeit für die Konstruktion von Gaifman-Normalformen, Feferman-Vaught-Zerlegungen, und für die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski entwickelt, die in den ersten beiden Fällen worst-case optimal sind. Wichtig hierfür sind Hanf-Normalformen. Es wird gezeigt, dass eine Erweiterung von FO durch unäre Zählquantoren genau dann Hanf-Normalformen erlaubt, wenn alle Zählquantoren ultimativ periodisch sind, und wie Hanf-Normalformen in diesen Fällen in elementarer und worst-case optimaler Zeit konstruiert werden können. Dies führt zu Model-Checking Algorithmen für solche Erweiterungen von FO sowie zu Verallgemeinerungen der Algorithmen für Feferman-Vaught-Zerlegungen und die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski. / Normal forms express semantic properties of logics by means of syntactical restrictions. They allow algorithms to benefit from restrictions of the expressive power of a logic. An example is the locality of first-order logic (FO), which implies that properties like reachability or connectivity cannot be defined in FO. Gaifman's local normal form expresses the satisfaction conditions of an FO-formula by a Boolean combination of local statements. Gaifman normal form serves as a first step in fixed-parameter model-checking algorithms, parameterised by the size of the formula, on sparse graph classes. However, it is known that in general, there are non-elementary lower bounds for the costs involved in transforming a formula into Gaifman normal form. This leads to an enormous parameter-dependency of the aforementioned algorithms. Similar non-elementary lower bounds also hold for Feferman-Vaught decompositions and for the preservation theorems by Lyndon, Łoś, and Tarski. This thesis investigates the complexity of these normal forms when restricting attention to classes of structures of bounded degree, for which the non-elementary lower bounds are known to fail. Under this restriction, the thesis provides algorithms with elementary and even worst-case optimal running time for the construction of Gaifman normal form and Feferman-Vaught decompositions. For the preservation theorems, algorithmic versions with elementary running time and non-matching lower bounds are provided. Crucial for these results is the notion of Hanf normal form. It is shown that an extension of FO by unary counting quantifiers allows Hanf normal forms if, and only if, all quantifiers are ultimately periodic, and furthermore, how Hanf normal form can be computed in elementary and worst-case optimal time in these cases. This leads to model-checking algorithms for such extensions of FO and also allows generalisations of the constructions for Feferman-Vaught decompositions and preservation theorems.