No description available.

Syftet med föreliggande arbete har dels varit att jämföra hur två olika läromedel förhåller sig till geometriinnehållet i enighet med van Hieles teori om den optimala lärandeprogressionen inom tvådimensionella geometriska figurer, dels jämföra hur och hur mycket dessa läromedel kommunicerar dessa figurer i åk 1 & 2. Arbetets analyserade läromedel är Mattekojan och Favorit Matematik. Enligt van Hieles teori kan elever bäst tillgodose dessa kunskaper i fem olika progressionsnivåer där ingen nivå kan hoppas över. Elever kan således exempelvis inte helt förstå innehållet på nivå två om den inte helt besitter kunskaperna enligt nivå ett. Syftet med arbetet har operationaliserats genom en innehållsanalys av läromedlens totalt åtta elevböcker. Resultatet visade en del skillnader mellan elevböckerna, dels i antalet tvådimensionella geometriska figurer, dels i progressionen av uppgifterna. Mest utstickande var skillnaden på hur läromedlen kommunicerar fyrhörningar. Arbetets resultat ger en ökad kunskap i hur geometri helst ska läras ut och hur olika läromedels elevböcker kan vara uppbyggda.

This licentiate thesis consists of two papers. In paper I the tautological ring of a Hilbert modular variety at an unramified prime is computed. The method of van der Geer in the case of A_{g} is extended to deal with the case of the Hilbert modular variety, which is more complicated. An example involving the unitary group is given which shows that this method cannot be used to compute the tautological rings of all Shimura varieties of Hodge type. In paper II we compute the pushforward map from a sub flag variety defined by a Levi subgroup to the Siegel flag variety. Specifically, this is the Levi factor of the parabolic associated with the maximal rational boundary component of the Siegel Shimura datum. The method involves an explicit understanding of the pullback map and an application of the self intersection formula.

In this essay the heuristic method of proofs and refutations, as pre- sented in the book Proofs and refutations by Imre Lakatos, is reviewed and discussed. Some background is given of heuristic methodology in contrast to the deductivist method and then Euler’s polyhedron for- mula is presented. Examples of both local and global mathematical monsters are introduced and handled through the application of the historical progression of Cauchy’s proof of Euler’s polyhedron formula. This leads to show the method of lemma-incorporation as the superior approach. The method is presented in the light of Lakatos’ heuristic philosophy, followed by criticism to his method. It is suggested to use Lakatos’ method as an addition to today’s formal mathematics to increase creativity and expand mathematical theorems further. The conclusion is drawn that Lakatos’ method of proofs and refutations is not prefect, but should utilize the existing criticism to be perfected through its own practice.

Octonion algebras are certain algebras with a multiplicative quadratic form. In 2019, Alsaody and Gille showed that, for octonion algebras over unital commutative rings, there is an equivalence between isotopes and isometric quadratic forms. The contravariant equivalence from unital commutative rings to affine schemes, sending a ring to its spectrum, leads us to a question: can the equivalence of isometry and isotopy be generalized to octonion algebras over a (not necessarily affine) scheme? We present the basic definitions and properties of octonion algebras, both over rings and over schemes. Then we show that an isotope of an octonion algebra C over a scheme is isomorphic to a twist by an Aut(C)–torsor. We conclude the thesis by giving an affirmative answer to our question.

Elevers låga matematikresultat har under flera år påpekats i media och utifrån analyser av PISA-mätningarna tycks begreppsförståelse vara det område där svenska elever har det svårast. Syftet med studien var att undersöka om och på vilka sätt två olika särskilda läromedel i matematik för årskurs 7–9 ger elever i matematiksvårigheter ytterligare stöd vid begreppsförståelse inom området geometri jämfört med det ordinarie läromedlet samt hur läromedlens framställning av området geometri överensstämmer med aktuell forskning kring gynnsamma faktorer för begreppsinlärningen för elever i matematiksvårigheter. Studien syftade även till att undersöka några speciallärares syn på hur de upplever att det särskilda läromedlet påverkar elever i matematiksvårigheters möjligheter till att utveckla begreppsförmågan. Genom en mixed-method studie med kvantitativ innehållsanalys och kvalitativa semistrukturerade intervjuer sökte studien svar på syftet. Det empiriska materialet analyserades utifrån ett sociokulturellt- och specialpedagogiskt perspektiv. Resultatet tyder på att det finns aspekter i de särskilda läromedlen som gynnar utvecklandet av elevernas begreppsförmåga mer än det ordinarie läromedlet, men även att det finns aspekter i de ordinarie läromedlen som gynnar mer än de särskilda. Resultatet visar även på att speciallärarna ser brister i läromedlen men att de används till elever i matematiksvårigheter. Det blir utifrån helheten tydligt att lärarens och speciallärarens kompetens är av högsta vikt för att ge eleverna de bästa förutsättningarna för att utveckla begreppsförmåga och att enkom ett särskilt läromedel inte är lösningen.

Syftet med denna studie var att ge förståelse för vilka möjligheter för elevers begreppsutveckling och lärande inom området geometri som finns i elevers matematikläroböcker. Begreppsinlärningen, med hjälp av läroboken, belystes utifrån olika representationsformer som hittades i läroböckernas uppgifter. En läromedelsanalys gjordes med hjälp av den kvalitativa innehållsanalysen. De olika representationsformerna som är bildmodell, språk, konkret modell, symbol och verklighet, användes för att analysera geometriska begrepp i två olika matematikläroböcker för åk 1, 2 och 3.    I resultat kom det fram att matematikläroböckerna Prima Matematik och Mästerkatten genom sitt upplägg och sin variation av representationsformer till stor del ger möjlighet till begreppsutveckling av tvådimensionella geometriska begrepp. Mest förekommande representationsformer av geometriska begrepp var dock i bildform vilket tyder på att begreppsutveckling enligt matematikläroboken sker mest via bilder. Om begreppsutvecklingen ska ske på tillfredsställande sätt behöver begreppen angripas utifrån olika representationsformer som verklighetsanknytning, kommunikation mellan elever samt laboration.

This licentiate thesis consists of two papers treating subjects in rational homotopy theory. In Paper I, we establish two formality conditions in characteristic zero. We prove that adg Lie algebra is formal if and only if its universal enveloping algebra is formal. Wealso prove that a commutative dg algebra is formal as a dg associative algebra if andonly if it is formal as a commutative dg algebra. We present some consequences ofthese theorems in rational homotopy theory. In Paper II, we construct a differential graded Lie model for the universal cover of the classifying space of the grouplike monoid of homotopy automorphisms of a space that fix a subspace. / <p>At the time of the doctoral defense, the following paper was unpublished and had a status as follows: Paper 2: Manuscript.</p>

The purpose of this study has been to contribute knowledge about textbooks in mathematics in the field of geometry. More precisely, our ambition has been to find out if the textbooks offer progression between grades 1-3. To study progression in textbooks, we have used van Hiele’s theory, which is a model for how students learn geometry in five hierarchical levels. The method we chose for our study was a combination of a quantitative and a qualitative content analysis. To meet the aim of the study, we analysed two different textbook series. Six textbooks were analysed in total. The textbooks were selected because of their popularity in Swedish schools, one of the textbook series was printed, Favorit Matematik and the other series was digital, Matematik (NE). The results of our analysis showed that both textbook series contained two dimensional and three-dimensional geometric objects and the tasks in these textbooks could be classified according to van Hiele levels 1-3. The results of our study showed that both textbook series offered progression in degree of difficulty based on van Hiele’s levels of thinking. We found differences between these two-textbook series with the number of tasks and in the degree of difficulty. We also found similarities in the fact that both textbook series in grade 2 had tasks that consisted three-dimensional geometrical objects. Our results also showed that Favorit Matematik had a higher degree of difficulty compared to Matematik (NE) which makes it doubtful when it comes to an equivalent education in Swedish schools, as according to school law, equality and equal conditions for all students is central in each school form. The conclusion that was then made is that Favorit Matematik is more suitable for students with higher learning abilities whilst Matematik (NE) is more suited for students who need tasks with a lower degree of difficulty as well as less tasks. The results of this study can provide increased knowledge about how van Hiele theory is used in the textbooks in primary schools.

No description available.