I det här examensarbetet försöker jag visa hur man kan använda forskning kringgruppkreativitet för att analysera samarbetet i grupper som löser geometriska problem.Gruppdeltagarna är gymnasieelever i årskurs 2 och 3 på en skola i södra Sverige.Vetenskapen om gruppkreativitet har uppstått till stor del från studier av brainstorming.Brainstorming syftar till att öka kreativiteten i en grupp genom att låta dem ta fram idéertillsammans enligt vissa regler. Fyra grupper har filmats och analyserats och jag harfunnit att det överlag verkar finns en positiv inställning till matematisk problemlösning igrupp. Grupperna har haft problem med passiviseringar, blockeringar och starka ledare. / In this diploma work I try to show how research in group creativity can be used to analyze the cooperation in groups solving geometrical problems. The participants are students in upper secondary school in curriculum 2 and 3 at a school in southern Sweden. The science of group creativity has emerged largely from studies in brainstorming. Brainstorming aims to enhance the creativity in a group by applying certain rules. Four groups have been filmed and analyzed and I have found that there is generally a positive attitude towards problem solving in a group. The groups have had dificulties with passive behaviour, blockings and strong leadership.

Arbetets syfte var att undersöka hur vi som lärare kan använda oss av laborativa uppgifter när eleverna arbetar med areabegreppet inom matematikens geometriområde. Intervjuer med sex elever och observationer av 36 elever valdes från två klasser i årskurs sju. Resultatet visade att många elever ansåg att det var positivt om man kunde variera undervisningen genom att både använda sig av laborativa uppgifter och arbeta i läroboken samt att vissa elever även fick ökad förståelse för areabegreppet när de fick arbeta laborativt.

I vår studie har vi valt att undersöka i vilken utsträckning eleverna har förståelse för de geometriska begreppen area och omkrets och framförallt om eleverna kan skilja på dessa begrepp. Vi valde att genomföra undersökningen med hjälp av en enkät som besvarades av totalt 152 elever från 8 klasser fördelat på skolår 8 och 9. Enkäten består av rena matematiska uppgifter såväl som textuppgifter för att prova olika infallsvinklar hos våra informanter. Resultatet visar på att det finns brister och svårigheter med att skilja de båda begreppen åt vilket ytterligare förstärker vår egen erfarenhet samt tidigare studier på området. De största problemen uppstår när det gäller att hantera areabegreppet. Vi har en klar uppfattning om att en del av dessa problem kan åtgärdas genom ett förändrat lärande som utsätter eleven för konkret, laborativ och kommunikativ matematik som ställer högre krav på matematisk förståelse.

I denna uppsats undersöker vi elevers förståelse för begreppet area, samt om de kan koppla sina kunskaper till sin egen vardag. I undersökningen har vi använt oss av kvalitativa intervjuer och undersökningsgruppen bestod av tio elever i skolår 8. Resultatet visar att majoriteten av eleverna har brister i sin förståelse för areabegreppet, eleverna förknippar begreppet area med formeln . De kan beräkna arean av en rektangel men kan inte med ord beskriva vad en area är. Eleverna anser trots detta att de har nytta av sina kunskaper om area i sin egen vardag.

I denna systematiska litteraturstudie är syftet att undersöka olika undervisningsmetoder och klassrumsaktiviteters påverkan på kunskapsutveckling i ämnet geometri. Som bakgrund till detta ligger de svenska elevernas bristfälliga geometrikunskaper. Undervisningsmetoderna och klassrumsaktiviteterna, med dess kunskapsinnehåll, vägs mot Van Hieles utvecklingsnivåer. Vidare vävs det sociokulturella lärandeperspektivet in i synen på kunskapsinhämtande. TIMSS syn på kunskap diskuteras mot betygskriternernas syn på kunskap för årskurs 6 i Lgr 22. 23 artiklar inhämtades, lästes och kategoriserades för att få en överblick inom området. 14 av dessa har djupanalyserats och sammanställts. Efter sammanställningen framgår det att studiens resultat inte pekar på något entydigt svar. Resultatet visar att det går att åstadkomma utveckling inom flertalet olika kunskapsområden genom att arbeta med olika undervisningsmetoder och klassrumsaktiviteter, så som exempelvis GeoGebra eller fysiskt laborativt material. Studiens olika undervisningsmetoder och klassrumsaktiviteter lutar sig främst mot Van Hieles nivå 2, men berör även fler av Van Hieles utvecklingsnivåer. Genom att identifiera vilka kunskaper eleverna besitter kan läraren utforma undervisningsaktiviteter som gynnar kunskapsutvecklingen hos eleverna för att de ska kunna ta sig vidare till nästa Van Hiele nivå. Studiens resultat och dess olika undervisningsmetoder och klassrumsaktiviteter kan ses som ett stöd för läraren i sin planering, och på så vis stödja eleven till kunskapsutveckling. Studien visar även på att motivation kan ses som en bidragande faktor till kunskapsutveckling. / In this systematic literature study, the aim is to examine the influence of different teaching methods and classroom activities on knowledge development in geometry. The background to this is the Swedish students' deficient knowledge of geometry. The teaching methods and classroom activities, with their knowledge content, are compared against Van Hiele's levels of geometric thinking. Furthermore, the view of knowledge acquisition is seen through the socio-cultural learning perspective. The concept of knowledge is discussed between TIMSS' view of knowledge and the grading criteria for grade 6 in the Swedish school curriculum. 23 articles were obtained, read and categorized to get an overview of the field. 14 of these 23 articles were compiled and through the compilation it appears that the results of the study do not point to any straight answer. The result shows that it is possible to achieve development in several different areas of knowledge by working with different teaching methods and classroom activities, such as GeoGebra and physical manipulatives materials. By identifying which knowledge the students possess, the teacher can design teaching activities that favor the knowledge development of the students, so the students can advance from one Van Hiele level to the next. The results of the study and its various teaching methods and classroom activities can be seen as support for the teacher in his planning, and thus support the student's knowledge development. The study also shows that motivation can be seen as a contributing factor to knowledge development.

In the first paper, we prove that for a closed Legendrian submanifold L of dimension n>2 with a loose chart of size η, any Legendrian isotopy starting at L can be C0-approximated by a Legendrian isotopy with energy arbitrarily close to η/2. This in particular implies that the displacement energy of loose displaceable Legendrians is bounded by half the size of its smallest loose chart, which proves a conjecture of Dimitroglou Rizell and Sullivan. In the second paper, we show that the Legendrian lift of an exact, displaceable Lagrangian has vanishing Shelukhin-Chekanov-Hofer pseudo-metric by lifting an argument due to Sikorav to the contactization. In particular, this proves the existence of such Legendrians, providing counterexamples to a conjecture of Rosen and Zhang. After completion of the manuscript, we noticed that Cant (arXiv:2301.06205) independently proved a more general version of our main result.

No description available.

Utifrån våra erfarenheter, litteratur och forskningslitteratur upplever vissa lärare att delar av geometri är svårt att undervisa om. De upplever också att de läromedel som finns har begränsningar att vara ett stöd i att utveckla deras undervisning. Forskning och annan litteratur vi tagit del av beskriver att det förekommer att elever inte får tillräckligt med undervisning för att kunna bedriva matematiska samtal om geometriska objekt, kunna relatera objekten till varandra och sätta in dem i olika kontexter. Vissa elever har även svårigheter med att problematisera och konstruera geometriska objekt. Med dynamisk geometri och användning av digitala verktyg kan eleverna få mer tid åt att utveckla förståelse för hur geometriska objekt konstrueras. Syftet med litteraturstudien är att sammanställa hur forskning beskriver undervisning i ämnet geometri med stöd av digitala verktyg, och mer specifikt, att besvara frågeställningen: Hur kan geometriundervisningen enligt forskning utvecklas med stöd av digitala verktyg? För att besvara frågeställningen och uppnå studiens syfte har vi systematiskt tagit fram, analyserat och sammanställt vetenskapliga studier om användning av digitala verktyg i geometriundervisningen. Vårt resultat visar att digitala verktyg möjliggör utforskande arbetssätt, social interaktion och ökar vissa elevers motivation och engagemang samt att en del elevers van Hiele-nivå i geometriskt tänkande ökar i samband med användning av digitala verktyg i undervisningen. Slutligen diskuterar vi didaktiska implikationer såsom att digitala verktyg kan bidra till ett utforskande arbetssätt och öka elevers engagemang och motivation. Andra implikationer är att alla skolor inte har tillgång till digitala verktyg och att tekniska problem kan uppstå vid användning av dessa vilket kan leda till att undervisningstiden minskar. Som förslag till vidare forskning ser vi en möjlighet att undersöka hur skapande och visande av videoklipp påverkar elevers lärande i geometri. / Based on our experiences, literature and research literature, some teachers experience that certain parts of the subject geometry are difficult to teach about. They also experience that the teaching aids are not sufficient enough for developing their teaching. The research we mentioned is that some students do not get enough teaching to be able to conduct mathematical conversations about geometric objects, to relate the objects to each other and insert them into different contexts. Some students also have difficulties in problematizing and constructing geometric objects. With dynamic geometry and the use of digital tools, students can have more time to develop their understanding of geometric objects being constructed. The aim of this literature study is to compile how research describes teaching the subject geometry with the support of digital tools, and more specifically, to answer the question: How can teaching in geometry, according to research, be developed by using digital tools? To answer the question and achieve the aim of the study, we have systematically presented, analyzed and compiled scientific studies on the use of digital tools in the teaching of geometry. Our results show that digital tools enable exploratory working methods, social interaction and increase some students' motivation and commitment, and that some students van Hiele-level in geometric thinking increase while using digital tools. Finally, we discuss didactic implications such as that digital tools contribute to an exploratory approach and increase students' involvement and motivation. Another implication is that all schools do not have access to digital tools and that technical problems can arise when using these, which can lead to a reduction of teaching time. As a proposal for further research, we see an opportunity to look at how the creation and display of video clips affect pupils' learning in geometry.

En elliptisk kurva består av nollställena till ett kubisk polynom i två variabler, sådant att det existerar åtminstone en punkt på kurvan och kurvan är icke-singulär. Punkterna på en sådan kurva bildar en abelsk grupp och olika egenskaper hos dessa grupper beskrivs i den här uppsatsen. Bland annat presenteras Mordell-Weils sats som säger att en elliptisk kurva över en talkropp är en ändligt genererad grupp. Nagell-Lutz sats ger nödvändiga villkor för att en punkt på en rationell elliptisk kurva ska ha ändlig ordning. Resultatet att en elliptisk kurva över de komplexa talen är isomorf med en torus presenteras också. Tillämpningen heltalsfaktorisering presenteras genom en beskrivning av Lenstras algoritm. En implementation av denna algoritm i form av ett datorprogram görs och denna implementation jämförs med den triviala algoritmen för heltalsfaktorisering. / An elliptic curve consists of the zeros of a cubic polynomial i two variables, such that there exists at least one point on the curve and the curve is non-singular. The points on such a curve form an abelian group and various properties of these groups are described in this thesis. Among other things the Mordell-Weil theorem, which states that an elliptic curve over a number field is a finitely generated group, is presented. The Nagell-Lutz theorem gives necessary conditions for a point on a rational elliptic curve to have finite order. Another presented result is that an elliptic curve over the complex numbers is a torus. The application of elliptic curves in integer factorization is presented by describing Lenstra's algorithm. A computer program implementing this algorithm is made and this implementation is compared to the trivial algorithm for integer factorization.

Verksamma matematiker och forskare menar att matematiken i grunden handlar om problemlösning. Problemlösning inom geometri är samtidigt ett gynnsamt område som möjliggör att samtliga fem matematiska förmågor som framkommer i grundskolans läroplan kommer till användning. Visuella representationer lyfts fram som ett viktigt verktyg i val av problemlösningsstrategi. Samtidigt visar tidigare internationell forskning att visuella representationer har en stor påverkan på elevers problemlösningsförmåga. Dessutom finns en avsaknad av svensk forskning inom området vilket bidrar till denna studies relevans. Syftet med denna studie är att undersöka och bidra med kunskap om hur visuella representationer används i matematikundervisning, och mer specifikt, att besvara frågeställningarna: Hur värderar lärare visuella representationer i matematikundervisningen? Hur arbetar lärare med och hur resonerar de kring visuella representationer i matematikundervisningen? Studien utgår från ett sociokulturellt perspektiv. För att besvara frågeställningarna och uppnå studiens syfte genomfördes sex lärarintervjuer med verksamma lärare på en F-5 skola i södra Sverige. Intervjuerna har därefter analyserats utifrån en induktiv ansats. Resultatet visar att visuella representationer används på ett varierat sätt och har en betydande roll i matematikundervisningen. Tillsammans med tidigare forskning konkluderades även att visuella representationer kan bidra till att hjälpa elever på olika kunskapsnivåer inom matematiken. I arbetet med visuella representationer framkommer läraryrkets tidsbegränsning problematisk. Samtidigt poängteras att tidsbegränsningen inte bör gå ut över undervisningskvaliteten. En viss avsaknad av visuella representationer i de läromedel som lärarna hade till förfogande uppdagas. En didaktisk implikation av det här är således att lärare inför val av läromedel bör se över hur mycket utrymme visuella representationer ges i olika läromedel och delvis basera sitt val utifrån detta.