In this thesis we investigate the moduli space M3[2] of curves of genus 3 equipped with a symplectic level 2 structure. In particular, we are interested in the cohomology of this space. We obtain cohomological information by decomposing M3[2] into a disjoint union of two natural subspaces, Q[2] and H3[2], and then making S7- resp. S8-equivariantpoint counts of each of these spaces separately. / Målet med denna uppsats är att undersöka modulirummet M3[2] av kurvor av genus 3 med symplektisk nivå 2 struktur. Mer specifikt vill vi hitta informationom kohomologin av detta rum. För att uppnå detta delar vi först upp M[2] i en disjunkt union av två naturliga delrum, Q[2] och H3[2], och räknar därefter punkterna av dessa rum S7- respektive S8-ekvivariant.

Anekdotiska bevis tillsammans med dåliga betyg i matematik visar att unga elever har svårt för sig när det kommer till att lära sig matematik. De anser det vara svårbegripligt, tråkigt och inte sammanhängande med den riktiga världen. Istället vänder de sig till saker de finner intressanta och motiverande, nämligen datorspel. Att kombinera utbildning med spel har visat en stor potential för att förbättra elevers akademiska resultat; ett begrepp känt som spelbaserat lärande. Denna avhandling vill därför utforska hur man kan designa och utveckla spel för att lära ut matematik. Utöver detta, för att säkerställa god kvalitet, analyseras spelets prestanda i form av bildhastighet. Resultatet är ett spel som utmanar spelaren att lösa pussel genom att svara rätt på matematiska frågor relaterat till tvådimensionell geometri. En noggrann mätning visar att spelets bildhastighet är mer än 50 % bättre än den rekommenderade. Slutligen motiveras spelets användning och olika råd ges för förbättring.

Elevers kunskaper inom bevisföring i geometri har länge presenterats som bristande, både nationellt och internationellt. Denna litteraturstudie syftar till att studera vilka svårigheter elever stöter på i arbetet med bevisföring inom geometri för att ge en samlad bild av vanliga missuppfattningar. Artiklarna valdes ut genom sökningar i UniSearch och ERIC där de behövde uppfylla författarnas urvalskriterier. Dessa artiklar sammanfattades för att vidare analyseras utifrån en modifierad version av van Hieles teori om geometriskt lärande bestående av tre olika nivåer. Resultatet visar att elever befinner sig på lägre nivåer än det som förväntas av högstadie- och gymnasieelever enligt forskningen. Vidare visar resultat att elever har svårigheter med att förstå innebörden av ett matematiskt bevis, rita och dra korrekta slutsatser från figurer, använda geometriska definitioner samt att stödja sina påståenden med axiom och satser. Vi tror att lärare kan använda denna information för att utveckla och anpassa sin undervisning för att stärka elevers förmåga att förstå och konstruera geometriska bevis. Forskning om elevers svårigheter med bevisföring inom geometri i Sverige är knapphändig och därför kan nästa steg vara att studera området i svenska gymnasieskolor. / Students understanding with proof in geometry has for a long time been deficient both national and international. The aim of this literature review is to study what difficulties students encounter when working with geometrical proof to give a summary of common misunderstandings. The articles were selected through UniSearch and ERIC and had to fulfill our chosen criterions. These articles where summarized and analyzed with van Hieles modified theory of geometrical learning consisting of three levels. The result shows that students are at a lower level than expected from high- and secondary school students. Furthermore, our result shows that students have difficulties to understand the meaning of a mathematical proof, to draw and make right conclusions from diagrams, to use geometrical definitions and to support claims by using axioms and theorems. We believe that teachers can use this information to develop their teaching to strengthen students’ understanding of proofs and the ability to construct geometrical proofs. Research on students’ difficulties with geometry in Sweden is lacking and therefore the next step could be to study this field in Swedish upper secondary schools.

Detta arbete undersöker svenska gymnasieelevers bevisföringsförmåga inom geometri med van Hieles modifierade modell som ramverk. Studien bygger på vårt tidigare examensarbete Elevers svårigheter med bevisföring inom geometri (Strandler & Mach, 2022), där internationella studier kring området sammanfattades. I föreliggande studie fick 35 gymnasieelever genomföra ett kunskapstest. Kunskapstestet bestod av fem uppgifter på olika svårighetsnivåer valda utifrån van Hieles modell. Syftet med studien var att synliggöra elevers svårigheter utifrån van Hieles modifierade modell. Resultatet visade att svenska elever har svårigheter på den teoretiska nivån. Några vanliga svårigheter var att beviset var otillräckligt och saknade motivering, exempelvis hänvisning till satser eller geometriska definitioner. Ytterligare en brist som visades i flera elevlösningar var att de inte förstod figurers egenskaper på ett korrekt sätt. Resultatet i denna studie överensstämmer med vårt tidigare examensarbete, elever befinner sig på en lägre nivå än det som förväntas. För att stödja elevers förståelse inom området bör undervisningen ge fler tillfällen att utforska geometrin med exempelvis dynamiska hjälpmedel, och inte enbart låta eleverna pröva satsers sanning empiriskt. / This study explores upper secondary school students from Sweden with van Hieles modified model as framework. The study is based on our previous research Students’ Difficulties with Proof in Geometry (Strandler & Mach, 2022) where international studies of this field was summarized. In this study 35 upper secondary students performed a knowledge test. The test contained five questions on different difficulty levels based on van Hieles model. The results showed that a lot of students have difficulties on the theoretical level. A common difficulty was that their proof were insufficient and lacked motivation, for example referring to a mathematical theorem or geometrical definitions. Another difficulty that several students showed was the lack of understanding for different properties of diagrams. The results support our previous findings, students are found to be at a lower level than expected. The education in this area should give more opportunities for students to explore geometry more, for example with dynamical tools, and not only let students experience geometrical proof empirical.

This licentiate thesis consists of two papers about topics related to representation stability for different automorphisms groups of topological spaces and manifolds. In Paper I, we study the rational homology groups of \textit{Torelli groups} of smooth, compact and orientable surfaces. The Torelli group of a smooth surface is the group of isotopy classes of orientation preserving diffeomorphisms that act trivially on the first homology group of the surface. In the paper, we study a certain class of stable homology classes, i.e. classes that exist for sufficiently large genus, and explicitly describe the image of these classes under a higher degree version of the \textit{Johnson homomorphism}, as a representation of the symplectic group. This gives a lower bound on the dimension of the stable homology of the group, as well as providing some further evidence that these homology groups satisfy representation stability for symplectic groups, in the sense of Church and Farb. In Paper II, we study pointed homotopy automorphisms of iterated wedge sums of spaces as well as boundary relative homotopy automorphisms of iterated connected sums of manifolds with a disk removed. We prove that the rational homotopy groups of these, for simply connected CW-complexes and closed manifolds respectively,  satisfy representation stability for symmetric groups, in the sense of Church and Farb.

Studien grundas i att studera hur den aktuella digitaliseringen kan komma och påverka den traditionella geometriundervisningen. Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att sammanställa befintlig forskning där eleverna använder digitala verktyg inom geometriundervisning samt att svara på frågan: Hur kan digitala verktyg användas på olika sätt för att skapa möjligheter till geometriska resonemang i matematikundervisning? Hughes (2000) ramverk som identifierar syftet med digitala verktyget ligger till grund för studiens analys. Vidare tar studien en teoretisk utgångspunkt i Lithners (2008) teori om olika matematiska resonemang som eleven använder sig av vid arbete med matematikuppgifter. Resultatet visar att beroende på om det digitala verktyget har ett ersättande, förstärkande eller transformerande syfte kommer det möjliggöra för eleverna att tillämpa olika geometriska resonemang. Detta ställer höga krav på lärares digitala kompetens då det är användningen av det digitala verktyget som påverkar elevernas kunskapsutveckling. Med denna studie kan verksamma lärare skapa en vidare förståelse för hur ett digitalt verktyg kan användas på flera olika sätt. / Studien bygger på att undersöka hur dagens digitalisering kan komma och påverka traditionell geometriundervisning. Syftet med denna systematiska litteraturstudie är att sammanställa befintlig forskning där elever använder digitala verktyg i geometriundervisning och att besvara frågan: Hur kan digitala verktyg användas på olika sätt för att skapa möjligheter för geometriska resonemang i matematikundervisningen? Hughes (2000) ramverk, som identifierar syftet med digitala verktyg, ligger till grund för studiens analys. Vidare tar studien en teoretisk utgångspunkt i Lithners (2008) teori om olika matematiska resonemangsstrategier som elever använder sig av när de arbetar med matematiska uppgifter. Resultaten visar att beroende på om det digitala verktyget har ett ersättande, förstärkande eller transformerande syfte, gör det möjligt för eleverna att tillämpa olika geometriska resonemang. Detta ställer höga krav på lärares digitala kompetens eftersom det är användningen av det digitala verktyget som påverkar elevernas kunskapsutveckling. Med denna studie kan verksamma lärare få en bredare förståelse för hur ett digitalt verktyg kan användas på olika sätt.

Studiens syfte är att undersöka hur lärare kan utföra deras undervisning som möjliggör att elever utvecklar deras tänkande i geometri. Den syftar även till att undersöka lärares upplevelser av möjligheter och begränsningar med utomhus– och inomhusundervisning i geometri. Studien baseras på semistrukturerade intervjuer och observationer av två verksamma lärare på lågstadiet. Den insamlade datan har analyserats utifrån en induktiv och deduktiv analys där Van Hieles teori har använts. Teorin består av olika nivåer av tänkande i geometri. Resultatet visar att Van Hieles nivåer behandlas av lärarna både inomhus och utomhus, vilket därmed möjliggör att eleverna utvecklar deras tänkande i geometri både inne och ute. Möjligheten att arbeta praktiskt och förena teori och praktik på en större yta är fördelar som lärarna upplever med utomhusundervisning i geometri, å andra sidan begränsar organisationen lärares möjligheter att genomföra detta. Tryggheten som klassrummet erbjuder är den främsta fördelen som lärarna upplever, dock finns det risk att elever i svårigheter blir utpekade på ett sätt som inte hade visat sig ute. Slutsatser som har dragits är vikten av att arbeta praktiskt utomhus samtidigt som störningsmoment kan ta uppmärksamhet från undervisningen. Det kräver att lärare tillsammans med sina elever arbetar fram förhållningsregler på platsen för att lyckas skapa sitt uteklassrum.

Forskning och internationella mätningar visar att förmågan att hantera två- och tredimensionella objekt är en utmaning för elever. Motivet till denna kvalitativa observationsstudie är att undersöka hur digital teknik kan bemöta elevernas utmaning i geometri. Vi ämnar undersöka hur ett digitalt visualiseringsprogram stöttar elevens spatiala resonemangsförmåga, studien utgår därför från forskningsfrågan: Hur stöttar TinkerCad elevens spatiala visualisering av tredimensionella kroppar? Studien tar utgångspunkt i Trouche (2004) teoretiska ramverk instrumentell genes som beskriver hur elever på olika sätt finner en artefakts funktioner som användbara. Genom en sekventiell analys kan vi utifrån olika processer identifiera hur TinkerCad kan få en stöttande roll. Resultatet visar att det är beroende på hur eleven väljer att använda TinkerCads funktioner som påverkar i vilken utsträckning det får en stöttande roll. När eleven tillåts att se tredimensionella kroppar från olika håll och perspektiv, stöttas den spatiala visualiseringen. Även om resultatet visar att TinkerCad kan få en stöttande roll för den spatiala visualiseringen så är det inte garanterat. En konsekvens av detta är att verksamma lärare behöver skapa sig en medvetenhet om att elever finner olika typer av artefakter som användbara i arbetet med två- och tredimensionella objekt. / Research and international assessments indicate that the ability to manipulate two and threedimensional objects poses a challenge for students. The motive behind this qualitative observational study is to investigate what potential that digital technology offers in addressing students' challenges in geometry. We intend to examine how a digital visualization program supports students' spatial reasoning ability; therefore, the study is based on the research question: How does TinkerCad support students' spatial visualization of three-dimensional shapes? The study is grounded in Trouche's (2004) theoretical framework of instrumental genesis, which describes how students find an artifact's functions useful in various ways. Through sequential analysis, we can identify how TinkerCad can play a supportive role based on different processes. The results show that it depends on how the student chooses to use TinkerCad's functions, which affects the extent to which it provides support. When the student is allowed to view three-dimensional shapes from different angles and perspectives, spatial visualization is supported. Although the results indicate that TinkerCad can play a supportive role in spatial visualization, this is not guaranteed. Consequently, practicing teachers need to develop an awareness that students find different types of artifacts useful in working with two and threedimensional objects.

Let G be a finite graph with vertex set V and edge set E. A graph complex on G is an abstract simplicial complex consisting of subsets of E. In particular, we may interpret such a complex as a family of subgraphs of G. The subject of this thesis is the topology of graph complexes, the emphasis being placed on homology, homotopy type, connectivity degree, Cohen-Macaulayness, and Euler characteristic. We are particularly interested in the case that G is the complete graph on V. Monotone graph properties are complexes on such a graph satisfying the additional condition that they are invariant under permutations of V. Some well-studied monotone graph properties that we discuss in this thesis are complexes of matchings, forests, bipartite graphs, disconnected graphs, and not 2-connected graphs. We present new results about several other monotone graph properties, including complexes of not 3-connected graphs and graphs not coverable by p vertices. Imagining the vertices as the corners of a regular polygon, we obtain another important class consisting of those graph complexes that are invariant under the natural action of the dihedral group on this polygon. The most famous example is the associahedron, whose faces are graphs without crossings inside the polygon. Restricting to matchings, forests, or bipartite graphs, we obtain other interesting complexes of noncrossing graphs. We also examine a certain "dihedral" variant of connectivity. The third class to be examined is the class of digraph complexes. Some well-studied examples are complexes of acyclic digraphs and not strongly connected digraphs. We present new results about a few other digraph complexes, including complexes of graded digraphs and non-spanning digraphs. Many of our proofs are based on Robin Forman's discrete version of Morse theory. As a byproduct, this thesis provides a loosely defined toolbox for attacking problems in topological combinatorics via discrete Morse theory. In terms of simplicity and power, arguably the most efficient tool is Forman's divide and conquer approach via decision trees, which we successfully apply to a large number of graph and digraph complexes. / QC 20100622

Denna bok riktar sig till gymnasieelever som vill fördjupa sig i ämnet RSA-kryptografi . RSA-kryptografi är en avancerad metod för att kommunicera med hemliga meddelanden och används flitigt inom t.ex. bankvärlden. När du handlar med ditt kort eller använder din e-legitimation används RSA-kryptogra fi för att allt du gör ska vara skyddat och säkert. Vid stora transaktioner mellan olika banker används också RSA-kryptogra fi för att både den som betalar och den som får betalt ska vara säkra att allt går rätt till.Boken är uppdelad i fyra kapitel. Kapitel 3 och 4 är betydligt mer avancerade än kapitel 1 och 2. Kapitel 1 består mestadels av exempel och övningar som behandlar matematiken som krävs för att kunna utföra RSA-kryptogra fi med små tal. Kapitel 2 använder matematiken i kapitel 1 för att genom exempel och övingar metodiskt lära ut hur RSA-kryptogra fi med små tal går till. Kapitel 3 visar matematiken som ligger till grund för att RSA-kryptografi fungerar. Detta visas med hjälp av exempel, satser, förtydligade bevis samt några enstaka övningar. Kapitel 4 förklarar varför RSA-kryptografi är säkert och enkelt att använda. Primtalstester utgör det viktigaste ämnet i detta sista kapitel.