Bevis och bevisföring är grundläggande processer av den matematiska praktiken och som dessa bör de naturligtvis ingå i matematikundervisningen. Bevis och bevisföring är dock också ett komplext och svårt område, inte bara för lärare och elever, vilket leder till att det inte får den plats och betydelse i matematikundervisningen, som det bör få. I denna systematiska litteraturstudie har det undersökts vilken betydelse och roll bevis och bevisföring har för matematikundervisningen. Följande två frågeställningar lades till grund för studien: 1. Hur karaktäriseras bevis och bevisföring inom den matematikdidaktiska forskningen? 2. Vilka argument finns det för att elever ska lära sig bevis och bevisföring i skolan? Litteraturen till denna studie har delvis sökts i databasen ERIC och delvis manuellt genom kedjesökning bland referenslistor. Det valdes 11 texter, som analyserades och ställdes samman för att besvara studiens frågeställningar. Studien visade att bevis och bevisföring är ett svår-definierat och svår-avgränsat område och att det finns flera aspekter, på denna problematik. Exempelvis är bevisföring en komplex process som bygger på olika aspekter. Bevisen kan också ses som relativa, vilket leder till svårigheter i att finna en allmängiltig definition. Studien visade också att det är viktigt att eleverna lär sig bevis och bevisföring i skolan på grund av en rad olika argument. För det första är bevis och bevisföring en viktig del av den matematiska praktiken, och matematikundervisningens syfte är det bland annat att lära eleverna matematiska arbetssätt, så att eleverna kan bli delaktiga i den matematiska praktiken. För det andra kan bevis och bevisföring ge eleverna djupare förståelse för matematiken och därmed ge mer mening åt undervisningen. Den tredje aspekten är att bevis och bevisföring kan lära eleverna tekniker och metoder som de kan ha användning av i andra områden som till exempel problemlösning.

Syftet med denna uppsats är att undersöka källkritiken i samband med rapporteringen om dieten LCHF. Ämnet för undersökningen statuerar i denna uppsats ett exempel på hur svenska medier hanterar och presenterar forskning om dieter. Premissen är att det förmodligen råder brister i källkritiken, att anekdotisk bevisföring utgör en stor del av källmaterialet och att LCHF huvudsakligen framställs positivt. Studiens teoretiska utgångspunkt är den positivistiska vetenskapsteorin samt den normativa teorin. Metoderna som används i studien är kvantitativ innehålls analys och en kompletterande intervjustudie. Det är ur Aftonbladet, Dagens Nyheter och Svenska Dagbladet artiklarna om LCHF är hämtade, de är 91 till antalet. Sökperioden sträcker sig mellan 2008-2012. Startåret avser det år då LCHF först dök upp i svenska medier. Resultatet av studien visar att källkritiken är bristfällig. Anekdotisk bevisföring förekommer i drygt 40 procent av artiklarna, de vanligaste källorna är erkända förespråkare för dieten samt privatpersoner och tonläget i artiklarna är mestadels positivt. Detta bottnar troligtvis i en bristande förståelse för forskningsresultat och vetenskap hos dagens journalister.

Det finns en problematik i övergången för svenska studenter mellan gymnasiet och högskolan. En faktor i den problematiken är att bevis och bevisföring hanteras på olika sätt på de olika utbildningsnivåerna. Dessutom är forskning kring hur läroböcker hanterar bevis och bevisföring begränsad. I denna studie undersöks två vanliga läroböcker på gymnasiet med avseende på bevis och bevisföring. Utifrån de i ämnesplanen befintliga ämnesområdena granskas teoriavsnitten i läroböckerna med fokus på bevis och bevisföring. Dessutom undersöks bevisföringsuppgifter med utgångspunkt i G. Stylianides (2009) ramverk. Resultaten visar att läroböckerna är inkonsekventa i sitt hanterande av bevis och att bevis ofta osynliggörs i teoriavsnitten. Ett annat resultat är att den matematiska strukturen är svår att följa. Läroböckerna innehåller 6,7 % respektive 13,7 % bevisföringsuppgifter och vi har funnit 19 olika typer av bevisföringsuppgifter varav två typer är väldigt dominerande. Vi argumenterar att didaktiskt värdefulla syften kan uppnås genom att synliggöra bevis bättre i läroböcker. / There exists a problem in Swedish students’ transition between high school and college. One factor of this problem stems from the fact that proofs and proving are handled in different ways at these different levels of education. In addition, research on how textbooks deal with proofs and proving is limited. This study examines proofs and proving in two common math textbooks intended for upper secondary high school students in Sweden. Based on the contents of the curriculum, the theoretical sections in the textbooks are examined with an added focus on proofs and proving. Also, the textbooks’ tasks are examined with the help of a modified framework based on G. Stylianides (2009) framework. The results show that the textbooks are inconsistent in their handling of proofs and that proofs are often made invisible in the theoretical sections. Another result is that the mathematical structure is difficult to follow. The textbooks contain 6.7% and 13.7% proving tasks respectively and we have found 19 different types of proving tasks among which two types are very dominant. We argue that didactically valuable objectives can be achieved by making proofs more visible in textbooks.

Elevers kunskaper inom bevisföring i geometri har länge presenterats som bristande, både nationellt och internationellt. Denna litteraturstudie syftar till att studera vilka svårigheter elever stöter på i arbetet med bevisföring inom geometri för att ge en samlad bild av vanliga missuppfattningar. Artiklarna valdes ut genom sökningar i UniSearch och ERIC där de behövde uppfylla författarnas urvalskriterier. Dessa artiklar sammanfattades för att vidare analyseras utifrån en modifierad version av van Hieles teori om geometriskt lärande bestående av tre olika nivåer. Resultatet visar att elever befinner sig på lägre nivåer än det som förväntas av högstadie- och gymnasieelever enligt forskningen. Vidare visar resultat att elever har svårigheter med att förstå innebörden av ett matematiskt bevis, rita och dra korrekta slutsatser från figurer, använda geometriska definitioner samt att stödja sina påståenden med axiom och satser. Vi tror att lärare kan använda denna information för att utveckla och anpassa sin undervisning för att stärka elevers förmåga att förstå och konstruera geometriska bevis. Forskning om elevers svårigheter med bevisföring inom geometri i Sverige är knapphändig och därför kan nästa steg vara att studera området i svenska gymnasieskolor. / Students understanding with proof in geometry has for a long time been deficient both national and international. The aim of this literature review is to study what difficulties students encounter when working with geometrical proof to give a summary of common misunderstandings. The articles were selected through UniSearch and ERIC and had to fulfill our chosen criterions. These articles where summarized and analyzed with van Hieles modified theory of geometrical learning consisting of three levels. The result shows that students are at a lower level than expected from high- and secondary school students. Furthermore, our result shows that students have difficulties to understand the meaning of a mathematical proof, to draw and make right conclusions from diagrams, to use geometrical definitions and to support claims by using axioms and theorems. We believe that teachers can use this information to develop their teaching to strengthen students’ understanding of proofs and the ability to construct geometrical proofs. Research on students’ difficulties with geometry in Sweden is lacking and therefore the next step could be to study this field in Swedish upper secondary schools.

Detta arbete undersöker svenska gymnasieelevers bevisföringsförmåga inom geometri med van Hieles modifierade modell som ramverk. Studien bygger på vårt tidigare examensarbete Elevers svårigheter med bevisföring inom geometri (Strandler & Mach, 2022), där internationella studier kring området sammanfattades. I föreliggande studie fick 35 gymnasieelever genomföra ett kunskapstest. Kunskapstestet bestod av fem uppgifter på olika svårighetsnivåer valda utifrån van Hieles modell. Syftet med studien var att synliggöra elevers svårigheter utifrån van Hieles modifierade modell. Resultatet visade att svenska elever har svårigheter på den teoretiska nivån. Några vanliga svårigheter var att beviset var otillräckligt och saknade motivering, exempelvis hänvisning till satser eller geometriska definitioner. Ytterligare en brist som visades i flera elevlösningar var att de inte förstod figurers egenskaper på ett korrekt sätt. Resultatet i denna studie överensstämmer med vårt tidigare examensarbete, elever befinner sig på en lägre nivå än det som förväntas. För att stödja elevers förståelse inom området bör undervisningen ge fler tillfällen att utforska geometrin med exempelvis dynamiska hjälpmedel, och inte enbart låta eleverna pröva satsers sanning empiriskt. / This study explores upper secondary school students from Sweden with van Hieles modified model as framework. The study is based on our previous research Students’ Difficulties with Proof in Geometry (Strandler & Mach, 2022) where international studies of this field was summarized. In this study 35 upper secondary students performed a knowledge test. The test contained five questions on different difficulty levels based on van Hieles model. The results showed that a lot of students have difficulties on the theoretical level. A common difficulty was that their proof were insufficient and lacked motivation, for example referring to a mathematical theorem or geometrical definitions. Another difficulty that several students showed was the lack of understanding for different properties of diagrams. The results support our previous findings, students are found to be at a lower level than expected. The education in this area should give more opportunities for students to explore geometry more, for example with dynamical tools, and not only let students experience geometrical proof empirical.

No description available.

Både elever och lärare på gymnasienivå har svårigheter med bevis och bevisföring. Dessutom har det visat sig att bevis och bevisföring spelar en begränsad roll i matematikundervisning. Hur lärare ser på bevisets roll i matematikundervisningen kan påverka tillvägagångssättet för bevisundervisning. Syftet med studien är att belysa hur lärare ser på bevis och bevisföring när det gäller matematikundervisning på gymnasienivå. I studien har nio matematiklärare intervjuats om deras syn på bevisets roll i undervisningen, och hur de arbetar i praktiken med bevis och bevisföring. Intervjudata har analyserats tematiskt, baserat på en teori inspirerad av Knuths (2002a; 2002b) forskning om lärarnas uppfattningar om bevis. Teorin listar sex funktioner som bevis kan ha i matematikundervisning. Det framgår av studien att de flesta lärarna prioriterar förklaring, kommunikation och utveckling av logiskt tänkande när det gäller bevisets roll i undervisning. Resultaten visar även att lärarna anser att bevisundervisning främjar utvecklingen av problemlösningsförmågan. Den strukturerade progressionen och användningen av logiska steg som präglar bevisföringsprocessen utgör grunden för problemlösning. Det kan därför ses som rimligt att införa fler bevisföringsmoment i matematikundervisning. / Both pupils and teachers at upper-secondary school level have difficulties with proof and proving. Furthermore, proof and proving have been shown to play a limited role in mathematics teaching. How teachers view the role of proof in mathematics teaching can affect their approach to teaching proof. The aim of the study was to examine how teachers view proof and proving in the context of mathematics teaching at upper-secondary school level. Nine teachers were interviewed about how they viewed the role of proof in teaching and how they worked in practice with proof and proving. The data was analysed thematically, based on a theory inspired by Knuth’s (2002a; 2002b) research into teachers’ conceptions of proof. The theory lists six functions that proof can have in mathematics teaching. The study shows that most of the teachers prioritise explanation, communication and development of logical thinking as the roles of proof in teaching. The results also show that teachers believe that the teaching of proof promotes the development of problem-solving skills. The proving process is characterized by structured progression and use of logical steps that form the basis for problem-solving. It is therefore reasonable to include more teaching of proof in mathematics education.

No description available.

I detta arbete har avhandlats bevisöverenskommelsers giltighet och verkan i dispositiva tvistemål. Som utgångspunkt har tagits att två jämbördiga kommersiella parter har ingått en bevisöverenskommelse, innan tvist dem emellan har uppstått. Enligt denna bevisöverenskommelse har parterna överenskommit att begränsa sina bevisföringsmöjligheter i händelse av tvist och/eller att domstolen ska utföra sin bevisvärdering enligt de anvisningar som anges i överenskommelsen i sådant fall. När avtalstvist väl uppstått har dock den ena parten haft för avsikt att agera i strid med bevisöverenskommelsen. Syftet med arbetet har varit dels att utreda bevisöverenskommelsens giltighet och verkan de lege lata i en sådan situation, dels att utreda om det finns skäl och möjlighet att tillerkänna bevisöverenskommelser mellan jämbördiga kommersiella parter giltighet i större utsträckning än vad som sker för närvarande. Det har visat sig att det främst är principen om fri bevisprövning och principen om att processuella överenskommelser är ogiltiga utan stöd i lag (den processuella ogiltighetsprincipen) som påverkar bevisöverenskommelsers giltighet och verkan. Innebörden av den förra principen är att det varken föreligger några begränsningar av parters möjligheter att lägga fram bevisning eller några inskränkningar i domstolens möjligheter att värdera all den framlagda bevisningen, såvida inte annat är föreskrivet. I och med att det inte synes finnas några regler där parter getts möjlighet att avtalsmässigt reglera bevisföringen eller bevisvärderingen är det svårt att förena bevisöverenskommelsers giltighet med principen om den fria bevisprövningen. Där den fria bevisprövningens princip antyder bevisöverenskommelsers ogiltighet slår den processuella ogiltighetsprincipen fast den. Visserligen är det svårt att av förarbeten och praxis dra några egentliga slutsatser om den processuella ogiltighetsprincipens innebörd. Till följd av brist på diskussion om och problematisering av densamma står det inte klart om principen avses omfatta alla typer av processuella överenskommelser eller till exempel enbart överenskommelser om totala eller liknande avståenden från rätten till domstolsprövning. I doktrinen är bilden något splittrad och gränserna mellan rättsläget de lege lata och rättsläget de lege ferenda är delvis oskarpa. Det övervägande antalet författare synes dock vara av uppfattningen att bevisöverenskommelser är ogiltiga. Oavsett vilken tolkning som görs av det som framgår uttryckligen av rättskällorna leder ändå en teleologisk tolkning av den processuella ogiltighetsprincipen till att den får anses omfatta även bevisöverenskommelser. Att en bevisöverenskommelse är ogiltig innebär emellertid inte per automatik att den är helt verkningslös. I arbetet har följande olika typer av bevisöverenskommelser analyserats: överenskommelser om exklusiva bevismedel och exklusiva bevisfakta, överenskommelser om prioriterade bevismedel och prioriterade bevisfakta, sekretessavtal med eller utan åberopandeförbud, överenskommelser om skriftliga vittnesattester samt integrationsklausuler. Analysen har resulterat i slutsatsen att bevisöverenskommelser inte har någon verkan i förhållande till parts bevisföringsmöjligheter. Domstolens möjligheter att avvisa bevisning är få och den mest uppenbara, möjligheten som framgår av 35 kap. 7 § RB, synes inte kunna utgöra grund för att med hänvisning till en bevisöverenskommelse avvisa bevisning som läggs fram i strid med överenskommelsen. Däremot kan bevisöverenskommelsernas verkan i förhållande till bevisvärderingen bli relativt omfattande. Det har att göra med att bevisvärderingen är fri och att domstolen måste ta hänsyn till allt som förekommit vid huvudförhandlingen, oavsett om det rör sig om giltiga eller ogiltiga bevisöverenskommelser. En överenskommelse om att enbart ett visst dokument eller vissa uppgifter ska få åberopas för att bevisa avtalsinnehåll, eller om att dokumentet eller uppgifterna ska tillmätas högre bevisvärde än annan bevisning i detta hänseende, kan ge goda skäl till att tro att det är just det som framgår av dokumentet eller av uppgifterna som anger avtalsinnehållet. Ett avtalsdokument kan också förtjäna ett relativt högt bevisvärde för vad som utgör avtalsinnehåll om en bevisöverenskommelse anger att det enbart får åberopas bevis till stöd för eller förtydligande av vad som framgår i detta avtalsdokument. Det kan dock också finnas skäl att inte tillmäta bevisöverenskommelser särskild verkan i förhållande till bevisvärderingen. Så kan till exempel vara fallet om en överenskommelse anger att muntlig bevisning ska vara otillåten rent generellt, om ett sekretessavtal anger att vissa uppgifter inte får åberopas eller om överenskommelsen föreskriver att vittnesutsagor enbart får läggas fram genom skriftliga vittnesattester. För att kunna bedöma vilken verkan en bevisöverenskommelse ska få för bevisvärderingen måste hänsyn tas till många faktorer, till exempel om det rör sig om en standardklausul eller om en klausul som är individuellt framförhandlad, om överenskommelsen utpekar typer av eller specifik bevisning, samt vilka skäl som faktiskt eller troligtvis legat bakom ingåendet av överenskommelsen. Att tillägga bevisöverenskommelser giltighet i större utsträckning än idag skulle kunna leda till nackdelar i åtminstone följande hänseenden. Rättsskyddet i dess traditionella mening skulle kunna minska, möjligheterna att meddela materiellt riktiga domar skulle kunna försämras och respekten och förtroendet för rättskipningen skulle kunna minska. Härigenom skulle även civilprocessens handlingsdirigerande funktion kunna försvagas. Att tillerkänna bevisöverenskommelser mellan jämbördiga kommersiella parter viss giltighet behöver däremot inte med nödvändighet ge oacceptabla verkningar i förhållande till dessa funktioner och intressen, i vart fall inte om en sådan förändring av rättsläget skulle leda till övervägande fördelar på andra områden. De fördelar som giltiga bevisöverenskommelser skulle kunna resultera i står att finna på processekonomins område. Om parter tilläts begränsa bevisningen i viss mån skulle den mängd bevisning som domstolen behöver ta hänsyn till minska. Parterna skulle också behöva lägga ner mindre tid och kostnader på utredningsarbete inför förestående rättegång. Bevisvärderingsbegränsningar skulle kunna ge motsvarande effekter. Härmed skulle alltså bevisöverenskommelser kunna förenkla domstolens rättskipningsuppgift och parternas processföringsuppgift, vilket skulle kunna leda till snabbare och billigare rättegångar och därmed bättre processekonomi. Svårigheterna med att åstadkomma en utökad giltighet för bevisöverenskommelser består i att på ett abstrakt plan avgöra vilka av dessa överenskommelser som är acceptabla. Om bevisöverenskommelsens giltighet på ett lösligt sätt görs beroende av vilka processekonomiska vinster eller förluster den ger upphov till samt av i vilken mån överenskommelsen inverkar negativt på civilprocessens funktioner och andra intressen, riskerar förutsebarheten att bli lidande. En gångbar alternativ reglering skulle dock kunna vara att bevisöverenskommelser som utgångspunkt anses giltiga, men att denna giltighet görs beroende av en mellan kommersiella parter restriktivt tillämpad processuell oskälighetsregel med förebild i 36 § AvtL. Varken RF eller EKMR synes ställa oöverkomliga hinder i vägen för en ordning där bevisöverenskommelser som utgångspunkt är giltiga, men där dess giltighet begränsas av en processuell oskälighetsregel. Principen om parternas likställdhet respektive principen om kontradiktoriskt förfarande innebär i korthet att parterna ska ges tillräckliga möjligheter att tillvarata sin rätt. Principerna innebär inte nödvändigtvis att bevisföringen och bevisvärderingen under alla förutsättningar måste vara fullständigt fri.