Studien undersöker hur lärare behandlar undervisningsinnehållet geometrisk likformighet, samt de möjliga dimensionerna av variation som öppnas. Studien genomfördes genom observation av fyra gymnasielärare, vilka undervisar i matematikkurs B (samhällsprogrammet). Observationerna kompletterades med två intervjuer. Vid bearbetning av det insamlade datamaterialet har variationsteorin använts som analysverktyg. Resultatet visar att eleverna fick erfara ett antal öppnade dimensioner av variation, som kan vara av betydelse för att skapa utmaningar för eleverna. / The study examines how teachers treat the teaching of the subject geometric uniformity and the potential dimensions of variation that can be opened. The study was conducted through observation of four secondary teachers who teach mathematics course B (samhällsprogrammet). The observations were supplemented by two interviews. When processing the collected data material, variation theory has been used as an analytical tool. The results show that students experienced a number of openings of dimensions of variation, which may be relevant to create challenges for students.Keywords: Teachers, geometric uniformity, mathematics, variation theory, observation, interview, teaching content and dimension of variation.

Denna rapport introducerar Cliffordalgebra och visar hur det i flera fall kan ersätta tensoralgebran som grundläggande algebraisk struktur för matematisk fysik. Först konstrueras en allmän Cliffordalgebra utifrån ett vektorrum och en kvadratisk form. Sedan studeras de geometriska egenskaperna för reella Cliffordalgebror med icke-degenererad kvadratisk form. Dessa kallas geometriska algebror och är användbara för att generalisera rotationer till högre dimensioner. Efter det utforskas kopplingen mellan generaliserade rotationer i rumtidsalgebran och Lorentztransformationer. Slutligen används rumtidsalgebran som algebraisk grund för att modellera olika fysikaliska fenomen inom speciell relativitetsteori och elektromagnetism.

Gromov's theorem on finitely generated groups of polynomial growth is one of the cornerstones of geometric group theory. It has seen many applications and has immense importance within its realm. However, the early proofs of Gromov's theorem were based on deep results and were practically unsuitable for teaching. Recently, a new family of proofs have been published, potentially providing new ways to learn and teach Gromov's theorem. In this Master's thesis, we aim to provide an expository introduction to Gromov's theorem and its proofs.  We will first explore a brief theoretical overview of geometric group theory, which will include a proof of a theorem of Bass-Guivarc'h. We will then give a detailed account of an elementary proof of Gromov's theorem for groups of sub-polynomial growth, which was originally outlined by Tao in a blog post. The main contribution we make in this thesis is providing a significant amount of additional detail, bridging the gaps, and providing theoretical clarifications to all the steps in this proof. Finally, we will present some applications of Gromov's theorem. / Gromovs sats om ändligt genererade grupper med polynomiell tillväxt är en av grundpelarna inom geometrisk gruppteori. Satsen har sett många tillämpningar och har enorm betydelse inom sitt område. Dock baserades de tidiga bevisen för Gromovs sats på djupa resultat och var praktiskt taget olämpliga för undervisning. Nyligen har en ny familj av bevis publicerats, vilket potentiellt ger nya sätt att lära sig och undervisa Gromovs sats. I denna uppsats syftar vi till att ge en förklarande introduktion till Gromovs sats och dess bevis. Först ges en kort teoretisk översikt över geometrisk gruppteori, vilket kommer att inkludera ett bevis av en sats av Bass-Guivarc'h. Sedan ger vi en detaljerad redogörelse för ett elementärt bevis av Gromovs sats om grupper med sub-polynomiell tillväxt, vilket ursprungligen beskrevs av Tao i en bloggpost. Det huvudsakliga bidraget vi gör i denna uppsats är att tillhandahålla en betydande mängd ytterliga detaljer, och att ge teoretiska förtydliganden i alla steg i detta bevis. Slutligen presenterar vi några tillämpningar av Gromovs sats.

Det här examensarbetet kretsar kring mina experiment med parkettläggningstekniker, och mina försök att bygga en möbel som ser ut som att den har tagits över av ett mönster eller en struktur. En övergång till någonting mer skulpturalt. Jag använder träbitar som blivit över från andra projekt för att tillverka dessa dekorationer. Min utgångspunkt är traditionella parkettläggningstekniker, men jag arbetar också med en slags mer tredimensionell parkettläggning, med tjockare, vinklade bitar, för att skapa djup och ett intryck av växande. / This thesis work revolves around my experiments with parquetry and my attempts to build a piece of furniture that appears to have been taken over by a pattern or structure. A transition into something more sculptural. I use pieces of wood left over from other projects to create these decorations. My basis is traditional parquetry techniques, but I also work with a type of more three dimensional parquetry, with thicker, angled pieces, to create depth and an impression of growing.

The stability of rock masses is influenced by the occurrence of rock joints. Therefore, the shear strength of rock joints must be considered in dimensioning of underground constructions. One way to predict the shear strength is through usage of failure criteria, which are validated from results of direct shear tests under controlled laboratory conditions. Consequently, the quality of the results from the tests are crucial to the accuracy with which the criteria will be able to predict the shear strength. Since rock joints are unique by nature usage of replicas (man-made copies of rock joints) is of importance in parameter studies. The overall objective of this work is to facilitate the development of improved criteria for predictions of the shear strength of rock joints. To support this objective, two sources of uncertainty have been investigated, namely the geometry of replicas and the influence of the normal stiffness of test systems. Two quality assurance parameters for evaluation of geometrical differences between replicas and rock joints based on scanning data have been derived. The first parameter describes the morphological deviations. The second parameter describes the deviations in orientation with respect to the shear plane. The effective normal stiffness approach, which compensates for the influence of the normal stiffness of the test system indirect shear testing, has been developed, validated, and applied. With help of the quality assurance parameters it is demonstrated that it is possible to reproduce replicas within narrow tolerances. Application of the effective normal stiffness approach basically eliminates the normal load error. In all, the results support generation of improved quality of test data and consequently, the development of shear strength criteria with improved accuracy will also be facilitated. / Bergmassors stabilitet påverkas av bergssprickor. Bergssprickors skjuvhållfasthet behöver därför beaktas vid fastställandet av vilka laster berganläggningar skall dimensioneras mot. Skjuvhållfastheten predikteras bland annat med hjälp av brottkriterier, vilka valideras med hjälp av resultaten från skjuvtester i kontrollerad laboratoriemiljö. Kvaliteten på resultaten från testerna är därför av avgörande betydelse för med vilken noggrannhet kriterierna kommer att kunna prediktera skjuvhållfastheten. Det övergripande målet med detta arbete är att underlätta utvecklingen av förbättrade kriterier för prediktioner av bergssprickors skjuvhållfasthet. Som ett bidrag till att uppnå detta mål har två osäkerhetsfaktorer undersökts, nämligen geometrin av replikor (kopior) av bergssprickor och inverkan av testsystems normalstyvhet. Två kvalitetssäkringsparametrar för utvärdering av de geometriska skillnaderna mellan replikor och bergprov baserade på skanningdata har tagits fram. Den första parametern beskriver de morfologiska avvikelserna. Den andra parametern beskriver avvikelserna i orientering med avseende på skjuvplanet. Ett tillvägagångssätt med en effektiv systemnormalstyvhet, vilken kompenserar för inverkan av testsystemets normalstyvhet, har utvecklats, validerats och tillämpats. Med hjälp av kvalitetssäkringsparametrarna påvisas att det ar möjligt att reproducera replikor inom snäva toleranser. Genom tillämpning av tillvägagångssättet med en effektiv normalstyvhet kan felet i normallast i princip elimineras. Sammantaget stödjer resultaten framtagning av testdata med förbättrad kvalitet och därigenom underlättas även utvecklingen av skjuvhållfasthetskriterier med förbättrad noggrannhet. / <p>QC 210518</p>

The main objective of this thesis was to develop appropriate strategies and find factors that affect the usability of parameterized designs. This was accomplished by investigate the user-interface and how it is designed to meet the user's information needs. The thesis also embraces the basic theories in terms of investigation, cognitive design principles and human behavior patterns in the interaction with the machine. The approach has led to an explorative investigation in this subject area. The thesis also had the purpose to achieve more efficient ways for development of motor chainsaws at Husqvarna AB's department Global Cutting Equipment. That can be achieved through reduce costs of development per sold unit. To reduce cost depends to what extend the program is helping the user to achieve goals during the design execution. The thesis also includes an investigation of the factors that affect the design of such a program. To explore appropriate strategies was a theoretical design process implemented in the study. From the perspective of technology has the author utilized knowledge in engineering design and programming. The program approach utilized was Visual Basic languish in Visual Studio enviroment for the user-interface and a Catia V5 CAD-platform for the chainsaw design. The result is a program which could use reconfigured parameters as needed to create customized designs correctly and effectively. This thesis has also resulted in appropriate principles for the design of a user-friendly interface that were up for the task to be a supporting tool through the execution. It has also been established appropriate tools and methods for analysis and optimization of the program. The author feels that the results of methods and principles in this study were of high reliability and can therefore be applied to other projects, even if the results only are valid for this specific case. / Huvudsyftet med detta examensarbete har varit att utveckla lämpliga strategier och finna faktorer vilka påverkar användarvänligheten för en parametriserad design. Detta åstadkomms genom att undersöka hur användarformulärets gränssnitt ska utformas för att möta användarens informationsbehov. Examensarbetet omfattar även grundteorier vad gäller undersökningsmetoder, kognitiva designprinciper och människans beteendemönster i interaktion med maskin. Tillvägagångsättet har inneburit en explorativ undersökning i detta ämnesområdet. Examensarbetet har även haft syftet att åstadkomma effektivare utvecklingsprocess av motorsågskedjor för Husqvarna AB’s avdelning Global Cutting Equipment. Detta kan åstadkommas genom minskade kostnader i utveckling per såld enhet. Att reducera kostnader påverkas av vilken omfattning programmet hjälper användaren att uppnå mål under exekveringen. Examensarbetet inkluderar även en undersökning av faktorer vilka påverkar designen i ett sådant program. För att undersöka lämpliga strategier i genomförandet har en teoretisk designprocess använts. Ur tekniskt perspektiv har författaren även använt kunskaper inom konstruktionsdesign och programmering. De använda programmen i genomförandet har varit Visual Basic språk i Visual Studio miljö för användarformuläret och en CAD-plattform i Catia V5 för kedjekonstruktionen. Resultat är ett program vilken skulle kunna omkonstruera designen korrekt och effektivt med parametrar efter behov. Arbetet har även resulterat i lämpliga principer för designen av ett användarvänligt gränssnitt vilken kan klara uppgiften att vara ett hjälpande verktyg under exekveringen. Det har även fastställts en del lämpliga verktyg eller metoder för analys och optimering av programmet. Författaren upplever även att resultaten av metoder och principer i denna studie, var av hög reliabilitet och kan därför appliceras på andra projekt, även om resultaten bara är giltiga för denna specifika studie.

The Turtle Trading Rules was a successful trend-following trading strategy for commodities in the 1980s but has lost recognition in recent days. The strategy revolved around rules for entering and exiting trades as well as position sizing for each trade. The rules was based on the fundamental aim to capture market trends while at the same time maintaining a controlled risk exposure. This thesis aims to revise the Turtle Trading Rules, here applied on major market indexes, and to examine its viability through different financial metrics. This is done by first implementing the aforementioned trading strategy to the indexes, and later by synthesizing market data through Geometric Brownian Motions. The latter primarily to examine how the strategy perform in different financial environments, what market traits favor the strategy, and to complement the previous examination without altering the core principles of the Turtle Trading Rules. The results suggest that the revised rules for major market indexes is not viable. This because of the poor return, the highest achieved 20-year return and average annual return was 25.1 % and 1.4% respectively (without taking trading fees into account). Furthermore, the strategy applied on synthetic data suggests that favorable traits are highly cyclical data with low volatility, which seldom is the case for real financial time series. The results further indicate that the main issue lies in the rules not being able to distinguish noise from actual entry and exit triggers. Moreover, the drawdown further suggest that it is the exit rather than the entry rules that are to blame for the poor performance during the cycle of a trade. / Turtle Trading-reglerna var en framgångsrik trendföljande handelsstrategi för råvaror på 1980- talet men har sedan dess tappat i populäritet. Strategin kretsade kring regler för inträde och utträde ur ordrar samt kring positionsstorleken för varje order. Reglerna byggde på det grundläggande syftet att fånga marknadstrender och samtidigt upprätthålla en kontrollerad riskexponering. Den här avhandlingen syftar till att revidera Turtle Trading-reglerna, som här tillämpas på utvalda marknadsindex, och att undersöka dess lönsamhet genom olika finansiella mått. Detta görs genom att först implementera den tidigare nämnda handelsstrategin till indexen, och senare genom att syntetisera marknadsdata genom geometriska brownska rörelser (Geometric Brownian Motions). Det senare för att i första hand undersöka hur strategin fungerar i olika finansiella miljöer, vilka marknadsdrag som gynnar strategin, och för att komplettera den tidigare granskningen utan att ändra grundprinciperna i Turtle Trading-reglerna. Resultaten tyder på att de reviderade reglerna för marknadsindexen inte är tillräckligt lönsamma. Detta på grund av den låga avkastningen, den högst observerade 20-årsavkastningen och den genomsnittliga årliga avkastningen var 25,1 % respektive 1,4% (utan hänsyn till handelsavgifter). Dessutom antyds när strategin tillämpas på syntetiska data att tydliga cykliska variationer samt låg volatilitet är fördelaktiga egenskaper, vilket sällan är fallet för reella finansiella tidsserier. Resultatet indikerade vidare att grundproblemet ligger i att reglerna inte kan skilja brus i datan från faktiska inträde och exit triggers. Dessutom tyder drawdown-graferna på att det är exit snarare än inträdesreglerna som är orsaken till det dåliga resultatet i utförandet av köp- och säljprocessen.

Inom området maskinteknik finns idag ett stort intresse för Reverse Engineering med hjälp av 3Dskanning. Tekniken utgår ifrån att skapa Computer-Aided-Design (CAD) modeller av reala objekt. Föreliggande projekt utfördes vid institutionen för tillämpad fysik och elektronik vid Umeå universitetet i syfte att utvärdera prestationen av Reverse Engineering av objekt som är utmanade at rita direkt i CAD-program. Fyra olika fysiska objekt valdes för analys: en bult, en tolvkantshylsa, en propeller och ett snäckhjul; det sistnämnda tillhandahållen av företaget Rototilt Group AB. Objekten avbildades med en 3D-skannare som använder sig av metoden strukturerat ljus för att läsa in objektens form och har en noggrannhet på 0,04 mm. De 3Davbildade objekten redigerades sedan och CAD-ritningar skapades. Slutligen skrevs CADmodellerna ut med hjälp av en 3D-skrivare och en toleransanalys med gränsvärdet 0,2 mmutfördes för att jämföra dimensionerna av originalobjekten, de olika digitala modellerna samt de utskrivna objekten. Resultatet visar att Reverse Engineering (med vissa begränsningar) är en bra metod för objekt som är utmanade att modellera i CAD. Med tekniken kan fysiska objektrekonstrueras till CAD-modeller snabbt och med hög noggrannhet. / In the field of mechanical engineering, there is an increasing interest in Reverse Engineering using 3D-scanning. The technology is based on creating Computer-Aided-Design (CAD) models of real objects. The present project was carried out at the Department of Applied Physics and Electronics at Umeå University in order to evaluate the performance of Reverse Engineering of objects that are challenging to draw directly in CAD programs. Four different physical objects were selected for analysis: a bolt, a hex socket, a propeller and a worm wheel; the latter provided by the company Rototilt Group AB. A structured light 3D-scanner with a specified accuracy of 0,04 mm was used to image the objects. The 3D images were then post-processed and transferred to CAD software to create the CAD drawings. Finally, the CAD-models were printed with a 3D printer and a tolerance analysis with a limit of 0,2 mm was performed to compare the dimensions of the original objects, the different digital models and the printed objects. The results show that Reverse Engineering (with some limitations) is a good method for objects that are difficult to model in CAD. The technique is well-suited to reconstruct physical objects into CAD-models quickly and with high accuracy.

Syftet med det här arbetet är att lösa kubiska ekvationer utifrån både algebraiska och geometriska perspektiv. Läsaren kommer att möta olika metoder att finna rötter av kubiska ekvationer med fokus på Cardanos metod. Kapitel 3 introducerar Khayyams metod för att hitta en positiv reell rot med hjälp av geometrisk algebra. Kapitel 4 presenterar Cardanos metod för att hitta en positiv reell rot med geometrisk och algebraisk metod. Kapitel 5 visar bisektionsmetoden och Newton-Raphsons metod för att hitta en reell rot med numeriska beräkningar. För att underlätta metoder (för moderna ögon) använde jag mig av spel, tabeller och moderna matematikprogram. Förståelsen av dessa metoder med faktorsatsen visas i kapitel 6 hur vi kan hitta alla reella rötter när vi har en rot. Dessutom innehåller kapitlet Cardanos formel för tre rötter av den allmänna kubiska ekvationen. Kapitel 7 presenterar Eulers metod för att lösa den allmänna bikvadratiska ekvationen med hjälp av Cardanos metod. Dessutom beskrivs Descartes metod för att lösa bikvadratiska ekvationer med användningen av geometriskalgebra. Läsaren får även en inblick i kvintiska ekvationer.

Today, there is an essential need for lightweight, energy-efficient, environmentally benign engineering systems, and this is the driving force behind the development of a wide range of structural and functional materials for energy generation, energy storage, propulsion, and transportation. These challenges have motivated the use of magnesium alloys for lightweight structural systems. Magnesium has a density of 1.74 g/cm3, which is almost 30% less than that of aluminium, one quarter of steel, and almost identicalto polymers. The ease of recycling magnesium alloys as compared to polymers makes them environmentally attractive, but their poor mechanical performance is the primary reason for the limited adoption of these alloys for structural applications. The Mg-Al-Zn alloy AZ91D exhibits an excellent combination of strength, die-castability, and corrosion resistance. However, its mechanical performance with regard to creep strength, for example, at evaluated temperatures is poor. Moreover, very little is known about the correlation between its mechanical properties and microstructural features. This thesis aims to provide new knowledge regarding the role played by microstructure in the mechanical performance of the magnesium alloy. The properties/performance of the material in relation to process parameters became of great interest during the investigation. An exhaustive characterisation of the grain size, secondary dendrite arm spacing (SDAS) distribution, and fraction of Mg17Al12 was performed using optical and electron backscatter diffraction (EBSD). These microstructural parameters were correlated to the offset yield point (Rp0.2), fracture strength, and elongation to failure of the material. It was proposed that the intermetallic phase, Mg17Al12, plays an important role in determining the mechanical and physical properties of the alloy in a temperature range of room temperature to 190°C by forming a rigid network of intermetallic. The presence of this network was confirmed by studying the thermal expansion behaviour of samples of the alloy containing different amounts of Mg17Al12. A physically based constitutive model with a wide validity range was successfully adapted to describe the flow stress behaviour of AZ91D with various microstructures. The temperature-dependent variables of the model correlated quite well with the underlying physics of the material. The model was validated through comparison with dislocation densities obtained using EBSD. The influence of high-pressure die-cast parameters on the distortion and residual stress of the cast components was studied, as were distortion and residual stress in components after shot peening and painting. Interestingly, it was found that intensification pressure has a major effect on distortion and residual stresses, and that the temperature of the fixed half of the die had a slight influence on the component's distortion and residual stress. / Numera finns det ett väsentligt behov av lätta, energieffektiva och miljövänliga tekniksystem. Detta behov är drivkraften för utveckling av ett brett utbud av material för energigenerering, energilagring, framdrivning och transport. Dessa utmaningar motiverade användningen av magnesiumlegeringar för lättviktskonstruktioner. Magnesium har en densitet på 1,74 g/cm3, vilket är ca 30% lägre än för aluminium, en fjärdedel av densiteten för stål och nästan i nivå med många polymerer. Då magnesiumlegeringar dessutom är lätta att återvinna, jämfört med polymerer, gör det dem miljömässigt attraktiva. Låga mekaniska egenskaper är den främsta orsaken till begränsad användning av dessa legeringar för lastbärande tillämpningar. Mg-Al-Zn-legeringen AZ91D uppvisar en utmärkt kombination av styrka, gjutbarhet och korrosionsbeständighet. Dess mekaniska egenskaper vid förhöjd temperatur, som tex kryphållfasthet, är låga. Dessutom är korrelationen mellan mikrostruktur och mekaniska egenskaper oklar. Denna avhandling syftade till att ge ny kunskap om mikrostrukturens roll för magnesiumlegeringars mekaniska egenskaper. Slutligen var materialets egenskaper i förhållande till processparametrar vid tillverkningen av stort intresse. En omfattande karaktärisering av kornstorleks-, sekundära dendritarmavstånds (SDAS)-fördelning och fraktion av Mg17Al12 utfördes med hjälp av optisk mikroskopering och diffraktion av bakåtspridda elektroner (EBSD). Mikrostrukturen korrelerades till sträckgränsen (Rp0.2), brottstyrkan och brottförlängningen. Det föreslogs att den intermetalliska fasen, Mg17Al12, spelar en viktig roll vid bestämning av legeringens mekaniska och fysikaliska egenskaper vid temperaturintervall från rumstemperatur upp till 190°C genom att bilda ett styvt nätverk av intermetaller. Uppkomsten av ett sådant nätverk stöddes genom en studie av den termiska expansionen av legeringen för olika fraktioner av Mg17Al12. En fysikalisk konstitutiv modell med ett brett giltighetsområde användes framgångsrikt för att beskriva det plastiska flytbeteendet hos AZ91D för olika mikrostrukturer. De temperaturberoende variablerna i modellen korrelerade ganska väl med materialets underliggande fysik. Modellen validerades genom att jämföra dislokationstätheten som predikterades av modellen och den med EBSD uppmätta dislokationstätheten. Påverkan av pressgjutningsparametrar på geometrisk tolerans och restspänning hos de gjutna komponenterna studerades. Vidare studerades geometrisk tolerans och restspänning av komponenter efter pening och målning. Intressant nog hade eftermatningsfasen en stor effekt på geometrisk tolerans och restspänningar. Dessutom hade temperaturen på den fasta formhalvan av verktyget även ett visst inflytande på komponentens geometriska tolerans och restspänning.