Im Jahre 2002 führten A. Hackmann, A. Kemnitz und M. Marangio das Konzept der [r, s, t]-Färbungen als eine Verallgemeinerung der Knoten-, Kanten- und Totalfärbungen von Graphen ein. Für gegebene nicht negative Zahlen r, s und t ist eine [r, s, t]-Färbung von einem Graphen G eine Abbildung c, von V(G) und E(G) auf die Menge {1, 2,…, k}, wobei c(v) und c(w) sich um mindestens r unterscheiden, für je zwei adjazente Konten v, w ; c(e) und c(f) unterscheiden sich um mindestens s für je zwei adjazente Kanten e, f ; und c(v) und c(e) unterscheiden sich um mindestens t für je zwei inzidente Knoten v und Kanten e . Die [r, s, t]-chromatische Zahl von G ist die kleinste Zahl k, für die eine solche Färbung für G existiert. In dieser Dissertation wird die [r, s, t]-chromatische Zahl für Wege, Kreise und Sterne mit drei Blättern vollständig bestimmt. Darüber hinaus werden Schranken für Sterne mit mehr als drei Blättern und weitere Ergebnisse für bipartite und vollständige Graphen vorgestellt.

Graph polynomials are polynomials associated to graphs that encode the number of subgraphs with given properties. We list different frameworks used to define graph polynomials in the literature. We present the edge elimination polynomial and introduce several graph polynomials equivalent to it. Thereby, we connect a recursive definition to the counting of colorings and to the counting of (spanning) subgraphs. Furthermore, we define a graph polynomial that not only generalizes the mentioned, but also many of the well-known graph polynomials, including the Potts model, the matching polynomial, the trivariate chromatic polynomial and the subgraph component polynomial. We proof a recurrence relation for this graph polynomial using edge and vertex operation. The definitions and statements are given in such a way that most of them are also valid in the case of hypergraphs.

Dies ist eine aktualisierte Version von einer gesperrten Publikation: 10.18452/14561. Grund der Sperrung: Persönliche Daten vom Deckblatt entfernt / Inhalt der Dissertation ist die Untersuchung der Evolutionsprozesse zufälliger diskreter Strukturen. Solche Evolutionsprozesse lassen sich üblicherweise wie folgt beschreiben. Anfangs beginnt man mit einer sehr einfachen Struktur (z.B. dem Graphen auf n Ecken, der keine Kanten hat) und einer Menge von "Bausteinen'' (z.B. der Kantenmenge des vollständigen Graphen auf n Ecken). Mit zunehmender Zeit werden zufällig mehr und mehr Bausteine eingefügt. Die grundlegende Frage, mit der sich diese Dissertation beschäftigt, ist die folgende: Wie sieht zu einem gegebenen Zeitpunkt die durch den Prozess erzeugte Struktur mit hoher Wahrscheinlichkeit aus? Obwohl das Hauptthema der Dissertation die Evolution zufälliger diskreter Strukturen ist, lassen sich die erzielten Ergebnisse auch unter den folgenden Gesichtspunkten zusammenfassen: Zufällige Greedy-Algorithmen: Es wird ein zufälliger Greedy-Algorithmus untersucht, der für einen gegebenen Graphen H einen zufälligen H-freien Graphen erzeugt. Extremale Ergebnisse: Es wird die Existenz von Graphen mit hoher Taillenweite und hoher chromatischer Zahl bewiesen, wobei bestehende Schranken verbessert werden. Asymptotische Enumeration: Es werden präzise asymptotische Schranken für die Anzahl dreiecksfreier Graphen mit n Ecken und m Kanten bewiesen. "Probabilistische'' Versionen klassischer Sätze: Es wird eine probabilistische Version des Satzes von Sperner bewiesen. / In this thesis, we study the evolution of random discrete structures. Such evolution processes usually fit into the following general framework. Initially (say at time 0), we start with a very simple structure (e.g. a graph on n vertices with no edges) and a set of "building blocks'' (e.g. the set of edges of the complete graph on n vertices). As time increases, we randomly add more and more elements from our set of building blocks. The basic question which we shall investigate is the following: what are the likely properties of the random structure produced by the process at any given time? Although this thesis is concerned with the evolution of random discrete structures, the results obtained can also be summarized according to the following keywords: Random greedy algorithms: we study the output of a random greedy algorithm which, for a given graph H, produces a random H-free graph. Extremal results: improving on previous bounds, we prove the existence of graphs with high girth and high chromatic number. Asymptotic enumeration: we prove sharp asymptotic bounds on the number of triangle-free graphs with n vertices and m edges for a large range of m. Probabilistic versions of "classical'' theorems: we prove a probabilistic version of Sperner's theorem on finite sets.

This thesis deals with optimizing extremal eigenvalues of weighted graph Laplacian matrices. In general, the Laplacian matrix of a (weighted) graph is of particular importance in spectral graph theory and combinatorial optimization (e.g., graph partition like max-cut and graph bipartition). Especially the pioneering work of M. Fiedler investigates extremal eigenvalues of weighted graph Laplacians and provides close connections to the node- and edge-connectivity of a graph. Motivated by Fiedler, Göring et al. were interested in further connections between structural properties of the graph and the eigenspace of the second smallest eigenvalue of weighted graph Laplacians using a semidefinite optimization approach. By redistributing the edge weights of a graph, the following three optimization problems are studied in this thesis: maximizing the second smallest eigenvalue (based on the mentioned work of Göring et al.), minimizing the maximum eigenvalue and minimizing the difference of maximum and second smallest eigenvalue of the weighted Laplacian. In all three problems a semidefinite optimization formulation allows to interpret the corresponding semidefinite dual as a graph realization problem. That is, to each node of the graph a vector in the Euclidean space is assigned, fulfilling some constraints depending on the considered problem. Optimal realizations are investigated and connections to the eigenspaces of corresponding optimized eigenvalues are established. Furthermore, optimal realizations are closely linked to the separator structure of the graph. Depending on this structure, on the one hand folding properties of optimal realizations are characterized and on the other hand the existence of optimal realizations of bounded dimension is proven. The general bounds depend on the tree-width of the graph. In the case of minimizing the maximum eigenvalue, an important family of graphs are bipartite graphs, as an optimal one-dimensional realization may be constructed. Taking the symmetry of the graph into account, a particular optimal edge weighting exists. Considering the coupled problem, i.e., minimizing the difference of maximum and second smallest eigenvalue and the single problems, i.e., minimizing the maximum and maximizing the second smallest eigenvalue, connections between the feasible (optimal) sets are established.

This thesis deals with optimizing extremal eigenvalues of weighted graph Laplacian matrices. In general, the Laplacian matrix of a (weighted) graph is of particular importance in spectral graph theory and combinatorial optimization (e.g., graph partition like max-cut and graph bipartition). Especially the pioneering work of M. Fiedler investigates extremal eigenvalues of weighted graph Laplacians and provides close connections to the node- and edge-connectivity of a graph. Motivated by Fiedler, Göring et al. were interested in further connections between structural properties of the graph and the eigenspace of the second smallest eigenvalue of weighted graph Laplacians using a semidefinite optimization approach. By redistributing the edge weights of a graph, the following three optimization problems are studied in this thesis: maximizing the second smallest eigenvalue (based on the mentioned work of Göring et al.), minimizing the maximum eigenvalue and minimizing the difference of maximum and second smallest eigenvalue of the weighted Laplacian. In all three problems a semidefinite optimization formulation allows to interpret the corresponding semidefinite dual as a graph realization problem. That is, to each node of the graph a vector in the Euclidean space is assigned, fulfilling some constraints depending on the considered problem. Optimal realizations are investigated and connections to the eigenspaces of corresponding optimized eigenvalues are established. Furthermore, optimal realizations are closely linked to the separator structure of the graph. Depending on this structure, on the one hand folding properties of optimal realizations are characterized and on the other hand the existence of optimal realizations of bounded dimension is proven. The general bounds depend on the tree-width of the graph. In the case of minimizing the maximum eigenvalue, an important family of graphs are bipartite graphs, as an optimal one-dimensional realization may be constructed. Taking the symmetry of the graph into account, a particular optimal edge weighting exists. Considering the coupled problem, i.e., minimizing the difference of maximum and second smallest eigenvalue and the single problems, i.e., minimizing the maximum and maximizing the second smallest eigenvalue, connections between the feasible (optimal) sets are established.

We consider the problem of maximizing the second smallest eigenvalue of the weighted Laplacian of a (simple) graph over all nonnegative edge weightings with bounded total weight. We generalize this problem by introducing node significances and edge lengths. We give a formulation of this generalized problem as a semidefinite program. The dual program can be equivalently written as embedding problem. This is fifinding an embedding of the n nodes of the graph in n-space so that their barycenter is at the origin, the distance between adjacent nodes is bounded by the respective edge length, and the embedded nodes are spread as much as possible. (The sum of the squared norms is maximized.) We proof the following necessary condition for optimal embeddings. For any separator of the graph at least one of the components fulfills the following property: Each straight-line segment between the origin and an embedded node of the component intersects the convex hull of the embedded nodes of the separator. There exists always an optimal embedding of the graph whose dimension is bounded by the tree-width of the graph plus one. We defifine the rotational dimension of a graph. This is the minimal dimension k such that for all choices of the node significances and edge lengths an optimal embedding of the graph can be found in k-space. The rotational dimension of a graph is a minor monotone graph parameter. We characterize the graphs with rotational dimension up to two.:1 Introduction 1.1 Notations and Preliminaries 1.2 The Algebraic Connectivity 1.3 Two applications 1.4 Outline 2 The Embedding Problem 2.1 Semidefinite formulation 2.2 The dual as geometric embedding problem 2.3 Physical interpretation and examples 2.4 Formulation without fifixed barycenter 3 Geometrical Operations 3.1 Congruent transformations 3.2 Folding a flat halfspace 3.3 Folding and Collapsing 4 Structural properties of optimal embeddings 4.1 Separator-Shadow 4.2 Separators containing the origin 4.3 The tree-width bound 4.4 Application to trees 5 The Rotational Dimension of a graph 5.1 Defifinition and basic properties 5.2 Characterization of graphs with small rotational dimension 5.3 The Colin de Verdi ere graph parameter List of Figures Bibliography Theses

Netzwerke sind überall, von der elektrischen Stromversorgung über die Biochemie der Zellen, das Internet bis hin zu sozialen Netzen. Netzwerke als mathematisches Konzept haben sich in den letzten Jahren zu einem wichtigen Werkzeug der Beschreibung komplexer Systeme entwickelt. Ihre grundlegende Eigenschaft ist, dass sie aus einer grö{ss}en Anzahl dynamischer Elemente bestehen, die sich gegenseitig beeinflussen und dabei nicht linear gekoppelt sind. Die moderne Netzwerkwissenschaft will die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Untereinheiten erklären und davon ausgehend verständlich machen, auf welche Weise Prozesse auf einem Netzwerk stattfinden können. Zum Beispiel wird untersucht, wie die Struktur sozialer Netze die Ausbreitung von Information oder von Krankheiten beeinflusst, wie die Topologie des World Wide Web das Surf-Verhalten oder die Funktionalität von Suchmaschinen beeinträchtigt oder welche Auswirkungen die Hierarchie in ökologischen Nischen auf die Populationsdynamik der einzelnen Spezies hat. Darüber hinaus gilt es herauszufinden, welche grundlegenden Prinzipien der Evolution realer Netzwerke zugrunde liegen, das heißt nach welchen Regeln sich einerseits die Untereinheiten entwickeln und welchen Einfluss andererseits deren Vernetzung hat. Die vorliegende Dissertation beschäftigt sich sowohl mit der Topologie verschiedener Netzwerke als auch mit den der Evolution zugrunde liegenden Prinzipien. Schwerpunkte liegen dabei auf den folgenden zwei Aspekten: erstens dem Einfluss von so gennanten ``vertex-pair correlations'''', das heißt Korrelationen zwischen den Untereinheiten, auf die Topologie und zweitens der Auswirkung der Geographie auf die Netzwerkentwicklung. Es wird der bedeutende Einfluss aufgezeigt, den die Korrelationen auf wichtige statistische Größen der Netzwerke haben. Weiterhin analysieren wir die Perkolationseigenschaften, die Aufschluss über die Empfindlichkeit gegenüber Störungen in der Vernetzung geben. Damit können zum Beispiel Fragen aus der Epidemiologie diskutiert werden. Es zeigt sich, dass die Topologie vieler Netzwerke und ihre Perkolationseigenschaften deutlich von Korrelationen beeinflusst werden. Schließlich untersuchen wir im letzten Teil dieser Arbeit, wie die Einbettung von Netzwerken in eine endlich-dimensionale Geographie auf die Modellierung und Entwicklung Web-ähnlicher Systeme Einfluss nimmt. / Networks are all around us, from electrical power grids to the biochemistry of cells, from the Internet to social webs. The mathematical concept of network has recently been turned into an important tool for describing complex systems, whose principal characteristic is that they consist of a large number of mutually interacting dynamical parts which are coupled in a nonlinear fashion. Modern network science attempts to explain the structure of interactions between the subunits of a system in order to understand their functioning and the processes taking place in them. It tries, for instance, to grasp how the structure of social networks affects the spread of information or human diseases, how the structure of the World Wide Web influences the search engines and surfing behavior, or how the hierarchy of ecological niches affects population dynamics. Beyond this, the ultimate goal of network science is to discover what generating principles exist behind the evolution of real systems. It tries to find the fundamental principles under which the subunits evolve, and the wiring of interactions. This thesis centres both on the study of the topological structure of networks and the analysis of the underlying principles responsible for their evolution. More specifically, it concentrates on the following aspects: the influence of vertex-pair correlations on network topology, the network percolation problem, which is closely related to the spreading of epidemics and the robustness of networks, and the effects of geography as a generating element. We show that important topological and percolation properties change considerably when modifying the connection probabilities between vertices, and that geography as well plays a crucial role in the modeling of evolving real web-like systems.

Complex network theory provides an elegant and powerful framework to statistically investigate the topology of local and long range dynamical interrelationships, i.e., teleconnections, in the climate system. Employing a refined methodology relying on linear and nonlinear measures of time series analysis, the intricate correlation structure within a multivariate climatological data set is cast into network form. Within this graph theoretical framework, vertices are identified with grid points taken from the data set representing a region on the the Earth's surface, and edges correspond to strong statistical interrelationships between the dynamics on pairs of grid points. The resulting climate networks are neither perfectly regular nor completely random, but display the intriguing and nontrivial characteristics of complexity commonly found in real world networks such as the internet, citation and acquaintance networks, food webs and cortical networks in the mammalian brain. Among other interesting properties, climate networks exhibit the "small-world" effect and possess a broad degree distribution with dominating super-nodes as well as a pronounced community structure. We have performed an extensive and detailed graph theoretical analysis of climate networks on the global topological scale focussing on the flow and centrality measure betweenness which is locally defined at each vertex, but includes global topological information by relying on the distribution of shortest paths between all pairs of vertices in the network. The betweenness centrality field reveals a rich internal structure in complex climate networks constructed from reanalysis and atmosphere-ocean coupled general circulation model (AOGCM) surface air temperature data. Our novel approach uncovers an elaborately woven meta-network of highly localized channels of strong dynamical information flow, that we relate to global surface ocean currents and dub the backbone of the climate network in analogy to the homonymous data highways of the internet. This finding points to a major role of the oceanic surface circulation in coupling and stabilizing the global temperature field in the long term mean (140 years for the model run and 60 years for reanalysis data). Carefully comparing the backbone structures detected in climate networks constructed using linear Pearson correlation and nonlinear mutual information, we argue that the high sensitivity of betweenness with respect to small changes in network structure may allow to detect the footprints of strongly nonlinear physical interactions in the climate system. The results presented in this thesis are thoroughly founded and substantiated using a hierarchy of statistical significance tests on the level of time series and networks, i.e., by tests based on time series surrogates as well as network surrogates. This is particularly relevant when working with real world data. Specifically, we developed new types of network surrogates to include the additional constraints imposed by the spatial embedding of vertices in a climate network. Our methodology is of potential interest for a broad audience within the physics community and various applied fields, because it is universal in the sense of being valid for any spatially extended dynamical system. It can help to understand the localized flow of dynamical information in any such system by combining multivariate time series analysis, a complex network approach and the information flow measure betweenness centrality. Possible fields of application include fluid dynamics (turbulence), plasma physics and biological physics (population models, neural networks, cell models). Furthermore, the climate network approach is equally relevant for experimental data as well as model simulations and hence introduces a novel perspective on model evaluation and data driven model building. Our work is timely in the context of the current debate on climate change within the scientific community, since it allows to assess from a new perspective the regional vulnerability and stability of the climate system while relying on global and not only on regional knowledge. The methodology developed in this thesis hence has the potential to substantially contribute to the understanding of the local effect of extreme events and tipping points in the earth system within a holistic global framework. / Die Theorie komplexer Netzwerke bietet einen eleganten Rahmen zur statistischen Untersuchung der Topologie lokaler und langreichweitiger dynamischer Zusammenhänge (Telekonnektionen) im Klimasystem. Unter Verwendung einer verfeinerten, auf linearen und nichtlinearen Korrelationsmaßen der Zeitreihenanalyse beruhenden Netzwerkkonstruktionsmethode, bilden wir die komplexe Korrelationsstruktur eines multivariaten klimatologischen Datensatzes auf ein Netzwerk ab. Dabei identifizieren wir die Knoten des Netzwerkes mit den Gitterpunkten des zugrundeliegenden Datensatzes, während wir Paare von besonders stark korrelierten Knoten als Kanten auffassen. Die resultierenden Klimanetzwerke zeigen weder die perfekte Regularität eines Kristallgitters, noch eine vollkommen zufällige Topologie. Vielmehr weisen sie faszinierende und nichttriviale Eigenschaften auf, die charakteristisch für natürlich gewachsene Netzwerke wie z.B. das Internet, Zitations- und Bekanntschaftsnetzwerke, Nahrungsnetze und kortikale Netzwerke im Säugetiergehirn sind. Besonders erwähnenswert ist, dass in Klimanetzwerken das Kleine-Welt-Phänomen auftritt. Desweiteren besitzen sie eine breite Gradverteilung, werden von Superknoten mit sehr vielen Nachbarn dominiert, und bilden schließlich regional wohldefinierte Untergruppen von intern dicht vernetzten Knoten aus. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine detaillierte, graphentheoretische Analyse von Klimanetzwerken auf der globalen topologischen Skala durchgeführt, wobei wir uns auf das Netzwerkfluss- und Zentralitätsmaß Betweenness konzentrierten. Betweenness ist zwar lokal an jedem Knoten definiert, enthält aber trotzdem Informationen über die globale Netzwerktopologie. Dies beruht darauf, dass die Verteilung kürzester Pfade zwischen allen möglichen Paaren von Knoten in die Berechnung des Maßes eingeht. Das Betweennessfeld zeigt reichhaltige und zuvor verborgene Strukturen in aus Reanalyse- und Modelldaten der erdoberflächennahen Lufttemperatur gewonnenen Klimanetzen. Das durch unseren neuartigen Ansatz enthüllte Metanetzwerk, bestehend aus hochlokalisierten Kanälen stark gebündelten Informationsflusses, bringen wir mit der Oberflächenzirkulation des Weltozeans in Verbindung. In Analogie mit den gleichnamigen Datenautobahnen des Internets nennen wir dieses Metanetzwerk den Backbone des Klimanetzwerks. Unsere Ergebnisse deuten insgesamt darauf hin, dass Meeresoberflächenströmungen einen wichtigen Beitrag zur Kopplung und Stabilisierung des globalen Oberflächenlufttemperaturfeldes leisten. Wir zeigen weiterhin, dass die hohe Sensitivität des Betweennessmaßes hinsichtlich kleiner Änderungen der Netzwerktopologie die Detektion stark nichtlinearer physikalischer Wechselwirkungen im Klimasystem ermöglichen könnte. Die in dieser Arbeit vorgestellten Ergebnisse wurden mithilfe statistischer Signifikanztests auf der Zeitreihen- und Netzwerkebene gründlich auf ihre Robustheit geprüft. In Anbetracht fehlerbehafteter Daten und komplexer statistischer Zusammenhänge zwischen verschiedenen Netzwerkmaßen ist diese Vorgehensweise besonders wichtig. Weiterhin ist die Entwicklung neuer, allgemein anwendbarer Surrogate für räumlich eingebettete Netzwerke hervorzuheben, die die Berücksichtigung spezieller Klimanetzwerkeigenschaften wie z.B. der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Kantenlängen erlauben. Unsere Methode ist universell, weil sie zum Verständnis des lokalisierten Informationsflusses in allen räumlich ausgedehnten, dynamischen Systemen beitragen kann. Deshalb ist sie innerhalb der Physik und anderer angewandter Wissenschaften von potentiell breitem Interesse. Mögliche Anwendungen könnten sich z.B. in der Fluiddynamik (Turbulenz), der Plasmaphysik und der Biophysik (Populationsmodelle, neuronale Netzwerke und Zellmodelle) finden. Darüber hinaus ist der Netzwerkansatz für experimentelle Daten sowie Modellsimulationen gültig, und eröffnet folglich neue Perspektiven für Modellevaluation und datengetriebene Modellierung. Im Rahmen der aktuellen Klimawandeldebatte stellen Klimanetzwerke einen neuartigen Satz von Analysemethoden zur Verfügung, der die Evaluation der lokalen Vulnerabilität und Stabilität des Klimasystems unter Berücksichtigung globaler Randbedingungen ermöglicht. Die in dieser Arbeit entwickelten und untersuchten Methoden könnten folglich in der Zukunft, innerhalb eines holistisch-globalen Ansatzes, zum Verständnis der lokalen Auswirkungen von Extremereignissen und Kipppunkten im Erdsystem beitragen.

Frankfurt (Main), University, Diss., 2008.

Convex cycles play a role e.g. in the context of product graphs. We introduce convex cycle bases and describe a polynomial-time algorithm that recognizes whether a given graph has a convex cycle basis and provides an explicit construction in the positive case. Relations between convex cycles bases and other types of cycles bases are discussed. In particular we show that if G has a unique minimal cycle bases, this basis is convex. Furthermore, we characterize a class of graphs with convex cycles bases that includes partial cubes and hence median graphs. (authors' abstract) / Series: Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics