Depuis la réalisation expérimentale en 1995 des premiers condensats gazeux de<br />Bose-Einstein (B-E) d'atomes alcalins : $\left(<br />^(87)Rb\,\ , \ ^(23)Na\,\ , \ ^(7)Li\right) $, ultra-froids ($T=0\,^(\mathrm(o))\!\mathrm(K)$) et confinés dans des pièges magnétiques 3D, la physique des condensats de Bose-Einstein et<br />de Fermi a connu un développement remarquable aussi bien expérimental que<br />théorique. L'objectif de ce mémoire de thèse a été fixé dans le cadre général du progrès récemment accompli dans l'étude de l'évolution dynamique des condensats<br />de B-E répulsifs, et de la réduction de leur dimensionnalité. Le manuscrit de<br />cette thèse comprend deux parties. La première a été consacrée, d'une part, à la<br />présentation du phénomène de la condensation de B-E depuis sa prédiction en 1925 par Einstein, dans un gaz idéal de Bose, jusqu'à sa réalisation en 1995, et<br />d'autre part, à la description de la dynamique des condensats dilués de B-E, à<br />la température $T=0\,^(\mathrm(o))\!\mathrm(K)$, par l'équation nonlinaire de Schr\"(o)dinger (ENLS), connue aussi sous le nom : équation de Gross-Pitaevskii (EGP). La seconde partie<br />comprend les résultats numériques de notre étude portant sur la dynamique d'un<br />condensat de B-E répulsif, quasi-1D et confiné dans un piège non-harmonique<br />(piège allongé avec des bords paraboliques), et sur son comportement dissipatif<br />et superfluide. Notre étude a montré que: i) les bords paraboliques du piège<br />considéré, ainsi qu'un obstacle en forme d'une bosse gaussienne, placé dans la partie plate<br />de ce piège, ont un effet d'anti-amortissement sur la propagation uniforme d'un<br />soliton gris dans le condensat, et cet effet se manifeste par une émission spontanée des<br />phonons; ii) le mouvement uniforme et rectiligne (en va-et-vient) d'un obstacle gaussien dans le condensat considéré conduit, lorsque la vitesse constante de l'obstacle<br />dépasse une certaine valeur critique ( vitesse critique ), à la création des solitons gris et des phonons dans ce<br />condensat qui devient un milieu dissipatif.<br /> Nous avons montré que le comportement dissipatif du condensat croît avec l'augmentation de la vitesse de<br />l'obstacle, atteint son maximum et finit par disparaître quasi-totalement pour<br />de grandes valeurs de la vitesse constante de l'obstacle, pour lesquelles le condensat se comporte comme un quasi-superfluide.

Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Gross-Pitaevskii et de Landau-Lifshitz, qui présentent d'importantes applications en physique. L'équation de Gross-Pitaevskii modélise des phénomènes de l'optique non linéaire, de la superfluidité et de la condensation de Bose-Einstein, tandis que l'équation de Landau-Lifshitz décrit la dynamique de l'aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Lorsqu'on modélise la matière à très basse température, on fait l'hypothèse que l'interaction des particules est ponctuelle. L'équation de Gross-Pitaevskii classique s'en déduit alors en prenant comme interaction une masse de Dirac. Cependant, différents types de potentiels non locaux probablement plus réalistes ont aussi été proposés par des physiciens pour modéliser des interactions plus générales. Dans un premier temps, on s'intéressera à donner des conditions suffisantes couvrant une variété assez large d'interactions non locales et telles que le problème de Cauchy associé soit globalement bien posé avec des conditions non nulles à l'infini. Par la suite, on étudiera les ondes progressives de ce modèle non local et on donnera des conditions telles que l'on puisse déterminer les vitesses pour lesquelles il n'existe pas de solution non constante d'énergie finie. Concernant l'équation de Landau-Lifshitz, on s'intéressera aussi aux ondes progressives d'énergie finie. On montrera la non existence d'ondes progressives non constantes d'énergie petite en dimensions deux, trois et quatre, sous l'hypothèse que l'énergie soit inférieure au moment dans le cas de la dimension deux. En outre, on donnera aussi dans le cas bidimensionnel la description d'une courbe minimisante qui pourrait donner une approche variationnelle pour construire des solutions de l'équation de Landau-Lifshitz. Finalement, on décrira le comportement à l'infini des ondes progressives d'énergie finie.

Cette thèse regroupe des études portant sur la dynamique de relaxation de différents systèmes conservatifs ayant tous une troncature de Galerkin sur les modes de Fourier. On montre que, de façon très générale, ces systèmes relaxent lentement vers l'équilibre thermodynamique avec une thermalisation partielle à petite échelle qui induit une dissipation effective à grande échelle, tout en conservant les invariants globaux. La première partie de ce travail est consacrée à l'étude de la viscosité effective dans l'équation d'Euler incompressible tronquée. L'utilisation des méthodes de Monte-Carlo et de la théorie EDQNM permet la construction d'un modèle à deux fluides de ce système. Cette étude est ensuite généralisée au cas des écoulements hélicitaires. La dynamique de relaxation des écoulements décrits par les équations de la magnétohydrodynamique et des fluides compressibles tronqués est finalement caractérisée. Dans une deuxième partie, nous généralisons l'étude de la thermalisation au cas de l'équation de Gross-Pitaevski tronquée. On trouve que des effets existant dans les superfluides à température finie, comme la friction mutuelle et le ''counterflow'', sont naturellement présents dans ce modèle. On propose ainsi l'équation de Gross-Pitaevskii tronquée comme un modèle simple et riche de la dynamique superfluide à température finie. La radiation produite par le mouvement de vortex ponctuels décrits par l'équation de Gross-Pitevskii 2D est finalement caractérisée analytiquement et numériquement.

Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.

Ce mémoire de thèse porte sur les ondes progressives pour l'équation de Gross-Pitaevskii, et les ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili.<br /><br />L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'analyse des condensats de Bose-Einstein, de la supraconductivité, de la superfluidité ou de l'optique non linéaire. Les équations de Kadomtsev-Petviashvili décrivent l'évolution d'ondes dispersives, faiblement non linéaires, et des ondes sonores dans les matériaux anti-ferromagnétiques.<br /><br />On s'intéresse ici aux propriétés d'existence et au comportement asymptotique de ces ondes. On montre la non-existence des ondes progressives supersoniques, non constantes, d'énergie finie, pour<br />l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension supérieure ou égale à deux, puis celle des ondes progressives soniques, non constantes, d'énergie finie, en dimension deux. On décrit ensuite le comportement asymptotique des ondes progressives subsoniques, d'énergie finie, pour l'équation de Gross-Pitaevskii, puis celui des ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure ou égale à deux.

In this thesis, the properties of the Bose-Einstein condensation (BEC) in low dimensions are reviewed. Three dimensional weakly interacting Bose systems are examined by the variational method. The effects of both the attractive and the repulsive interatomic forces are studied. Thomas-Fermi approximation is applied to find the ground state energy and the chemical potential. The occurrence of the BEC in low dimensional systems, is studied for ideal gases confined by both harmonic and power-law potentials. The properties of BEC in highly anisotropic trap are investigated and the conditions for reduced dimensionality are derived.

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This project studied two different ways of imposing boundary conditions weakly with the finite difference summation-by-parts (SBP) operators. These operators were combined with the boundary handling methods of simultaneous-approximation-terms (SAT) and the Projection to impose homogeneous Neumann and Dirichlet boundary conditions. The convergence rate of both methods was analyzed for different boundary conditions for the one-dimensional (1D) Schrödinger equation, without potential, which resulted in both methods performing similarly. A multi-block discretization was then implemented and different combinations of SBP-SAT and SBP-Projection were applied to impose inner boundary conditions of continuity between the blocks. A convergence study of the different methods of imposing the inner BC:s was conducted for the 1D Schrödinger equation without potential. The resulting convergence was the same for all methods and it was concluded that they performed similarly. Methods involving SBP-Projection had the slight advantage of faster computation time. Finally, the 1D Gross-Pitaevskii equation (GPE) and the 1D Schrödinger equation were analyzed with a step potential. The waves propagating towards the potential barrier were in both cases partially transmitted and partially reflected. The waves simulated with the Schrödinger equation dispersed, while the solitons simulated with the GPE kept their shape due to the equations reinforcing non-linear term. The bright soliton was partly transmitted and partly reflected. The dark soliton was either totally reflected or totally transmitted.

L'objectif de cette thèse est de fournir des bornes d'erreur pour des problèmes aux valeurs propres linéaires et non linéaires issus du calcul de structure électronique, en particulier celui de l'état fondamental avec la théorie de la fonctionnelle de la densité. Ces bornes d'erreur reposent principalement sur des estimations a posteriori. D'abord, nous étudions un phénomène de compensation d'erreur de discrétisation pour un problème linéaire aux valeurs propres, grâce à une analyse a priori de l'erreur sur l'énergie. Ensuite, nous présentons une analyse a posteriori pour le problème du laplacien aux valeurs propres discrétisé par une large classe d'éléments finis. Les bornes d'erreur proposées pour les valeurs propres simples et leurs vecteurs propres associés sont garanties, calculables et efficaces. Nous nous concentrons alors sur des problèmes aux valeurs propres non linéaires. Nous proposons des bornes d'erreur pour l'équation de Gross-Pitaevskii, valables sous des hypothèses vérifiables numériquement, et pouvant être séparées en deux composantes venant respectivement de la discrétisation et de l'algorithme itératif utilisé pour résoudre le problème non linéaire aux valeurs propres. L'équilibrage de ces composantes d'erreur permet d'optimiser les ressources numériques. Enfin, nous présentons une méthode de post-traitement pour le problème de Kohn-Sham discrétisé en ondes planes, améliorant la précision des résultats à un faible coût de calcul. Les solutions post-traitées peuvent être utilisées soit comme solutions plus précises du problème, soit pour calculer une estimation de l'erreur de discrétisation, qui n'est plus garantie, mais néanmoins proche de l'erreur. / The objective of this thesis is to provide error bounds for linear and nonlinear eigenvalue problems arising from electronic structure calculation. We focus on ground-state calculations based on Density Functional Theory, including Kohn-Sham models. Our bounds mostly rely on a posteriori error analysis. More precisely, we start by studying a phenomenon of discretization error cancellation for a simple linear eigenvalue problem, for which analytical solutions are available. The mathematical study is based on an a priori analysis for the energy error. Then, we present an a posteriori analysis for the Laplace eigenvalue problem discretized with finite elements. For simple eigenvalues of the Laplace operator and their corresponding eigenvectors , we provide guaranteed, fully computable and efficient error bounds. Thereafter, we focus on nonlinear eigenvalue problems. First, we provide an a posteriori analysis for the Gross-Pitaevskii equation. The error bounds are valid under assumptions that can be numerically checked, and can be separated in two components coming respectively from the discretization and the iterative algorithm used to solve the nonlinear eigenvalue problem. Balancing these error components allows to optimize the computational resources. Second, we present a post-processing method for the Kohn-Sham problem, which improves the accuracy of planewave computations of ground state orbitals at a low computational cost. The post-processed solutions can be used either as a more precise solution of the problem, or used for computing an estimation of the discretization error. This estimation is not guaranteed, but in practice close to the real error.

A prescription is given to obtain some exact results for certain external potentials �� (r) of the time-independent Gross-Pitaevskii and Schrodinger equations. The study motivation is the ability to program �� (r) experimentally in cold atom Bose-Einstein condensates. Rather than derive wavefunctions that are solutions for a given �� (r), we ask which �� (r) will have a given pdf (probability density function) �� (r). Several examples in 1 dimension (1D), 2 dimensions (2D), and 3 dimensions (3D) are presented for well-known pdfs in the position space. Exact potentials with zero, one and two walls are obtained and explained in detail. Apart from position space, the method is also applicable to obtain exact solutions for the Time-independent Schr¨odinger equation (TISE) and Gross-Pitaevskii equation (GPeq) for pdfs in momentum space. For this, we derived the potentials which are generated from the pdfs of the hydrogen atom in the real space as well as in the momentum space. However, the method was also extended for the time-dependent case. The prescription is also applicable to solve time-dependent pdfs. The aim is to find the ��(r, ��) which generates the pdf ��(r, ��). As a special case, we tested our method by studying the well known case for the Gaussian wave packet in 1D with zero potential ��(��, ��) = 0.