Bakgrund: Enligt Skolverkets rapporter av de internationella studierna TIMSS 2007 (Skolverket, 2008) och TIMSS 2011 (Skolverket, 2012) påpekas det att matematik-kunskaperna hos svenska elever har försämrats. I dessa rapporter framkommer bland annat att de flesta svenska eleverna inte når TIMSS kunskapskala för division. Räknesättet division är enligt Häggblom (2000) det svåraste räknesättet för eleverna att förstå och Löwing (2008) menar att svårigheterna beror på att våra elever inte förstår att man kan tänka och räkna division utifrån två olika aspekter, delningsdivision och innehållsdivision. Forskning visar att matematikundervisningen styrs av matematikläroböcker och enligt McIntosh (2008) behandlas divisionsaspekten delningsdivision mer än innehållsdivision i undervisningen vilket betyder att eleverna inte får möjligheten att arbeta med båda aspekterna lika mycket. Syfte: Studiens syfte är att undersöka hur divisionsaspekterna delningsdivision och innehållsdivision behandlas i matematikläroböcker och lärarhandledningar för årskurs 1-3. Metod: För att besvara studiens frågeställningar har studien genomförts utifrån tre olika innehållsanalysmetoder. Dessa är; kvalitativ, kvantitativ och komparativ innehållsanalys. Utifrån dessa och med hjälp av McIntosh (2008) definitioner om divisionsaspekterna analyserades tre olika matematikläroboksserier med tillhörande lärarhandledningar. Resultat: Resultatet visar i vilken årskursbok division och dess aspekter introduceras och på vilket sätt kapitlen är strukturerade. I samtliga böcker behandlas division i samband med multiplikation och räknesätten arbetas alltid parallellt med varandra. I ett av läromedlen behandlas även division i samband med upprepad addition medan i de andra två uppmanas endast i lärarhandledningen att arbeta med division i samband med upprepad subtraktion. Studien visar också att samtliga granskade matematikläroböcker och lärarhandledningar behandlar båda divisionsaspekterna men hanteringen varierar mellan läromedlen. Resultatet visar att matematikläroböckerna innehåller en ojämn fördelning av divisionsaspekterna och det är fler uppgifter med innehållsdivisions än delningsdivision. Då tidigare forskning pekar på att matematikundervisning styrs av läroböcker, ges elever i lågstadiet färre möjligheter att lära sig räknesättet division utifrån aspekten delningsdivision.

Abstrakt Syftet med studien är att granska hur aspekterna innehålls- och delningsdivision är fördelade i tre olika läroböcker. Fokus ligger i att analysera introduktion, behandling och kritiska aspekter inom delnings- och innehållsdivision. Läroböckerna som används i studien är riktade till årskurs två och tre. Läromedelsgranskningen görs utifrån variationsteorin och lägger stor vikt vid att analysera vilka kritiska aspekter som finns för att öka elevernas förståelse för division och dess två aspekter, delnings- och innehållsdivision. Även vilka kritiska aspekter som saknas i läroböckerna, samt vilka variationsmönster som används för att synliggöra de olika kritiska aspekterna. Den metod som granskningen lutar sig mot, är utformad genom ett analysverktyg som förhåller sig till olika frågeställningar med kategorierna introduktion, kritiska aspekt och variation. Resultatet visar att det finns både likheter och skillnader mellan de olika läroböckerna när det gäller fördelning, kritiska aspekter och variation. Hur jämn fördelningen var skiljde sig mycket mellan de olika läroböckerna. Flera kritiska aspekter identifierades som var kritiska för elevernas lärande inom delnings- och innehållsdivision som kunde synliggöras och som saknades i läroböckerna. Bland annat begrepp, samband och användning av rest. Utifrån variationsteorin fanns det många mönster som framgick tydligt i nästan alla böcker. Den slutsats som kan dras från denna läromedelsgranskningen är vikten av att vara kritisk, granska och jämföra läroböcker noggrant innan de väljs ut för undervisningen. Denna studien är ett bevis på att läroböcker kan se väldigt annorlunda ut på många olika plan. Den lärobok som blir vald har stor betydelse för hur undervisningen kan se ut samt vilka kunskaper och erfarenheter som eleverna bär med sig in i framtiden.

Division är det räknesätt som elever finner svårast av de fyra räknesätten. Division kan uppfattas på två olika sätt: delningsdivision och innehållsdivision. Delningsdivision handlar om att dela upp ett antal i ett antal lika stora delar. Innehållsdivision handlar istället om att se hur många gånger ett antal ryms i ett annat antal. Forskning visar att barn i de lägre åldrarna har svårare att förstå och lösa uppgifter av karaktären innehållsdivision. En bidragande faktor till dessa svårigheter kan vara problem att skilja termerna täljare, nämnare och kvot åt. Syftet med det här arbetet är att se hur elever i årskurs 3 förstår delningsdivision och innehållsdivision. Detta gjordes genom en flermetodsundersökning med både kvantitativa (skriftligt test) och kvalitativa (intervjuer) forskningsstrategier. Först fick de 17 eleverna göra ett skriftligt test, sedan valdes fyra av dessa elever ut för vidare intervjuer. Resultatet visade genom det skriftliga testet, att eleverna hade en god förståelse för båda uppfattningarna. Men när resultatet analyserades djupare efter intervjuerna visade det sig att eleverna hade svårare att förklara och förstå innehållsdivisionsuppgifterna. De hade också svårare att förklara sina tankar och resonemang samt att välja rätt enhet på dessa uppgifter. Elevernas strategier och motiveringar kunde i högre grad kopplas till delningsdivision än till innehållsdivision.

Studien grundar sig på en tidigare litteraturstudie som gjorts om användandet av digitala verktyg i problemlösningsprocessen. Studien syftar till att undersöka förekomsten av innehålls- och delningsdivision i några utvalda läromedel för tidigare skolår, samt vilka variationsteoretiska mönster som går att finna i divisionsuppgifter i läromedlen. För att kunna uppfylla studiens syfte har en innehållsanalys av divisionsuppgifter i läromedlen gjorts. Ett av läromedlen som granskats är en lärobok och tre är digitala. I resultatet framkommer det att vissa läromedel innehåller en jämnare fördelning av uppgifter som framhåller innehålls- och delningsdivision medan andra läromedel främst framhåller delningsdivision. I de läromedel som främst framhåller delningsdivision finns ett stort antal divisionsuppgifter där tankestrategin är valfri. Vidare framkommer det i resultatet att de vanligast förekommande variationsteoretiska mönstren i divisionsuppgifter i läromedlen är separation och fusion. Mellan de olika läromedlen finns det en spridning i användandet av variationsteoretiska mönster i divisionsuppgifterna. Resultaten analyseras med hjälp av variationsteorin. I resultatdiskussionen reflekteras det över att ett läromedel med en ojämn fördelning av uppgifter som framhåller innehålls- och delningsdivision kan påverka undervisningen vilket i sin tur påverkar eleverna. Om eleverna endast får ta del av den ena tankestrategin kan detta ge eleverna en ensidig bild av division vilket vidare kan leda till svårigheter för dem i högre stadier. Det har också diskuterats att läraren medvetet behöver rikta elevernas uppmärksamhet mot de kritiska aspekterna av lärandeobjektet, samt att variationsteoretiska mönster möjligtvis synliggörs tydligare i en lärobok där uppgifter presenteras sida vid sida. Den slutsats till professionen studien kan bidra med är medvetenhet om förekomsten av innehålls- och delningsdivision i olika läromedel samt kännedom om att undervisningen kan behöva kompletteras med uppgifter innehållande någon av dessa tankestrategier. Vidare erbjuder studien en reflektion om användandet av digitala läromedel då flera kritiska aspekter som inte är kopplade till matematiken kan tillkomma. Slutligen bidrar studien med en upplysning till läromedelsförlagen som kan leda till eventuella korrigeringar av uppgifter eller tillägg av funktioner i de digitala läromedlen.

Under lärarutbildningens verksamhetsförlagda utbildning har vi upplevt att räknesättet division varit svårbemästrat för eleverna. Därför har vi valt att genomföra en kvalitativ studie som undersöker elevers användning av lösningsstrategier och olika representationsformer, med ett specifikt fokus på innehållsoch delningsdivision. Lösningsstrategierna som vi önskade identifiera för studien var kort division, trappan, liggande stolen, förenkling samt förlängning. Vidare utgår studiens teoretiska ramverk från en tolkning av Lesh’s representationsmodell som inkluderar manipuleringar, skrivna symboler, bilder, omvärldssituationer samt talade symboler. Den metodologiska ansatsen har en grundkonstruktion utifrån en genomförd diagnos med en uppföljning av sex intervjuer där elevernas tillvägagångssätt och kunskaper har identifierats kring räknesättet division. Intervjuerna gav även oss en överblick för elevernas medvetenhet för innehålls- och delningsdivision. Resultatet redogör att eleverna som deltog i studien använde främst tre representationsformer när de löste uppgifterna i diagnosen. Vidare används enbart förenkling och förkortning som lösningsstrategier. Slutligen har det framkommit att eleverna bemöter division sist av de fyra räknesätten, samt att de inte fått innehålls- och delningsdivision förklarat för sig, vilket möjligtvis kan underlätta beräkningen av aritmetiska problem inom division.

I detta arbete undersöks kunskap om bråkbegreppet hos fyra olika lärare och hur de använder denna kunskap i sin undervisning. Resultaten diskuteras bl a med utgångspunkt från Liping Mas bok Knowing and teaching elementary mathematics. Undersökningen har en subjektiv dimension bestående av intervjuer med lärarna. Begreppskunskapen fokuserar på division av bråktal, innehållsdivision och del – helhetsaspekten. Resultatet visar på att det finns stora skillnader men också likheter i lärarnas kunskaper om bråkbegreppen och deras undervisning. De lärare som har bäst kunskaper om bråkbegreppet är de som har längst erfarenhet i yrket och bedriver eller har bedrivit ett aktivt samarbete med kollegor om undervisningen.