L'objectif de cette thèse est de développer la théorie du contrôle stochastique et ses applications en dynamique des populations. D'un point de vue théorique, nous présentons l'étude de problèmes de contrôle stochastique à horizon fini sur des processus de diffusion, de branchement non linéaire et de branchement-diffusion. Dans chacun des cas, nous raisonnons par la méthode de la programmation dynamique en veillant à démontrer soigneusement un argument de conditionnement analogue à la propriété de Markov forte pour les processus contrôlés. Le principe de la programmation dynamique nous permet alors de prouver que la fonction valeur est solution (régulière ou de viscosité) de l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante. Dans le cas régulier, nous identifions également un contrôle optimal markovien par un théorème de vérification. Du point de vue des applications, nous nous intéressons à la modélisation mathématique du cancer et de ses stratégies thérapeutiques. Plus précisément, nous construisons un modèle hybride de croissance de tumeur qui rend compte du rôle fondamental de l'acidité dans l'évolution de la maladie. Les cibles de la thérapie apparaissent explicitement comme paramètres du modèle afin de pouvoir l'utiliser comme support d'évaluation de stratégies thérapeutiques. / The main objective of this thesis is to develop stochastic control theory and applications to population dynamics. From a theoritical point of view, we study finite horizon stochastic control problems on diffusion processes, nonlinear branching processes and branching diffusion processes. In each case we establish a dynamic programmic principle by carefully proving a conditioning argument similar to the strong Markov property for controlled processes. Then we deduce that the value function is a (viscosity or regular) solution of the associated Hamilton-Jacobi-Bellman equation. In the regular case, we further identify an optimal control in the class of markovian strategies thanks to a verification theorem. From a pratical point of view, we are interested in mathematical modelling of cancer growth and treatment. More precisely, we build a hybrid model of tumor growth taking into account the essential role of acidity. Therapeutic targets appear explicitly as model parameters in order to be able to evaluate treatment strategies.

La simulation numérique est indissociable du calcul haute performance. Ces vingt dernières années,l'informatique a connu l'émergence d'architectures parallèles multi-niveaux. Exploiter efficacement lapuissance de calcul de ces machines peut s'avérer être une tâche délicate et requérir une expertise à la foistechnologique sur des notions avancées de parallélisme ainsi que scientifique de part la nature même desproblèmes traités.Le travail de cette thèse est pluri-disciplinaire s'appuyant sur la conception d'une librairie de calculparallèle réutilisable pour la résolution des équations Hamilton-Jacobi-Bellman. Ces équations peuventse retrouver dans des domaines diverses et variés tels qu'en biomédical, géophysique, ou encore robotiqueen l'occurence sur les applications de planification de mouvement et de reconstruction de formestri-dimensionnelles à partir d'images bi-dimensionnelles. Nous montrons que les principaux algorithmesnumériques amenant a résoudre ces équations telles que les méthodes de type fast marching, ne sont pasappropriés pour être efficaces dans un contexte parallèle. Nous proposons la méthode buffered fast iterativequi permet d'obtenir une scalabilité parallèle non obtenue jusqu'alors. Un des points sensibles relevésdans cette thèse est de parvenir à trouver une recette de compromis entre abstraction, performance etmaintenabilité afin de garantir non seulement une réutilisabilitédans le sens classique du domaine de génielogiciel mais également en terme de réutilisabilité séquentielle/parallèle / Numerical simulation is strongly bound with high performance computing. Programming scientificsoftwares requires at the same time good knowledge on the mathematical numerical models and alsoon the techniques to make them efficient on today's computers. Indeed, these last twenty years, wehave experienced the rising of multi-level parallel architectures. The work in this thesis dissertation ismultidisciplinary by designing a reusable parallel numerical library for solving Hamilton-Jacobi-Bellmanequations. Such equations are involved in various fields such as in biomedical, geophysics or robotics. Inparticular, we will show interests in path planning and shape from shading applications. We show thatthe methods to solve these equations such as the widely used fast marching method, are not designedto be used effciently in a parallel context. We propose a buffered fast iterative method which givesan interesting parallel scalability. This dissertation takes interest in the challenge to find compromisesbetween abstraction, performance and maintainability in order to combine both software reusability andalso sequential/parallel reusability. We propose code abstraction allowing algorithmic and data genericitywhile trying to keep a maintainable and performant code potentially parallelizable

Les problèmes de contrôle optimal se rencontrent dans l'industrie aérospatiale et dans la mécanique. Leur étude conduit à des difficultés mathématiques importantes. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux conditions d'optimalité pour certains problèmes de contrôle avec des contraintes exprimées en termes d'inclusions différentielles. Nous considérons aussi des problèmes de contrôle associés aux modèles mathématiques issus de la Mécanique du Contact. Cette thèse est structurée en deux parties et six chapitres. La première partie, contenant les Chapitres 1, 2 et 3, représente un résumé de nos résultats, en Français. Nous y présentons les problèmes étudiés, les hypothèses sur les données, les notations utilisées ainsi que l’énoncé des principaux résultats. Les démonstrations sont omises. La deuxième partie du manuscrit représente la partie principale de la thèse. Elle contient les Chapitres 4, 5 and 6, chacun ayant fait l'objet d'une publication (parue ou soumise) dans une revue internationale avec comité de lecture.Nous y présentons nos principaux résultats, accompagnés des démonstrations et des références bibliographiques. / Optimal control problems arise in aerospace industry and in mechanics. They are challenging and involve important mathematical difficulties. In this thesis, we are interested to derive optimality conditions for optimal control problems with constraints under the form of differential inclusions. We also consider optimal control problems in the study of some boundary value problems arising in Contact Mechanics. The thesis is structured in two parts and six chapters. Part I represents an abstract of the main results, in French. It contains Chapters 1, 2 and 3. Here we present the problems we study together with the assumptions on the data, the notation and the statement of the main results. The proofs of these results are omitted, since them are presented in Part II of the manuscript.Part II represents the main part of the thesis. It contains Chapters 4, 5 and 6. Each of these chapters made the object of a paper published (or submitted) in an international journal. Here we present our main results, together with the corresponding proofs and bibliographical references.

L'application d'Abel-Jacobi fait le lien entre la forme de Weierstrass d'une courbe elliptique définie sur C et le tore complexe qui lui est associé. Il est possible de la calculer en un nombre d'opérations quasi-linéaire en la précision voulue, c'est à dire en temps O(M(P) log P). Son inverse est donné par la fonction p de Weierstrass, qui s'exprime en fonction de thêta, une fonction importante en théorie des nombres. L'algorithme naturel d'évaluation de thêta nécessite O(M(P) sqrt(P)) opérations, mais certaines valeurs (les thêta-constantes) peuvent être calculées en O(M(P) log P) opérations en exploitant les liens avec la moyenne arithmético-géométrique (AGM). Dans ce manuscrit, nous généralisons cet algorithme afin de calculer thêta en O(M(P) log P). Nous exhibons une fonction F qui a des propriétés similaires à l'AGM. D'une façon similaire à l'algorithme pour les thêta-constantes, nous pouvons alors utiliser la méthode de Newton pour calculer la valeur de thêta. Nous avons implanté cet algorithme, qui est plus rapide que la méthode naïve pour des précisions supérieures à 300 000 chiffres décimaux. Nous montrons comment généraliser cet algorithme en genre supérieur, et en particulier comment généraliser la fonction F. En genre 2, nous sommes parvenus à prouver que la même méthode mène à un algorithme qui évalue thêta en O(M(P) log P) opérations ; la même complexité s'applique aussi à l'application d'Abel-Jacobi. Cet algorithme est plus rapide que la méthode naïve pour des précisions plus faibles qu'en genre 1, de l'ordre de 3 000 chiffres décimaux. Nous esquissons également des pistes pour obtenir la même complexité en genre quelconque. Enfin, nous exhibons un nouvel algorithme permettant de calculer une isogénie de courbes elliptiques de noyau donné. Cet algorithme utilise l'application d'Abel-Jacobi, car il est facile d'évaluer l'isogénie sur le tore ; il est sans doute possible de le généraliser au genre supérieur / The Abel-Jacobi map links the short Weierstrass form of a complex elliptic curve to the complex torus associated to it. One can compute it with a number of operations which is quasi-linear in the target precision, i.e. in time O(M(P) log P). Its inverse is given by Weierstrass's p-function, which can be written as a function of theta, an important function in number theory. The natural algorithm for evaluating theta requires O(M(P) sqrt(P)) operations, but some values (the theta-constants) can be computed in O(M(P) log P) operations by exploiting the links with the arithmetico-geometric mean (AGM). In this manuscript, we generalize this algorithm in order to compute theta in O(M(P) log P). We give a function F which has similar properties to the AGM. As with the algorithm for theta-constants, we can then use Newton's method to compute the value of theta. We implemented this algorithm, which is faster than the naive method for precisions larger than 300,000 decimal digits. We then study the generalization of this algorithm in higher genus, and in particular how to generalize the F function. In genus 2, we managed to prove that the same method leads to a O(M(P) log P) algorithm for theta; the same complexity applies to the Abel-Jacobi map. This algorithm is faster than the naive method for precisions smaller than in genus 1, of about 3,000 decimal digits. We also outline a way one could reach the same complexity in any genus. Finally, we study a new algorithm which computes an isogeny of elliptic curves with given kernel. This algorithm uses the Abel-Jacobi map because it is easy to evaluate the isogeny on the complex torus; this algorithm may be generalizable to higher genera

Este trabalho é composto de duas partes distintas, ambas dentro de um mesmo tema: núcleos positivos definidos sobre variedades. Na primeira delas fornecemos uma caracterização para os núcleos contínuos, isotrópicos e positivos definidos a valores matriciais sobre um espaço compacto 2-homogêneo. Utilizando-a, investigamos a positividade definida estrita destes núcleos, apresentando inicialmente algumas condições suficientes para garantir tal propriedade. No caso em que o espaço 2-homogêneo não é uma esfera, descrevemos uma caracterização definitiva para a positividade definida estrita do núcleo. Neste mesmo caso, para núcleos a valores no espaço das matrizes de ordem 2, apresentamos uma caraterização alternativa para a positividade definida estrita do núcleo via os dois elementos na diagonal principal da representação matricial do núcleo. Na segunda parte, nos restringimos a núcleos positivos definidos escalares sobre os mesmos espaços e determinamos condições necessárias e suficientes para a positividade definida estrita de um produto de núcleos positivos definidos sobre um mesmo espaço compacto 2-homogêneo. Apresentamos ainda uma extensão deste resultado para núcleos positivos definidos sobre o produto cartesiano de um grupo localmente compacto com uma esfera de dimensão alta, mantendo-se a isotropia na componente esférica. / In this work we present a characterization for the continuous, isotropic and positive definite matrix-valued kernels on a compact two-point homogeneous space. After that, we consider the strict positive definiteness of the kernels, describing some independent sufficient conditions for that property to hold. In the case the space is not a sphere, one of the conditions becomes necessary and sufficient for the strict positive definiteness of the kernel. Further, for 22- matrix-valued kernels on a compact two-point homogeneous space which is not a sphere, we present a characterization for the strict positive definiteness of the kernels based upon the main diagonal elements in its matrix representation. In the last part of this work, we restrict ourselves to scalar kernels and determine necessary and sufficient conditions in order that the product of two continuous, isotropic and positive definite kernels on a compact two-point homogeneous space be strictly positive definite. We also discuss the extension of this result for kernels defined on a product of a locally compact group and a high dimensional sphere.

Cette thèse étudie des modèles mathématiques inspirés par la biologie. Plus précisément, nous nous concentrons sur des équations aux dérivées partielles cinétiques. Les champs d'application des équations cinétiques sont nombreux mais nous nous concentrons ici sur des phénomènes de propagation d'espèces invasives, notamment la bactérie Escherichia coli et le crapaud buffle Rhinella marina.La première partie de la thèse ne présente pas de résultats mathématiques. Nous construisons plusieurs modélisations pour la dispersion à grande échelle du crapaud buffle en Australie. Nous confrontons ces mêmes modèles à des données statistiques multiples (taux de fécondité, taux de survie, comportements dispersifs) pour mesurer leur pertinence. Ces modèles font intervenir des processus à sauts de vitesses et des équations cinétiques.Dans la seconde partie, nous étudions des phénomènes de propagation dans des modèles cinétiques plus simples. Nous illustrons plusieurs méthodes pour établir mathématiquement des formules de vitesse de propagation dans ces modèles. Cette partie nous amène à établir des résultats de convergence d'équations cinétiques vers des équations de Hamilton-Jacobi par la méthode de la fonction test perturbée. Nous montrons également comment le formalisme Hamilton-Jacobi permet de trouver des résultats de propagation et enfin, nous construisons des solutions en ondes progressives pour un modèle de transport-réaction. Dans la dernière partie, nous établissons un résultat de limite de diffusion stochastique pour une équation cinétique aléatoire. Pour ce faire, nous adaptons la méthode de la fonction test perturbée sur la formulation d'une EDP stochastique en terme de générateurs infinitésimaux.La thèse comporte également une annexe qui expose les données trajectorielles des crapauds dont nous nous servons en première partie." / In this thesis, we study some biology inspired mathematical models. More precisely, we focus on kinetic partial differential equations. The fields of application of such equations are numerous but we focus here on propagation phenomena for invasive species, the Escherichia coli bacterium and the cane toad Rhinella marina, for example. The first part of this this does not establish any mathematical result. We build several models for the dispersion of the cane toad in Australia. We confront those very models to multiple statistical data (birth rate, survival rate, dispersal behaviors) to test their validity. Those models are based on velocity-jump processes and kinetic equations. In the second part, we study propagation phenomena on simpler kinetic models. We illustrate several methods to mathematically establish propagation speed in this models. This part leads us to establish convergence results of kinetic equations to Hamilton-Jacobi equations by the perturbed test function method. We also show how to use the Hamilton-Jacobi framework to establish spreading results et finally, we build travelling wave solutions for reaction-transport model. In the last part, we establish a stochastic diffusion limit result for a kinetic equation with a random term. To do so, we adapt the perturbed test function method on the formulation of a stochastic PDE in term of infinitesimal generators. The thesis also contains an annex which presents the data on toads’ trajectories used in the first part."

Submitted by Maria Aparecida (cidazen@gmail.com) on 2017-09-04T13:42:58Z No. of bitstreams: 1 Watson Robert.pdf: 2699368 bytes, checksum: cf204eec3df50b251f4adbbbd380ffd0 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-04T13:42:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Watson Robert.pdf: 2699368 bytes, checksum: cf204eec3df50b251f4adbbbd380ffd0 (MD5) Previous issue date: 2014-08-21 / Due to the demand for high-performance equipments and the rising cost of energy, the industrial sector is developing equipments to attend minimization of the theirs operational costs. The implementation of these requirements generate a demand for projects and implementations of high-performance control systems. The optimal control theory is an alternative to solve this problem, because in its design considers the normative specifications of the system design, as well as those that are related to the operational costs. Motivated by these perspectives, it is presented the study of methods and the development of algorithms to the approximated solution of the Equation Hamilton-Jacobi-Bellman, in the form of discrete Riccati equation, model free and dependent of the dynamic system. The proposed solutions are developed in the context of adaptive dynamic programming that are based on the methods for online design of optimal control systems, Discrete Linear Quadratic Regulator type. The proposed approach is evaluated in multivariable models of the dynamic systems to evaluate the perspectives of the optimal control law for online implementations. / Devido a demanda por equipamentos de alto desempenho e o custo crescente da energia, o setor industrial desenvolve equipamentos que atendem a minimização dos seus custos operacionais. A implantação destas exigências geram uma demanda por projetos e implementações de sistemas de controle de alto desempenho. A teoria de controle ótimo é uma alternativa para solucionar este problema, porque considera no seu projeto as especificações normativas de projeto do sistema, como também as relativas aos seus custos operacionais. Motivado por estas perspectivas, apresenta-se o estudo de métodos e o desenvolvimento de algoritmos para solução aproximada da Equação Hamilton-Jacobi-Bellman, do tipo Equação Discreta de Riccati, livre e dependente de modelo do sistema dinâmico. As soluções propostas são desenvolvidas no contexto de programação dinâmica adaptativa (ADP) que baseiam-se nos métodos para o projeto on-line de Controladores Ótimos, do tipo Regulador Linear Quadrático Discreto. A abordagem proposta é avaliada em modelos de sistemas dinâmicos multivariáveis, tendo em vista a implementação on-line de leis de controle ótimo.

Για την αντιμετώπιση του προβλήματος ρύθμισης ενός συστήματος μη ελάχιστης φάσης είναι γνωστοί δύο τρόποι από τη θεωρία των γραμμικών συστημάτων. Ο ένας αφορά στην επιλογή βέλτιστης συνθετικής εξόδου ως προς την οποία το σύστημα είναι ελάχιστης φάσης. Ο δεύτερος τρόπος περιλαμβάνει άμεση κατασκευή βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων ως προς ένα σύνθετο δείκτη απόδοσης. Στην παρούσα εργασία αρχικά αναπτύσσεται μέθοδος για τη σύνθεση βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων για μη γραμμικές διεργασίες, όπου η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις, με βάση ένα σύνθετο τετραγωνικό δείκτη απόδοσης. Ο δείκτης αυτός εξαρτάται τόσο από τη ρυθμιστική απόκλιση, όσο και από την απόκλιση της μεταβλητής χειρισμού. Για την επίλυση του προβλήματος δυναμικής βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις Hamilton – Jacobi μέσω των οποίων υπολογίζεται ο βέλτιστος νόμος ανάδρασης καταστάσεων. Η λύση των εξισώσεων Hamilton – Jacobi υπολογίζεται με βάση την επαναληπτική μέθοδο Newton – Kantorovich. Σε κάθε βήμα της επανάληψης επιλύεται προσεγγιστικά μια μερική διαφορική εξίσωση τύπου Zubov με τη βοήθεια αναπτύγματος σε δυναμοσειρά. Στο Νοστό βήμα της επανάληψης η μέθοδος παράγει τη Νοστής τάξης προσέγγιση του αναπτύγματος κατά Taylor του βέλτιστου νόμου ανάδρασης καταστάσεων. Η παραπάνω μέθοδος εφαρμόζεται σε προβλήμα ρύθμισης της συγκέντρωσης προϊόντος σε σύστημα δύο μη ισοθερμοκρασιακών αντιδραστήρων CSTR, όπου λαμβάνει χώρα εξώθερμη αντίδραση, στην περίπτωση που η είσοδος υπεισέρχεται μη γραμμικά στις δυναμικές εξισώσεις της διεργασίας. Επίσης μελετώνται οι ιδιότητες σύγκλισης της επαναληπτικής μεθόδου Newton – Kantorovich, όταν αυτή εφαρμόζεται για την επίλυση της εξίσωσης Hamilton – Jacobi – Bellman που αντιστοιχεί στο πρόβλημα βελτιστοποίησης ενός σύνθετου τετραγωνικού δείκτη απόδοσης υπό τους περιορισμούς μιας μη γραμμικής δυναμικής όπου η είσοδος υπεισέρχεται γραμμικά στις διαφορικές εξισώσεις. Στη συνέχεια, για τη βέλτιστη ρύθμιση μη γραμμικών συστημάτων με ασταθή δυναμική μηδενιστών (συστήματα μη ελάχιστης φάσης), χρησιμοποιείται ο συνήθης τετραγωνικός δείκτης απόδοσης ISE. Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα δυναμικής βελτιστοποίησης είναι ιδιόμορφο. Για την επίλυση του προβλήματος αυτού το μη γραμμικό σύστημα μετασχηματίζεται στην κανονική μορφή Byrnes-Isidori, εφαρμόζεται η θεωρία Hamilton – Jacobi και υπολογίζεται στατικά ισοδύναμη συνθετική έξοδος με ευσταθή δυναμική μηδενιστών. Η ρύθμιση της συνθετικής εξόδου στο προκαθορισμένο σημείο επιτυγχάνεται με γραμμικοποίηση εισόδου/εξόδου. Για την επίλυση των σχετικών εξισώσεων Hamilton–Jacobi αναπτύσσεται η επαναληπτική μέθοδος Newton – Kantorovich, η οποία περιλαμβάνει την επίλυση μιας μερικής διαφορικής εξίσωσης τύπου Zubov σε κάθε βήμα της επανάληψης. Η μέθοδος εφαρμόζεται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse που παρουσιάζει ασταθή δυναμική μηδενιστών. Τέλος, οι δύο μέθοδοι συγκρίνονται με βάση τους επιμέρους δείκτες απόδοσης ISE και ISC, των οποίων ο γραμμικός συνδυασμός συνιστά το σύνθετο δείκτη απόδοσης της πρώτης μεθόδου, ενώ τα αποτελέσματά τους συγκρίνονται όταν αυτές εφαρμόζονται σε πρόβλημα ρύθμισης της συγκέντρωσης του επιθυμητού προϊόντος σε μη ισοθερμοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR με κινητική Van de Vusse. / For the control of nonlinear nonminimum – phase systems, there are two possible lines of attack, originating from linear systems theory: a) direct calculation of the optimal state feedback with respect to a quadratic performance index that represents a combination of an error measure and a control effort measure (composite index), and b) calculation of the ISE-optimal minimum-phase output and subsequent input/output linearization on that output. This work develops a numerical algorithm for the calculation of an optimal nonlinear state feedback law for nonlinear systems. A quadratic performance index is used, which contains quadratic error terms and quadratic input penalty terms. The optimization problem is solved using the Hamilton-Jacobi equations, which determine the optimal nonlinear state feedback law. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov partial differential equation at each step of the iteration, using a power series method. At step N of the iteration, the method generates the (N+1)-th order truncation of the Taylor series expansion of the optimal state feedback function. The method is applied to the problem of controlling a system of two non-isothermal continuous stirred tank reactors (CSTR), where an exothermic reaction takes place. Convergence properties of the algorithm are also developed independently of Kantorovich’s theorem, and the results are illustrated in a numerical example. For the optimal regulation of nonminimum-phase nonlinear systems, the performance index ISE (Integral of the Square of the Error) is used. The problem of minimizing ISE subject to the dynamics of the system and closed-loop stability is singular. The problem of calculation of an ISE-optimal, statically equivalent, minimum-phase output for nonminimum-phase compensation is formulated using Hamilton-Jacobi theory and the Byrnes-Isidori normal form representation of the nonlinear system. An input/output linearizing state feedback law is applied to regulate the synthetic output to a constant set point. A Newton-Kantorovich iteration is developed for the solution of the pertinent Hamilton-Jacobi equations, which involves solving a Zubov equation at each step of the iteration. The method is applied to the problem of controlling a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics, which exhibits nonminimum-phase behaviour. Finally, the two methods are compared with respect to the constituent indexes ISE and ISC (Integral of the Square of the Control), whose linear combination forms the composite performance index. The numerical results from both methods are compared in the control of a nonisothermal CSTR with Van de Vusse kinetics.

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Dans cette thèse, nous nous intéressons à différents opérateurs d'inf-convolutions et à leurs applications à une classe d'inégalités de transport générales, plus spécifiquement sur les graphes. Notre objet de recherche s'inscrit donc dans les théories du transport de mesure et de l'analyse fonctionnelle. En introduisant une notion de gradient adapté au cadre discret (et plus généralement à tout espace métrique dont les boules sont compactes), nous prouvons que certains opérateurs d'inf-convolution sont solutions d'une inéquation d'Hamilton Jacobi sur les graphes. Ce résultat nous permet d'étendre au cadre discret un théorème classique de Bobkov, Gentil et Ledoux. Plus précisément nous montrons que des inégalités de transport faible (adaptées au cadre discret) sont équivalentes, sur un graphe, à l'hypercontractivité des opérateurs d'inf-convolutions. On en déduit plusieurs résultats concernant différentes inégalités fonctionnelles, dont celle de Sobolev logarithmique et de transport faible. Nous étudions par ailleurs les propriétés générales de différents opérateurs d'inf-convolutions, incluant le précédent, mais aussi un opérateur relié à un modèle issu de la physique (et au phénomène de grande déviation), toujours sur les graphes (dérivabilités, convexité, points extremum etc.). Dans un deuxième temps, nous nous intéressons aux liens entre différentes notions de courbure de Ricci sur les graphes -- proposées récemment par plusieurs auteurs -- et les inégalités fonctionnelles de type transport-entropie, ou transport-information associées à une chaîne de Markov. Nous obtenons également une borne supérieure sur le diamètre d'un graphe dont la courbure, en un certain sens, est minorée, un résultat à la Bonnet-Myers. Enfin, en nous restreignant au cas de la dimension 1, sur la droite réelle, nous obtenons une caractérisation d'une inégalité de transport faible et de l'inégalité de Sobolev logarithmique restreinte aux fonctions convexes. Ces résultats utilisent des propriétés géométriques liés à l'ordre convexe. / In this thesis, we interest in different inf-convolution operators and their applications to a class of general transportation inequalities, more specifically in the graphs. Therefore, our research topic fits in the theories of transportation and functional analysis. By introducing a gradient notion adapting to a discrete space (more generally to all space in which all closed balls are compact), we prove that some inf-convolution operators are solutions of a Hamilton-Jacobi's inequation. This result allows us to extend a classical theorem from Bobkov, Gentil and Ledoux. More precisely, we prove that, in a graph, some weak transport inequalities are equivalent to the hypercontractivity of inf-convolution operators. Thanks to this result, we deduce some properties concerning different functional inequalities, including Log-Sobolev inequalities and weak-transport inequalities. Besides, we study some general properties (differentiability, convexity, extreme points etc.) of different inf-convolution operators, including the one before, but also an operator related to a physical model (and to a large deviation phenomenon). We stay always in a graph. Secondly, we interest in connections between different notions of discrete Ricci curvature on the graphs which are proposed by several authors in the recent years, and functional inequalities of type transport-entropy, or transport-information related to a Markov chain. We also obtain an extension of Bonnet-Myers' result: an upper bound on the diameter of a graph of which the curvature is floored in some ways. Finally, restricting in the real line, we obtains a characterisation of a weak transport inequality and a log-Sobolev inequality restricted to convex functions. These results are from the geometrical properties related to the convex ordering.