<p>This thesis consists of four papers about the Minkowski measure of asymmetry and the Minkowski (or Banach-Mazur) distance for convex bodies.We relate these two quantities by giving estimates for the Minkowski distance in terms of the Minkowski measure. We also investigate some properties of the Minkowski measure, in particular a stability estimate is given. More specifically, let <i>C</i> and <i>D</i> be n-dimensional convex bodies. Denote by As(<i>C</i>) and As(<i>D</i>) the Minkowski measures of asymmetry of <i>C</i> and <i>D </i>resp. and by <i>d</i>(<i>C,D</i>) the Minkowski distance between <i>C</i> and <i>D</i>.</p><p>In Paper I, by using a linearisation method for affine spaces and affine maps and using a generalisation of a lemma of D.R. Lewis, we proved that <i>d</i>(<i>C</i>,<i>D</i>) < <i>n</i>(As(<i>C</i>) + As(<i>D</i>))/2 for all convex bodies <i>C,D</i>.</p><p>In Paper II, by first proving some general existence theorems for a class of volume-increasing affine maps, we obtain the estimate that under the same conditions as in paper I, <i>d</i>(<i>C,D</i>) < (<i>n</i>-1) min(As(<i>C</i>),As(<i>D</i>)) + <i>n</i>.</p><p>In Paper III we consider the Minkowski measure itself. We determine the Minkowski measures for convex hulls of sets of the form <i>conv</i>(<i>C,p</i>) where <i>C</i> is a convex set with known measure of asymmetry and <i>p</i> is a point outside <i>C</i>.</p><p>In Paper IV, we focus on estimating the deviation of a convex body C from the simplex S if the Minkowski measure of C is close to the maximum value n (known to be attained only for the simplex). We prove that if As(C) > n - ε for 0 < ε < 1/δ where δ = 8(n+1), then d(C,S) < 1 + 8(n+1) ε .</p>

<p>This thesis consists of three papers on topics related to optimization and estimation of solutions of Riccati equations. We are concerned with the initial value problem</p><p><i>f</i>'+<i>f</i>² =<i>r</i>², <i>f</i>(0)=0, (*)</p><p>and we want to optimise</p><p><i>F</i>(<i>T</i>)= ∫₀^T <i>f</i>(<i>t</i>) <i>dt</i></p><p>when <i>r</i> is allowed to vary over the set <i>R</i>(φ ) of all <i>equimeasurable</i> rearrangements of a decreasing function φ and its convex hull <i>CR</i>(φ). </p><p>In the second paper we give a new proof of a lemma of Essén giving lower and upper bounds for the solution to the above equation, when <i>r</i> is increasing. We also generalize the lemma to a more general equation.</p><p>It was proved by Essén that the infimum of <i>F</i>(<i>T</i>) over <i>R</i>(φ) and <i>RC</i>(φ) is attained by the solution <i>f</i> of (*) associated to the increasing rearrangement of an element in <i>R</i>(φ). The supremum of <i>F</i>(<i>T</i>) over <i>RC</i>(φ) is obtained for the solution associated to a decreasing function <i>p</i>, though not necessarily the decreasing rearrangement φ, of an element in <i>R</i>(φ). By changing the perspective we determine the function <i>p </i>that solves the supremum problem.</p>

This thesis consists of four papers about the Minkowski measure of asymmetry and the Minkowski (or Banach-Mazur) distance for convex bodies.We relate these two quantities by giving estimates for the Minkowski distance in terms of the Minkowski measure. We also investigate some properties of the Minkowski measure, in particular a stability estimate is given. More specifically, let C and D be n-dimensional convex bodies. Denote by As(C) and As(D) the Minkowski measures of asymmetry of C and D resp. and by d(C,D) the Minkowski distance between C and D. In Paper I, by using a linearisation method for affine spaces and affine maps and using a generalisation of a lemma of D.R. Lewis, we proved that d(C,D) &lt; n(As(C) + As(D))/2 for all convex bodies C,D. In Paper II, by first proving some general existence theorems for a class of volume-increasing affine maps, we obtain the estimate that under the same conditions as in paper I, d(C,D) &lt; (n-1) min(As(C),As(D)) + n. In Paper III we consider the Minkowski measure itself. We determine the Minkowski measures for convex hulls of sets of the form conv(C,p) where C is a convex set with known measure of asymmetry and p is a point outside C. In Paper IV, we focus on estimating the deviation of a convex body C from the simplex S if the Minkowski measure of C is close to the maximum value n (known to be attained only for the simplex). We prove that if As(C) &gt; n - ε for 0 &lt; ε &lt; 1/δ where δ = 8(n+1), then d(C,S) &lt; 1 + 8(n+1) ε .

This thesis consists of three papers on topics related to optimization and estimation of solutions of Riccati equations. We are concerned with the initial value problem f'+f² =r², f(0)=0, (*) and we want to optimise F(T)= ∫0T f(t) dt when r is allowed to vary over the set R(φ ) of all equimeasurable rearrangements of a decreasing function φ and its convex hull CR(φ). In the second paper we give a new proof of a lemma of Essén giving lower and upper bounds for the solution to the above equation, when r is increasing. We also generalize the lemma to a more general equation. It was proved by Essén that the infimum of F(T) over R(φ) and RC(φ) is attained by the solution f of (*) associated to the increasing rearrangement of an element in R(φ). The supremum of F(T) over RC(φ) is obtained for the solution associated to a decreasing function p, though not necessarily the decreasing rearrangement φ, of an element in R(φ). By changing the perspective we determine the function p that solves the supremum problem.

Syftet med vår studie var att undersöka femåringars tillägnande av matematikinnehåll i två olika matemaiksamlingar. I den första matematiksamlingen fick barnen räkna föremål som fanns i matteburkar som illustrerade antalen noll till tio. I den andra matematiksamlingen sorterade barnen med hjälp av logiska block, vilket är olika geomertiska former. Studiens metod var kvalitativ och genomfördes med observationer och intervjuer. Observationerna videoobserverades även och intervjuerna gjordes individuellt med barnen efter att de deltagit i matematiksamlingarna. I resultatet fann vi att barnen använde både talspråk och matematiska begrepp när de förklarade vad sortering innebär och när de benämnde de geometriska formerna. En av slutsatserna blev att barnens förutsättningar för att lösa räkneuppgifterna var att de behärskade räkneramsan, vilket alla barn i matematiksamlingen gjorde. Barnens tidigare erfarenheter som de hade innan matematiksamlingen påverkade hur barnen kunde lösa uppgifterna.

Syftet med denna uppsats är att ta reda på vilka fel elever i år 5 gör i matematik och vilka matematiksvårigheter de befinner sig i när de kommer till vår skola i år 6. För att ta reda på det gjorde jag en kvalitativ innehållsanalys av 37 Nationella prov för år 5 som eleverna genomfört på vårterminen innan de slutar. Studiens litteraturgenomgång definierar begreppet matematikkunskap, tydliggör begreppet matematiksvårigheter och lyfter fram teorier om bedömning och kartläggning av matematiksvårigheter. Resultatet visar att elever befinner sig i svårigheter både utifrån det matematiska innehållet så som talförståelse och geometri och de mer processinriktade kompetenserna som begreppsförståelse, procedurkompetens och strategisk kompetens. Jag har även försökt belysa det som vissa författare betecknar som grundläggande matematikkunskaper. Detta innefattar bland annat förståelsen av tal och resultatet visar att elever gör fel vid beräkning av subtraktions- och divisionsuppgifter. Andra fel som jag sett är relaterade till geometriska begrepp och enheter. Problemuppgifter som innehåller text och kräver uträkning i flera steg vållar stora problem för dessa elever. Utifrån resultatet och litteraturgenomgången visar jag även på svårigheter elever befaras vara i som inte blir synliga i ett skriftligt prov.

Datorstöd i matematikundervisning och matematiklärande – att simulera och modellera i problemlösning, handlar om vilka förmågor som kan utvecklas och vilka kursmål i matematik som kan realiseras i elevernas interaktivitet med programvara för dynamisk geometri. Studien baseras på en lektionsserie som bygger på en problemlösningssituation med GeoGebra som verktyg. Arbetet har en del beröringspunkter med aktionsforskning, men kan närmast definieras som undervisningsförsök. I studien görs ett försök att följa undervisnings- och inlärningsprocessen och reflektera över vad som sker. Undersökningsmetoden har varierat mellan deltagande observation, enkätundersökning och intervjuer. Resultat visar att ett noggrant valt problem och en flexibel lektionsplanering uppmuntrar eleverna att använda sina befintliga kunskaper och ta till sig ny kunskap. Eleverna lär sig nya arbetssätt som simulering och modellering. De får också kunskap om vad en matematisk modell är. / Computer aid in teaching mathematics and mathematics learning - simulation and modeling in problem solving is about what abilities can be developed and the course goals in mathematics can be realized in the students' interactivity with software for dynamic geometry. The study is based on a lecture series based on a problem solving situation with GeoGebra as a tool. The work has some similarities with action research, but can best be defined as teaching experiment. The study attempts to follow the teaching-learning process and reflect on what is happening. The survey methodology has varied between participant observation, questionnaire survey and interviews. Results show that a carefully selected problems and a flexible lesson plan encourages students to use their existing skills and absorb new knowledge. Students learn new ways of working as simulation and modeling. They also acquire knowledge of what a mathematical model is.

Syftet med examensarbetet är att undersöka om det är skillnad mellan undervisningen i matematik samt hur eleverna ser på sitt arbete på spetsutbildningen och ordinarie klasser på naturvetenskapsprogrammet. För att undersöka detta har eleverna fått besvara en enkät, deras matematiklärare har intervjuats och observationer har gjorts  i klasserna. Resultaten från denna undersökning visar att arbetssätt som till exempel grupparbeten, som främjar kommunikation, används oftare på spetsutbildningen än på det ordinarie naturvetenskapsprogrammet. Detta gäller även problemlösning som stimulerar reflektion och ger djupare förståelse för olika lösningar på matematiska problem. Eleverna på spetsutbildningen tror sig förstå sina lösningssätt medan eleverna på ordinarie naturvetenskapsprogrammet lär sig formler och lösningssätt utantill i högre utsträckning.

Då bakterier utsätts för stress så som kolhydratsvält ändras genuttrycket för att öka organismens chanser att överleva. Det finns inte tillräckligt mycket exerimentiell data om dessa förlopp så för att öka kunskaperna inom detta område kan matema- tiska modeller ställas upp. Tre matematiska modeller har gjorts som simulerar detta förlopp. De parametrar som ingår är koncentrationen av Crp, Cya, Fis, GyrAB, To- pA och stabilt RNA (Rrn). Resultaten har jämförts med resultat från två artiklar (Ropers et al, 2006, Porreca et al, 2008) som utgör grunden för detta arbete. Inga direkta förbättringar har gjorts, dock finns förslag på hur detta skulle kunna göras.

Syftet med denna undersökning var att ta reda på hur verksamma lärare upptäcker och stimulerar elever med en matematisk förmåga. För att uppnå vårt syfte studerade vi litteratur och vi ansåg att en kvalitativ forskningsmetod, i form av intervjuer, var den mest optimala för oss. Litteraturen har vi presenterat i vår teoretiska bakgrund och den behandlar författares syn på elever med en matematisk förmåga. Vilka kännetecken som dessa elever har, varför det är viktigt att man stimulerar dem, samt lärarens roll i bemötandet med eleverna. Vi valde att intervju fem lärare som är verksamma i år F-3, för att få deras bild av elever med en matematisk förmåga. Utifrån det här har vi analyserat och dragit slutsatser kring vårt resultat. Våra viktigaste slutsatser är att läraren har en väldigt viktigt roll i arbetet med dessa elever men även att varje elev är unik och att det därför inte finns några specifika kännetecken eller metoder för hur man stimulerar dem på bästa sätt.