Alla elever måste någon gång möta det matematiska språket i skrift och detta är något som på grund av språkförbristningar kan bli ett problem för andraspråksele-ver. Syftet med denna studie är att få kunskap om hur lärare i förberedelseklass resonerar om att göra matematiska textuppgifter tillgängliga för andraspråkselever. För att undersöka detta har metoderna läromedelsanalys samt fokusgruppintervju med lärare i förberedelseklass tillämpats. Det insamlade materialet har analyserats genom en innehållsanalys med koppling till Cummins (2000) teorier samt Noréns (2010) teorier om matematikundervisning för andraspråkselever. Resultatet visar att en väl genomtänkt planering av undervisningen är nödvändigt för att andra-språkselever ska få möjlighet att utveckla förståelsen för det textbaserade matema-tiska språket. Resultatet visar också att textuppgifternas utformning med text och bild är av betydelse för hur andraspråkselever uppfattar innehållet. Ett par slutsat-ser utifrån denna studies resultat är för det första att det textbaserade matematiska språket behöver lyftas muntligt för andraspråkselever. Den andra slutsatsen utifrån resultatet är vikten av lärares uppmärksamhet gällande de många hinder som kan finnas dolda i matematiska textuppgifter. / <p>Matematik</p>

<p>This thesis treats ultrasheaves, sheaves on the category of ultrafilters. </p><p>In the classical theory of ultrapowers, you start with an ultrafilter and, given a structure, you construct the ultrapower of the structure over the ultrafilter. The fundamental result is Los's theorem for ultrapowers giving the connection between what formulas are satisfied in the ultrapower and in the original structure. In this thesis we instead start with the category of ultrafilters (denoted <b>U</b>). On this category <b>U</b> we build the topos of sheaves on <b>U</b> (the ultrasheaves), which we think of as generalized ultrapowers. </p><p>The theorem for ultrapowers corresponding to Los's theorem is Moerdijk's theorem, first proved by Moerdijk for the topos Sh(<b>F</b>) of sheaves on filters. In the thesis we prove that Los's theorem follows from Moerdijk's theorem. We also investigate the exact relation between the topos of ultrasheaves and Moerdijk's topos Sh(<b>F</b>) and prove that Sh(<b>U</b>) is the double negation subtopos of Sh(<b>F</b>). </p><p>The connection between ultrapowers and ultrasheaves is investigated in detail. We also prove some model theoretic results for ultrasheaves, for instance we prove that they are saturated models. The Rudin-Keisler ordering is a tool used in set theory to study ultrafilters. It has a strong relationship to the category <b>U</b>. Blass has given a model theoretic characterization of this ordering and in the thesis we give a new proof of his result. </p><p>One common use of ultrapowers is to give non-standard models. In the thesis we prove that you can model internal set theory (IST) in the ultrasheaves. IST, introduced by Nelson, is a non-standard set theory, an axiomatic approach to non-standard mathematics.</p>

<p>An Archimedean lattice is a graph of a regular tiling of the plane, such that all corners are equivalent. A tiling is regular if all tiles are regular polygons: equilateral triangles, squares, et cetera. There exist exactly 11 Archimedean lattices. Being planar graphs, the Archimedean lattices have duals, 3 of which are Archimedean, the other 8 are called Laves lattices.</p><p>In the thesis, three measures of connectivity of these 19 graphs are studied: the connective constant for self-avoiding walks, and bond and site percolation critical probabilities. The connective constant measures connectivity by the number of walks in which all visited vertices are unique. The critical probabilities quantify the proportion of edges or vertices that can be removed, so that the produced subgraph has a large connected component.</p><p>A common issue for these measures is that they, although intensely studied by both mathematicians and scientists from other fields, have been calculated only for very few graphs. With the goal of comparing the induced orders of the Archimedean and Laves lattices under the three measures, the thesis gives improved bounds and estimates for many graphs. </p><p>A large part of the thesis focuses on the problem of deciding whether a given graph is a subgraph of another graph. This, surprisingly difficult problem, is considered for the set of Archimedean and Laves lattices, and for the set of matching Archimedean and Laves lattices.</p>

This thesis treats ultrasheaves, sheaves on the category of ultrafilters. In the classical theory of ultrapowers, you start with an ultrafilter and, given a structure, you construct the ultrapower of the structure over the ultrafilter. The fundamental result is Los's theorem for ultrapowers giving the connection between what formulas are satisfied in the ultrapower and in the original structure. In this thesis we instead start with the category of ultrafilters (denoted <b>U</b>). On this category <b>U</b> we build the topos of sheaves on <b>U</b> (the ultrasheaves), which we think of as generalized ultrapowers. The theorem for ultrapowers corresponding to Los's theorem is Moerdijk's theorem, first proved by Moerdijk for the topos Sh(<b>F</b>) of sheaves on filters. In the thesis we prove that Los's theorem follows from Moerdijk's theorem. We also investigate the exact relation between the topos of ultrasheaves and Moerdijk's topos Sh(<b>F</b>) and prove that Sh(<b>U</b>) is the double negation subtopos of Sh(<b>F</b>). The connection between ultrapowers and ultrasheaves is investigated in detail. We also prove some model theoretic results for ultrasheaves, for instance we prove that they are saturated models. The Rudin-Keisler ordering is a tool used in set theory to study ultrafilters. It has a strong relationship to the category <b>U</b>. Blass has given a model theoretic characterization of this ordering and in the thesis we give a new proof of his result. One common use of ultrapowers is to give non-standard models. In the thesis we prove that you can model internal set theory (IST) in the ultrasheaves. IST, introduced by Nelson, is a non-standard set theory, an axiomatic approach to non-standard mathematics.

An Archimedean lattice is a graph of a regular tiling of the plane, such that all corners are equivalent. A tiling is regular if all tiles are regular polygons: equilateral triangles, squares, et cetera. There exist exactly 11 Archimedean lattices. Being planar graphs, the Archimedean lattices have duals, 3 of which are Archimedean, the other 8 are called Laves lattices. In the thesis, three measures of connectivity of these 19 graphs are studied: the connective constant for self-avoiding walks, and bond and site percolation critical probabilities. The connective constant measures connectivity by the number of walks in which all visited vertices are unique. The critical probabilities quantify the proportion of edges or vertices that can be removed, so that the produced subgraph has a large connected component. A common issue for these measures is that they, although intensely studied by both mathematicians and scientists from other fields, have been calculated only for very few graphs. With the goal of comparing the induced orders of the Archimedean and Laves lattices under the three measures, the thesis gives improved bounds and estimates for many graphs. A large part of the thesis focuses on the problem of deciding whether a given graph is a subgraph of another graph. This, surprisingly difficult problem, is considered for the set of Archimedean and Laves lattices, and for the set of matching Archimedean and Laves lattices.

Rapporten presenterar en fallstudie som genomförts som en del av lärarprogrammet vid Linköpings universitet. Den  nuvarande studien bygger på en tidigare studie om hur lärarstudenter löser problem gällande stickprov. Det övergripande syftet i den nuvarande studien är att undersöka vilka metoder och strategier som elever i den svenska gymnasieskolan använder för att lösa ett liknande problem. Metoden för datainsamling i denna studie var en semistrukturerad observation, där eleverna filmades med en videokamera. Det inspelade materialet analyserades sedan induktivt. Studiens resultat indikerar att problemlösningsprocessen hos elever med en högre förkunskapsnivå inom området  sannolikhetslära och statistik tenderar att vara mer framgångsrik. Dessutom verkar elevernas dispositioner, det vill säga deras attityder, vara en viktig faktor. / This report presents a case study conducted as a part of the teacher programme at Linköping University. The current study bulids upon an earlier study on how student teachers in mathematics solved problems regarding sampling.  The overall aim of the current study is to explore what methods and strategies students in a Swedish upper secondary school choose to solve a similar problem. The method for collecting data for this study was a semi-structured observation, where the students were recorded with a video camera. The recorded material was then analysed inductively. The result of this study indicates that the problem solving process among students with a higher level of previous knowledge in the area of probability and statistics, tends to be more successful. In addition to this, students’ dispositions, i.e. their attitudes, seem so be an important aspect as well.

I denna uppsats presenteras hur den svenska matematikern E.G. Björling bygger upp den matematiska analysen. Björlings matematik från mitten av 1800-taletkommer jämföras med hur den ser ut idag. I uppsatsen analyseras funktionsbegreppet, kontinuitet och derivata, samt vad Björling kan ha haft för påverkan på Cauchys summasats. Vi kommer samtidigt få en förståelse om varför Björling inte blev så uppmärksammad som han skulle kunna blivit.

Denna uppsats har som syfte att skapa förståelse för hur högpresterande och särskilt matematikbegåvade elever blir stimulerade i matematikundervisningen. Genomförandet av undersökningen startade med en kvantitativ enkätstudie med standardiserade påståenden för att finna ett lämpligt urval av elever. Därefter utfördes standardiserade kvalitativa intervjuer med utvalda elever, som ansågs uppfylla de kriterier som beskriver högpresterande och särskilt matematikbegåvade. Analysen av resultatet hade en fenomenologisk ansats och har tolkats utifrån hermeneutiken. Resultatet visar att eleverna stimuleras av en matematikundervisning som i hög grad innehåller experimenterande och undersökande moment, där de kan få utlopp för sina kreativa matematiska tankar. Då dessa elever identifieras i skolan kan undervisningen anpassas till deras förmågor. Slutsatsen som dras av resultatet är att undervisningen och matematiklärarens roll är av stor betydelse för att dessa elever ska ha möjligheter att utvecklas utifrån sin potential. Med rätt stimulans kommer dessa elever fortsätta tycka att matematiken i skolan är givande och lärorik.

Problemet som vi har sett ute i matematikklassrummen är att eleverna har svårigheter med att använda och uttrycka sig korrekt med de matematiska orden och begreppen. Syftet med den här studien har därför varit att undersöka hur lärare i årskurs 1–3 arbetar språk­utvecklande med matematiska ord och begrepp i undervisningen för att utveckla elevers mate­matiska begreppsförståelse. Undersökningens frågeställningar handlar om vad lärare utgår ifrån när de planerar för det matematiska språket i undervisningen för att utveckla elevers begrepps­förståelse i matematik samt vilka olika metoder lärare har för avsikt att använda när de planerar för arbetet med språkutveckling kring ord och begrepp inom matematiken. Åtta informanter deltog i semistrukturerade intervjuer. Analysen av inter­vjuerna är inspirerade av Braun och Clarkes tematiska analysmetod där vi sökte efter mönster som utgick ifrån våra teoretiska begrepp hämtade från sociokulturell teori; närmaste utvecklings­zonen, scaffolding, samt mediering. Resultatet visar på att samtliga deltagande matematiklärare anser att språket är en viktig del av undervisningen och att lärare aktivt måste arbeta språkutvecklande inom matematiken. Informanterna nämner att språket är en förutsätt­ning för att eleverna ska kunna resonera och kommunicera inom matematiken för att de så småningom ska kunna utveckla sin begreppsförståelse. Lärarna i studien nämner olika arbets­sätt eller metoder som de planerar att använda för att utveckla elevernas ord- och begreppsför­ståelse inom matematiken bland annat genom kooperativt lärande, EPA, laborativa och praktiska moment men även det språkutvecklande arbetssättet med cirkelmodellen. Samt­liga metoder har sin utgångspunkt i det sociokulturella perspektivet på lärande. Informanterna beskriver att de planerar för samtal och interaktion i klassrummet genom diskussioner i par, grupp eller helklass. Studien bekräftar tidigare forskning som säger att det språkutvecklande arbetet bör ske i diskussioner elev till elev eller mellan lärare och elev.

This thesis concerns the ternary Al-Cr-O system. (Al1-xCrx)2O3 solid solution thin films with 0.6&lt;x&lt;0.7 were deposited on Si(001) substrates at temperatures of 400-500 °C by reactive radio frequency magnetron sputtering from metallic targets of Al and Cr in a flow controlled Ar / O2 gas mixture. As-deposited and annealed (Al1-xCrx)2O3 thin films were analyzed by x-ray diffraction, elastic recoil detection analysis, scanning electron microscopy, transmission electron microscopy, and nanoindentation. (Al1-xCrx)2O3 showed to have face centered cubic structure with lattice parameter of 4.04 Å, which is in contrast to the typical corundum structure reported for these films. The as-deposited films exhibited hardness of ~ 26 GPa and elastic modulus of 220-235 GPa. Phase transformation from cubic to corundum (Al0.32Cr0.68)2O3 starts at 925 °C. Annealing at 1000 °C resulted in complete phase transformation, while no precipitates of alumina and chromia were observed. Studies on kinetics of phase transformation showed a two-step thermally activated process; phase transformation and grain growth with the apparent activation energies 213±162 and 945±27 kJ/mol, respectively.