Inledning Studien undersöker hur förskollärarna arbetar med matematiska begrepp i förskolan samt anledningen till att börja med matematik i tidig ålder. Den presenterar hur arbetet med matematik utvecklas i förskolan och hur förskollärarna arbetar med matematiska begrepp och ser till att barnen utvecklar sin förståelse för samband mellan olika begrepp. Studien undersöker också om förskollärarna finner stöd i Läroplanen för förskolan i sitt arbete med matematik. Syfte Syftet med studien är att undersöka hur förskollärare arbetar för att utveckla barnens förmåga att använda och förstå matematiska begrepp. Metod Vi kommer att använda oss av kvalitativ metod och intervjuer med förskollärarna eftersom studien syftar till att undersöka hur förskollärarna arbetar för att utveckla barns matematiska förståelse och hur de arbetar med matematiska begrepp. Resultat Resultatet av undersökningen visar att förskollärarna arbetar med matematiska begrepp på ett medvetet sätt. Barns matematiska förståelse utvecklas på ett lustfyllt och lärorikt sätt och förskollärarnas positiva förhållningssätt främjar barns utveckling och lärande. Förskollärarna anser att Läroplanen kan användas som en slags checklista men de önskar sig mer vägledning gällande hur arbetet med matematiska begrepp ska går till.

Utgångspunkten i arbetet var att elever går ut den svenska grundskolan utan betyg i matematik samt att ett av speciallärarens uppdrag är att arbeta förebyggande genom att delta i utveckling av matematikundervisning. Syftet med studien var att identifiera vad som skulle kunna vara aktuellt att utveckla i matematikundervisningsprocessen på lågstadiet. Genom en kvalitativ ansats och fyra halvstrukturerade fokusgruppsamtal tog vi del av lärarnas beskrivningar av de didaktiska val som görs i den egna undervisningsprocessen. Samtalen analyserades utifrån ett sociokulturellt och didaktiskt perspektiv. Vi använde de didaktiska frågorna i samspel med undervisningsprocessens faser planera, organisera och reflektera som analysverktyg. Resultatet av studien visade att det fanns behov av att planerings- och reflektionsfasen lyftes fram och fick ta större plats i undervisningsprocessen. Genom att möjliggöra mer kollegialt lärande kunde framför allt planering och reflektion lyftas fram och få ta större plats i undervisningsprocessen. För att matematikundervisningen skulle ge eleverna större möjlighet att utveckla de matematiska förmågorna behövde matematiklärarna i de kollegiala samtalen utveckla den problembaserade undervisningen. De slutsatser vi drog av studien utifrån de beskrivningar några lärare gett av sin undervisningsprocess och som vi tolkat är att matematikundervisningen kunde vara en speciallärares uppdrag genom att de arbetade för att utveckla undervisningsprocessen tillsammans med matematiklärarna.

Syftet med föreliggande studie är att beskriva hur det matematiska innehållet beskrivs och förmedlas av lärare vid introduktion av matematiklektioner. Observationer av åtta grundskolelärare har genomförts. Balls, Thames och Phelps (2008) modell för MKT har använts för att sortera och analysera studiens empiri. Resultatet visar att lärarna kombinerar både ämnes- och pedagogiska kunskaper vid introduktion av matematiklektioner. Dock missar samtliga lärare att förklara och förmedla målet med matematiklektionen till eleverna. Resultatet diskuteras utifrån ett pragmatiskt perspektiv och en av slutsatserna som dras är att modellen för MKT kan användas av lärare som underlag vid planering och genomförande av matematiklektioner.

Godkänd; 1994; 20080401 (ysko)

This thesis concerns the water wave problem corresponding to a piecewise constant vorticity function. There are several results connected to this field. In [1] the authors prove the existence of small-amplitude capillary-gravity water waves in the setting of unidirectional waves, and present an explicit form of the dispersion equation in the case when the vorticity function has two jumps. A two-layer model with constant but different vorticities is studied in [2], while in [3], an analysis of the dispersion equation for a three-layer model is given. In this thesis we first classify all stream solutions to the problem specified above, and then use our classification to prove and analyze solubility of the dispersion equation for a vorticity function with one jump. We do not require streams to be unidirectional (that is, we allow underlying counter-currents and internal stagnation).

Numerical approximations using high order finite differences on summation-byparts (SBP) form are investigated for discontinuous and fully nonlinear systems of partial differential equations. Stability and conservation properties of the approximations are obtained through a weak imposition of interface and boundary conditions with the simultaneous-approximation-term (SAT) technique. The SBP-SAT approximations replicate the continuous integration by parts rule. From this property, well-posedness and integral properties of the continuous problem are mimicked, and energy estimates leading to stability are obtained. The first part of the thesis focuses on the simulations of discontinuous linear advection problems. An artificial interface is introduced, separating parts of the spatial domain characterized by different wave speeds. A set of flexible stability conditions at the interface are derived, which can be adapted to yield conservative or non-conservative approximations. This model can be interpreted as a simplified version of nonlinear problems involving jumps at shocks, or as a prototypical of wave propagation through different materials. In the second part of the thesis, the vorticity/stream function formulation of the nonlinear momentum equation for an incompressible inviscid fluid is considered. SBP operators are used to derive a new Arakawa-like Jacobian with mimetic properties by combining different consistent approximations of the convection terms. Energy and enstrophy conservation is obtained for periodic problems using schemes with arbitrarily high order of accuracy. These properties are crucial for long-term numerical calculations in climate and weather forecasts or ocean circulation predictions. The third and final contribution of the thesis is dedicated to the incompressible Navier-Stokes problem. First, different completely general formulations of energy bounding boundary conditions are derived for the nonlinear equations. The boundary conditions can be used at both far field and solid wall boundaries. The discretisation in time and space with weakly imposed initial and boundary conditions using the SBP-SAT framework is proved to be stable and the divergence free condition is approximated with the design order of the scheme. Next, the same formulations are considered in a linearised setting, whereupon the spectra associated with the initial boundary value problem and its SBP-SAT discretisation are derived using the Laplace-Fourier technique. The influence of different boundary conditions on the spectrum and in particular the convergence to steady state is studied. / Numeriska approximationer av ekvationer som styr fysikaliska lagar är avgörande i många tillämpningar. Förutom en matematisk modell som kan fånga huvuddragen i ett verkligt problem är det nödvändigt att kunna utföra tillförlitliga simuleringar. Denna avhandling behandlar numeriska approximationer som med hög noggrannhet bevarar både rent matematiska aspekter av ekvationerna så väl som viktiga egenskaper hos modellen. Dessutom ges särskild uppmärksamhet åt modeller med diskontinuiteter och icke-linjära beteenden. Den första delen av avhandlingen handlar om diskontinuerliga problem. Det fysiska rummet kan ha olika egenskaper i olika regioner, något som kan resultera i instabila lösningar. Tillvägagångssättet består av att införa artificiella gränssnitt som skiljer dessa regioneråt. På detta sätt kan varje region behandlas separat, men på liknande sätt. Exempel på naturliga tillämningsområden är vågutbredning genom olika material och jordbävningssimuleringar. I den andra delen av avhandlingen visar vi att om den numeriska approximationen imiterar partiell integration, då följer också de väsentliga egenskaperna hos modellen på ett naturligt sätt. Att fysikaliska egenskaper bevaras är nödvändigt för att bibehålla stabilitet under långa simuleringstider för bland annat geofysiska problem. Den sista delen av avhandlingen är ägnasåt en av de mest använda modellerna inom strömningsmekanik, nämligen Navier-Stokes ekvationer. Studien fokuserar på härledningen av randvillkor som garanterar att lösningen inte växer på ett oförutsett och okontrollerat vis. Slutligen visas att de härledda randvillkoren på ett korrekt och noggrant sätt återskapar den dissipativa mekanism som ger upphov till jämviktstillstånd.

Hur elever beskriver sig själva som lärande individ i matematik, om det finns samband mellan hur elever löser och utvärderar matematikuppgifter samt hur eventuella samband ser ut har undersökt i studien. Åk 8-elevers lösningar av ett antal matematikuppgifter samt fyra elevintervjuer utgör studiens empiri. Utifrån ramverket self-efficacy har matematiklösningarna och intervjusvaren från eleverna analyserats och ett antal kategorier synliggjorts. Resultaten visar vaga samband mellan elevers syn på sin förmåga och hur de lyckas lösa uppgifter i matematik. Efter lösningarna märks att elever omvärderar synen på sin förmåga i enlighet med deras resultat av arbetet. Elever visar osäkerhet kring att delge sina prestationer inför andra i klassrummet då de inte vill riskera att svar och lösningar är felaktiga. Fokus läggs på att producera korrekta svar på såväl frågor som tester och prov vilket även undervisningen tycks efterfråga. Elevers uppfattningar och matematiska identitet påverkas av den undervisningspraktik, samt den sociala kontext de befinner sig i. En syn på en bra matematikelev som flitig, tyst och gör många uppgifter framkommer. Trots osäkerhet kring att eventuellt göra fel så uppskattar och antar eleverna gärna utmaningar i matematik. Detta om syftet med undervisningen de deltar i är att få träna förmågor och att lära framför att prestera och bli bedömda.

This thesis aims to overcome the drawbacks of traditional portfolio optimization by employing Generative Deep Neural Networks on real stock data. The proposed framework is capable of generating return data that have similar statistical characteristics as the original stock data. The result is acquired using Monte Carlo simulation method and presented in terms of individual risk. This method is tested on real Swedish stock market data. A practical example demonstrates how to optimize a portfolio based on the output of the proposed Generative Adversarial Networks.

Den digitala vågen har växt sig starkare och genomsyrar nu dagens samhälle. Barnen i skolan är födda in i en verklighet som omges av olika former av teknik samt teknologi som bland annat AI, elbilar och mobiltelefoner. Det är väldigt naturligt att olika digitala program samt digitala hjälpmedel ska finnas även i skolan. Den här kunskapsöversikten syftar till att undersöka hur elevers matematiska förmåga påverkas av användandet av digital teknologi i matematikundervisningen. Från sammanställningen av resultatet från 14 olika artiklar dras slutsatsen att implementeringen av digitalisering i matematikundervisningen kan ha stor positiv påverkan på utvecklandet av elevernas matematiska förmåga. För att detta ska ske behövs hänsyn tas till en del faktorer.

I det här examensarbetet så undersöks hur den ofta förespråkade metoden för matematikundervisning, problemlösning i grupp, upplevs av elever.  Anledningen till att metoder som förespråkar gemensam problemlösning och självreglerat lärande ofta lyfts fram som framgångsrika i olika studier är för att de på gruppnivå ofta leder till bättre resultat. Teorierna om varför det är så grundar sig i ett konstruktivistiskt tankesätt, att man lär sig bättre om man själv får komma fram till en lösning till ett problem. Detta för att vägen dit ger en djupare förståelse än att enbart lära sig metodlösningar. Här undersöktes hur undervisningsmetoden uppfattas av eleverna.  Det här arbetet visar att eleverna överlag inte upplever problemlösning i grupp som ett eektivare sätt att förstå matematik än andra undervisningsformer, till exempel vanliga genomgångar vid tavlan, snarare är det tvärt om. Dock visade det sig att problemlösningsövningar som utfördes i grupp upplevdes som roliga och engagerande av de esta informanterna. Detta tillsammans med att forskningen visar på att problemlösning i grupp faktiskt leder till ökad förståelse för de esta gör att problemlösning i grupp bör vara en självklar del i matematikundervisningen.