This thesis empirically evaluates a geometric Brownian motion and a stochastic volatility model for modeling futures prices and hedging Asian call options on the electricity spot price. Estimation of parameters for the models is done based on historical futures prices of futures contracts with a one month delivery period using nonlinear regression and Maximum Likelihood techniques. The models are tested on 2014 data and tracking error for each model is presented. The tracking error is investigated through the median value, the spread between minimum and maximum value along with value at risk at a 95% level. In addition, a third model for modeling spot and futures prices is presented theoretically. It is an exponential additive model with the advantage that it models the future price process from the spot price, instead of modeling the future price process immediately. This bypasses the issue of no information about the future price process during the delivery period, when there is no prices of the futures contracts. The aim of this thesis is to compare the simpler geometric Brownian motion to the more complex stochastic volatility model. It is found that the stochastic volatility model performs better when tested on out-of-sample data. The geometric Brownian motion tends to underestimate the electricity prices, despite that 2014 had low pricest compared to the other years in the data sample. In addition, the approximation of the distribution of the future price process under the geometric Brownian motion model gave a bad fit and led to difficulties when estimating the parameters. The stochastic volatility model produced more stable results and gave a better fit for the distribution.

In many engineering applications, one is interested in structures with elastic properties which undergo deformation due to external loads. This interest has motivated a deep study of the equations underlying the deformation and how to solve them during the two last centuries. In this thesis, we propose a method that allows us to construct exact solutions to these equations. We prove that the partial differential equation governing the deformation is equivalent to the well-studied Cauchy-Riemann equation on the unit disk. Furthermore, we prove sufficient conditions for when the exact solutions to the Cauchy-Riemann equation on the unit disk can be used to construct solutions to the physical problem. We end the thesis by outlining a method for solving the elasticity equation in a general simply connected domain with a known conformal mapping to the unit disk. This method simplifies the formulas of Kolosov and Muskhelishvili, which are constructed by complex potentials in a similar, but more indirect way. It also allows us to obtain solutions in domains where standard numerical methods, such as e.g. the finite element method, proves difficult or even impossible to apply.

Problemlösningsbaserad undervisning där elever ges utrymme att konstruera egna lösningar och upptäcka matematiska samband har i tidigare forskning visat sig gynnsam för utveckling av elevers matematiska förmågor. Sådan undervisning ställer krav på att eleverna ska kunna planera, genomföra, kontrollera och reflektera över processen. Det innebär att elever behöver förutsättningar för att ta ansvar och reglera sitt eget lärande. Tidigare forskning har identifierat samband mellan problemlösning och självreglerat lärande (förkortat SRL), samt att SRL i sin tur har tydliga samband med goda prestationer i skolarbetet. Det kan dock vara utmanande för elever i särskilda utbildningsbehov i matematik (förkortat SUM) att ta sådant ansvar vid problemlösning. Vilka typer av stöd som kan främja SRL vid problemlösning hos dessa elever är ett område som behöver mer kunskap. Därför var studiens syfte att bidra med kunskap om vilka typer av stöd några lärare och speciallärare ansåg kan hjälpa SUM-elever i riktning mot SRL vid matematisk problemlösning (forskningsfråga 1) och vilka effekter stöden har för dessa elevers SRL (forskningsfråga 2). Studien hade en kvalitativ metodansats där data samlades in med hjälp av en enkätundersökning med breda och kvalitativa frågor. I resultatet framkom ett antal teman vad gäller utformning av stöd inom de tre faserna för SRL, vilka är förberedelse, genomförande och reflektion. Ett tema som återkom i samtliga faser var “Läraren som SUM-elevers utökade resurs”. Det temat innebär att lärarna gick in som en extern resurs för att kompensera och avlasta eleven i situationer där dennes egna resurser inte räckte till, för att frigöra elevens kapacitet åt problemlösningsarbetet. Det uppgavs bland annat ge SUM-elever ökade förutsättningar till uppgiftsanalys, självkontroll och reflektion.

I denna studie undersöktes i vilken utsträckning uppgifter som möjliggör utveckling av problemlösningsförmåga förekom i matematikläroboksserierna Mondo och Favorit matematik. Läroboksserierna omfattar totalt åtta böcker för årskurs 1 och årskurs 3. Utöver detta gjordes en jämförelse mellan läroboksserierna för att synliggöra likheter och skillnader. Studien bygger på en syn på matematikinlärning som utgörs av utveckling av olika förmågor, varav en är problemlösningsförmåga. Tillsammans bildar förmågorna matematisk kompetens – ett bemästrande av matematik. Studien utgår främst från Niss och Højgaard (2019), Kilpatrick (2001) samt den svenska läroplanen (Skolverket, 2011) med kommentarmaterial (Skolverket, 2017), där matematisk kompetens och förmågor spelar en väsentlig roll. Utifrån dessa skapades ett analysverktyg som användes för att lokalisera hur stor andel sidor i läroböckerna som möjliggör utveckling av problemlösningsförmåga och de delar förmågan utgörs av. Resultatet visar att det finns skillnader mellan de olika läroboksserierna gällande i vilken utsträckning uppgifter som möjliggör utveckling av problemlösningsförmåga förekommer. Läroboksserien Mondo innehåller en betydande större andel sidor som möjliggör utveckling av problemlösningsförmåga och har, med vissa undantag, en större andel sidor som möjliggör utveckling av de olika delarna av problemlösningsförmåga. Då tidigare forskning visat att undervisning i matematik påverkas av den lärobok som används, innebär resultatet av denna studie att val av lärobok kan få konsekvenser för elevernas möjlighet att utveckla problemlösningsförmåga.

Denna kunskapsöversikt har sin utgångspunkt i behovet att kunna skapa lärandemiljöer som möjliggör utveckling av matematiska förmågor för alla elever oavsett deras förutsättningar. Undersökningen begränsades till andraspråkselever och deras arbete med matematisk problemlösning. Syftet var att sammanställa och diskutera en del av den kunskap som finns runt språk och språkförståelse i andraspråkselevers arbete med matematisk problemlösning. Två frågeställningar valdes för att uppnå syftet: att undersöka vilken roll som språk och språkförståelse spelar i andraspråkselevers arbete med matematisk problemlösning samt hur detta arbete kan underlättas med hänsyn till språkförståelse.  Materialsökningen genomfördes i ERC, ERIC, EBSCO och LIBSEARCH. Olika begränsningar och urvalskriterier tillämpades för att öka resultatens relevans. Varje utvald källa lästes i sin helhet med utgångspunkt i de frågeställningar som formulerades för översikten. Resultaten visade att språk och språkförståelse spelar en viktig roll i andraspråkselevers matematiska problemlösning. Elevers språkförmågor, enligt forskning som inkluderades i översikten, anses både leda till utmaningar och vara en fördel i matematisk problemlösning. Samtidigt framgick det att matematisk undervisning med inbyggda komponenter av matematisk litteracitet, skapande av möjlighet till matematisk diskussion, där arbete utförs i grupp, och uppgifter med höga krav på kognition, begreppsförståelse och resonemang bidrar till utveckling av andraspråkselevers problemlösningsförmåga. Elever presterar bättre när skolan präglas av interkulturellt ledarskap och där lärare tar ansvar för alla elevers lärandeprocesser. Slutsatsen av denna kunskapsöversikt är att det är viktigt att se på flerspråkighet som en tillgång och inte ett hinder i elevers lärande. Lärare, genom att ta ansvar för lärandeprocesser och genom att inkludera utmanande uppgifter med språkutvecklande och samtalsfrämjande element i sin undervisning, kan skapa lärandemiljöer som tar hänsyn till andraspråkselevers förutsättningar.

This bachelor's thesis discusses from an ergodic-theoretical perspective the "metric functional analysis" that Anders Karlsson and others have developed in the recent years. We introduce a new symbolic calculus for metric functionals which includes a notion of the adjoint of a nonexpansive map. Using these tools we revisit many central results, including Karlsson's spectral principle and its stronger form for star-shaped spaces due to Gaubert and Vigeral, as well as the multiplicative ergodic theorem of Karlsson-Ledrappier.

Matematik är ett ämne som många elever tycker är tråkigt och somliga är mindre aktiva på lektionerna. Eleverna är dessutom vana vid att arbetet i matematik till stor del styrs av det valda läromedlet och det är ovanligt att annan typ av undervisning förekommer. Detta examensarbetes syfte är att studera elevernas uppfattning om hur en laboration i matematik och dess utformning påverkar deras aktivitet och matematiska förståelse. I arbetet finns en sammanställning av forskning inom området samt en analys av ett arbete där elever i år 7 videofilmats under en lektion i laborativ matematik. Dessutom har eleverna svarat på en enkät i samband med laborationen.Arbetet har visat att vid en laboration där de flesta elever finner en utmaning upplever många elever att de arbetat mer aktivt än under andra lektioner och att grupparbetet fungerar bra. En del upplever att de kommer att minnas den nya matematiska förståelsen. / Many students regard mathematics as a boring subject and several are showing low activity during lessons. The students are used to that the teaching in mathematics is ruled by static means of educational material and the use of alternative teaching methods is rare.The purpose of this thesis work is aimed to see how a group exercise in mathematics will influence the student’s activity and perception of mathematics.The work consists of a science year to date summary and an analysis of 7-grade student’s video film. The students corresponded to a survey in conjunction with the group exercise.The thesis suggest that at a group exercise where most students feel the challenge, the spirit of increasing activity is encouraged during the lesson for the majority of the students. They also feel that group exercise works well. Several students experience that they will remember the new fundamental understanding.

I vårt arbete som speciallärare i grundsärskolan har vi märkt att matematiska uppgifter ofta är svåra för elever med intellektuell funktionsnedsättning (IF) att förstå. Internationell forskning visar att visuellt stöd kan vara gynnsamt för elever med IF men i svensk kontext har vi inte kunnat hitta studier om detta. Därför valde vi att genomföra denna studie som undersöker betydelsen av visuellt stöd i matematikundervisningen i grundsärskolan för elever som läser ämnen. Vilken effekt har det på elevernas matematiska förståelse och engagemang och hur upplever eleverna själva stödet? Urvalet i studien utgjordes av sex elever i årskurs 2–7 på två grundsärskolor i Mellansverige. Studien är en kombination av metoder, där de kvantitativa metoderna utgjordes av ett kvasiexperiment (singel-subjekt ABA – design) och strukturerade observationer. De kvalitativa datainsamlingsmetoderna bestod av semistrukturerade intervjuer med eleverna och semistrukturerade observationer dokumenterade med hjälp av fältanteckningar. Resultatet visade att flera elever förbättrade sina resultat gällande matematikuppgifterna under interventionen. Samtidigt visade variation i elevers utvecklingslinjer på både möjligheter och utmaningar vid användning av visuellt stöd i grundsärskola.

Syftet med studien är att undersöka på vilket sätt bilderböcker kan användas för att utmana och utveckla tre till fyra år gamla förskolebarns matematiska förståelse. Studiens frågeställningar är följande: Hur kan bilderböcker användas för att utmana och utveckla förskolebarns matematiska förståelse? Hur pratar barn i matematiska termer när de läser bilderböcker själva eller med andra barn och vuxna? Studien utgår från ett sociokulturellt perspektiv. I undersökningen använde jag en kvalitativ forskningsmetod med observationer som dokumenterades med hjälp av ljudinspelningar och anteckningar. Studien genomfördes med åtta barn i tre till fyra års ålder på en kommunal förskola. Undersökningen visade att en lärandesituation som lässtunden är ett tillfälle där barnen utforskar matematik, får matematiska erfarenheter och utvecklar sin matematiska förståelse. Resultatet av studien visade att barnen upptäcker matematik i böckerna genom att studera och undersöka bilderna i dem. Slutsats som jag kan dra av min studie är att bilderboken är ett viktigt redskap för att utveckla barns matematiska förståelse. Men det förutsätter en kunnig och engagerad pedagog som kan se alla barns möjligheter till att lära sig och utvecklas matematiskt.

Med utgångspunkt från svenska elevers sjunkande resultat i TIMSS 2007, PISA 2007 och Skolverkets nya satsning på att höja matematiklärares didaktiska kunskaper, ansåg vi att vi behövde stärka våra kunskaper kring matematisk didaktik för att på så sätt stimulera våra framtida elevers inlärning i ämnet. För att få svar på vår frågeställning har vi utgått från relevant litteratur och genomfört klassrumsobservationer samt lärarenkäter. Vi har i detta arbete undersökt vilka pedagogiska tekniker lärarna vi observerat använt sig av, ur ett multimodalt perspektiv, i sin matematikundervisning samt hur dessa pedagogiska tekniker samverkar med klassrumsinteraktionen. Utifrån våra observationer fick vi fram ett resultat, som vi analyserade utifrån våra två huvudfrågor. Utifrån våra erfarenheter från vår undersökning diskuterade vi vårt resultat i en slutsats. Där kom vi fram till att genom att låta eleverna arbeta med konkret material och genom möjligheter att samarbeta, ökade elevinteraktionen vilket stimulerade lärandet.