Undersokningens syfte har varit att studera hur pedagoger tanker och arbetar kring amnet matematik idag. Internationella undersokningar fran TIMSS Advancerad 2008 (Trends in International Mathematics and Science Study) och fran PISA 2006 (Program for International Student Assesment) visar att elever inte har de kunskaper i matematik som kravs for att soka till de hogre tekniska utbildningarna. For att Sverige ska kunna folja med i den tekniska utvecklingen internationellt behovs en satsning pa matematik. Redan i forskolan behover barn fa de grundlaggande kunskaper i matematik som ar nodvandiga for fortsatt skolgang. I forslaget till den nya laroplanen (Skolverket, 2009), forstarks forskolans pedagogiska uppdrag vilket ska leda till att ambitionsnivan hojs i forskolan. For att kunna uppna malen i forslaget till den nya laroplanen, visar resultatet fran den foreliggande enkatundersokningen, att kompetensen borde hojas och att samtliga pedagoger bor fa utbildning i didaktisk matematik. Den teoretiska utgangspunkten i detta arbete ar matematikens betydelse som alltid har haft en framstaende plats i ett fungerade samhalle. Arbetet belyser matematiken bade ur ett historiskt och ur ett samhallsperspektiv. Nuvarande laroplan (Lpfo 98) bygger pa Vygotskijs sociokulturella perspektiv, medan de styrdokument som forskolan utgick fran tidigare byggde pa Piagets stadieteorier. Som metod har en enkatundersokning utforts. Enkaten besvarades av tjugotva arbetslag pa fem forskolor med varierande profileringar och totalt har 73 pedagoger besvarat enkaten. Resultaten visar bland annat att pedagogerna anser att de har de kunskaper i matematik som kravs for att arbeta med matematik i forskolan. Pedagogens didaktiska kompetens och hur de anvander den har stor betydelse for kvaliten i forskolan. Sheridans (2001) pekar pa i sin avhandling att hog kvalite ar relaterad till pedagogens kompetens med inriktning pa larande. Vidare visar resultatet att de flesta pedagoger har en positiv erfarenhet i matematik fran sin egen skolgang. Den slutsats som kan dras av det ar att pedagogerna som ar en del av larandemiljon kan med ratt installning ta tillvara pa de spontana tillfallena som uppstar i det vardagliga samspelet. Resultaten visar ocksa att rutinsituationer ar de tillfallen under dagen da det matematiska larandet anvands mest frekvent. Det ar viktigt att barn far mota de matematiska begreppen i meningsfulla sammanhang. I forskolan ska alla barn ges samma forutsattningar for att ha mojlighet att utveckla kunskap i grundlaggande matematik oavsett den kulturella hemmiljon.

The aim of this paper is to present simulation methods for the pricing of American financial instruments. Three methods are presented. Each differs from the others in it's approach to the problem and the method of finding a solution. We illustrate the variety of possible approaches that can be adopted when dealing with this complicated problem. The results of using these algorithms are compared with examples found in literature on the subject. We try to identify the factors that influence price estimators and provide some new results about the properties and distributions of those estimators. We show that even a simple variance reduction technique has a positive effect for these algorithms. The purpose of this paper is to present the effectiveness of a simulation method in pricing American options. This is contrary to the opinion often stated in articles and monographs that the simulation approach is not adequate for the task. We provide an overview and comparison of earlier methods proposed and follow this with an extended discussion. This paper sets the foundations for further research into use of these algorithms for multidimensional problems, where they may offer a substantial advantage over deterministic methods.

In this thesis, which consists of four papers, we study the discrete spectrum of Schrödinger operators in waveguides. In these domains the quadratic form of the Dirichlet Laplacian operator does not satisfy any Hardy inequality. If we include an attractive electric potential in the model or curve the domain, then bound states will always occur with energy below the bottom of the essential spectrum. We prove that a magnetic field stabilises the threshold of the essential spectrum against small perturbations. We deduce this fact from a magnetic Hardy inequality, which has many interesting applications in itself. In Paper I we prove the magnetic Hardy inequality in a two-dimensional waveguide. As an application, we establish that when a magnetic field is present, a small local deformation or a small local bending of the waveguide will not create bound states below the essential spectrum. In Paper II we study the Dirichlet Laplacian operator in a three-dimensional waveguide, whose cross-section is not rotationally invariant. We prove that if the waveguide is locally twisted, then the lower edge of the spectrum becomes stable. We deduce this from a Hardy inequality. In Paper III we consider the magnetic Schrödinger operator in a three-dimensional waveguide with circular cross-section. If we include an attractive potential, eigenvalues may occur below the bottom of the essential spectrum. We prove a magnetic Lieb-Thirring inequality for these eigenvalues. In the same paper we give a lower bound on the ground state of the magnetic Schrödinger operator in a disc. This lower bound is used to prove a Hardy inequality for the magnetic Schrödinger operator in the original waveguide setting. In Paper IV we again study the two-dimensional waveguide. It is known that if the boundary condition is changed locally from Dirichlet to magnetic Neumann, then without a magnetic field bound states will occur with energies below the essential spectrum. We however prove that in the presence of a magnetic field, there is a critical minimal length of the magnetic Neumann boundary condition above which the system exhibits bound states below the threshold of the essential spectrum. We also give explicit bounds on the critical length from above and below. / QC 20101007

Syftet med denna studie var att undersöka hur ett pedagogiskt spel för grundskolans senare år som övar geometriska begrepp kan utformas samt huruvida det kan fungera som ett givande komplement till befintliga material för geometrisk begreppsinlärning. Spelet, som kom att kallas MATERMINO, testades av 33 elever (15 flickor och 18 pojkar) i skolår 6. Dessa elever samt tre lärare för grundskolans senare år bedömde sedan spelet; de förstnämnda i enkäter och de senare i intervjuer. MATERMINO bedömdes främst passa elever i skolår 6-8. Vidare visade studien att MATERMINO var omtyckt och roligt och att spelet tycktes leda till inlärning gällande geometriska begrepp. Eleverna presterade nämligen signifikant bättre på ett test direkt efter att ha spelat MATERMINO jämfört med ett identiskt test de hade gjort precis innan respektive spelomgång (medelförbättringen var 14 %). Slutsatsen blev därmed att MATERMINO kan fylla en viktig funktion som kompletterande undervisningsmaterial för begreppsinlärning i skolår 6-8.

The purpose of this study is to explore how to get students at grade two to understand the connection between the concrete and the symbolic mathematical language. I interviewed a group of students at grade two and tested a number of exercises with them. These interviews and exercises were tape-recorded. The results showed that students had an understanding of the relationship between the symbolic language, the concrete representation and their own numeracy stories. It turned out that students think in different ways and all students can not explain with words, their solutions and ideas. The students’ reaction to the exercises was positive.

Bakgrund: Svensk matematikundervisning har under de senaste åren debatteras livligt. Flera undersökningar pekar på att elevresultaten sjunker. Alltför många elever har också låg motivation när det gäller det egna matematiklärandet. Tilltron till det egna kunnandet sviktar och många elever ägnar mycket av tiden på matematiklektionen åt ett oreflekterat arbete. Att hitta alternativa arbetssätt och arbetsformer för att hjälpa eleven att bygga nya begrepp och tillägna sig hållbara och generaliserbara strategier är nödvändigt. Mål att sträva mot är de mål man skall utgå ifrån i sin undervisning vilket innebär att arbete med problemlösning bör genomsyra undervisningen. Hur man organiserar en undervisning som utgår från problemlösning där man kan se och följa att elevernas utveckling är därför av största vikt att belysa. Syfte: Syftet med studien är att utpröva, genomföra samt utvärdera några olika pedagogiska modeller för utveckling av barns matematiska förmåga med utgångspunkt i arbete med matematisk problemlösning. Syftet är också att problematisera bedömningen av barnens kunskapsutveckling. Metod: Studien, vilken sker med ett etnografiskt angreppssätt, är gjord i skolår två. Författaren följer elevernas arbete med problemlösning i tre delstudier vilka sinsemellan har helt olika utgångspunkter. Dataproduktionen har skett via skriftlig dokumentation, samtal och intervjuer. Resultat: I den första delstudien undersöktes om det går att hjälpa elever att utveckla och effektivisera sina aritmetiska beräkningar med hjälp av arbete kring problemlösning. Problemen konstruerades så att eleverna skulle kunna utveckla ny matematisk kunskap genom att lösa samma problem på ett nytt sätt, antingen med hjälp av en ny strategi och/eller med hjälp av en ny uttrycksform. Efter två månader utvärderades elevernas kunskaper, det visade sig då att alla elever utvecklat sitt kunnande och nått sina individuella mål. I delstudie två beskrivs arbetet med ett problem vars huvudsyfte var att utveckla elevernas rumsuppfattning samt deras kunskaper kring längdmätning. I den tredje och sista delstudien har författaren undersökt om det går att utveckla elevernas förmåga att angripa ett nytt problem. I respektive resultatdel beskrivs och analyseras elevernas arbete och matematiska utveckling. Det framgår att eleverna vinner på att vara behovsgrupperade och medvetna om målen för sitt egna lärande.det framgår också att det ställs höga krav på lärarens didaktiska kunskaper och bedömningsförmåga för att eleverna skall kunna utvecklas genom ett arbetssätt där problemlösning är centralt

Syftet för denna studie har varit att ta reda på hur några lärare i årskurs tre resonerar om och säger sig anpassa undervisningen för elever med särskilda matematiska förmågor. Under tidigare forskning tas Blooms taxonomi och Krutetskiis definition på elever med särskilda matematiska förmågor upp. Metoden som valdes för undersökningen var kvalitativa intervjuer som genomfördes med fyra lärare. Resultatet som framkom i undersökningen visar att elever med särskilda matematiska förmågor ofta fick arbeta utan handledning, till förmån för de elever som behövde hjälp att nå upp till målen. Lärarna ville gärna ge mer av sin tid till elever med särskilda matematiska förmågor, men det fanns inte tillräckliga resurser. När det gäller undervisningen för dessa elever syntes det flera olika åsikter, speciellt vad gällde acceleration och berikning.

Arbetets syfte har varit att undersöka hur elever i matematiksvårigheter uppfattar matematikundervisningen, sin egen förmåga i matematik samt att försöka identifiera faktorer som skulle kunna medvetandegöra eleven om den egna kompetensen. Metoden var enskilda kvalitativa intervjuer utifrån semistrukturerade frågeställningar innehållande ett mindre kvantitativt moment. Sex elever från tre klasser i årskurs 7 deltog. Resultatet visar att eleverna uppfattar matematikundervisningen som tyst eget arbete i läroboken, få lärargenomgångar, eleven styr själv arbetet, väntetiden på lärarhjälp är lång, proven visar vad eleven kan, inga alternativa arbetsformer förekommer och lektionerna är stökiga. Specialundervisningen uppfattas genomgående som positiv. Eleverna har mycket svårt att ange sin matematiska förmåga. Det kvantitativa momentet visar dock att flickorna antingen bedömde sin förmåga korrekt eller undervärderade sig själva medan pojkarna i högre grad övervärderade sin förmåga. Strukturerad undervisning innehållande formativ bedömning, där lärare, elev och kamrater gemensamt ansvarar för kunskapsutvecklingen, anses framgångsrik för att medvetandegöra elever i matematik svårigheter om sin förmåga.

<p>Undersökningens syfte har varit att ta del av likheter och skillnader i gymnasieelevers uppfattningar om Matematikvägen, utifrån frågeställningen ”Vilka upplevelser har eleverna av Matematikvägen?”. Metoden för undersökningen har varit intervju.</p><p>Matematikvägen är ett grepp att möta elever med ett stort matematikintresse inför och på gymnasiet. Detta görs genom att eleverna får möjlighet att läsa ungefär halva gymnasiets Matematik A redan under sista terminen på grundskolan. Eleverna ligger på så sätt en termin före de som läser matematiken på normal fart vilket innebär att de det sista året på gymnasiet kan välja att läsa linjär algebra på högskolan. Undersökningen visar på att det finns svårigheter med att ha en matematiksatsning som å ena sidan vänder sig till elever med ett stort matematikintresse och å andra sidan erbjuder eleverna att läsa fler kurser i slutet av gymnasiet. En fördel med Matematikvägen är att den kan fungera som en bro mellan matematiken i grundskolan och gymnasiet och vidare upp på högskolan. Men för de elever som eventuellt har valt att läsa på Matematikvägen utifrån ett stort matematikintresse har inte Matematikvägen något speciellt att erbjuda.</p>

<p>In this thesis, which consists of four papers, we study the discrete spectrum of Schrödinger operators in waveguides. In these domains the quadratic form of the Dirichlet Laplacian operator does not satisfy any Hardy inequality. If we include an attractive electric potential in the model or curve the domain, then bound states will always occur with energy below the bottom of the essential spectrum. We prove that a magnetic field stabilises the threshold of the essential spectrum against small perturbations. We deduce this fact from a magnetic Hardy inequality, which has many interesting applications in itself.</p><p>In Paper I we prove the magnetic Hardy inequality in a two-dimensional waveguide. As an application, we establish that when a magnetic field is present, a small local deformation or a small local bending of the waveguide will not create bound states below the essential spectrum.</p><p>In Paper II we study the Dirichlet Laplacian operator in a three-dimensional waveguide, whose cross-section is not rotationally invariant. We prove that if the waveguide is locally twisted, then the lower edge of the spectrum becomes stable. We deduce this from a Hardy inequality.</p><p>In Paper III we consider the magnetic Schrödinger operator in a three-dimensional waveguide with circular cross-section. If we include an attractive potential, eigenvalues may occur below the bottom of the essential spectrum. We prove a magnetic Lieb-Thirring inequality for these eigenvalues. In the same paper we give a lower bound on the ground state of the magnetic Schrödinger operator in a disc. This lower bound is used to prove a Hardy inequality for the magnetic Schrödinger operator in the original waveguide setting.</p><p>In Paper IV we again study the two-dimensional waveguide. It is known that if the boundary condition is changed locally from Dirichlet to magnetic Neumann, then without a magnetic field bound states will occur with energies below the essential spectrum. We however prove that in the presence of a magnetic field, there is a critical minimal length of the magnetic Neumann boundary condition above which the system exhibits bound states below the threshold of the essential spectrum. We also give explicit bounds on the critical length from above and below.</p>