Orientador: Mara Sueli Simão Moraes / Banca: Eduardo Pereira Cabral Gomes / Banca: José Roberto Boettger Giardinetto / Resumo: Nos cursos de ciências biológicas, os tópicos de estudo estão subdivididos em conteúdos básicos e conteúdos específicos. Entre os básicos considerados fundamentais estão os conhecimentos matemáticos. A questão que esta pesquisa procurou responder foi: quais conteúdos de matemática são mais adequados para auxiliar no entendimento dos processos e padrões biológicos estudados pelos alunos durante o curso? A pesquisa envolveu análise direta de documentação, nela incluídos questionários aplicados a 171 pessoas envolvidas com o tema, entre professores, alunos e biólogos, e pesquisa documental indireta pela análise de livros de biologia e de projetos de ensino de 5 estabelecimentos que mantêm cursos de ciências biológicas. Complementa a pesquisa o resultado de consulta feita a 256 alunos ingressantes nos referidos cursos a respeito do que julgam conhecer da matemática estudada anteriormente ao ingresso em curso superior. O conjunto dos levantamentos efetuados oferece subsídios para a escolha adequada dos conteúdos de matemática a serem abordados em cursos de ciências biológicas propiciando condições para que a escola possa melhor desempenhar o seu papel mediador na transformação dos conhecimentos do cotidiano em conhecimentos específicos / Abstract: In biological sciences courses, the teaching topics are divided in basic contents and specific contents. Among the basic ones considered fundamental are the ones related to mathematics knowledge. The issue for this research is: what are the most adequate mathematics contents to help the understanding of biological process and patterns studied in the course? The research involved direct analysis of documentation, including questionnaires applied to 171 people involved with the subject, among teachers, students and biologists, and indirect documental research through the analysis of biology textbooks and teaching plans from 5 colleges that offer biological sciences courses. The research also provides the result of an inquiry to 256 freshmen from those courses in relation to what they suppose do know about mathematics studied before they entered college. The data collected offered subsidies for the adequate choice of mathematics contents to be approached in biological sciences courses, allowing the schools to improve their role as mediators in the transformation of daily knowledge into scientific knowledge / Mestre

A presente pesquisa busca compreender a psicogênese do pensamento combinatório. São analisados os mecanismos utilizados por estudantes do ensino médio para solucionar problemas experimentais de análise combinatória. Como base teórica é utilizada a Epistemologia Genética de Jean Piaget. Ela traz subsídios para compreender como esta noção é construída pelo sujeito. As hipóteses são baseadas na maneira pela qual alguns professores abordam não só a análise combinatória, mas também a maneira como os conteúdos de matemática são trabalhados ao longo dos anos escolares. A coleta de dados é feita de modo experimental e baseada no método clínico de Piaget. O pensamento dos sujeitos é analisado ressaltando suas semelhanças, enquanto estruturas de raciocínio, na construção das possibilidades. / This research seeks to comprehend the psychogenesis of combinatorial reasonig. We analyzed the mechanisms used by high school students to solve experimental combinatorics problems. As a theoretical basis is used Jean Piaget Genetic Epistemology. It illustrate how this concept is constructed by the subject. The hypothesis are based on manners which some teachers make the approach of combinatorics concept, and also the way mathematics contents are taught during school years. Data collection is done in on experimental way and based on Piaget clinical method. The thought of the subjects is analysed, emphasizing their likeness while reasoning structures that they show on the construction of the possibilities.

O presente trabalho tem como principal objetivo apresentar uma proposta de estudo do assunto Programação Linear no currículo do Ensino Médio na disciplina de matemática. Faremos uma revisão acerca de alguns temas relevantes sobre a Programação Linear, bem como sobre a Resolução de Problemas em Matemática, a qual consistirá na metodologia usada nessa atividade. Será apresentada uma aplicação prática dessa proposta, através de uma sequência didática, que foi aplicada num grupo de alunos do Ensino Médio, numa escola da rede de Ensino Público Federal da cidade de Porto Alegre, no ano de 2011. A Programação Linear por apresentar caráter aplicativo e contextualizado pode ser perfeitamente trabalhada no Ensino Médio do currículo da disciplina de matemática, pois tornará os discentes mais participativos e motivados a estudar e discutir essa disciplina. Seguindo a metodologia da resolução de problemas, apresentaremos algumas atividades que poderão servir de sugestões para possíveis aplicações em outros contextos e situações. Vale destacar que a resolução de problemas em matemática pode aproximar o aluno dessa disciplina, criando um ambiente muito favorável para o pleno desenvolvimento das suas capacidades cognitivas, aliando conhecimento, autonomia, criatividade, bem como aplicando, contextualizando e relacionando a matemática com o mundo que nos cerca. / The present work has as its main objective to present a proposal of study of the subject Linear Programming on the curriculum of High Schools in the discipline of Mathematics. We will do a review on some relevant themes about Linear Programming, as well as the resolution of Math problems, which will consist in the methodology used in this activity. A practical application of this proposal will be presented through a didactic sequence, which was applied in a group of High School students from a federal public school in the city of Porto Alegre, in 2011. Because of its applicative and contextualized character, the Linear Programming is perfectly adequate to be presented and worked in High Schools in the discipline of Math, for it will make students more participative and motivated to study and discuss this subject. Following the methodology of resolution of problems, we will present some activities that may serve as suggestions to possible applications in other contexts and situations. It’s important to point out that the resolution of Math problems may approach students to this discipline, creating a very favorable environment to the full development of their cognitive capacities, allying knowledge, autonomy, creativity, as well as applying, contextualizing and relating Mathematics to the world around us.

Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

A presente dissertação centra-se na articulação entre o ensino da Matemática e os Temas Transversais, em particular a Educação Sexual. Nesta perspectiva, analisa a Educação Sexual e o ensino da Matemática, na escola e na sala de aula. A dissertação oferece, implementa e justifica produtos didáticos, com coleta de dados junto aos alunos em situação experimental. O problema em estudo é a contextualização da Matemática escolar e a responsabilidade social a ela associada, especialmente nas questões relativas à Educação Sexual. As metodologias de pesquisa são o Estudo de Caso, utilizado para mostrar a relevância do tema, descrever como se dá a Educação Sexual na escola pública brasileira e contextualizar a experiência didática e a Modelagem Matemática, utilizada para elaborar e desenvolver um modelo matemático para o fenômeno da absorção/eliminação de anticoncepcionais orais de uso diário. Os referenciais teóricos que dão suporte a esse trabalho são o Construtivismo Social com destaque nas interações, conversações e experiências compartilhadas, que resultam em uma pedagogia que valoriza o papel do aluno no processo ensino-aprendizagem e a Modelagem Matemática, vista como um ambiente de aprendizado que valoriza tais experiências. Este trabalho desenvolve três produtos para uso didático: a) modelo matemático da absorção de anticoncepcionais de uso diário; b) vídeo informativo sobre o uso de anticoncepcionais; c) plano de ensino com seqüência didática. A experimentação se deu em sala de aula regular de uma escola pública de Porto Alegre e em situação de laboratório, com pequeno grupo de alunos do Colégio de Aplicação da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). Os resultados principais do estudo mostram que o produto didático desenvolvido cria oportunidades para o aluno discutir e compreender melhor a sua sexualidade, explica o mecanismo dos anticoncepcionais, dá ao estudante ferramentas matemáticas úteis também para a compreensão de outros fenômenos, proporciona um ambiente de discussão e favorece a articulação lógica entre diferentes idéias e conceitos matemáticos garantindo maior significação para o aprendizado. A experimentação também demonstra o potencial deste meio para estimular o interesse e a discussão sobre a Educação Sexual e sobre a Matemática. / The present dissertation focuses on the articulation between the teaching of Mathematics and Cross-Curricular Themes, particularly Sexual Education. Under such perspective, it analyzes Sexual Education and the teaching of Mathematics, in schools and in classrooms. The dissertation offers, implements, and justifies didactic resources, along with data collection from students in an experimental situation. The problem studied is the contextualization of School Mathematics and the social accountability associated to it, especially in the aspects related to Sexual Education. The research methodologies are Case Study, used to stress the relevance of the theme, to describe how Sexual Education is explored in Brazilian state schools, and to contextualize the didactic experience, and Mathematical Modeling, used to devise and develop a mathematical model for the absorption/elimination phenomenon of oral contraceptives for daily use. The theoretical frames that give support to this work are the Social Constructivism, with emphasis on the interactions, conversations, and shared experiences, which result in a pedagogy that values the role of students in the teaching-learning process, and Mathematical Modeling, viewed as a learning environment the enriches such experiences. This work has developed three didactic resources: a) mathematical model for absorption of daily use contraceptives; b) informational video on the use of contraceptives; c) teaching plan with a didactic sequence. The experimentation took place in a regular classroom of a state school of Porto Alegre and in a laboratory environment, with a small group of students from Colégio de Aplicação of Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS). The main results show the didactic resource developed fosters opportunities for students to discuss and better understand their sexuality, explains the mechanisms of contraceptives, gives students useful mathematical tools for the understanding other phenomena, promotes an discussion environment, and supports the logic articulation among different ideas and mathematical concepts, thus enabling greater meaningfulness to the learning process. The experimentation carried out also demonstrates the potential of this media to stimulate the interest and the discussion on Sexual Education and Mathematics.

o objetivo principal deste trabalho é apresentar uma proposta de inserção de Teoria de Grafos no Ensino Médio. Para tanto, será feita uma fundamentação de alguns aspectos acerca da Teoria de Grafos e Resolução de Problemas. Apresentaremos uma prática realizada em dois grupos de segundo ano do Ensino Médio, numa escola particular de Porto Alegre, no ano de 2006. A Teoria de Grafos apresenta aspectos pertinentes que merecem espaço no currículo da Escola Básica. Apresentaremos uma seleção de possíveis atividades a serem implementadas numa perspectiva metodológica de Resolução de Problemas. A escolha por tal perspectiva metodológica em Educação Matemática está vinculada à prática de Ensino de Matemática que acreditamos ser capaz de contribuir para a formação de um indivíduo autônomo, criativo e capaz de aprender a aprender. / The main goal of this thesis is to present a proposal for the insertion of Graph Theory in High School. In order to do that, we present some principIes of Graph Theory and review some important writings about Problem Solving methodology. We will give a suggested practice done with two groups in the second year of High School, in a private school of Porto Alegre in 2006. Graph Theory has some aspects that deserve space in the curriculum of the Basic School. We will show a selection of possible activities to be implemented within a methodological perspective of Problem Solving. The choice for this methodological perspective in Mathematics Education is related to a practice in Mathematics Teaching that we believe contributes for a development of a more autonomous and creative person. A person that is and able to learn how to learn.

O trabalho apresenta um estudo sobre o ensino de matemática nos Cursos Complementares Pré-Médico e Pré-Técnico, que funcionaram no Instituto Júlio de Castilhos no período de vigência da reforma do ensino secundário que ficou conhecida como “Reforma Francisco Campos”. Está baseado na análise das questões das provas de Matemática que foram aplicadas nesses cursos nos anos de 1936 e 1937 e investiga os conteúdos ensinados, as maneiras como eram avaliados e possíveis marcas deixadas pelos professores que faziam parte das bancas de prova. Busca identificar, também, as origens do ensino de matemática praticado nos cursos, considerando, de um lado, a legislação do ensino da época, e, de outro lado, a história singular da instituição, tomando como referência relatórios da Escola de Engenharia de Porto Alegre, entrevistas e depoimentos de ex-alunos e ex-professores e bibliografia relacionada ao tema. O trabalho busca, assim, contribuir para o estudo da história do ensino de matemática e também para a historiografia do antigo Instituto Júlio de Castilhos, hoje, Colégio Estadual Júlio de Castilhos. / This paper aims to investigate a historical review of mathematics teaching in the Pré-Médico e Pré-Técnico courses that took place at Instituto Júlio de Castilhos, during the period of Brazilian secondary school curricular reform (High School), which was known as ‘Reforma Francisco Campos’. The study is based on the analysis of questions of Mathematics tests applied to Cursos Complementares in 1936 and 1937. Through those tests it is possible to examine what contents were developed, how the contents were assessed and what possible marks were left by the Mathematics teachers who prepared the tests. The study also investigates the origins of the mathematics teaching practice of Mathematics in the Cursos Complementares, considering both the Education policies of that time, and the unique history of the institution, based on reports of the Engineering School of Porto Alegre, interviews and testimonials of former students and former teachers and as well as on bibliography related to the topic. In this way, this research aims to contribute to the study of the history of mathematics teaching and, particularly, to the historiography of Instituto Júlio de Castilhos, today called Colégio Estadual Júlio de Castilhos.

Este trabalho apresenta uma experiência que analisa as contribuições que o uso integrado de recursos manipulativos digitais e não-digitais podem trazer para o ensino-aprendizado de geometria, mais especificamente na compreensão de conceitos sobre polígonos. O estudo foi desenvolvido durante o ano de 2012, com duas turmas de 6ª série de uma escola da rede privada de Porto Alegre, no horário regular de aula. Apoiada na Teoria dos Campos Conceituais, de Gérard Vergnaud, e utilizando o estudo de caso como metodologia, a presente pesquisa aponta que os estudantes podem construir seu próprio conhecimento, quando lhes são oferecidas diversas possibilidades de conceitualização, em diferentes âmbitos educativos. Os resultados mostram estudantes mais críticos, autônomos e com maior poder de argumentação. / This paper presents an experience which analyzes the contributions that the integrated usage of manipulative digital and non-digital resources may bring to the teaching-learning of geometry, specifically on understanding concepts of polygons. The study was developed in 2012, with two groups of 6th graders from a private school in Porto Alegre during the regular school schedule. Supported by the Theory of Conceptual Fields, by Gérard Vergnaud, and using the case study as methodology, this research points that students can construct their own knowledge when various possibilities of conceptualization are offered to them, in different areas of education. The results show more critical, autonomous students, with a bigger argumentative power.

A presente pesquisa busca analisar as concepções dos professores de Matemática e Química sobre suas práticas avaliativas, ao considerarem os erros nas avaliações de aprendizagem em um curso de Licenciatura Plena em Química em uma Faculdade Municipal, localizada na zona da mata sul do Estado de Pernambuco. Realizamos a pesquisa em três fases. Na primeira foi feito um estudo com a amostra inicial de seis docentes, sendo três de Matemática e três de Química e selecionamos quarenta alunos, divididos em quatro grupos de dez, pertencentes ao 3°, 5º e 6º período de cada curso respectivamente. Após a realização de questionários e entrevistas analisamos vinte avaliações, dez de cada curso, a fim de identificar as possíveis fragilidades tanto dos docentes no seu fazer pedagógico em relação ao processo de avaliação especificamente aos erros cometidos pelos seus discípulos quanto dos alunos em identificar as distâncias existentes entre a prática de ensino e as suas formas de encararem os erros no processo de aprendizagem. As respostas dos participantes da pesquisa entre professores e alunos dos Departamentos de Matemática e Química forneceram elementos substanciais para responder a alguns questionamentos, dentre eles destacamos: como os professores de matemática trabalham a questão dos erros dos alunos em suas avaliações de aprendizagem? Quais as relações entre esses erros e o seu fazer pedagógico em sala de aula? Será que esses erros são frutos de dicotomias entre o seu discurso e a prática adotada pelos docentes? Na segunda fase aplicamos um novo questionário, desta vez utilizamos a escala de Likert de pontuação a vinte e três alunos de Química e vinte e quatro alunos de Matemática, além de dez docentes de cada curso, com o intuito de aprofundar as questões e esclarecer as opiniões apresentadas. A terceira fase corresponde a categorização e análise dos questionários e dos depoimentos relatados pelos docentes sobre questões que estão diretamente ligadas ao tema da nossa pesquisa. Após a análise das respostas de todos esses elementos foram apresentadas algumas propostas de aperfeiçoamento do processo de ensino e de aprendizagem nesta Faculdade, especificamente quanto à utilização dos erros nas avaliações de aprendizagem, como fator potencial de desenvolvimento dos alunos, proposta essa baseada em pressupostos teóricos e filosóficos da educação e didática da matemática de Guy Brousseau entre outros, privilegiando uma avaliação interdisciplinar, construtiva, holística, crítica e reflexiva, que leve em consideração as interações entre o conhecimento, o estudante e o professor. / The present work seeks to analyze the relationships between the faculty of Mathematics teachers and their evaluation practices when considering the errors in the learning evaluations in the course of the full degree in chemistry of a Municipal Faculty, located in the Zone of the southern forest of the state of Pernambuco. We conducted research in three phases. At first one was done a study with the initial sample of six teachers, three math and three of Chemistry and selected forty students, divided into four groups of ten, belonging to the 3rd, 5th and 6th period of each course respectively. After conducting surveys and interviews, twenty reviews of learning of the two courses were analyzed in order to identify possible weaknesses of both teachers in their pedagogical practice in relation to the evaluation process specifically to the mistakes made by his disciples as the students in identifying the distances existing between teaching practice and its forms envisage errors in the learning process. The responses of the survey participants between teachers and students of the Departments of Mathematics and Chemistry provided substantial elements to answer some questions, among which we highlight: How math teachers work the issue of students' errors in their learning assessments? What are the relationships between these errors and their pedagogical practice in the classroom? Are these mistakes the result of dichotomies between the speech and the practice adopted by the teachers? In the second phase we applyed a new questionnaire, this time we use the score Likert scale to twenty-three students of Chemistry and twenty-four students of Mathematics, plus ten teachers of each course, in order to explore the issues and clarify opinions presented. The third phase is the categorization and analysis of questionnaires and interviews reported by teachers on issues that are directly linked to the subject of our research. After analyzing the answers of all these elements a proposal to recast the teaching in the course of Full Degree in Chemistry was presented specifically regarding the use of errors in learning assessments, such as potential factor of development of students, a proposal based on theoretical assumptions and philosophical education and teaching of Guy Brousseau mathematics among others, favoring an interdisciplinary, constructive, holistic, critical and reflective evaluation that takes into account the interactions between the student and the teacher.

Este trabalho traz um estudo sobre o ensino e a aprendizagem dos números relativos e das operações de adição e subtração. A escolha deste tema de pesquisa está associada às constatações de incompreensões dos números relativos pelos alunos, ao longo de anos de prática docente. A partir dessa prática e dos referenciais teóricos adotados, observou-se que a concepção de número como quantidade constitui-se em obstáculo epistemológico para a aceitação dos números negativos. Foi construída uma sequência didática com o objetivo de promover a compreensão dos números relativos como operadores aditivos e como representação de posição relativa e das operações de adição e subtração. A sequência didática foi aplicada em uma turma do sétimo ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede municipal da cidade de Canoas, durante o primeiro semestre letivo do ano de 2013. A elaboração da sequência didática e a análise dos registros escritos e orais coletados no decorrer de sua implementação apoiaram-se na Teoria dos Campos Conceituais e em pesquisas de autores que estudam o ensino e a aprendizagem dos números relativos. A análise apontou que o desenvolvimento de atividades envolvendo transformações de sentidos opostos, em contextos variados, favoreceu a compreensão dos números relativos como operadores aditivos, bem como das operações de adição e subtração e suas propriedades. Tais resultados também se devem à participação dos alunos em discussões argumentativas acerca de suas próprias soluções para os problemas propostos. Como produto da pesquisa, propomos uma sequência didática aprimorada, a partir das reflexões desenvolvidas sobre a aplicação realizada. / This paper presents a study on the teaching and learning of relative numbers and addition and subtraction operations with such numbers. The choice of this research topic is related to the findings of misunderstandings of the relative numbers by students over years of teaching practice. From this practice and the theoretical frameworks adopted, it was observed that the concept of number as an expression of quantity is an epistemological obstacle to the acceptance of negative numbers. A didactic sequence was constructed with the aim of promoting understanding of the numbers as operators and representations of the relative position, and the understanding of addition and subtraction. The instructional sequence was applied to a seventh year class in an elementary school of the municipality of Canoas, during the first semester of the year 2013. The development of instructional sequence and the analysis of written and oral records collected in the course of its implementation were based on the Conceptual Fields Theory and research of authors who study the teaching and learning of relative numbers. The analysis pointed out that the development of activities involving transformations along opposite directions, in varying contexts, favoured the understanding of numbers as additive operators, as well as understanding of the addition and subtraction operations and their properties. These results are also due to the participation of students in argumentative discussions about their own solutions to the problems posed. As a product of the research, we propose an enhanced instructional sequence, based on the reflections developed during and after the application.