Les travaux présentés dans ce manuscrit se concentrent sur l'approximation numérique des équations de la magnétohydrodynamique (MHD) et sur leur stabilisation pour des problèmes caractérisés par des nombres de Reynolds cinétique élevés ou par des écoulements multiphasiques. Nous validons numériquement un nouveau modèle de Simulation des Grandes Echelles (ou Large Eddy Simulations, LES), dit de viscosité entropique, sur des écoulements de cylindre en précession ou créés par des turbines contra-rotatives (écoulement de Von Kármán). Ces études sont réalisées avec le code MHD SFEMaNS développé par J.-L. Guermond et C. Nore depuis 2002 pour des géométries axisymétriques. Ce code est basé sur une décomposition spectrale dans la direction azimutale et des éléments finis de Lagrange dans un plan méridien. Nous adaptons une méthode de pseudo-pénalisation pour prendre en compte des turbines en mouvement, ce qui étend le code SFEMaNS à des géométries quelconques. Nous présentons aussi une méthode originale d'approximation des équations de Navier-Stokes à densité variable qui utilise la quantité de mouvement comme variable et la viscosité entropique pour stabiliser les équations de la masse et du mouvement. / The investigations presented in this manuscript focus on the numerical approximation of the magnetohydrodynamics (MHD) equations and on their stabilization for problems involving either large kinetic Reynolds numbers or multiphase flows. We validate numerically a new Large Eddy Simulation (LES) model, called entropy viscosity, on flows driven by precessing cylindrical containers or counter-rotating impellers (Von Kármán flow). These studies are performed with SFEMaNS MHD-code developed by J.-L. Guermond and C. Nore since 2002 for axisymmetric geometries. This code is based on a spectral decomposition in the azimuthal direction and a Lagrange finite element approximation in a meridian plane. We adapt a pseudo-penalization method to report the action of rotating impellers that extends the range of SFEMaNS's applications to any geometry. We also present an original approximation method of the Navier-Stokes equations with variable density. This method uses the momentum as variable and stabilizes both mass and momentum equations with the same entropy viscosity.

Le transport de particules par des écoulements turbulents est un phénomène présent dans de nombreux écoulements naturels et industriels, tels que la dispersion de polluants dans l'atmosphère ou du phytoplancton et plastiques dans et à la surface des océans. Les modèles prédictifs classiques ne peuvent prévoir avec précision la formation de larges fluctuations de concentrations. La première partie de cette thèse concerne une étude de la dispersion turbulente de traceurs émis à partir d'une source ponctuelle et continue. Les fluctuations spatiales de masse sont déterminées en fonction de la distance à la source et à l'échelle d'observation. La combinaison de plusieurs phénomènes physiques à l'origine du mélange limite la validité d'une caractérisation de géométrie fractale. Une approche alternative est proposée, permettant d'interpréter les fluctuations massiques en terme des différents régimes de séparation de pair dans des écoulements turbulents. La seconde partie concerne des particules ayant une inertie finie, dont la dispersion dans l'espace des vitesses requiert de développer des techniques de modélisation adaptées. Une méthode numérique originale est proposée pour exprimer la distribution des particules dans l'espace position-vitesse. Cette méthode est ensuite utilisée pour décrire la modulation de la turbulence bi- dimensionnelle par des particules inertielles. A grand nombres de Stokes, l'effet montré est analogue à celui d'une friction effective à grande échelle. Aux petits Stokes, le spectre de l'énergie cinétique du fluide et les transferts non-linéaires sont modifiées d'une manière non triviale. / The transport of particles by turbulent flows is ubiquitous in nature and industry. It occurs in planet formation, plankton dynamics and combustion in engines. For the dispersion of atmospheric pollutants, traditional predictive models based on eddy diffusivity cannot accurately reproduce high concentration fluctuations, which are of primal importance for ecological and health issues. The first part of this thesis relates to the dispersion by turbulence of tracers continuously emitted from a point source. Mass fluctuations are characterized as a function of the distance from the source and of the observation scale. The combination of various physical mixing processes limits the use of fractal geometric tools. An alternative approach is proposed, allowing to interpret mass fluctuations in terms of the various regimes of pair separation in turbulent flows. The second part concerns particles with a finite and possibly large inertia, whose dispersion in velocity requires developing efficient modelling techniques. A novel numerical method is proposed to express inertial particles distribution in the position-velocity phase space. Its convergence is validated by comparison to Lagrangian measurements. This method is then used to describe the modulation of two-dimensional turbulence by large-Stokes-number heavy particles. At high inertia, the effect is found to be analogous to an effective large-scale friction. At small Stokes numbers, kinetic energy spectrum and nonlinear transfers are shown to be modified in a non-trivial way which relates to the development of instabilities at vortices boundaries.

L’ajout de particules d’aluminium dans le chargement des moteurs à propergol solide améliore les performances propulsives, mais peut aussi entraîner différents phénomènes néfastes, dont des oscillations de pression. Des travaux de recherche sont réalisés depuis de nombreuses années afin d’améliorer la compréhension de ces phénomènes, notamment par l’utilisation de la simulation numérique. Cependant les données d’entrée de la simulation numérique, en particulier la taille et la vitesse initiale des particules d’aluminium dans l’écoulement, sont souvent difficiles à obtenir pour des propulseurs réels. L’ONERA développe depuis plusieurs années un montage d’ombroscopie permettant de visualiser les particules d’aluminium proches de la surface de petits échantillons en combustion. La présente étude porte sur le développement d’outils pour analyser les images expérimentales du montage d’ombroscopie et améliorer l’interaction avec la simulation numérique diphasique. Une première partie concerne des échantillons de propergol contenant des particules inertes, dont l’intérêt est de permettre de valider les méthodes de mesure sur des images relativement simple et avec des données de référence. Les outils mis en œuvre portent sur la détection et le suivi des particules dans des séquences d’image, ainsi que sur la localisation de la surface du propergol. Une bonne correspondance des distributions de taille a été obtenu avec les distributions de référence. La mise en vitesse des particules quittant la surface a été confrontée à un modèle simplifié de transport de particules dans un écoulement constant. L'utilisation de ce modèle a permis de souligner l'importance de la population de pistes détectées pour bien exploiter un profil de vitesse moyen, en particulier en termes de diamètre moyen. Une simulation numérique diphasique a ensuite été réalisée pour l’expérience d’ombroscopie. Différents paramètres ont été étudiées (type et taille de maillage, paramètres thermodynamiques...) afin d'obtenir un champ stationnaire simulé pour les gaz du propergol. Le mouvement des particules inertes simulées a pu être comparé aux profils expérimentaux pour différentes stratégies d'injection, soit en utilisant un diamètre moyen, soit à partir d’une distribution lognormale. L’autre partie de l'étude est consacrée à l’analyse des images expérimentales de la combustion de particules d’aluminium. La complexité des images dans ces conditions a conduit à utiliser une approche de segmentation sémantique par apprentissage profond, visant à classer tous les pixels de l'image en différentes classes, en particulier goutte d'aluminium et flamme d'aluminium. L’apprentissage a été mené avec une base restreinte d’images annotées en utilisant le réseau U-Net, diverses adaptations pour le traitement des images d’ombroscopie ont été étudiées. Les résultats sont comparés à une technique de référence basée sur une détection d’objets MSER. Ils montrent un net gain à l’utilisation de techniques neuronales pour la ségrégation des gouttes d'aluminium de la flamme. Cette première démonstration de l'utilisation de réseau de neurones convolutifs sur des images d'ombroscopie propergol est très prometteuse. Enfin nous traçons des perspectives côté analyse d’image expérimentales et simulation numériques pour améliorer l’utilisation conjointe de ces deux outils dans l’étude des propergols solides. / The addition of aluminum particles in the solid propellant loading improves propulsive performance, but can also lead to various adverse phenomena, including pressure oscillations. Research has been carried out for many years to improve the understanding of these phenomena, particularly through the use of numerical simulation. However, the input data of the numerical simulation, especially the size and the initial velocity of the aluminum particles in the flow, are often difficult to obtain for real rocket motors. ONERA has been developing a shadowgraphy set-up for several years to visualize aluminum particles near the surface of propellant samples in combustion. The present study deals with the development of tools to analyze the experimental images of the shadowgraphy set-up and to improve the interaction with the two-phase digital simulation. A first part concerns propellant samples containing inert particles, which interest is to make it possible to validate the measurement methods on relatively simple images and with reference data. The implemented tools concern the detection and the tracking of particles in image sequences, as well as the location of the surface of the propellant. Good correspondence of size distributions was obtained with reference distributions. The velocity of particles leaving the surface has been confronted with a simplified model of particle transport in a constant flow. The use of this model has made it possible to emphasize the importance of the population of detected tracks in order to make good use of an average velocity profile, particularly in terms of average diameter. A two-phase flow simulation was then carried out for the shadowgraphy experiment. Different parameters were studied (type and size of mesh, thermodynamic parameters ...) in order to obtain a simulated stationary field for propellant flow. The movement of the simulated inert particles could be compared to the experimental profiles for different injection strategies, either using a mean diameter or using a lognormal distribution. The other part of the study is devoted to the analysis of experimental images of the combustion of aluminum particles. The complexity of the images under these conditions has led to the use of a deep learning semantic segmentation approach, aiming to classify all the pixels of the image into different classes, in particular aluminum droplet and flame. The learning was conducted with a restricted base of annotated images using the U-Net neural network, with various adaptations on the processing of the experimental images were studied. The results are compared to a reference technique based on MSER object detection. They show a clear gain in the use of neural techniques for the segregation of aluminum drops of the flame. This first demonstration of the use of convolutional neuronal network on propellant shadowgraphy images is very promising. Finally, we draw perspectives on experimental image analysis and numerical simulation to improve the joint use of these two tools in the study of solid propellants.

Ce travail de recherche se situe dans le cadre du développement de la méthode des éléments de frontière (BEM) pour les milieux poreux multiphasiques. À l'heure actuelle, l'application de la BEM aux pr oblèmes des milieux poreux non-saturés est encore limitée, car l'expression analytique exacte de la solution fondamentale n'a pas été obtenue, ni dans le domaine transformé ni dans le domaine réel. Ceci provient de la complexité du système d'équations régissant le comportement des milieux poreux non-saturés. Les développements de la BEM pour les sols non-saturés effectués au cours de cette thèse sont basés sur les modèles thermo-hydro-mécanique (THHM) et hydro-mécanique (HHM) présentés dans la première partie de ce mémoire. Ces modèles phénoménologiques basés sur la théorie de la poromécanique et les acquis expérimentaux sont obtenus dans le cadre du modèle mathématique présenté par Gatmiri (1997) et Gatmiri et al. (1998). Après avoir présenté les modèles THHM et HHM, on établit pour la première fois les équations intégrales de frontière et les solutions fondamentales associées pour un milieu poreux non-saturé sous chargement quasi-statique pour les deux cas isotherme (2D dans le domaine de Laplace) et non-isotherme (2D et 3D dans les domaines de Laplace et temporel). Aussi, les équations intégrales de frontière ainsi que les solutions fondamentales 2D et 3D (dans le domaine de Laplace) pour le modèle dynamique couplé des sols non-saturés sont obtenues. Ensuite, les formulations d'éléments de frontière (BEM) basées sur la méthode quadrature de convolution (MQC) concernant les milieux poreux saturé et non-saturé sous chargement quasi-statique isotherme et dynamique sont implémentées dans le code de calcul « HYBRID ». Ayant intégrées les formulations de BEM pour les problèmes de propagation d'ondes ainsi que pour les problèmes de consolidation dans les milieux poreux saturés et non-saturés, il semble que nous ayons fourni à l'heure actuelle le premier code de calcul aux éléments de frontière (BEM) qui modélise les différents problèmes dans les sols secs, saturés et non-saturés. Une fois le code vérifié et validé, des études paramétriques portant sur des effets de site sismiques sont effectuées. Le but recherché est d'aboutir à un critère simple, directement exploitable par les ingénieurs, combinant les caractéristiques géométriques et les caractéristiques du sol, permettant de prédire l'amplification du spectre de réponse en accélération dans des vallées sédimentaires aussi bien que vides / The purpose of this dissertation is to develop a boundary element method (BEM) for multiphase porous media. Nowadays, the application of the BEM for solving problems of unsaturated porous media is still limited, because no fundamental solution exists in the published literature, neither in the frequency nor time domain. This fact rises from the complexity of the coupled partial differential equations governing the behaviour of such media. The developments of the BEM for the unsaturated soils carried out during this thesis are based on the thermo-hydro-mechanical (THHM) and hydro-mechanical (HHM) models presented in the first part of this dissertation. These phenomenological models are presented based on the experimental observations and with respect to the poromechanics theory within the framework of the suction-based mathematical model presented by Gatmiri (1997) and Gatmiri et al. (1998). After having presented the THHM and HHM models, for the first time, one establishes the boundary integral equations (BIE) and the associated fundamental solutions for the unsaturated porous media subjected to quasi-static loading for both isothermal (2D in the Laplace transform domain) and non-isothermal (2D and 3D in Laplace transform and time domains) cases. Also, the boundary integral equations as well as the fundamental solutions (2D and 3D in the Laplace transform domain) are obtained for the fully coupled dynamic model of unsaturated soils.In the next step, the boundary element formulations (BEM) based on the convolution quadrature method (CQM) regarding the saturated and unsaturated porous media subjected to isothermal quasi-static and dynamic loadings are implemented via the computer code HYBRID. Having integrated the BEM formulations for the wave propagation, as well as the consolidation problems in the saturated and unsaturated porous media, it seems that now the first boundary element code is obtained that can model the various problems in dry, saturated and unsaturated soils. Once the code is verified and validated, parametric studies on seismic site effects are carried out. The aim is to achieve a simple criterion directly usable by engineers, combining the topographical and geological characteristics of the soil, to predict the amplification of acceleration response spectra in sedimentary as well as hollow valleys

Des études cinétiques et des analyses de surface ont été effectuées sur la réaction multiphasique entre le gaz NO₂ et des cristaux de NaCl en présence de molécules tensio-actives sous air humide. Ces études de laboratoire contribuent à la validation de processus de chimie atmosphérique suggérés par des campagnes de mesure sur des aérosols d'origine marine. Les vents provoquant des vagues à la surface des océans propulsent de nombreuses gouttelettes d'eau de mer dans la troposphère où elles se déshydratent partiellement et forment l'aérosol marin, constitué de particules de taille micrométrique comportant du NaCl et de nombreux composés mineurs dont des acides gras (stéarique, oléique). Les concentrations en particules peuvent dépasser 20 µg/m³ dans l'air des zones côtières. Des quantités énormes d'oxydes d'azote (NO, NO₂) sont émises actuellement par les transports et le chauffage et leur concentrations peuvent dépasser 100 µg/m³ dans les zones fortement antropisées. Le passage de masses d'air d'origine marine dans des zones fortement urbanisées a des impacts négatifs sur la qualité des eaux continentales par des pluies chargées en nitrates et sur la qualité de l'air par des dégagements de gaz chlorés. La cinétique de la réaction montre que la capture de NO₂ par NaCl est favorisée par une forte humidité de l'air. Par contre un revêtement d'acides gras réduit peu la production de NaNO₃ et l'émission de NOCl. Les études de surfaces par microimagerie Raman polarisée et microscopie à force atomique mettent en évidence des processus de précipitation et de migration de surface dans la production de nanocristaux de NaNO₃ et le faible rôle protecteur des molécules tensio-actives.

Ce travail présente quelques aspects de la théorie et de l'approximation numérique des écoulements multiphasiques compressibles.

Ce travail porte sur la simulation numérique des écoulements multiphasiques compressibles en déséquilibre de vitesses. Un solveur de Riemann diphasique de type HLLC, à la fois robuste, simple et précis est développé et validé à partir de solutions exactes et de données expérimentales. Cette méthode numérique est étendue au cas 3D non-structuré. Par ailleurs, la construction d’une technique numérique pour la répartition de l’énergie d’une onde de choc dans les différentes phases constituant le milieu est établie et permet le respect des conditions de choc multiphasiques. L’extension multiphasique du solveur de Riemann de type HLLC est réalisée, permettant ainsi la simulation d’une plus large gamme d’applications. Enfin, un modèle de transfert de chaleur et de masse dans un brouillard de gouttes ou nuage de bulles, en présence d’effets couplés de diffusion thermique et massiques, est proposé et dévoile des résultats intéressants. / This work deals with the numerical simulation of compressible multiphase flows in velocity disequilibrium. A HLLC-type two-phase Riemann solver is developed and validated against exact solutions and experimental data. This solver is robust, simple, accurate and entropy preserving. The numerical method is then implemented in 3D unstructured meshes. Furthermore, a numerical technique consisting in enforcing the correct energy partition at a discrete level in agreement with the multiphase shock relations is built. The multiphase extension of the HLLC-type Riemann solver is realized and allows the simulation of a wide range of applications. Finally, a droplet heat and mass transfer model with large range of validity is derived. It is valid in any situation: evaporation, flashing and condensation. It accounts for coupled heat and mass diffusion in the gas phase, thermodynamics of the multi-component gas mixture and heat diffusion inside the liquid droplet, enabling in this way consideration of both droplets heating and cooling phenomena.

Ce travail porte sur la modélisation de la formation et la dispersion d'un nuage de gouttes, par déconfinement d'un liquide: agression extérieure ou situation accidentelle. Le but est la construction d'un modèle apte à reproduire simultanément les conditions génératrices de la formation du nuage et l'évolution de ce nuage dans le temps (dispersion). La principale difficulté réside en la différence des modèles adaptés à la description d'écoulements caractérisant chaque étape du phénomène global : modèle d'écoulement multiphasique à phases compressibles (milieux continus) initialement, puis fragmentation et formation du nuage de gouttes dispersées dans une phase porteuse (modèle d'écoulements dilués). En l'absence de modèle analytique unique apte à décrire l'ensemble de ces processus, on propose une approche originale pour réaliser un couplage effectif entre ces deux modèles. La problématique de formation et de dispersion de liquide implique la prise en compte de plusieurs phénomènes physiques: fragmentation, transferts de chaleur et de masse ainsi que la traînée entre les phases. Ces différents phénomènes sont introduits dans le modèle global via des termes d'interactions présents dans les systèmes d'équations. La construction de ce modèle complet à permis la réalisation de calculs décrivant la formation et la dispersion d'un nuage de gouttes pouvant intervenir lors de situations accidentelles sur des sites industriels par exemple. / This work focuses on modeling the formation and the dispersion of a cloud of droplets, induced by ejection of a liquid, resulting from an external aggression or an accidental situation. The goal is to build a model able to reproduce simultaneously the conditions which generate the cloud formation and the cloud evolution in time (dispersion). The main difficulty lies in the differences between the already existing models adapted to the description of flows which are able to characterize each stage of the global phenomenon: initially a multiphase flow model with compressible phases (Continuum), then the atomization and the formation of a cloud of droplets dispersed in a carrier phase (dilute flow model). We propose a new approach to achieve an effective coupling between these two models. The problem of the formation and the dispersion of the liquid requires to take into account several physical phenomena: atomization, heat and mass transfers and drag between phases. These phenomena are included in the global model through interaction terms involved in the systems of equations. The construction of this model has permited the realization of calculations describing the formation and dispersion of a cloud of droplets which may occur during, for axample, in accidental situations at industrial sites.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation et l'analyse mathématique de certains problèmes liés aux écoulements en suspension.Le premier chapitre concerne la justification du modèle de type transport-Stokes pour la sédimentation de particules sphériques dans un fluide de Stokes où l'inertie des particules est négligée et leur rotation est prise en compte. Ce travail est une extension des résultats antérieurs pour un ensemble plus général de configurations de particules.Le deuxième chapitre concerne la sédimentation d'une distribution d'amas de paires de particules dans un fluide de Stokes. Le modèle dérivé est une équation de transport-Stokes décrivant l'évolution de la position et l'orientation des amas. Nous nous intéressons par la suite au cas où l'orientation des amas est initialement corrélée aux positions. Un résultat d'existence locale et d'unicité pour le modèle dérivé est présenté.Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à la dérivation d'un modèle de type fluide-cinétique pour l'évolution d'un aérosol dans les voies respiratoires. Ce modèle prend en compte la variation du rayon des particules et leur température due à l'échange d'humidité entre l'aérosol et l'air ambiant. Les équations décrivant le mouvement de l'aérosol est une équation de type Vlasov-Navier Stokes couplée avec des équations d'advection diffusion pour l'évolution de la température et la vapeur d'eau dans l'air ambiant.Le dernier chapitre traite de l'analyse mathématique de l'équation de transport-Stokes dérivée au premier chapitre. Nous présentons un résultat d'existence et d'unicité globale pour des densités initiales de type $L^1 cap L^infty$ ayant un moment d'ordre un fini. Nous nous intéressons ensuite à des densités initiales de type fonction caractéristique d'une gouttelette et montrons un résultat d'existence locale et d'unicité d'une paramétrisation régulière de la surface de la gouttelette. Enfin nous présentons des simulations numériques montrant l'aspect instable de la gouttelette. / This thesis is devoted to the modelling and mathematical analysis of some aspects of suspension flows.The first chapter concerns the justification of the transport-Stokes equation describing the sedimentation of spherical rigid particles in a Stokes flow where particles rotation is taken into account and inertia is neglected. This work is an extension of former results for a more general set of particles configurations.The second chapter is dedicated to the sedimentation of clusters of particle pairs in a Stokes flow. The derived model is a transport-Stokes equation describing the time evolution of the position and orientation of the cluster. We also investigate the case where the orientation of the cluster is initially correlated to its position. A local existence and uniqueness result for the limit model is provided.In the third chapter, we propose a coupled fluid-kinetic model taking into accountthe radius growth of aerosol particles due to humidity in the respiratorysystem. We aim to numerically investigate the impact of hygroscopic effects onthe particle behaviour. The air flow is described by the incompressibleNavier-Stokes equations, and the aerosol by a Vlasov-type equation involving the air humidity and temperature, both quantities satisfying a convection-diffusion equation with a source term.The last chapter is dedicated to the analysis of the transport-Stokes equation derived in the first chapter. First we present a global existence and uniqueness result for $L^1cap L^infty$ initial densities with finite first moment. Secondly, we consider the case where the initial data is the characteristic function of a droplet. We present a local existence and uniqueness result for a regular parametrization of the droplet surface. Finally, we provide some numerical computations that show the regularity breakup of the droplet.

Depuis plusieurs décennies, une importante activité scientifique se concentre sur la description numérique, théorique ou expérimentale de l'hydrodynamique des écoulements multiphasiques. Ces écoulements sont caractérisés par l'existence d'interfaces, et d'une force à l'interface, la tension superficielle, séparant généralement deux fluides non miscibles. Un cas d'étude dans ce contexte est le problème du drainage d'une unique goutte dans une phase continue, l'ensemble étant soumis à la gravité. Ce système fait apparaître des écoulements récemment décrits pour une goutte d'eau dans l'huile de paraffine. Ce système constitue également un modèle simple pour l'étude des propriétés aux interfaces, Mais d'un point de vue numérique, se pose alors le problème de la stabilité des algorithmes pouvant être utilisés. Les effets aux interfaces impliquent en effet des domaines spatiaux très limités dans lesquels les grandeurs physiques entre les deux fluides sont discontinues. D'importants artéfacts numériques peuvent alors être générés dans les simulations et faire perdre la richesse de la physico-chimie du système considéré. Le problème de la simulation d'écoulements multiphasiques intéresse aussi bien le monde académique que le monde industriel. L'objectif de ce travail de thèse est donc d'implémenter les techniques numériques les plus récentes et de développer un code pour permettre la simulation de l'hydrodynamique de systèmes dispersés. Pour parvenir à ce but, il reste encore des problèmes algorithmiques importants à résoudre comme la prise en compte des effets thermocapillaires et thermosolutaux. Ces deux derniers points sont l'objet de cette thèse. / For several decades, an important scientific activity has focused on the numerical, theoretical and experimental hydrodynamics of drops. This work presents numerical results of a single droplet in the gravity field and in non-isothermal conditions. The simulation such a multiphase system is important in both academic and industrial world. This is particularly the case in the field of emulsions, wetting problems and evaporation. To achieve this goal, there are still important algorithmic problems due to the free moving interfaces and the description of capillary effects. Here, a Volume of Fluid technique has been implemented with high order temporal and spatial schemes to preserve the sharpness of the drop interface. The system under consideration is a simplified model consisting in a single water droplet in a continuous paraffin oil phase. These liquids are immiscible and non-compressible and the overall evolution is unsteady. Capillary contributions such as temperature and surfactant dependent surface tension are fully accounted for. This presentation is aimed to show the capabilities of VOF techniques for the simulations of unsteady multiphase systems in non-isothermal configurations. The role of the droplet initial position and temperature field is described with good numerical stability. There are still important problems remaining in the simulation of free interface systems with such a technique. Spurious currents induced by the description of capillarity can in particular come into play. But these latter can be controlled once the droplet average velocity due to drainage becomes large enough.