Lorsqu'un gaz de bosons est suffisament refroidi, une transition de phase apparaît : toutes les particules se concentrent dans le m^eme état d'énergie. On appelle l'objet résultant de ce phénomène un condensat de Bose-Einstein. On peut le décrire par une fonction d'onde macroscopique, minimisant à l'équilibre la fonctionnelle d'énergie de Gross-Pitaevskii. Une des propriétés remarquables des condensats est leur superfluidité. Elle peut se manifester par l'apparition de vortex (tourbillons) dans un condensat mis en rotation. Dans cette thèse nous étudions le comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Gross-Pitaevskii bi-dimensionelle et des énergies associées dans différents régimes de paramètres rendant compte de situations physiquement intéressantes. Nous cherchons à identifier certaines transitions de phase caractérisées par l'organisation des vortex du condensat. Dans une première partie nous étudions une situation où il est justié physiquement de considérer un problème simplifié. La minimisation de la fonctionnelle d'énergie est alors restreinte au premier espace propre de l'opérateur de Ginzburg-Landau (le plus bas niveau de Landau, lié à l'espace de Fock-Bargmann). Nous étudions théoriquement et numériquement le modèle simplifié dans un régime où le condensat est annulaire et contient un réseau de vortex déformé. Une seconde partie est consacrée à un régime de rotation extrême où le problème limite devient linéaire. Nous montrons que ce problème limite décrit correctement les asymptotiques d'énergie et de densité de matière. Sous une hypothèse supplémentaire nous démontrons qu'un vortex géant se forme, c'est-à-dire un condensat annulaire dont tous les vortex se rassemblent dans la zone centrale de faible densité de matière. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'évaluation de la vitesse critique pour l'apparition du vortex géant. Nous montrons d'abord que le vortex géant apparaît au dessus d'un certain seuil que nous calculons en fonction des autres paramètres du problème, ce qui fournit une borne supérieure de la vitesse critique. Dans une quatrième partie nous montrons que cette borne supérieure est en fait optimale en considérant des vitesses proches du seuil par valeur inférieure. Nous montrons alors que des vortex sont présents dans le condensat et qu'ils se répartissent uniformément le long d'un cercle.

Les processus ponctuels spatiaux forment une branche de la statistique spatiale utilisée dans des domaines d'application variés (foresterie, géo-marketing, sismologie, épidémiologie...) et développée par de récents travaux théoriques. Nous nous intéressons principalement dans cette thèse à l'apport de la théorie des processus ponctuels spatiaux pour des problèmes de positionnement optimal, ainsi que pour la définition de nouveaux indices de concentration basés sur les distances en économétrie. Le problème de positionnement optimal s'écrit souvent comme un problème d'optimisation prenant en compte des données geo-référencées auxquelles peuvent être associées des caractéristiques. Pour prendre en compte l'aléa, nous considérons ces données issues d'un processus ponctuel spatial pour résoudre un problème de positionnement stochastique plus réaliste qu'un modèle déterministe. A travers l'étude du positionnement optimal d'une nouvelle caserne de pompiers dans la région toulousaine, nous développons une méthode de résolution stochastique permettant de juger de la variabilité de la solution optimale et de traiter des bases de données volumineuses. L'approche implémentée est validée par des premiers résultats théoriques sur le comportement asymptotique des solutions optimales empiriques. La convergence presque sure des solutions optimales empiriques de l'étude de cas précédente est obtenue dans un cadre i.i.d. en utilisant la théorie de Vapnik-Cervonenkis. Nous obtenons aussi la convergence presque sure des solutions optimales empiriques, dans un cadre plus général, pour un problème de positionnement dérivé du problème de transport de Monge-Kantorovich. Nous nous intéressons ensuite à des indices de concentration basés sur des distances en économétrie. Ces indices de concentration peuvent s'écrire comme des estimateurs de caractéristiques du second ordre de processus ponctuels marqués. Nous définissons ensuite un estimateur non-paramétrique d'une nouvelle caractéristique d'un processus ponctuel spatial marqué définissant ainsi un nouvel indice de concentration améliorant ceux déjà existants. Dans un cadre asymptotique avec fenêtre d'observation bornée, notre estimateur est asymptotiquement sans biais.

Ce mémoire de thèse porte sur les ondes progressives pour l'équation de Gross-Pitaevskii, et les ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili.<br /><br />L'équation de Gross-Pitaevskii est un modèle pour l'analyse des condensats de Bose-Einstein, de la supraconductivité, de la superfluidité ou de l'optique non linéaire. Les équations de Kadomtsev-Petviashvili décrivent l'évolution d'ondes dispersives, faiblement non linéaires, et des ondes sonores dans les matériaux anti-ferromagnétiques.<br /><br />On s'intéresse ici aux propriétés d'existence et au comportement asymptotique de ces ondes. On montre la non-existence des ondes progressives supersoniques, non constantes, d'énergie finie, pour<br />l'équation de Gross-Pitaevskii en dimension supérieure ou égale à deux, puis celle des ondes progressives soniques, non constantes, d'énergie finie, en dimension deux. On décrit ensuite le comportement asymptotique des ondes progressives subsoniques, d'énergie finie, pour l'équation de Gross-Pitaevskii, puis celui des ondes solitaires pour les équations de Kadomtsev-Petviashvili en dimension supérieure ou égale à deux.

Cette thèse s'inscrit dans les domaines de la statistique non-paramétrique et de la théorie statistique de l'apprentissage. Son objet est la compréhension fine de certaines méthodes de rééchantillonnage ou de sélection de modèles, du point de vue non-asymptotique. <br /><br />La majeure partie de ce travail de thèse consiste dans la calibration précise de méthodes de sélection de modèles optimales en pratique, pour le problème de la prédiction. Nous étudions la validation croisée V-fold (très couramment utilisée, mais mal comprise en théorie, notamment pour ce qui est de choisir V) et plusieurs méthodes de pénalisation. Nous proposons des méthodes de calibration précise de pénalités, aussi bien pour ce qui est de leur forme générale que des constantes multiplicatives. L'utilisation du rééchantillonnage permet de résoudre des problèmes difficiles, notamment celui de la régression avec un niveau de bruit variable. Nous validons théoriquement ces méthodes du point de vue non-asymptotique, en prouvant des inégalités oracle et des propriétés d'adaptation. Ces résultats reposent entre autres sur des inégalités de concentration.<br /><br />Un second problème que nous abordons est celui des régions de confiance et des tests multiples, lorsque l'on dispose d'observations de grande dimension, présentant des corrélations générales et inconnues. L'utilisation de méthodes de rééchantillonnage permet de s'affranchir du fléau de la dimension, et d'"apprendre" ces corrélations. Nous proposons principalement deux méthodes, et prouvons pour chacune un contrôle non-asymptotique de leur niveau.

La formation d'une couche d'oxyde thermique sur un métal entraîne l'apparition d'une déformation spécifique liée à la croissance de l'oxyde. Nous considérons que cette déformation est proportionnelle à l'épaisseur de la couche d'oxyde. Nous avons analysé les contraintes de « croissance » associées, dans les oxydes se développant sur des substrats de nickel, de fer et enfin de fer phosphaté. L'oxydation des deux premiers métaux est parabolique. En revanche, l'oxydation du fer phosphaté montre plusieurs caractéristiques. Des analyses menées par Diffraction des Rayons X (évolution des pourcentages de phases) ont montré que le film de phosphate se comportait comme une barrière de diffusion. La mesure des contraintes dans les oxydes a été réalisée in-situ par thermodiffraction avec l'apport du Rayonnement Synchrotron. Enfin, la modélisation de l'évolution des contraintes dans les systèmes oxydes thermiques sur métal nous a permis de reproduire qualitativement les résultats expérimentaux.

Quelles sont les déformations et les contraintes que subissent une structure gonflée précontrainte lorsqu'elle est soumise à des perturbations de son environnement extérieur? Cette thèse répond à cette interrogation dans le cas d'un lobe formé de deux membranes orthotropes, fixées sur leurs longueurs à deux axes rigides, successivement rectilignes puis légèrement arrondis, et sur leurs largeurs à des arcs de cercle également rigides. L'intérieur est gonflé par un gaz supposé parfait.<br /> A partir d'une modélisation mécanique en élasticité linéaire, nous avons établi un modèle mathématique rigoureux en 3D. Puis en faisant tendre l'épaisseur des membranes vers zéro, nous avons obtenu un modèle asymptotique 2D, bien posé pour certaines forces, dites admissibles, dans des espaces obtenus par complétion. Nous avons alors démontré que la suite des valeurs moyennes dans l'épaisseur des solutions des problèmes 3D converge fortement vers l'unique solution du problème asymptotique. Nous avons de plus mis en évidence des conditions suffisantes d'admissibilité des forces extérieures.<br /> L'analyse numérique du modèle asymptotique a montré que les estimations d'erreur a priori se font dans la norme de l'énergie. Ce qui, comme l'ont confirmé quelques essais numériques, ne va pas sans poser de problèmes quand on s'intéresse aux déplacements, mais est tout à fait satisfaisant du point de vue des contraintes.

Pour simuler la propagation laser, nous utilisons l'approximation paraxiale de l'équation de Klein-Gordon.<br />Dans une première partie, nous menons une analyse asymptotique de l'équation de Klein-Gordon. Nous obtenons dans divers cas des problèmes approchés de type Schrödinger ou advection-Schrödinger. Nous montrons que ces problèmes sont bien posés et estimons la différence entre problème exact et problème approché.<br />Dans une deuxième partie, nous étudions le problème d'advection-Schrödinger sur un domaine borné et non plus sur tout l'espace, et montrons quelle condition au bord il faut imposer pour que la solution de notre problème sur le domaine soit la restriction de la solution sur l'espace entier.<br />Dans une troisième partie, nous utilisons les résultats précédents pour construire une méthode de résolution numérique, et présentons les simulations obtenues.

En optimisation de formes, de nombreux résultats ont déjà été obtenus dans le <br />cas de domaines à frontière régulière et pour des perturbations régulières de ces domaines. <br />Par contre, l'étude de domaines non-réguliers, tels que des domaines fissurés par exemple, <br />et l'étude de perturbations singulières telles que la création d'un trou dans un domaine est <br />plus récente et plus complexe. Ce nouveau domaine de recherche est motivé par de multiples <br />applications, car en pratique, les hypothèses de régularité ne sont pas toujours vérifiées. Les <br />outils tels que la dérivée topologique permettent d'appréhender ces perturbations singulières <br />de domaines et leur utilisation est maintenant fréquente. <br /><br />Dans la première partie, nous étudions la structure de la dérivée de forme pour des domaines fissurés. Dans le cas d'un ouvert régulier, de classe C1 ou lipschitzien par exemple, <br />la dérivée dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de <br />la normale. Ce théorème de structure n'est plus valable pour des domaines contenant des <br />fissures. On généralise ici ce théorème de structure aux domaines fissurés en dimension quelconque pour les dérivées premières et secondes. En dimension deux, on retrouve le résultat <br />usuel, à savoir qu'en plus du terme classique, deux nouvelles contributions apparaissent dûes <br />aux extrémités de la fissure. En dimension supérieure, un nouveau terme apparaît en plus du <br />terme classique, dû à la frontière de la variété à bord représentant la fissure. <br /><br />Dans la deuxième partie, nous étudions la perturbation singulière d'un domaine et nous <br />modélisons cette perturbation à l'aide d'extensions auto-adjointes d'opérateurs. Nous décrivons cette modélisation, puis nous montrons comment elle peut être utilisée pour un problème <br />d'optimisation de forme. En définissant une fonctionnelle d'énergie approchée pour ce problème modèle, on retrouve notamment la formule de la dérivée topologique usuelle. <br /><br />Dans la troisième partie, on propose une application numérique de la dérivée topologique <br />et de la dérivée de forme pour un problème non-linéaire. On cherche à maximiser l'énergie <br />associée à la solution d'un problème de Signorini dans un domaine ­. L'évolution du domaine <br />est représentée à l'aide d'une méthode levelset.

Il existe des situations de modélisation statistique pour lesquelles le problème classique de classification non supervisée (c'est-à-dire sans information a priori sur la nature ou le nombre de classes à constituer) se double d'un problème d'identification des variables réellement pertinentes pour déterminer la classification. Cette problématique est d'autant plus essentielle que les données dites de grande dimension, comportant bien plus de variables que d'observations, se multiplient ces dernières années : données d'expression de gènes, classification de courbes... Nous proposons une procédure de sélection de variables pour la classification non supervisée adaptée aux problèmes de grande dimension. Nous envisageons une approche par modèles de mélange gaussien, ce qui nous permet de reformuler le problème de sélection des variables et du choix du nombre de classes en un problème global de sélection de modèle. Nous exploitons les propriétés de sélection de variables de la régularisation l1 pour construire efficacement, à partir des données, une collection de modèles qui reste de taille raisonnable même en grande dimension. Nous nous démarquons des procédures classiques de sélection de variables par régularisation l1 en ce qui concerne l'estimation des paramètres : dans chaque modèle, au lieu de considérer l'estimateur Lasso, nous calculons l'estimateur du maximum de vraisemblance. Ensuite, nous sélectionnons l'un des ces estimateurs du maximum de vraisemblance par un critère pénalisé non asymptotique basé sur l'heuristique de pente introduite par Birgé et Massart. D'un point de vue théorique, nous établissons un théorème de sélection de modèle pour l'estimation d'une densité par maximum de vraisemblance pour une collection aléatoire de modèles. Nous l'appliquons dans notre contexte pour trouver une forme de pénalité minimale pour notre critère pénalisé. D'un point de vue pratique, des simulations sont effectuées pour valider notre procédure, en particulier dans le cadre de la classification non supervisée de courbes. L'idée clé de notre procédure est de n'utiliser la régularisation l1 que pour constituer une collection restreinte de modèles et non pas aussi pour estimer les paramètres des modèles. Cette étape d'estimation est réalisée par maximum de vraisemblance. Cette procédure hybride nous est inspirée par une étude théorique menée dans une première partie dans laquelle nous établissons des inégalités oracle l1 pour le Lasso dans les cadres de régression gaussienne et de mélange de régressions gaussiennes, qui se démarquent des inégalités oracle l0 traditionnellement établies par leur absence totale d'hypothèse.

Les modèles linéaires généralisés sont une généralisation des modèles de régression linéaire, et sont très utilisés dans le domaine du vivant. Le modèle de régression logistique, l'un des modèles de cette classe, très souvent utilisé dans les études biomédicales demeure le modèle de régression le plus approprié quand il s'agit de modéliser une variable discrète de nature binaire. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de l'inférence statistique dans le modèle de régression logistique, en présence d'individus immunes dans la population d'étude.Dans un premier temps, nous considérons le problème de l'estimation dans le modèle de régression logistique en présence d'individus immunes, qui entre dans le cadre des modèles de régression à excès de zéros (ou zéro-inflatés). Un individu est dit immune s'il n'est pas exposé à l'événement d'intérêt. Le statut d'immunité est inconnu sauf si l'événement d'intérêt a été observé. Nous développons une méthode d'estimation par maximum de vraisemblance en proposant une modélisation conjointe de l'immunité et des risques d'infection. Nous établissons d'abord l'identifiabilité du modèle proposé. Puis, nous montrons l'existence de l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres de ce modèle. Nous montrons ensuite,la consistance de cet estimateur, et nous établissons sa normalité asymptotique. Enfin, nous étudions, au moyen de simulations, leur comportement sur des échantillons de taille finie.Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à la construction de bandes de confiance simultanées pour la probabilité d'infection, dans le modèle de régression logistique avec fraction immune. Nous proposons trois méthodes de constructions de bandes de confiance pour la fonction de régression. La première méthode (méthodede Scheffé) utilise la propriété de normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance, et une approximation par une loi du khi deux pour approcher le quantile nécessaire à la construction des bandes. La deuxième méthode utilise également la propriété de normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance et est basée sur une égalité classique de (Landau & Sheep 1970). La troisième méthode (méthode bootstrap) repose sur des simulations, pour estimer le quantile approprié de la loi du supremum d'un processus gaussien. Enfin, nous évaluons, au moyen de simulations, leurs propriétés sur des échantillons de taille finie.Enfin, nous appliquons les résultats de modélisation à des données réelles surla dengue. Il s'agit d'une maladie vectorielle tropicale à transmission strictement inter-humaine. Les résultats montrent que les probabilités d'infection estimées à partir de notre approche de modélisation sont plus élevées que celles obtenues à partir d'un modèle de régression logistique standard qui ne tient pas compte d'une possible immunité. En particulier, les estimations fournies par notre approche suggèrent que le sous-poids constitue un facteur de risque majeur de l'infection par la dengue, indépendamment de l'âge.