The solution of stiff systems of Ordinary Differential Equations (ODEs), that typically arise after spatial discretization of many important evolutionary Partial Differential Equations (PDEs), constitutes a topic of wide interest in numerical analysis. A prominent way to numerically integrate such systems involves using exponential integrators. In general, these kinds of schemes do not require the solution of (non)linear systems but rather the action of the matrix exponential and of some specific exponential-like functions (known in the literature as φ-functions). In this PhD thesis we aim at presenting efficient tensor-based tools to approximate such actions, both from a theoretical and from a practical point of view, when the problem has an underlying Kronecker sum structure. Moreover, we investigate the application of exponential integrators to compute numerical solutions of important equations in various fields, such as plasma physics, mean-field optimal control and computational chemistry. In any case, we provide several numerical examples and we perform extensive simulations, eventually exploiting modern hardware architectures such as multi-core Central Processing Units (CPUs) and Graphic Processing Units (GPUs). The results globally show the effectiveness and the superiority of the different approaches proposed.

就文學角度而言，「詩經」是古代歌謠之總集；從經學立場來說「詩經」是儒家治平 的寶典。前者偏重其抒情本質，後者則強調其政治意涵。同指一部古籍，或以為喜恕 哀樂之所發，或以為倫理政教之所本，其中似有不能相容之處。推考其實，則事或不 盡然。蓋文學束質中，早已隱含抒情與美刺二元因子之同時並存，爾後彼此之消長起 伏，則隨時世而有所遷移；「詩」自不例外，其與歷史文化發展之因緣，亦有清楚的 脈絡可尋。 從先民節慶祭祀場合的激烈舞踊謳呼，到早期歌謠的吟唱諷誦，顯示一自然演化的趨 勢；此一淵源關係，可以從現存詩篇所殘留之原始樂舞痕跡裡，得到充分說明。 從里巷的文學性歌謠，發展至貴族的政治性詩篇，則有其人為制作之深意在：或於宗 廟祀享之時，為樂工瞽矇所歌奏；或於燕飲酢之餘，為君臣賓主所吟唱；或於應對周 旋之際，為大夫卿士所稱引。要皆藉以為表意之媒介，使用之時機固不盡同，但均不 色帶有濃烈之政治色彩。以此下逮戰國之世，更衍成儒者興觀群怨，事父事君之教； 於時，「詩」之媒介性格又為之丕變。 推「詩」之所以自民間進入貴族，復於此上層社會中呈現種種不同之面貌，一則由於 此一表意媒介本身性格即允許相當之彈性；再則，當時特有之政治及文化背景，亦直 接、間接地促成此一改變。本文的研究，即欲就「詩經」、「左傳」、「國語」及相 關之文獻史料中，探索「詩」從歌謠世界步上政治舞台之過程，並掌握此一媒介在歷 史文化潮流底下所發生的性格演變。

Ce travail vise à décrire les spécificités stylistiques de l'écriture d'Horace dans son oeuvre lyrique (Odes Livres I à IV et Chant Séculaire), afin de définir la nature poétique du sens qui s'y construit. Le style des poèmes est étudié dans les relations entre, d'une part, l'arrangement syntaxique et rhétorique des mots dans les énoncés et, d'autre part, la forme métrique des strophes. Ces relations sont décrites à plusieurs échelles. La première partie du travail se consacre aux limites de phrases et de strophes ; la seconde étudie le positionnement dans la structure métrique des outils syntaxiques, lexicaux, phoniques, qui contribuent au rythme rhétorique de la phrase ; la troisième montre comment les mots et les membres syntaxiques proposent une relecture métrique des strophes. Les conclusions de ce travail sont de plusieurs ordres. La complexité du genre lyrique d'Horace est illustrée par la pluralité de ses visées discursives et des outils rhétoriques mis à leur service. La versification d'Horace est étudiée d'après une métrique verbale et syntaxique qui révèle ses richesses expressives. Les relations entre métrique et rhétorique, qui vont de l'unisson au contrepoint complexe, témoignent d'une polyphonie poétique du sens, où s'associent l'individualité et la voix communautaire

Studying the zeros of a parameter dependent operator F defined on a Hilbert space H is a fundamental problem in mathematics. When the Hilbert space is finite dimensional, continuation provides, via predictor-corrector algorithms, efficient techniques to numerically follow the zeros of F as we move the parameter. In the case of infinite dimensional Hilbert spaces, this procedure must be applied to some finite dimensional approximation which of course raises the question of validity of the output. We introduce a new technique that combines the information obtained from the predictor-corrector steps with ideas from rigorous computations and verifies that the numerically produced zero for the finite dimensional system can be used to explicitly define a set which contains a unique zero for the infinite dimensional problem F: HxR->Im(F). We use this new validated continuation to study equilibrium solutions of partial differential equations, to prove the existence of chaos in ordinary differential equations and to follow branches of periodic solutions of delay differential equations. In the context of partial differential equations, we show that the cost of validated continuation is less than twice the cost of the standard continuation method alone.

Cette thèse est consacrée à la construction et l'analyse multifractale de fonctions aléatoires et de leurs graphes. La construction de ces objets se fait dans le cadre de la théorie des T-martingales de Kahane, et plus spécifiquement des [0, 1]-martingales. Cette théorie est fréquemment utilisée pour construire des martingales à valeurs dans les mesures de Borel positives dont la limite soit presque sûrement singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Ceci se fait en perturbant cette dernière à l'aide d'une suite de densités aléatoires qui sont des martingales positives d'espérance 1. Ici, nous autorisons ces martingales à prendre des valeurs complexes, et plutôt que des martingales à valeurs dans les mesures, nous considérons des martingales à valeurs dans les fonctions continues à valeurs complexes, puis la question de leur convergence uniforme presque sûre. Nous obtenons une condition suffisante de convergence pour les éléments d'une large classe de [0, 1]-martingales complexes. Les limites non dégénérées sont toutes candidates à être des fonctions multifractales. L'étude de leur nature multifractale révèle de nouvelles diffiultés. Nous la menons de façon complète dans le cas des "cascades b-adiques indépendantes" complexes. Ceci conduit à de nouveaux phénomènes. En particulier, nous construisons des fonctions continues statistiquement autosimilaires dont le spectre de singularité est croissant et entièrement supporté par l'intervalle [0;\infty]. Nous considérons également de nouveaux spectres de singularité associés au graphe, à l'image, ainsi qu'aux ensembles de niveau d'une fonction multifractale f donnée. Ces spectres s'obtiennent de la façon suivante. Soit Eh l'ensemble iso-Hölder de f associé à l'exposant h. Soit h le sous-ensemble du graphe de f obtenu en y relevant Eh. Pour tout h, on cherche la dimension de Hausdorff de h, celle de f(Eh), et celle des ensembles du type h \ Ly, où Ly est l'ensemble de niveau y de f. Pour les cascades b-adiques indépendantes non conservatives à valeurs réelles, nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image, et pour les spectres associés aux ensembles de niveau, nous obtenons un résultat en regardant des lignes de niveau dans "Lebesgue presque toute direction". Enfin, nous considérons les mêmes questions que précédemment pour une autre classe de foncions aléatoires multifractales obtenues comme séries d'ondelettes pondérées par des mesures de Gibbs. Nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image.

L'objectif de cette thèse est de proposer des critères de préquanti fication des structures de Poisson à singularités portées par un diviseur libre d'une variété complexe de dimension finie. Pour cela, nous partons d'une construction algébrique des di fférentielles formelles logarithmiques le long d'un idéal finiment engendré et propre d'une algèbre commutative, pour introduire la notion d'algèbre de Poisson logarithmique. Puis, nous montrons que de telles structures de Poisson induisent un nouvel invariant cohomologique ; ceci par le billet d'une structure d'algèbre de Lie-Rinehart qu'elles induisent sur le module des di fférentielles formelles logarithmiques. Grâce à ce dernier, nous étudions les conditions d'intégralité des telles structures de Poisson. Tout d'abord, nous montrons que l'application hamiltonienne de toute structure de Poisson logarithmique se prolonge sur la module des di fférentielles formelles logarithmiques et induit une structure d'algèbre de Lie-Rinehart sur ce dernier. De plus l'image de cette application est contenue dans le module des dérivations logarithmiques. Nous appelons cohomologie de Poisson logarithmique la cohomologie induite par cette représentation. Par la suite, nous montrons sur quelques exemples que les groupes de cohomologies de Poisson et ceux de Poisson logarithmique sont en générale di fférentes ; bien qu'ils coïncident dans le cas des structures de Poisson logsymplectiques. Nous terminons par une étude des conditions d'intégralité de telles structures au moyen de cette cohomologie.

Mathematical models provide unique insights to real-world problems. Within the context of infectious diseases, models are used to explore the dynamics of infections and control mechanisms. Human papillomavirus (HPV) globally infects about 630 million people, many of these infections develop into cancers and genital warts. Vaccines are available to protect against the most prevalent and devastating strains of HPV. The introduction of this vaccine as part of a national immunization program in Canada is a complex decision for policy-makers in which mathematical models can play a key role. We use the current recommendations provided by the World Health Organization to explore the integral role mathematical models have in the decision to incorporate the HPV vaccine within a national immunization program. We then provide a review of the literature discussing the role of mathematical models in the decision to include a vaccine in a national immunization program within the context of the HPV vaccine. Next, we evaluate the current standing of mathematical models used within the context of HPV immunization, to highlight the types of models used, underlying assumptions and general recommendations made about these immunization programs. Then, we create and analyze a model to explore the possibility of bettering the current HPV vaccine strategy in Canada. We focus on the effects of the grade of vaccination and the number of doses required to eradicate the targeted strains of HPV.

Dans cette thèse, nous étudions et développons différentes familles de schémas d’intégration en temps pour les EDO linéaires. Dans la première partie, après avoir introduit les définitions et propriétés utilisées pour construire les schémas en temps, nous présentons deux méthodes de discrétisation en espace et une revue des schémas de Runge-Kutta (RK) qui sont couramment utilisés dans la littérature. Dans la seconde partie on présente une méthodologie pour construire deux familles de schémas A-stable pour un ordre quelcomque. Puis on fournit des schémas explicites, construits en maximisant leur nombre CFL pour un profil de spectre donné. Ces schémas explicites sont ensuite combinés aux schémas implicites A-stable, pour construire des schémas localement implicites que nous décrivons. En plus des tests de validations des schémas pour des problèmes en dimension un et deux de l’espace, nous présentons des résultats numériques obtenus en résolvant des problèmes de propagation d’ondes acoustiques et électromagnétiques en dimensions trois dans la troisième partie. / In this thesis, we study and develop different families of time integration schemes for linear ODEs. After presenting the space discretisation methods and a review of classical Runge-Kutta schemes in the first part, we construct high-order A-stable time integration schemes for an arbitrary order with low-dissipation and low-dispersion effects in the second part. Then we develop explicit schemes with an optimal CFL number for a typical profile of spectrum. The obtained CFL number and the efficiency on the typical profile for each explicit scheme are given. Pursuing our aim, we propose a methodology to construct locally implicit methods of arbitrary order. We present the locally implicit methods obtained from the combination of the A-stable implicit schemes we have developed and explicit schemes with optimal CFL number. We use them to solve the acoustic wave equation and provide convergence curves demonstrating the performance of the obtained schemes. In addition of the different 1D and 2D validation tests performed while solving the acoustic wave equation, we present numerical simulation results for 3D acoustic wave and the Maxwell’s equations in the last part.

This thesis is concerned with the numerical solutions of initial value problems with ordinary differential equations and covers single step integration methods. focus is to study the numerical the various aspects of Specifically, its main methods of non-linear integration formula with a variety of means based on the Contraharmonic mean (C.M) (Evans and Yaakub [1995]), the Centroidal mean (C.M) (Yaakub and Evans [1995]) and the Root-Mean-Square (RMS) (Yaakub and Evans [1993]) for solving initial value problems. the applications of the second It includes a study of order C.M method for parallel implementation of extrapolation methods for ordinary differential equations with the ExDaTa schedule by Bahoshy [1992]. Another important topic presented in this thesis is that a fifth order five-stage explicit Runge Kutta method or weighted Runge Kutta formula [Evans and Yaakub [1996]) exists which is contrary to Butcher [1987] and the theorem in Lambert ([1991] ,pp 181). The thesis is organized as follows. An introduction to initial value problems in ordinary differential equations and parallel computers and software in Chapter 1, the basic preliminaries and fundamental concepts in mathematics, an algebraic manipulation package, e.g., Mathematica and basic parallel processing techniques are discussed in Chapter 2. Following in Chapter 3 is a survey of single step methods to solve ordinary differential equations. In this chapter, several single step methods including the Taylor series method, Runge Kutta method and a linear multistep method for non-stiff and stiff problems are also considered. Chapter 4 gives a new Runge Kutta formula for solving initial value problems using the Contraharmonic mean (C.M), the Centroidal mean (C.M) and the Root-MeanSquare (RMS). An error and stability analysis for these variety of means and numerical examples are also presented. Chapter 5 discusses the parallel implementation on the Sequent 8000 parallel computer of the Runge-Kutta contraharmonic mean (C.M) method with extrapolation procedures using explicit assignment scheduling Kutta RK(4, 4) method (EXDATA) strategies. A is introduced and the data task new Rungetheory and analysis of its properties are investigated and compared with the more popular RKF(4,5) method, are given in Chapter 6. Chapter 7 presents a new integration method with error control for the solution of a special class of second order ODEs. In Chapter 8, a new weighted Runge-Kutta fifth order method with 5 stages is introduced. By comparison with the currently recommended RK4 ( 5) Merson and RK5(6) Nystrom methods, the new method gives improved results. Chapter 9 proposes a new fifth order Runge-Kutta type method for solving oscillatory problems by the use of trigonometric polynomial interpolation which extends the earlier work of Gautschi [1961]. An analysis of the convergence and stability of the new method is given with comparison with the standard Runge-Kutta methods. Finally, Chapter 10 summarises and presents conclusions on the topics discussed throughout the thesis.

Mathematical models provide unique insights to real-world problems. Within the context of infectious diseases, models are used to explore the dynamics of infections and control mechanisms. Human papillomavirus (HPV) globally infects about 630 million people, many of these infections develop into cancers and genital warts. Vaccines are available to protect against the most prevalent and devastating strains of HPV. The introduction of this vaccine as part of a national immunization program in Canada is a complex decision for policy-makers in which mathematical models can play a key role. We use the current recommendations provided by the World Health Organization to explore the integral role mathematical models have in the decision to incorporate the HPV vaccine within a national immunization program. We then provide a review of the literature discussing the role of mathematical models in the decision to include a vaccine in a national immunization program within the context of the HPV vaccine. Next, we evaluate the current standing of mathematical models used within the context of HPV immunization, to highlight the types of models used, underlying assumptions and general recommendations made about these immunization programs. Then, we create and analyze a model to explore the possibility of bettering the current HPV vaccine strategy in Canada. We focus on the effects of the grade of vaccination and the number of doses required to eradicate the targeted strains of HPV.