Grâce à leurs bonnes propriétés mécaniques spécifiques, les matériaux cellulaires architecturés présentent un fort intérêt pour répondre aux problématiques du secteur aéronautique. Cependant, la modélisation d'une structure macroscopique incluant un matériau cellulaire nécessite, soit de modéliser complètement l'architecture à l'échelle mésoscopique - ce qui est coûteux en temps de calcul - soit d'utiliser un Milieu Homogène Equivalent (MHE). Ainsi, cette thèse propose de caractériser un matériau cellulaire modèle constitué d'un empilement de tubes, selon un motif carré ou hexagonal, puis d'identifier un modèle phénoménologique rendant compte du comportement mécanique inélastique du matériau. Dans un premier temps, le matériau est caractérisé sous chargements multi-axiaux à l'aide de simulations éléments finis périodiques en petites déformations. Le comportement homogénéisé en petites déformations est ensuite utilisé pour l'identification d'une Loi Homogène Equivalente (LHE) compressible et anisotrope, qui permet la modélisation de structures sandwichs en remplaçant le coeur cellulaire par son MHE. Une comparaison est réalisée entre les réponses mécaniques des simulations de référence complètement maillées et celles utilisant l'approche par MHE, validant ainsi la pertinence de la méthode multi-échelle de modélisation proposée. La caractérisation en grandes déformations des deux types d'empilement est ensuite menée. D'abord, les effets de bords et les instabilités qui gouvernent le comportement macroscopique sont étudiés. Puis, après une étude du volume élémentaire représentatif des empilements, la caractérisation du comportement inélastique par la technique de l'homogénéisation périodique est réalisée. Le comportement adoucissant en compression de l'empilement hexagonal est ainsi étudié. Finalement, une extension des LHE identifiées en petites déformations est proposée pour rendre compte du comportement en compression du matériau observé en grandes déformations. / Cellular materials have excellent specific properties, which make them attractive for aeronautical applications. However, modelling macroscopic structures including a cellular material is either very costly in terms of computational time if the whole mesoscopic structure is considered or a Homogeneous Equivalent Medium (HEM) has to be used. This Ph.D. dissertation presents, the characterisation of a cellular material built from a stacking of tubes with a square or hexagonal based pattern and the identification of a phenomenological model of their inelastic mechanical behaviour. First, the material is characterised for multi-axial loadings through a periodic finite element model in small deformations for each tube stacking pattern. The macroscopic behaviour is then used to identify a compressible anisotropic Homogeneous Equivalent Law (HEL). Within the infinitesimal strain hypothesis, a comparison is carried out between reference full scale models and HEM based ones of sandwich structures with a cellular core, confirming the relevance of the proposed multi-scale method. Then, the mechanical behaviour of each tube stacking is characterised for large deformations in order to study the influence of the boundary size effects and the instabilities in the core on the macroscopic behaviour of sandwich structures. After a study on the representative volume element, the macroscopic inelastic behaviour is characterised through the periodic homogenisation technique, especially the softening observed in compression for the hexagonal pattern. Finally, an extension of the HELs identified in small deformations is proposed to model the behaviour observed in large deformations.

La Paralysie Périodique Hypokaliémique de type 1 (HypoPP1) est une myopathie d'origine génétique, autosomique dominante, caractérisées par des épisodes de paralysies musculaires récurrentes pouvant durer quelques heures à quelques jours. Ces crises de paralysies sont accompagnées d'une hypokaliémie responsable d'arythmies cardiaques entraînant la mort dans les cas les plus graves. Les crises peuvent être déclenchées par un stress, une alimentation riche en glucides ou encore suite à un exercice physique intense. L'HypoPP1 est liée à une mutation dans le gène CACNA1S codant la sous-unité principale du canal calcique musculaire (Cav1.1). A l'exception d'une, toutes les mutations HypoPP1 conduisent au remplacement d'une des arginines les plus externes d'un des segments détecteurs de potentiel du canal, nommés S4, par un acide aminé neutre. Des études réalisées dans des modèles d'expression hétérologue de canaux potassiques ou sodiques, dont les structures sont très proches du Cav1.1, ont montré que des mutations similaires à l'HypoPP1 conduisaient à la création d'une voie de passage ionique dite "accessoire" au travers du domaine détecteur de potentiel générant un courant cationique entrant au potentiel de repos. Si une telle voie de passage ionique existe à travers Cav1.1 dans les cellules musculaires des patients souffrant d'HypoPP1, elle pourrait ainsi induire une dépolarisation des cellules musculaires au point de les rendre inexcitables, conduisant ainsi à la paralysie. Mon travail a consisté à étudier les formes R1239H et V876E du Cav1.1 responsables d'HypoPP1 afin de déterminer si une telle voie de passage accessoire est présente dans les canaux calciques mutés. La mutation R1239H correspond à la substitution d'une histidine à la seconde arginine dans le segment S4 du domaine IV tandis que la mutation V876E présente la particularité de ne pas affecter un S4 mais un segment S3 dans le domaine III. Ce travail s'appuie sur l'expression in vivo du gène codant le Cav1.1 humain sain (WT) ou muté R1239H ou V876E dans les muscles des pattes arrière de souris puis sur l'analyse des mouvements ioniques en combinant des techniques d'électrophysiologie et de mesure des concentrations intracellulaires de H+ ou de Na+ par fluorescence sur fibre musculaire isolée. L'étude de la mutation R1239H a montré qu'un influx de protons générant un courant entrant significativement plus important se développait au potentiel de repos dans les fibres exprimant la mutation en comparaison des cellules exprimant la forme WT. L'étude de la deuxième mutation V876E, sur laquelle aucune donnée fonctionnelle n'était disponible à ce jour, a révélé que cette mutation était elle aussi responsable d'un courant ionique accessoire mais dans ce cas-là porté par les ions Na+. Ce résultat est important car il montre que la formation d'un pore ionique accessoire constitue un mécanisme physiopathologique commun à différentes formes d'HypoPP affectant le canal calcique musculaire, y compris lorsque la mutation n'affecte pas directement un segment S4 / The type 1 Hypokalemic Periodic Paralysis (HypoPP1) is a muscle autosomal dominant genetic disease characterized by episodic attacks of paralysis lasting between a few hours and several days. These attacks are associated with hypokalemia which is responsible of cardiac arrhythmias leading to death in worst cases. Attacks are triggered by stress, high carbohydrate diet or during rest following exercise. HypoPP1 is caused by missense mutations in the gene CACNA1S encoding the main subunit of the voltage-gated calcium channel (Cav1.1) of skeletal muscle. In all but one, HypoPP1 mutations lead to the replacement of an outermost arginine in one of the voltage sensor segment, called S4, with a neutral amino-acid. Experiments realized with the closely structurally related voltage-gated K+ and Na+ channels showed that comparable mutations generate an accessory pathtoway called gating pore through which a depolarizing current flows at rest. If such an accessory pathway also exists in the skeletal muscle Cav1.1, it could initiate depolarization of skeletal muscle to the point of inexcitability and lead to paralysis. My work aimed at investigating the properties of HypoPP1-associated mutant Cav1.1s R1239H and V876E in order to determine if such an accessory pathway could be present in mutated Cav1.1. The R1239H mutation corresponds to the replacement of the second arginine in the S4 segment of domain IV by a histidine and the V876E mutation has the particularity to not affect a S4 segment but the S3 segment in domain III. In this work, we used in vivo gene expression of the wild type (WT) or mutated forms of the human Cav1.1in the hind limb muscle of mice and analyzed ions fluxes by combining voltage-clamp and measurements of intracellular H+ or Na+ by fluorescence. The R1239H mutation was shown to induce a significant larger H+ influx giving rise to a larger inward H+ current at rest as compared to WT. The V876E mutation, which had never been investigated so far, was found to induce an elevated inward current at rest but in this case carried by Na+ ions. These results have relevance because they suggest that the presence of an accessory pathway could be a physiopathological mechanism shared by different HypoPPs, even when the mutation does not directly affect a S4 segment

La théorie d'homogénéisation élastodynamique des matériaux hétérogènes initiée par J.R. Willis il y a environ une trentaine d'années a récemment reçu une très grande attention. D'après cette théorie qui est mathématiquement exacte, la loi constitutive homogénéisée est non locale en espace et en temps ; le tenseur des contraintes dépend non seulement du tenseur des déformations mais aussi de la vitesse ; la quantité du mouvement dépend à la fois de la vitesse et du tenseur des déformations, faisant apparaître en général une masse anisotrope. Ces propriétés constitutives effectives, qui pourraient être surprenantes d'un point de vue mécanique classique, se révèlent en fait très utiles pour la conception de métamatériaux acoustiques et de capes acoustiques. Ce travail de thèse consiste essentiellement à proposer et développer deux méthodes numériques efficaces pour déterminer les propriétés élastodynamiques effectives des matériaux périodiquement hétérogènes. La première méthode relève de la méthode des éléments finis alors que la deuxième méthode est basée sur la transformée de Fourier rapide. Ces deux méthodes sont d'abord élaborées pour une microstructure périodique 3D quelconque et ensuite implantées pour une microstructure périodique 2D quelconque. Les avantages et les inconvénients de chacune de ces deux méthodes sont comparés et discutés. A l'aide des méthodes numériques élaborées, la théorie de Willis est appliquée au calcul élastodynamique sur un milieu infini hétérogène et celui homogénéisé. Les différents cas d'homogénéisabilité et de non-homogénéisabilité sont discutés / The elastodynamic homogenization theory of heterogeneous materials initiated by J.R. Willis about thirty years ago has recently received considerable attention. According to this theory which is mathematically exact, the homogenized constitutive law is non-local in space and time; the stress tensor depends not only on the strain tensor but also on the velocity; the linear momentum depends on both the velocity and the strain tensor, making appear an anisotropic mass tensor in general. These effective constitutive properties, which may be surprising from a classical mechanical point of view, turn out in fact to be very useful for the design of acoustic metamaterials and acoustic cloaks. The present work is essentially to propose and develop two efficient numerical methods for determining the effective elastodynamic properties of periodically heterogeneous materials. The first method belongs to the finite element method while the second method is based on the fast Fourier transform. These two methods are first developed for any 3D periodic microstructure and then implanted for any 2D periodic microstructure. The advantages and disadvantages of each of these two methods are compared and discussed. Using the elaborated numerical methods, the Willis theory is applied to the elastodynamic computation over the infinite heterogeneous medium and the homogenized one. The various cases of homogeneisability and non-homogeneisability are discussed

Les réglementations thermiques successives poussent les bâtiments à consommer de moins en moins d’énergie. Les performances énergétiques accrues des bâtiments passent notamment par une bonne utilisation du rayonnement solaire en tant que source de chaleur (en évitant les surchauffes), de lumière ou d’énergie pour les panneaux solaires. Si les principes de conception permettant de bien profiter de ce rayonnement sont connus à l’échelle d’un bâtiment, les travaux portant sur la recherche des bonnes configurations de bâtiments à l’échelle du quartier sont en plein développement. A mesure que les logiciels de simulation du rayonnement solaire ou des besoins énergétiques s’améliorent et prennent mieux en compte la dimension urbaine, de nombreuses études sur la ville voient le jour. Les outils d’optimisation, par ailleurs largement utilisés dans le cadre du dimensionnement des systèmes du bâtiment et des matériaux composant son enveloppe ont cependant été peu utilisés dans l’étude des formes urbaines. Ceux-Ci présentant cependant l’avantage de pouvoir explorer de grands espaces de paramètres de manière intelligent. Ce travail de thèse a porté sur l’optimisation de formes urbaines par rapport au potentiel solaire. Dans ce cadre, un outil reposant sur un algorithme évolutionnaire a été mis en place. Celui-Ci permet de trouver le positionnement optimal de volumes correspondant à des bâtiments soumis au rayonnement solaire. Pour cela, différents types de paramètres sont associés aux bâtiments (hauteur, orientation, position), tandis que le contexte urbain du quartier peut être considéré de plusieurs manières : dégagé, fixe (quartier pré-Existant), ou périodique. Les essais d’optimisation effectués cherchent à maximiser l’exposition au soleil pour des latitudes comprises entre 40° et 60°N, différentes périodes de temps et densité bâties. Une extension est de plus réalisée pour étudier les quartiers minimisant les besoins en énergie pour le chauffage. Dans l’ensemble des cas, les résultats montrent qu’il existe de nombreuses configurations quasi-Optimales dont l’analyse permet d’identifier des comportements généraux du quartier en fonction du critère d’optimisation. Tous ces résultats sont encourageants et ouvrent des perspectives pour de futurs travaux. / The recent thermal regulations lead to more efficient buildings. Their design includes a good use of sunlight as a heat source (while avoiding overheating), light or energy for solar panels. If the principles of design to make the most of this radiation are known at the building scale, studies are still under development at the district level. As the software tools for the simulation of solar radiation or energy needs improve and better reflect the urban dimension, numerous studies at the district scale emerge. The optimization methods, although widely used to size the building systems and materials, are not common in the study of urban forms. However, these have the advantage of being able to explore large parameter spaces. This thesis focuses on the urban form optimization with respect to the solar potential. For this purpose, a tool based on an evolutionary algorithm is implemented. Its goal is to find the optimal positioning of volumes corresponding to buildings subjected to sunlight. Different types of parameters are associated with buildings (height, orientation, position), while the urban context can be considered in several ways : open, fixed (pre-Existing neighborhood), or periodic. Optimization tests seek to maximize exposure to the sun for latitudes between 40° and 60°N, different time periods and built densities. An extension is further performed to investigate neighborhoods minimizing energy requirements for heating. In all cases, the results show that there are many near-Optimal configurations that can be analyzed to identify general features of the good neighborhoods for each optimization criterion. All these results are inspiring and open perspectives for future works.

Le travail de cette thèse s'inscrit dans le cadre de la réduction du bruit du traffic routier. Le contact pneumatique/chaussée représente la principale source de ce phénomène dès la vitesse de 50 km/h. Dans ce contexte, une nouvelle démarche de modélisation du comportement dynamique d'un pneumatique roulant sur une chaussée rigide est développée. Au niveau du pneumatique, un modèle périodique est adopté pour calculer les fonctions de Green du pneumatique dans la zone de contact. Ce modèle permet de réduire considérablement le temps de calcul et de modéliser le pneumatique dans une large bande de fréquence. Le modèle est validé en le comparant avec un modèle d'éléments finis classique réalisé sous le logiciel Abaqus. Habituellement, la réponse temporelle du pneumatique peut être calculée par une convolution des fonctions de Green et des forces de contact. Cette technique est très coûteuse en terme de temps de calcul. Nous avons adopté une nouvelle démarche. L'idée consiste à décomposer les fonctions de Green dans une base modale. Les paramètres modaux sont ensuite utilisés pour construire une convolution plus rapide. La convolution modale est adaptée au problème de contact par l'addition d'une condition de contact cinématique. Le modèle de contact est comparé à la méthode de pénalité dans le cas d'un exemple académique. Il présente l'avantage de sa stabilité et de sa facilité de mise en oeuvre. Dans la dernière partie de ce travail, le modèle de contact est appliqué au cas d'un pneumatique roulant sur différents types de chaussée. Le contenu spectral des forces de contact est étudié en fonction de la vitesse de déplacement et la rugosité des chaussées. Afin de construire le modèle de contact d'un pneumatique réel sur une chaussée réelle, plusieurs exemples à complexité croissante sont traités. Le modèle d'anneau circulaire sous fondation élastique est largement étudié dans cette thèse. Une étude détaillée du modèle est réalisée dans les cas analytique et numérique / This work is part of the traffic noise reduction programme. The tire/road contact is the principal source of this phenomenon at speeds greater than 50 km/h. In this context, a new approach to modeling the tire vibration behavior during rolling on rigid road surface is developed. For the tire, a periodic model is used to compute Green's functions of the tire in the contact area. This model leads to a significant reduction of computing time reduction. Tire's response can be modeled in a large frequency range. The model is compared to a classic finit elements model built using Abaqus software. As a general approach, the dynamic response of the tire is calculated by convolution of the contact forces with the Green's functions. However the computation of the convolution can be time consuming. In this work we have used a new method. First it consists of the modal expansion of the pre-calculated Green's functions. The modal parameters are then used to construct a new convolution which allows quicker calculations than the traditional convolution. The modal convolution is adapted to dynamic contact problem by using a kinematic contact condition. Contact model is compared to the penalty method. Both methods give the same result but the developed method is more stable and easier to implement.In the last chapter of this work, the contact model is applied to a $3d$ tire model rolling on different road profiles. Spectrum content of the contact forces is studied for different values of the car speed and roughness of the roadway. During this study, several examples with an increasing complexity are studied. The ring on elastic foundation model is presented in details with both analytical and numerical computations

Cette thèse concerne les homéomorphismes de surfaces.Soit f un difféomorphisme d'une surface M préservant l'aire et isotope à l'identité. Si f a un point fixe contractile isolé et dégénéré z0 avec un indice de Lefschetz égal à 1, et si l'aire de M est finie, nous prouverons au chapitre 3 que z0 est accumulé non seulement par des points périodiques mais aussi par des orbites périodiques au sens de la mesure. Plus précisément, la mesure de Dirac en z0 est la limite en topologie faible-étoile d'une suite de probabilités invariantes supportées par des orbites périodiques. Notre preuve est totalement topologique et s'applique au cas d'homéomorphismes en considérant l'ensemble de rotation local.Au chapitre 4, nous étudierons des homéomorphismes préservant l’aire et isotope à l’identité. Nous prouverons l’existence d'isotopies maximales particulières: les isotopies maximales à torsion faible. En particulier, lorsque f est un difféomorphisme ayant un nombre fini de points fixes tous non-dégénérés, une isotopie I joignant l'identité à f est à torsion faible si et seulement si pour tout point z fixé le long de I, le nombre de rotation (réel) ρ(I,z), qui est bien défini quand on éclate f en z, est contenu dans (-1,1). Nous démontrerons l'existence d'isotopies maximales à torsion faible, et nous étudierons la dynamique locale de feuilletages transverses à l'isotopie près des singularités isolées.Au chapitre 5, nous énoncerons une généralisation d'un théorème de Poincaré-Birkhoff local au cas où il existe des points fixes au bord. / This thesis concerns homeomorphisms of surfaces.Let f be an area preserving diffeomorphism of an oriented surface M isotopic to the identity. If f has an isolated degenerate contractible fixed point z0 with Lefschetz index one, and if the area of M is finite, we will prove in Chapter 3 that z0 is accumulated not only by periodic points, but also by periodic orbits in the measure sense. More precisely, the Dirac measure at z0 is the limit in weak-star topology of a sequence of invariant probability measures supported on periodic orbits. Our proof is purely topological and will works for homeomorphisms and is related to the notion of local rotation set.In chapter 4, we will define a kind of identity isotopies: torsion-low isotopies. In particular, when f is a diffeomorphism with finitely many fixed points such that every fixed point is not degenerate, an identity isotopy I of f is torsion-low if and only if for every point z fixed along the isotopy, the (real) rotation number ρ(I,z), which is well defined when one blows-up f at z, is contained in (-1,1). We will prove the existence of torsion-low maximal identity isotopies, and we will deduce the local dynamics of the transverse foliations of any torsion-low maximal isotopy near any isolated singularity.In chapter 5, we will generalize a local Poincaré-Birkhoff theorem to the case where there exist fixed points on the boundary

Les principaux résultats obtenus dans ce travail concernent l’existence et l’unicité des solutions de différents types de l’équation de Liénard forcée et des résultats de dépendance pour les solutions S-asymptotiquement w-périodiques d’équations d’évolution. Pour réaliser notre objectif, nous utilisons des outils d’analyse fonctionnelle non linéaire et des résultats sur des équations linéaire. / No English summary available.

Il a été découvert récemment que les pulsations d’intensité de longue période (entre 3 et 16 heures) sont très répandues dans la couronne solaire et en particulier dans les boucles coronales. Les processus de chauffage des boucles coronales, qui permettent de porter le plasma à des températures de l’ordre du million de degrés et de le maintenir confiné à ces températures,restent mal compris. Ces pulsations dans l’extrême ultraviolet amènent de nouvelles contraintes observationnelles pour les modèles de boucles coronales et par conséquent pour mieux comprendre leur dynamique et leur chauffage. Le thème central de cette thèse est l’exploration des origines physiques possibles pour ce phénomène.J’ai dans un premier temps utilisé un code de détection, initialement développé pour les données de l’imageur SoHO/EIT, sur l’archive de l’instrument SDO/AIA. J’ai pu détecter des milliers d’événements sur six ans de données,la moitié d’entre eux se concentrant dans des régions actives et environ la moitié encore de ces événements pouvant êtreclairement identifiés dans des boucles. Parmi ces milliers d’événements, j’ai sélectionné trois cas associés à des boucles, avecun signal de détection fort et permettant d’explorer une large gamme de périodes.Grâce à l’utilisation des six bandes coronales d’AIA, j’ai pu dans un deuxième temps réaliser une analyse de lastructure thermique de ces boucles via la reconstruction de la mesure d’émission différentielle (DEM, pour Differential Emission Measure) et l’étude des décalages temporels entre les intensités des six bandes. La température et la densité du plasma reconstruites évoluent de façon périodique avec un retard temporel entre ces deux quantités. Ce comportement,caractéristique de cycles d’évaporation et de condensation du plasma, m’a permis de rapprocher ces pulsations d’intensité à un phénomène bien connu dans les simulations numériques et pour des structures comme les protubérances et la pluie coronale : l’absence d’équilibre thermique ou thermal non-equilibrium (TNE). Une analyse des caractéristiques des spectres de puissances observés a permis par ailleurs de confirmer cette conclusion. Le TNE intervient lorsque le chauffage dans les boucles est stratifié en altitude, avec un chauffage plus important à basse altitude et lorsque le chauffage est quasi-constant.L’identification non ambigüe du TNE dans les boucles a donc des implications très importantes pour la compréhension du chauffage des boucles.Dans un troisième temps, je me suis attachée à reproduire ces pulsations d’intensité par la simulation et à déterminer les propriétés intrinsèques des boucles qui favorisent l’apparition de ces cycles d’évolution dans certaines boucles. J’ai notamment utilisé des extrapolations du champ magnétique des trois régions étudiées en détail avec AIA, pour étudier la géométrie de boucles. Ces géométries ont ensuite été utilisées en entrée du code de simulation hydrodynamique 1D. J’ai alors balayé l’espace des paramètres des fonctions de chauffage utilisées et pu déterminer que les conditions d’apparition de cycles de TNE proviennent d’une combinaison de la géométrie de la boucle et des paramètres du chauffage (asymétrie et puissance). Ce qui explique que certaines boucles présentent des pulsations d’intensité et d’autres non. J’ai de plus étudiéune simulation en particulier, dont les paramètres physiques du plasma sont proches de ceux observés pour un cas étudié avec AIA. Les intensités EUV alors simulées reproduisent bien celles observées. Le modèle étudié permet d’expliquer les pulsations observées en terme de cycles d’évaporation et de condensation. / Long-period EUV intensity pulsations (periods from 3 to 16 hours) have been found recently to be very common in thesolar corona and especially in coronal loops. The heating mechanism(s) of solar coronal loops that generate million-degreeplasma and maintain it confined at this temperature remain unknown. These intensity pulsations (extreme ultraviolet)provide new constraints for loops models and thus to better understand coronal loops dynamics and heating. The centraltopic of this thesis is to explore the possible physical explanations for this phenomenon.First, I used a detection code, initially developed for SoHO/EIT images, on the SDO/AIA archive. I detected thousandsof events in the six years of data, half of them corresponding to active regions and about the half of whom are identifiedas corresponding to coronal loops. I selected three cases of long-period intensity pulsation events in loops, with a cleardetection signal and allowing to scan different periods.Second, using the six coronal channels of AIA, I made a detailed study of the thermal structure of these loops. I usedboth differential emission measure (DEM) reconstructions and an analysis of the time-lags between the intensities in thesix channels. The temperature and the density are found to be periodic with a time delay between these two physicalparameters of the plasma. This behavior is characteristic of evaporation and condensation cycles of the plasma and itallowed me to connect these intensity pulsations to thermal non-equilibrium (TNE), a well-know phenomenon in numericalsimulations and for structures such as prominences and coronal rain. Moreover, an analysis based only on the shape ofpower spectra allowed to confirm this conclusion. TNE happens when the heating is highly-stratified (mainly concentratedat low altitudes) and quasi-constant. Unambiguous identification of TNE in coronal loops has thus important implicationsfor understanding coronal heating.Third, I aimed at reproducing the observed intensity pulsations by simulations and at determining the intrinsicproperties of coronal loops that favor these particular cycles of evolution. I made extrapolations of the magnetic fieldfor the three regions studied to determine the loops geometry. These geometries have been then used as inputs for 1Dhydrodynamic simulations. I conducted a parameter space study that revealed that the TNE cycles occurrence is sensitiveto a combination of the loop geometry and heating parameters (asymmetry and heating power). This allows me to explainwhy these pulsations are encountered in some loops but not in all. I studied one simulation in particular, matching theobserved characteristics of the plasma evolution. I derived the corresponding AIA synthetic intensities which reproducedthe main characteristics of the observed pulsations. This model allows me to explain the observed pulsations as evaporationand condensation cycles.

Cette thèse est dédiée à l'analyse mathématique et la simulation numérique des équations intervenant dans la modélisation de l’électrophysiologie cardiaque. D'abord, nous donnons une justification mathématique rigoureuse du processus d’homogénéisation périodique à l’aide de la méthode d'éclatement périodique. Nous considérons des conductivités électriques tensorielles qui dépendent de l’espace et des modèles ioniques non linéaires physiologiques et phénoménologiques. Nous montrons l'existence et l'unicité d’une solution du modèle microscopique en utilisant une approche constructive de Faedo- Galerkin suivie par un argument de compacité dans L2. Ensuite, nous montrons la convergence de la suite de solutions du problème microscopique vers la solution du problème macroscopique. À cause des termes non linéaires sur la variété oscillante, nous utilisons l’opérateur d’éclatement sur la surface et un argument de compacité de type Kolmogorov pour les modèles phénoménologiques et de type Minty pour les modèles physiologiques. En outre, nous considérons le modèle monodomaine couplé au modèle physiologique de Beeler-Reuter. Nous proposons un schéma volumes finis et nous analysons sa convergence. D'abord, nous dérivons la formulation variationnelle discrète correspondante et nous montrons l'existence et l'unicité de sa solution. Par compacité, nous obtenons la convergence de la solution discrète. Comme le schéma TPFA (two point flux approximation) est inefficace pour approcher les flux diffusifs avec des tenseurs anisotropes, nous proposons et analysons, ensuite, un schéma combiné non-linéaire qui préserve le principe de maximum. Ce schéma est basé sur l’utilisation d’un flux numérique de Godunov pour le terme de diffusion assurant que les solutions discrètes soient bornées sans restriction sur le maillage du domaine spatial ni sur les coefficients de transmissibilité. Enfin, dans la perspective d'étudier la solvabilité des modèles électromécaniques couplés avec des modèles ioniques physiologiques, nous considérons un modèle avec une description linéarisée de la réponse élastique passive du tissu cardiaque, une linéarisation de la contrainte d'incompressibilité et une approximation tronquée des diffusivités non linéaires intervenant dans les équations du modèle bidomaine. La preuve utilise des approximations par des systèmes non-dégénérés et la méthode Faedo-Galerkin suivie par un argument de compacité. / This thesis is concerned with the mathematical analysis and numerical simulation of cardiac electrophysiology models. We use the unfolding method of homogenization to rigorously derive the macroscopic bidomain equations. We consider tensorial and space dependent conductivities and physiological and simplified ionic models. Using the Faedo-Galerkin approach followed by compactness, we prove the existence and uniqueness of solution to the microscopic bidomain model. The convergence of a sequence of solutions of the microscopic model to the solution of the macroscopic model is then obtained. Due to the nonlinear terms on the oscillating manifold, the boundary unfolding operator is used as well as a Kolmogorov compactness argument for the simplified models and a Minty type argument for the physiological models. Furthermore, we consider the monodomain model coupled to Beeler- Reuter's ionic model. We propose a finite volume scheme and analyze its convergence. First, we show existence and uniqueness of its solution. By compactness, the convergence of the discrete solution is obtained. Since the two-point flux approximation (TPFA) scheme is inefficient in approximating anisotropic diffusion fluxes, we propose and analyze a nonlinear combined scheme that preserves the maximum principle. In this scheme, a Godunov approximation to the diffusion term ensures that the solutions are bounded without any restriction on the transmissibilities or on the mesh. Finally, in view of adressing the solvability of cardiac electromechanics coupled to physiological ionic models, we considered a model with a linearized description of the passive elastic response of cardiac tissue, a linearized incompressibility constraint, and a truncated approximation of the nonlinear diffusivities appearing in the bidomain equations. The existence proof is done using nondegenerate approximation systems and the Faedo-Galerkin method followed by a compactness argument.

La première partie de cette thèse concerne l'étude du problème de Cauchy pour l'équation de KdV quasi-linéaire.On établit un théorème d'existence locale obtenu grâce à des propriétés structurelles et des techniques de jauge qui permettent de compenser les pertes de dérivées apparentes dans les estimations a priori.Dans la seconde partie, les propriétés de stabilité orbitale co-périodique et modulationnelle sont explorées numériquement en exploitant des critères algébriques tous établis à partir d'une même intégrale d'action et de ses dérivées secondes. Notre méthode utilise des quadratures numériques suivies de différences finies afin de calculer la matrice hessienne de l'intégrale d'action. Le comportement asymptotique de cette matrice nous pousse à prêter beaucoup d'attention à l'étude des ondes de grande période ou de faible amplitude. Les résultats numériquesprésentés fournissent de nombreuses informations en lien avec des questions ouvertes.On effectue également des simulations directes sur le système d' ÉDP original pour étudier à la fois le comportement des ondes périodiques sous différents types de perturbations, et les solutions de problèmes de Cauchy avec donnée initiale discontinue. Pour ces derniers, on s'attend à observer des chocs dispersifs, dont la compréhension est basée sur le problème de Gurevich-Pitaevskii, où les équations modulées à la Whitham sont utilisées pour approcher la zone oscillante des chocs. On compare des simulations directes aux solutions idéales du problème de Gurevich-Pitaevskii, en commençant par la célèbre équation de KdV / The first part of this manuscript presents a well-posedness result for a quasilinear version of the KdV equation.The proof takes advantage of structural properties and gauge techniques to deal with apparent loss of derivativesin a priori estimates.In the second part, we investigate the modulational and orbital coperiodic stability of periodic waves by computingalgebraic criteria involving the same abbreviated action integral and its second order derivatives. Our methoduses numerical integrations followed by finite differences to compute the Hessian matrix of the action integral.We pay attention to the asymptotic behavior of this matrix in the large period and small amplitude limits. Thenumerical results about stability give some new insight on several analytical open questions.Finally, direct numerical computations are done on the original system of PDEs to study the behavior of periodictraveling waves under various kinds of perturbations and the solutions of Cauchy problem with discontinuousinitial data. For the latter, we expect dispersive shock waves to arise. The building block for understandingdispersive shocks is known as the Gurevich-Pitaevskii problem, in which modulated equations 'a la Whitham'are used as an approximate model for the oscillatory zone. We compare direct numerical simulations to idealizedsolutions of Gurevich-Pitaevskii problems, starting with the famous KdV equation