No presente trabalho consideramos homeomorfismos do círculo sem pontos periódicos e com o mesmo número finito de pontos críticos todos de tipo non-flat. Provamos que se existe uma conjugação topológica entre dois destes mapas que leva ponto crítico em ponto crítico, sem necessidade de preservar criticalidades, então dita conjugação é uma transformação quase-simétrica com distorção quase-simétrica local uniformemente limitada. Estes resultados são válidos para qualquer número de rotação irracional e são independentes da natureza das criticalidades dos pontos críticos, de modo que nossos resultados são válidos para toda criticalidade real. / In this work we consider circle homeomorphisms without periodic points and with finite number of critical points all of them being non-flat. We prove that if there exists a topological conjugacy between two of those maps which sends critical point into critical point, which not necessarily preserve criticalities, then this conjugacy is a quasi-symmetric map with quasi-symmetric distortion universally bounded. All these results are valid for any irrational rotation number and are independent of the nature of the criticalities, therefore our results are valid for all real criticalities.

Orientador: José Plínio de Oliveira Santos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T00:20:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Andrade_CeciliaPereirade_D.pdf: 1476737 bytes, checksum: ad3ad78834fa61c06f515c2172ae896c (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Este trabalho foi baseado em uma nova maneira de representar, combinatoriamente, os coeficientes de várias importantes séries por meio de matrizes de duas linhas. Os resultados que apresentamos neste trabalho foram obtidos por meio do uso desta nova representação. Descrevemos interpretações para partições irrestritas e a correspondente bijeção entre os dois respectivos conjuntos. Também obtemos resultados para algumas Mock Theta Functions e relacionamos algumas Mock Theta Functions distintas. / Abstract: This work was based on a new way to represent combinatorially the coefficients of several important series by two-line array. The results presented in this work were obtained by the use of this new representation. We describe interpretations of unrestricted partitions and the corresponding bijection between the two respective sets. We also obtain some results for Mock Theta Functions and relate some distinct Mock Theta Functions. / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutora em Matemática Aplicada

The state of the art in machine learning of Boolean functions is to learn a hypothesis h, which is similar to a target hypothesis f, using a training sample of size N and a family of a priori models in a given hypothesis set H, such that h must belong to some model in this family. An important characteristic in learning is that h should also predict outcome values of f for previously unseen data, so the learning algorithm should minimize the generalization error which is the discrepancy measure between outcome values of f and h. The method proposed in this thesis learns family of models compatible with training samples of size N. Taking into account that generalizations are performed through equivalence classes in the Boolean function domain, the search space for finding the correct model is the projection of H in all possible partitions of the domain. This projection can be seen as a model lattice which is anti-isomorphic to the partition lattice and also has the property that for every chain in the lattice there exists a relation order given by the VC dimension of the models. Hence, we propose a model selector that uses the model lattice for selecting the best model with VC dimension compatible to a training sample of size N, which is closely related to the classical sample complexity theorem. Moreover, this model selector generalizes a set of learning methods in the literature (i.e, it unifies methods such as: the feature selection problem, multiresolution representation and decision tree representation) using models generated from a subset of partitions of the partition space. Furthermore, considering as measure associated to the models the estimated error of the learned hypothesis, the chains in the lattice present the so-called U-curve phenomenon. Therefore, we can use U-curve search algorithms in the model lattice to select the best models and, consequently, the corresponding VC dimension. However, this new generation of learning algorithms requires an increment of computational power. In order to face this problem, we introduce a stochastic U-curve algorithm to work on bigger lattices. Stochastic search algorithms do not guarantee finding optimal solutions, but maximize the mean quality of the solution for a given amount of computational power. The contribution of this thesis advances both the state of the art in machine learning theory and in practical problem solutions in learning. / O estado da arte em aprendizado de funções Booleanas é aprender uma hipótese h, que é similar a uma hipótese objetivo f, a partir de uma amostra de tamanho N e uma família de modelos a priori em um dado conjunto de hipóteses H, tal que h deve pertencer a algum modelo nesta família. Uma característica importante no aprendizado é que h deve também predizer resultados de f para elementos que não aparecem no conjunto de treinamento, então o algoritmo de aprendizado deve minimizar o erro de generalização, o qual mede a discrepância entre os resultados de f e h. O método proposto nesta tese aprende uma família de modelos compatíveis com um conjunto de treinamento de tamanho N. Tomando em consideração que as generalizações são realizadas através de classes de equivalência no domínio da função Booleana, o espaço de busca para encontrar um modelo apropriado é a projeção de H em todas as possíveis partições do domínio. Esta projeção pode ser vista como um reticulado de modelos que é anti-isomórfica ao reticulado de partições e também tem a propriedade que para cada cadeia no reticulado existe uma relação de ordem dada pela dimensão VC dos modelos. Portanto, propomos um seletor de modelos que usa o reticulado de modelos para selecionar o melhor modelo com dimensão VC compatível ao conjunto de treinamento de tamanho N, o qual é intimamente relacionado ao teorema clássico de complexidade da amostra. Além disso, este seletor de modelos generaliza um conjunto de métodos de aprendizado na literatura (i.e, ele unifica métodos tais como: o problema de seleção de características, a representação multiresolução e a representação por árvores de decisão) usando modelos gerados por um subconjunto de partições do espaço de partições. Ademais, considerando como medida associada aos modelos o erro de estimação da hipótese aprendida, as cadeias no reticulado apresentam o fenômeno chamado U-curve. Portanto, podemos usar algoritmos de busca $U$-curve no reticulado de modelos para selecionar os melhores modelos, consequentemente, a correspondente dimensão VC. No entanto, esta nova geração de algoritmos de aprendizado requerem um incremento de poder computacional. Para enfrentar este problema, introduzimos o algoritmo Stochastic $U$-curve para trabalhar em reticulados maiores. Algoritmos de busca estocásticos não garantem encontrar soluções ótimas, mas maximizam a qualidade média das soluções para uma determinada quantidade de poder computacional. A contribuição desta tese avança ambos o estado da arte na teoria de aprendizado de máquina e soluções a problemas práticos em aprendizado.

O artigo Weighted forms of Euler's theorem de William Y.C. Chen e Kathy Q. Ji, em resposta ao questionamento de George E. Andrews, matemático estadunidense, sobre encontrar demonstrações combinatórias de duas identidades no Caderno Perdido de Ramanujan, nos mostra algumas formas ponderadas do Teorema de Euler sobre partições com partes ímpares e partes distintas via a introdução do conceito de partição com raiz. A propositura deste trabalho é envolta à apresentação de resultados sobre partições com raiz de modo a posteriormente realizar formulações combinatórias das identidades de Ramanujan por meio deste conceito, procurando estabelecer conexões com formas ponderadas do Teorema de Euler. Em particular, a bijeção de Sylvester e a iteração de Pak da função de Dyson são elementos primordiais para obtê-las. / The article Weighted forms of Euler's theorem by William Y.C. Chen and Kathy Q. Ji in response to the questioning of George E. Andrews, American mathematician, about nding combinatorial proofs for two identities in Ramanujan's Lost Notebook shows us some weighted forms of Euler's Theorem on partitions with odd parts and distinct parts through the introduction of the concept of rooted partition. The purpose of this work involves the presentation of results on rooted partitions in order to make combinatorial formulations of Ramanujan's identities, seeking to establish connections with weighted forms of Euler's Theorem. In particular, the Sylvester's bijection and the Pak's iteration of the Dyson's map are primordial elements to obtain them.

A segmentação é um passo importante em praticamente todas as tarefas que envolvem processamento de imagens digitais. Devido à variedade de imagens e diferentes necessidades da segmentação, a automação da segmentação não é uma tarefa trivial. Em muitas situações, abordagens interativas, nas quais o usuário pode intervir para guiar o processo de segmentação, são bastante úteis. Abordagens baseadas na transformação watershed mostram-se adequadas para a segmentação interativa de imagens: o watershed a partir de marcadores possibilita que o usuário marque as regiões de interesse na imagem; o watershed hierárquico gera uma hierarquia de partições da imagem sendo analisada, hierarquia na qual o usuário pode navegar facilmente e selecionar uma particular partição (segmentação). Em um trabalho prévio, propomos um método que integra as duas abordagens de forma que o usuário possa combinar os pontos fortes dessas duas formas de interação intercaladamente. Apesar da versatilidade obtida ao se integrar as duas abordagens, as hierarquias construídas dificilmente contêm partições interessantes e o esforço de interação necessário para se obter um resultado desejado pode ser muito elevado. Nesta tese propomos um método, baseado em aprendizagem computacional, que utiliza imagens previamente segmentadas para tentar adaptar uma dada hierarquia de forma que esta contenha partições mais próximas de uma partição de interesse. Na formulação de aprendizagem computacional, diferentes características da imagem são associadas a possíveis contornos de regiões, e esses são classificados como contornos que devem ou não estar presentes na partição final por uma máquina de suporte vetorial previamente treinada. A hierarquia dada é adaptada de forma a conter uma partição que seja consistente com a classificação obtida. Essa abordagem é particularmente interessante em cenários nos quais lotes de imagens similares ou sequências de imagens, como frames em sequências de vídeo ou cortes produzidas por exames de diagnóstico por imagem, precisam ser segmentadas. Nesses casos, é esperado que, a cada nova imagem a ser segmentada, o esforço de interação necessário para se obter a segmentação desejada seja reduzido em relação ao esforço que seria necessário com o uso da hierarquia original. Para não dependermos de experimentos com usuários na avaliação da redução no esforço de interação, propomos e utilizamos um modelo de interação que simula usuários humanos no contexto de segmentação hierárquica. Simulações deste modelo foram comparadas com sequências de interação observadas em experimentos com usuários humanos. Experimentos com diferentes lotes e sequências de imagens mostram que o método é capaz de reduzir o esforço de interação. / Segmentation is an important step in nearly all tasks involving digital image processing. Due to the variety of images and segmentation needs, automation of segmentation is not a trivial task. In many situations, interactive approaches in which the user can intervene to guide the segmentation process, are quite useful. Watershed transformation based approaches are suitable for interactive image segmentation: the watershed from markers allows the user to mark the regions of interest in the image; the hierarchical watershed generates a hierarchy of partitions of the image being analyzed, hierarchy in which the user can easily navigate and select a particular partition (segmentation). In a previous work, we have proposed a method that integrates the two approaches so that the user can combine the strong points of these two forms of interaction interchangeably. Despite the versatility obtained by integrating the two approaches, the built hierarchies hardly contain interesting partitions and the interaction effort needed to obtain a desired outcome can be very high. In this thesis we propose a method, based on machine learning, that uses images previously segmented to try to adapt a given hierarchy so that it contains partitions closer to the partition of interest. In the machine learning formulation, different image features are associated to the possible region contours, and these are classified as ones that must or must not be present in the final partition by a previously trained support vector machine. The given hierarchy is adapted to contain a partition that is consistent with the obtained classification. This approach is particularly interesting in scenarios where batches of similar images or sequences of images, such as frames in video sequences or cuts produced by imaging diagnosis procedures, need to be segmented. In such cases, it is expected that for each new image to be segmented, the interaction effort required to achieve the desired segmentation is reduced relative to the effort that would be required when using the original hierarchy. In order to do not depend on experiments with users in assessing the reduction in interaction effort, we propose and use an interaction model that simulates human users in the context of hierarchical segmentation. Simulations of this model were compared with interaction sequences observed in experiments with humans users. Experiments with different bacthes and image sequences show that the method is able to reduce the interaction effort.

O artigo Weighted forms of Euler's theorem de William Y.C. Chen e Kathy Q. Ji, em resposta ao questionamento de George E. Andrews, matemático estadunidense, sobre encontrar demonstrações combinatórias de duas identidades no Caderno Perdido de Ramanujan, nos mostra algumas formas ponderadas do Teorema de Euler sobre partições com partes ímpares e partes distintas via a introdução do conceito de partição com raiz. A propositura deste trabalho é envolta à apresentação de resultados sobre partições com raiz de modo a posteriormente realizar formulações combinatórias das identidades de Ramanujan por meio deste conceito, procurando estabelecer conexões com formas ponderadas do Teorema de Euler. Em particular, a bijeção de Sylvester e a iteração de Pak da função de Dyson são elementos primordiais para obtê-las. / The article Weighted forms of Euler's theorem by William Y.C. Chen and Kathy Q. Ji in response to the questioning of George E. Andrews, American mathematician, about nding combinatorial proofs for two identities in Ramanujan's Lost Notebook shows us some weighted forms of Euler's Theorem on partitions with odd parts and distinct parts through the introduction of the concept of rooted partition. The purpose of this work involves the presentation of results on rooted partitions in order to make combinatorial formulations of Ramanujan's identities, seeking to establish connections with weighted forms of Euler's Theorem. In particular, the Sylvester's bijection and the Pak's iteration of the Dyson's map are primordial elements to obtain them.

Orientador: José Plínio de Oliveira Santos / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T18:39:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Domingues_DeborahPereira_M.pdf: 925996 bytes, checksum: 6a430acfaa4475e03a36ee7e09bbf42a (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho estudamos dois importantes tópicos em combinatória. O primeiro deles é o Teorema Enumerativo de Pólya. No capítulo 2 é dada uma demonstração deste teorema usando o Teorema de Burnside. Também neste capítulo, encontram-se algumas de suas diversas aplicações. O segundo tópico trata de Teoria de Partições. Esta dissertação aborda alguns objetos de estudo desta área. O primeiro objeto é o método de Partition Analisys, usado para achar funções geradoras de vários tipos de interessantes funções de partição. Ainda relacionado a funções geradoras, o capítulo 3 aborda um pouco sobre q-séries. O segundo objeto é o método gráfico, que utiliza a representação gráfica de Ferrers para uma partição. Ainda neste capítulo, são usados os conceitos de quadrado de Durfee e símbolo de Frobenius para provar algumas identidades. / Abstract: This paper presents two important topics in combinatorics. The first one is the Pólya Enumeration Theorem. In chapter 2 is given a demonstration of this theorem by Burnside's Theorem. Also in this chapter are some of their various applications. The second topic deals with the Theory of Partition. This dissertation addresses some aspects of the study on this area. The first is Partition Analysis, this method is used to find the generating functions of various kinds of interesting partition functions. In the third chapter we deal with q-series which is also related to generating functions. The second is the graphical method, which uses a Ferrers's graphical representation of a partition. In addition, we use the concepts of Durfee square and Frobenius's symbol to prove some identities. / Mestrado / Mestre em Matemática

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this paper we present some counting tools like graphs and generating functions. Before we discuss about the basics of counting that are additive and multiplicative principles. At the end we show an algorithm that calculates the number of integer partitions that inherently uses the idea of graphs. / Neste texto apresentaremos algumas ferramentas de contagem como grafos e funções geradoras. Antes discutiremos sobre os princípios básicos de contagem que são os princípios aditivo e multiplicativo. Ao final exibiremos um algoritmo que calcula o número de partições de inteiros que utiliza intrinsecamente a ideia de grafos.

Orientador: José Plínio de Oliveira Santos / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-22T15:43:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Rodrigues_ChristianeBuffo_M.pdf: 948322 bytes, checksum: be5636b0d15a131df52736cd4f4782d0 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: Este trabalho trata da aplicação do Método Simbólico na resolução de problemas de Combinatória. A vantagem desta técnica é o cálculo direto de uma expressão fechada para a Função Geradora F(z) do problema escrito como uma Série de Potências. Consequentemente garantimos a facilidade na enumeração da sequência que queremos a partir do coeficiente de zn de F(z). O desenvolvimento de nosso estudo foi feito aplicando-se o método a dois tipos de Classes: Rotuladas e não Rotuladas, apontando as diferenças básicas entre elas através de exemplos e resultados teóricos. Ao final, concluímos que a enumeração independe do tipo de modelagem feita para o problema / Abstract: This work deals with the application of the Symbolic Method in the solutions of combinatorial problems. The advantage of this technique is the direct calculus for the exact expression of the Generating Function F(z) of the problem, written as a Power Series. Consequently, we ensure the enumeration of the desired sequence, from the coefficient of zn of F(z). Our study was developed by applying the method in two types of Classes: Labeled and unlabelled, pointing the basic differences between them through examples and theoretical results. Finally, we concluded that the enumeration does not depend of the type of the model chosen for the problem / Mestrado / Matematica Aplicada / Mestra em Matemática Aplicada

Orientador: Jose Plinio de Oliveira Santos / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-07T19:25:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ribeiro_AndreiaCristina_D.pdf: 576297 bytes, checksum: 445154b7e26e801e909854c976d31c45 (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Neste trabalho são estudadas varias das identidades do tipo Rogers-Ramanujan dadas por Slater. Em 1985, Andrews, introduziram um método geral para se estender para duas variáveis identidades desse tipo de modo a se obter, como casos especiais, certas importantes funções de Ramanujan. Santos, em 1991, forneceu conjecturas para varias das famílias de polinômios que surgem nestas extensões tendo provado algumas delas. Sills, em sua tese de doutorado, em 2002, implementou procedimentos que permitem a demonstra¸c¿ao das conjecturas dadas por Santos. No presente trabalho, de forma diferente daquela dada por Andrews, s¿ao introduzidos parâmetros nas somas que aparecem nestas identidades, de modo a se obter, em cada caso, funções geradoras que fornecem interpretações combinatórias para partições onde ¿números¿s¿ao vistos como ¿vetores¿e que fornecem, para especiais valores dos parâmetros, interpretações novas para muitas das identidades de Slater / Abstract: In this work many of the identities of the Rogers-Ramanujan type given by Slater are considered. In 1985, Andrews, introduced a general method in other to extend to two variables identities of this type in order to get, as special cases, some important functions of Ramanujan. Santos, in 1991, gave conjectures for many of the family of polynomials that appears in those extensions providing the proofs for some of them. Sills, in his Ph.D. thesis in 2002 ,has implemented procedures allowing the proofs of the conjectures given by Santos. In the present work, in a form different from the one given by Andrews, parameters are introduced in the sums of the identities in such a way to get, in each case, generating functions giving combinatorial interpretations for partitions where ¿numbers¿are represented as ¿vectors¿and that can give, as special cases, combinatorial interpretations for many of the identities given by Slater / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada