La thèse a pour sujet les propriétés spectrales et les propriétés de propagation<br /> d'hamiltoniens décrivant certains systèmes quantiques. La première partie donne<br /> une description des propriétés spectrales d'une particule quantique évoluant dans un<br /> nanotube courbe asymptotiquement droit. La deuxième partie est consacrée à l'analyse<br /> de la stabilité des propriétés spectrales de certains opérateurs de Dirac magnétiques<br /> sous l'effet de perturbations dues à l'ajout d'un potentiel matriciel. La troisième<br /> partie est une étude consacrée à la notion de temps de retard accumulé par une<br /> particule expérimentant une diffusion dans un guide d'ondes.

Deux opérateurs sont étudiés dans cette thèse: l'opérateur de Schrödinger radial, issu de la mécanique quantique non relativiste; puis le système AKNS singulier, adaptation de l'opérateur de Dirac radial provenant de la mécanique quantique relativiste. La première partie consiste en la résolution du problème direct associé à chacun des deux opérateurs: détermination des valeurs et vecteurs propres, ainsi que leur dépendance vis à vis des potentiels. La présence de fonctions de Bessel due à la singularité explicite induit des difficultés lors de la détermination d'asymptotiques. La seconde partie porte sur la résolution de ces problèmes spectraux inverses. À l'aide d'opérateurs de transformations nous évitons les difficultés induites par la singularité. Ils nous permettent de développer une théorie spectrale inverse pour les opérateurs singuliers considérés. Précisément, nous construisons une application spectrale bien adapté à l'étude de la stabilité du problème inverse ainsi qu'à l'étude des ensembles isospectraux. Un résultat d'injectivité est aussi obtenu pour les opérateurs AKNS et de Dirac singuliers avec potentiels réguliers.

On étudie l'opérateur de Schrödinger Ha + V(x) + W(x dans L où V est un potentiel périodique générique. On suppose que w est périodique et a (O, 1) de sorte que la perturbation W(x soit à oscillations asymptotiquement lentes. On étudie l'asymptotique des solutions de l'équation propre associée par deux approches différentes. La première approche, qui est basée sur une méthode de Sirnon---Zhu, utilise des approximations périodiques. On obtient une formule explicite pour la densité d'états intégrée pour Ha. Puis, on prouve l'existence et on donne une formule pour l'exposant de Lyapounov pour presque toutes les énergies. Nous décrivons aussi l'ensemble exceptionnel des énergies, qui contient le spectre singulier continu de Ha.La seconde méthode est nouvelle : elle utilise des approximations quasi- périodiques plutôt que périodiques. On approxime la résolvante de Ha par les résolvantes des opérateurs quasi-périodiques Hz,e + V(x) + W(Ex + z) pour des paramètres z et E bien choisis. Afin de pou- voir appliquer la méthode de la résolvante approchée à Ha, on étudie des solutions de l'équation propre pour à l'aide de la méthode BKW complexe de Fedotov--Klopp. On obtient les asymptotiques des solutions et des matrices de monodroimie quand tend vers zéro. Sous la condition c > , on construit des solutions de l'équation propre pour Ha ayant une asymptotique simple en x sur de grands intervalles. Puis, par l'étude des matrices de transfert associées, on obtient une nouvelle description, plus précise que la précédente, de l'ensemble exceptionnel des énergies.

Ce mémoire est composé de deux parties indépendantes. Si les deux sujets traités sont de nature différente, l'étude asymptotique du problème est à chaque fois au centre de la réflexion. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement d'un système composé de deux fluides non miscibles, soumis à la seule force de gravité. Un tel système est utilisé en océanographie, afin de modéliser une étendue d'eau de densité variable. On commence par écrire sous forme agréable les équations d'évolution gouvernant le système. Ensuite, on développe une panoplie de modèles asymptotiques, dans les régimes d'eau peu profonde - où l'on suppose que la profondeur des couches de fluide est petite devant la longueur d'onde caractéristique à l'interface - et d'ondes longues - où l'on ajoute une hypothèse de petitesse des déformations à la surface et à l'interface. Ces modèles sont rigoureusement justifiés, par des résultats de cohérence ou de convergence. Finalement, on s'intéresse particulièrement au phénomène d'eaux mortes, qui se manifeste par une forte résistance à l'avancement subie par un corps naviguant dans des eaux stratifiées. Cette résistance est une conséquence de l'énergie dépensée par le corps pour générer une onde à l'interface entre les deux couches de fluide. Là encore, des modèles asymptotiques sont construits, justifiés rigoureusement et simulés numériquement. Une telle étude nous permet de prédire dans quelles situations le phénomène d'eaux mortes se manifeste. La deuxième partie est dédiée à l'étude de la propagation des ondes dans un milieu non-homogène. La motivation de cette étude se situe dans les cristaux photoniques, dont les propriétés de structure se répercutent sur la propagation des rayons lumineux. Plus particulièrement, nous nous intéressons à l'influence de la présence de défauts dans le matériau, modélisés par des singularités et/ou des discontinuités dans la microstructure. On montre que ces interfaces ont un effet prédominant sur les propriétés asymptotiques du matériau - notamment le coefficient de transmission - lorsque la longueur caractéristique de la microstructure tend vers zéro.

Dans cette thèse, nous étudions quelques propriétés dynamiques des solutions de type soliton de quelques équations dispersives nonlinéaires généralisées. La première partie de ce travail est consacrée à l'étude de l'existence, de l'unicité et du comportement global de solitons pour des équations de KdV généralisées, à variation lente. On donnera une description détaillée de la dynamique pour tout temps et on montrera la non-existence de solitons purs, ce qui est une très grande différence avec l'équation gKdV standard. Dans une deuxième partie, on étudiera le cas de l'équation de Schrödinger nonlinéaire. Pour cette équation, nous allons améliorer tous les résultats précédents en donnant une description précise pour tout temps de la dynamique du soliton dans le régime à variation lente. En plus, sous des hypothèses générales, on montrera ce résultat dans le cas 2-D. Finalement, on considère le problème de collision de deux solitons pour l'équation de KdV généralisée. Complétant les résultats récents de Martel et Merle, concernant le cas quartique, nous montrons que la seule possibilité d'avoir une collision de type élastique est donnée par les cas intégrables. La preuve de tous ces résultats sont des développements et des améliorations de la théorie de Martel et Merle pour la collision de deux solitons des équations gKdV sous différents régimes asymptotiques.

Cette thèse en mathématiques appliquées à la nanoélectronique aborde le problème de la simulation mathématique et numérique du transport de gaz d'électrons confinés dans certaines directions de l'espace. A l'échelle de la nanoélectronique, les phénomènes ondulatoires liés au transport des électrons ne peuvent plus être négligés et la description classique du transport électronique doit laisser place à une approche quantique. La modélisation de tels phénomènes nécessite la résolution de systèmes couplés de type Schrödinger-Poisson, coûteux numériquement. Cette thèse s'appuie donc sur le confinement fortement anisotrope des électrons dans de telles structures pour obtenir des modèles asymptotiques à dimensionnalité réduite, via une analyse asymptotique "fort confinement". La principale difficulté mathématique provient ici des oscillations rapides dues au confinement. Des méthodes telles que la moyennisation en temps long sont décrites pour y remédier. On s'intéresse dans cette approche à plusieurs situations de confinement différentes. Ainsi, on présente deux modèles asymptotiques pour la modélisation du transport d'électrons confinés sur un plan, ainsi qu'un modèle de confinement sur un plan d'un gaz d'électrons soumis à un champ magnétique fort uniforme. Enfin, on propose un modèle asymptotique mathématique ainsi que des simulations numériques dans le cas du transport d'électrons confinés dans un nanofil quantique. Celles-ci sont obtenues par des méthodes numériques basées sur l'idée de la réduction de dimensionnalité qui font appel notamment à une méthode de décomposition en sous-bandes.

Open quantum dots (OQDs) are now commonly used as an experimental tool for the investigation of a particular regime of quantum transport where the electron dynamics is both ballistic and coherent. In particular, the Universal Conductance Fluctuations (UCFs), observed in ballistic quantum dots, arise from the complex quantum interferences occurring between electron trajectories that bounce multiple times against the dot walls before escaping through its leads. Central to quantum interference phenomena is the presence of a magnetic field B that breaks the time-reversal symmetry and changes the phase experienced by electrons in the dot. OQDs are typically patterned on top of two-dimensional electron gases (2DEGs). Interestingly, when confined to wide GaAs quantum wells (QWs), 2DEGs are known to exhibit a rich physics arising from the interplay of a strong in-plane magnetic field, multiple subband occupation, and the finite thickness of the electronic wavefunction. In this thesis, we use 2DEGs, confined to wide (WQW) and narrow (NQW) quantum wells with one and two occupied subbands at B = 0 T, respectively, to study the parallel field-induced transport in open quantum dots as a function of the well width and the tilt angle of B with respect to the electron gas. Both the WQW and NQW dots feature a rich spectrum of UCFs at intermediate tilt angles and, quite unexpectedly, under a strictly parallel B. Combined with the observation, in the case of the WQW dot, of a reduction in UCFs amplitude at large parallel B, our data indicates that the finite thickness of the electron layer and the orbital effect are responsible for the in-plane field-induced UCFs. In the second part of this work, we observe a saturation of the UCFs spectral distribution, expressed in terms of an effective tilt angle, as B approaches a strictly parallel configuration, along with the persistence of a limited number of frequency components in the case of the narrow quantum well dot. It is found that the saturation angle strongly depends on the width of the 2DEG confining well. Using the results of self-consistent Poisson-Schrödinger simulations, the magnetoconductance is rescaled as a function of the Fermi level E_F in the 2DEG. A power spectrum analysis of the parallel B UCFs in energy space and its good agreement with theoretical predictions suggest that such a B to E_F mapping is indeed relevant for the interpretation of parallel B-induced UCFs

Dans cette thèse, on construit un grand nombre de solutions globales pour de nombreuses équations de Schrödinger sur-critiques. Le principe consiste à rendre la donnée initiale aléatoire, selon les mêmes méthodes que Nicolas Burq, Nikolay Tzvetkov et Laurent Thomann afin de gagner de la dérivabilité.On considère d'abord l'équation de Schrödinger cubique en dimension 3. En partant de variables aléatoires gaussiennes et de la base de L^2(R^3) formée des fonctions d'Hermite tensorielles, on construit des ensembles de solutions globales pour des données initiales qui sont moralement dans L^2(R^3). Les points clefs de la démonstration sont l'existence d'une estimée bilinéaire de type Bourgain pour l'oscillateur harmonique et la transformation de lentille qui permet de se ramener à prouver l'existence locale de solutions à l'équation de Schrödinger avec potentiel harmonique.On étudie ensuite l'effet régularisant pour prouver un théorème analogue où le gain de dérivée vaut 1/2-2/(p-1) où p correspond à la non linéarité de l'équation. Le gain est donc plus faible que précédemment mais la base de fonctions propres quelconques. De plus, la méthode s'appuyant sur des estimées linéaires, on établit le résultat pour des variables aléatoires dont la queue de distribution est à décroissance exponentielle.Enfin, on démontre des estimées multilinéaires en dimension 2 pour une base de fonctions propres quelconques ainsi que des inégalités de types chaos de Wiener pour une classe générale de variables aléatoires. Cela nous permet d'établir le théorème pour l'équation de Schrödinger quintique, avec un gain de dérivée égal à 1/3, dans le même cadre que la partie précédente.

Ein metrischer Graph mit einem selbstadjungierten, negativen Laplace-Operator wird Quantengraph genannt. In dieser Arbeit werden Transporteigenschaften zufälliger Laplace-Operatoren betrachtet. Dazu wird die Multiskalenanalyse (MSA) von euklidischen Räumen auf metrische Graphen angepasst. Eine Überdeckung der metrischen Graphen wird aus gleichmäßig polynomiellem Wachstum und der gleichmäßigen Beschränkung der Kantenlängen gewonnen. Als Hilfsmittel für die MSA werden eine Combes-Thomas-Abschätzung und eine Geometrische Resolventenungleichung bewiesen. Zusammen mit einer Wegner-Abschätzung und der Existenz von verallgemeinerten Eigenfunktionen wird mittels der modifizierten MSA spektrale Lokalisierung (d.h. reines Punktspektrum) mit polynomiell fallenden Eigenfunktionen am unteren Rand des Spektrums für negative Laplace-Operatoren mit zufälligem Potential geschlossen. Dabei sind alle Randbedingungen, die eine nach unten beschränkten Operator liefern, wählbar. / We prove spectral localization for infinite metric graphs with a self-adjoint Laplace operator and a random potential. Therefor we adapt the multiscale analysis (MSA) from the euclidean case to metric graphs. In the MSA a covering of the graph is needed which is obtained from a uniform polynomial growth of the graph. The geometric restrictions of the graph contain a uniform bound on the edge lengths. As boundary conditions we allow all settings which give a lower bounded self-adjoint operator with an associated quadratic form. The result is spectral localization (i.e. pure point spectrum) with polynomially decaying eigenfunctions in a small interval at the ground state energy.

Computational chemists are concerned about two aspects when choosing between the myriad of theoretical methodologies: the accuracy (the "truth") and the computational cost (the tractability). Among the least expensive methods are the Hartree-Fock (HF), density functional theory (DFT), and second-order Moller-Plesset perturbation theory (MP2) methods. While each of these methods yield excellent results in many cases, the inadequate inclusion of certain types of electron correlation (either high-orders or nondynamical) can produce erroneous results. The compromise for the computation of noncovalent interactions often comes from empirically scaling DFT and/or MP2 methods to fit benchmark data sets. The DFT method with an empirically fit dispersion term (DFT-D) often yields semi-quantitative results. The spin-component scaled MP2 (SCS-MP2) method parameterizes the same- and opposite-spin correlation energies and often yields less than 20% error for prototype noncovalent systems compared to chemically accurate CCSD(T) results. There is no simple fix for cases with a large degree of nondynamical correlation (such as transition metal-salen complexes). While testing standard and new DFT functionals on the spin-state energy gaps of transition metal-salen complexes, no DFT method produced reliable results compared to very robust CASPT3 results. Therefore each metal-salen complex must be evaluated on a case-by-case basis to determine which methods are the most reliable. Utilizing a combination of DFT-D and SCS-MP2 methods, the reaction mechanism for the addition of cyanide to unsaturated imides catalyzed by the Al(Cl)-salen complex was performed. Various experimental observations are rationalized through this mechanism.