Motiviert durch neuere Vorschläge zur experimentellen Untersuchung von Quantengravitationseffekten werden in der vorliegenden Arbeit Annahmen und Methoden untersucht, die für die Vorhersagen solcher Effekte im Rahmen der Loop-Quantengravitation verwendet werden können. Dazu wird als Modellsystem ein skalares Feld, gekoppelt an das Gravitationsfeld, betrachtet. <br /> Zunächst wird unter bestimmten Annahmen über die Dynamik des gekoppelten Systems eine Quantentheorie für das Skalarfeld vorgeschlagen. Unter der Annahme, dass sich das Gravitationsfeld in einem semiklassischen Zustand befindet, wird dann ein &quot;QFT auf gekrümmter Raumzeit-Limes&quot; dieser Theorie definiert. Im Gegensatz zur gewöhnlichen Quantenfeldtheorie auf gekrümmter Raumzeit beschreibt die Theorie in diesem Grenzfall jedoch ein quantisiertes Skalarfeld, das auf einem (klassisch beschriebenen) Zufallsgitter propagiert. <br /> Sodann werden Methoden vorgeschlagen, den Niederenergieliemes einer solchen Gittertheorie, vor allem hinsichtlich der resultierenden modifizierten Dispersonsrelation, zu berechnen. Diese Methoden werden anhand von einfachen Modellsystemen untersucht. <br /> Schließlich werden die entwickelten Methoden unter vereinfachenden Annahmen und der Benutzung einer speziellen Klasse von semiklassischen Zuständen angewandt, um Korrekturen zur Dispersionsrelation des skalaren und des elektromagnetischen Feldes im Rahmen der Loop-Quantengravitation zu berechnen. Diese Rechnungen haben vorläufigen Charakter, da viele Annahmen eingehen, deren Gültigkeit genauer untersucht werden muss. Zumindest zeigen sie aber Probleme und Möglichkeiten auf, im Rahmen der Loop-Quantengravitation Vorhersagen zu machen, die sich im Prinzip experimentell verifizieren lassen. / Motivated by recent proposals on the experimental detectability of quantum gravity effects, the present thesis investigates assumptions and methods which might be used for the prediction of such effects within the framework of loop quantum gravity. To this end, a scalar field coupled to gravity is considered as a model system. <br /> Starting from certain assumptions about the dynamics of the coupled gravity-matter system, a quantum theory for the scalar field is proposed. Then, assuming that the gravitational field is in a semiclassical state, a &quot;QFT on curved space-time limit&quot; of this theory is defined. In contrast to ordinary quantum field theory on curved space-time however, in this limit the theory describes a quantum scalar field propagating on a (classical) random lattice. <br /> Then, methods to obtain the low energy limit of such a lattice theory, especially regarding the resulting modified dispersion relations, are discussed and applied to simple model systems. <br /> Finally, under certain simplifying assumptions, using the methods developed before as well as a specific class of semiclassical states, corrections to the dispersion relations for the scalar and the electromagnetic field are computed within the framework of loop quantum gravity. These calculations are of preliminary character, as many assumptions enter whose validity remains to be studied more thoroughly. However they exemplify the problems and possibilities of making predictions based on loop quantum gravity that are in principle testable by experiment.

Tunneling in 1D describes the effect that quantum particles can penetrate a classically insurmountable potential energy barrier. The extension to classically forbidden transitions in phase space generalizes the tunneling concept. A typical 1D Hamiltonian system has a mixed phase space. It contains regions of regular and chaotic dynamics, the so-called regular islands and the chaotic sea. These different phase space components are classically separated by dynamically generated barriers. Quantum mechanically they are, however, connected by dynamical tunneling. We perform a semiclassical quantization of almost resonance-free regular islands and transporting island chains of quantum maps. This yields so-called quasimodes, which are used for the investigation of direct dynamical tunneling from an almost resonance-free regular island to the chaotic sea. We derive a formula which allows for the determination of dynamical tunneling rates. Good agreement between this analytical prediction and numerical results is found over several orders of magnitude for two example systems. / Der 1D Tunneleffekt bezeichnet das Durchdringen einer klassisch nicht überwindbaren potentiellen Energiebarriere durch Quantenteilchen. Eine Verallgemeinerung des Tunnelbegriffs ist die Erweiterung auf jegliche Art von klassisch verbotenen Übergangsprozessen im Phasenraum. Der Phasenraum eines typischen 1D Hamiltonschen Systems ist gemischt. Er besteht aus Bereichen regulärer und chaotischer Dynamik, den sogenannten regulären Inseln und der chaotischen See. Während diese verschiedenen Phasenraumbereiche klassisch durch dynamisch generierte Barrieren voneinander getrennt sind, existiert quantenmechanisch jedoch eine Verknüpfung durch den dynamischen Tunnelprozess. In dieser Arbeit wird eine semiklassische Quantisierung von praktisch resonanz-freien regulären Inseln und transportierenden Inselketten von Quantenabbildungen durchgeführt. Die daraus folgenden sogenannten Quasimoden werden für die Untersuchung des direkten dynamischen Tunnelns aus einer praktisch resonanz-freien regulären Insel in die chaotische See verwendet, was auf eine Tunnelraten vorhersagende Formel führt. Ihre anschlie?ßende Anwendung auf zwei Modellsysteme zeigt eine gute Übereinstimmung zwischen Numerik und analytischer Vorhersage über viele Größenordnungen.

We investigate thermalization in finite quantum systems using coherent state-based approaches to solve the time-dependent Schr\'odinger equation. Earlier, a lot of work has been done in the quantum realm, to study thermalization in spin systems, but not for the case of continuous systems. Here, we focus on continuous systems. We study the zero temperature thermalization i.e., we consider the ground states of the bath oscillators (environment). In order to study the quantum dynamics of a system under investigation, we require numerical methods to solve the time-dependent Schr\'odinger equation. We describe different numerical methods like the split-operator fast fourier transform, coupled coherent states, static grid of coherent states, semiclassical Herman-Kluk propagator and the linearized semiclassical initial value representation to study the quantum dynamics. We also give a comprehensive comparison of the most widely used coherent state based methods. Starting from the fully variational coherent states method, after a first approximation, the coupled coherent states method can be derived, whereas an additional approximation leads to the semiclassical Herman-Kluk method. We numerically compare the different methods with another one, based on a static rectangular grid of coherent states, by applying all of them to the revival dynamics in a one-dimensional Morse oscillator, with a special focus on the number of basis states (for the coupled coherent states and Herman-Kluk methods the number of classical trajectories) needed for convergence. We also extend the Husimi (coherent state) based version of linearized semiclassical theories for the calculation of correlation functions to the case of survival probabilities. This is a case that could be dealt with before only by use of the Wigner version of linearized semiclassical theory. Numerical comparisons of the Husimi and the Wigner case with full quantum results as well as with full semiclassical ones is given for the revival dynamics in a Morse oscillator with and without coupling to an additional harmonic degree of freedom. From this, we see the quantum to classical transition of the system dynamics due to the coupling to the environment (bath harmonic oscillator), which then can lead ultimately to our final goal of thermalization for long-time dynamics. In regard to thermalization in quantum systems, we address the following questions--- is it enough to increase the interaction strength between the different degrees of freedom in order to fully develop chaos which is the classical prerequisite for thermalization, or if, in addition, the number of those degrees of freedom has to be increased (possibly all the way to the thermodynamic limit) in order to observe thermalization. We study the ``toppling pencil'' model, i.e., an excited initial state on top of the barrier of a symmetric quartic double well to investigate thermalization. We apply the method of coupled coherent states to study the long-time dynamics of this system. We investigate if the coupling of the central quartic double well to a finite, environmental bath of harmonic oscillators in their ground states will let the central system evolve towards its uncoupled ground state. This amounts to thermalization i.e., a cooling down to the bath ``temperature'' (strictly only defined in the thermodynamic limit) of the central system. It is shown that thermalization can be achieved in finite quantum system with continuous variables using coherent state-based methods to solve the time-dependent Schr\'odinger equation. Also, here we witness thermalization by coupling the system to a bath of only few oscillators (less than ten), which until now has been seen for more than ten to twenty bath oscillators.

Tunneling in 1D describes the effect that quantum particles can penetrate a classically insurmountable potential energy barrier. The extension to classically forbidden transitions in phase space generalizes the tunneling concept. A typical 1D Hamiltonian system has a mixed phase space. It contains regions of regular and chaotic dynamics, the so-called regular islands and the chaotic sea. These different phase space components are classically separated by dynamically generated barriers. Quantum mechanically they are, however, connected by dynamical tunneling. We perform a semiclassical quantization of almost resonance-free regular islands and transporting island chains of quantum maps. This yields so-called quasimodes, which are used for the investigation of direct dynamical tunneling from an almost resonance-free regular island to the chaotic sea. We derive a formula which allows for the determination of dynamical tunneling rates. Good agreement between this analytical prediction and numerical results is found over several orders of magnitude for two example systems. / Der 1D Tunneleffekt bezeichnet das Durchdringen einer klassisch nicht überwindbaren potentiellen Energiebarriere durch Quantenteilchen. Eine Verallgemeinerung des Tunnelbegriffs ist die Erweiterung auf jegliche Art von klassisch verbotenen Übergangsprozessen im Phasenraum. Der Phasenraum eines typischen 1D Hamiltonschen Systems ist gemischt. Er besteht aus Bereichen regulärer und chaotischer Dynamik, den sogenannten regulären Inseln und der chaotischen See. Während diese verschiedenen Phasenraumbereiche klassisch durch dynamisch generierte Barrieren voneinander getrennt sind, existiert quantenmechanisch jedoch eine Verknüpfung durch den dynamischen Tunnelprozess. In dieser Arbeit wird eine semiklassische Quantisierung von praktisch resonanz-freien regulären Inseln und transportierenden Inselketten von Quantenabbildungen durchgeführt. Die daraus folgenden sogenannten Quasimoden werden für die Untersuchung des direkten dynamischen Tunnelns aus einer praktisch resonanz-freien regulären Insel in die chaotische See verwendet, was auf eine Tunnelraten vorhersagende Formel führt. Ihre anschlie?ßende Anwendung auf zwei Modellsysteme zeigt eine gute Übereinstimmung zwischen Numerik und analytischer Vorhersage über viele Größenordnungen.

In dieser Dissertation untersuchen und entwickeln wir neue Methoden, die dabei helfen sollen eine effektive semiklassische Beschreibung der kanonischen Loop-Quantengravitation und der Spinfoam-Gravitation zu bestimmen. Einer kurzen Einführung in die Loop-Quantengravitation folgen drei Forschungsartikel, die die Resultate der Doktorarbeit präsentieren. Im ersten Artikel behandeln wir das Problem der Zeit und einen neuen Vorschlag zur Implementierung von Eigenzeit durch Randbedingungen an Pfadintegrale: wir untersuchen eine konkrete Realisierung dieses Formalismus für die freie Skalarfeldtheorie. Im zweiten Artikel übersetzen wir semiklassische Zustände der linearisierten Gravitation in Zustände der Loop-Quantengravitation. Deren Eigenschaften deuten an, wie sich Semiklassizität im Loop-Formalismus manifestiert, and wie man dies benützen könnte, um semiklassische Entwicklungen herzuleiten. Im dritten Teil schlagen wir eine neue Formulierung von Spinfoam-Modellen vor, die vollständig Triangulierungs- und Hintergrund-unabhängig ist: mit Hilfe einer Symmetrie-Bedingung identifizieren wir Spinfoam-Modelle, deren Triangulierungs-Abhängigkeit auf natürliche Weise entfernt werden kann. / In this Ph.D. thesis, we explore and develop new methods that should help in determining an effective semiclassical description of canonical loop quantum gravity and spin foam gravity. A brief introduction to loop quantum gravity is followed by three research papers that present the results of the Ph.D. project. In the first article, we deal with the problem of time and a new proposal for implementing proper time as boundary conditions in a sum over histories: we investigate a concrete realization of this formalism for free scalar field theory. In the second article, we translate semiclassical states of linearized gravity into states of loop quantum gravity. The properties of the latter indicate how semiclassicality manifests itself in the loop framework, and how this may be exploited for doing semiclassical expansions. In the third part, we propose a new formulation of spin foam models that is fully triangulation- and background-independent: by means of a symmetry condition, we identify spin foam models whose triangulation-dependence can be naturally removed.

Es werden spektrale Eigenschaften des zweidimensionalen Schrödinger-Operators mit einem zweifach periodischen Potential und starkem magnetischem Feld untersucht mit Hilfe semiklassischer Methoden. Man beschreibt die spektrale Asymptotik durch Benutzung der Reeb-Graph-Technik. Im Falle des rationalen Flusses konstruiert man semiklassische Magneto-Bloch-Funktionen und beschreibt die Asymptotik des Spektrums auf dem physikalischen Beweisniveau. / Spectral properties of the two-dimensional Schroedinger operator with a two-periodic potential and a strong uniform magnetic field is studied with the help of semiclassical methods. The spectral asymptotics is described using the Reeb graph technique. In the case of the rational flux one constructs semiclassical magneto-Bloch functions and describes the asymptotics of the band spectrum on the physical level of proof.

A discrete analogue of the Witten Laplacian on the n-dimensional integer lattice is considered. After rescaling of the operator and the lattice size we analyze the tunnel effect between different wells, providing sharp asymptotics of the low-lying spectrum. Our proof, inspired by work of B. Helffer, M. Klein and F. Nier in continuous setting, is based on the construction of a discrete Witten complex and a semiclassical analysis of the corresponding discrete Witten Laplacian on 1-forms. The result can be reformulated in terms of metastable Markov processes on the lattice. / In dieser Arbeit wird auf dem n-dimensionalen Gitter der ganzen Zahlen ein Analogon des Witten-Laplace-Operatoren eingeführt. Nach geeigneter Skalierung des Gitters und des Operatoren analysieren wir den Tunneleffekt zwischen verschiedenen Potentialtöpfen und erhalten vollständige Aymptotiken für das tiefliegende Spektrum. Der Beweis (nach Methoden, die von B. Helffer, M. Klein und F. Nier im Falle des kontinuierlichen Witten-Laplace-Operatoren entwickelt wurden) basiert auf der Konstruktion eines diskreten Witten-Komplexes und der Analyse des zugehörigen Witten-Laplace-Operatoren auf 1-Formen. Das Resultat kann im Kontext von metastabilen Markov Prozessen auf dem Gitter reformuliert werden und ermöglicht scharfe Aussagen über metastabile Austrittszeiten.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.

Gegenstand dieser Arbeit ist die Untersuchung von statistischen Eigenschaften der ungeordneten Metallen im Rahmen des Anderson-Modells der Lokalisierung. Betrachtet wird ein Elektron auf einem Gitter mit "Nächste-Nachbarn-Hüpfen" und zufälligen potentiellen Gitterplatzenergien. Wegen der Zufälligkeit zeigen die Elektroneigenschaften, zum Beispiel die Eigenenergien und -zustände, irreguläre Fluktuationen, deren Statistik von der Amplitude der Potentialenergie abhängt. Mit steigender Amplitude wird das Elektron immer mehr lokalisiert, was schliesslich zum Metall-Isolator-Übergang führt. In dieser Arbeit wird die Statistik insbesondere im metallischen Bereich untersucht, und dadurch der Einfluss der Lokalisierung an den Eigenschaften des Systems betrachtet. Zuerst wird die Statistik der Matrixelemente des Dipoloperators untersucht. Die numerischen Ergebnisse für das Anderson-Modell werden mit Vorhersagen der semiklassischen Näherung verglichen. Dann wird der spektrale Strukturfaktor betrachtet, der als Fourier-Transformation der zwei-Punkt Zustandsdichtekorrelationsfunktion definiert wird. Dabei werden besonders die nichtuniversellen Abweichungen von den Vorhersagen der Zufallsmatrixtheorie untersucht. Die Abweichungen werden numerisch ermittelt, und danach mit den analytischen Vorhersagen verglichen. Die Statistik der Wellenfunktionen zeigt ebenfalls Abweichungen von der Zufallsmatrixtheorie. Die Abweichungen sind am größten für Statistik der großen Wellenfunktionsamplituden, die sogenannte seltene Ereignisse darstellen. Die analytischen Vorhersagen für diese Statistik sind teilweise widersprüchlich, und deshalb ist es interessant, sie auch numerisch zu untersuchen.