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O objetivo deste trabalho é estudar aproximação na esfera por uma soma com pesos de harmônicos esféricos. Apresentamos condições necessárias e suficientes sobre os pesos para garantir a convergência, tanto no caso contínuo quanto no caso Lp. Analisamos a ordem de convergência dos processos aproximatórios usando um módulo de suavidade esférico relacionado à derivada forte de Laplace-Beltrami. Incluímos provas para vários resultados sobre a derivada forte de Laplace-Beltrami, já que não conseguimos encontrá-las na literatura / The subject of this work is to study approximation on the sphere by weighted sums of spherical harmonics. We present necessary and sufficient conditions on the weights for convergence in both, the continuous and the Lp cases. We analyse the convergence rates of the approximation processes using a modulus of smoothness related to the strong Laplace- Beltrami derivative. We include proofs for several results related to such a derivative, since we were unable to find them in the literature

O objetivo deste trabalho é estudar aproximação na esfera por uma soma com pesos de harmônicos esféricos. Apresentamos condições necessárias e suficientes sobre os pesos para garantir a convergência, tanto no caso contínuo quanto no caso Lp. Analisamos a ordem de convergência dos processos aproximatórios usando um módulo de suavidade esférico relacionado à derivada forte de Laplace-Beltrami. Incluímos provas para vários resultados sobre a derivada forte de Laplace-Beltrami, já que não conseguimos encontrá-las na literatura / The subject of this work is to study approximation on the sphere by weighted sums of spherical harmonics. We present necessary and sufficient conditions on the weights for convergence in both, the continuous and the Lp cases. We analyse the convergence rates of the approximation processes using a modulus of smoothness related to the strong Laplace- Beltrami derivative. We include proofs for several results related to such a derivative, since we were unable to find them in the literature

La synthèse d’images réalistes repose sur des modèles physiques décrivant les interactions entre la lumière et les matériaux attachés aux objets dans une scène tridimensionnelle. Ces modèles mathématiques sont complexes et, dans le cas général, n’admettent pas de solution analytique. Pour cette raison, l’utilisation de méthodes numériques robustes et efficaces est nécessaire. Les méthodes de Monte Carlo ou techniques alternatives comme l’utilisation de développement par fonction de base sont appropriées pour résoudre ce type de problème. Dans cette thèse par articles, nous présentons deux nouvelles techniques permettant l’in- tégration numérique efficace de matériaux complexes. En premier lieu, nous introduisons une nouvelle méthode permettant d’intégrer simultanément plusieurs dimensions définies dans le domaine angulaire et spatiale. Avoir une technique efficace est essentiel pour intégrer des matériaux avec des normales variant rapidement sous différentes conditions d’éclairage. Notre technique utilise une nouvelle formulation basée sur un histogramme sphérique définie de façon directionnelle et spatial. Ce dernier nous permet d’utiliser des harmoniques sphé- riques pour intégrer les différentes dimensions rapidement, réduisant le temps de calcul d’un facteur approximatif de 30× par rapport aux méthodes de l’état de l’art. Dans notre second travail, nous introduisons une nouvelle stratégie d’échantillonnage pour estimer le transport de lumière à l’intérieur de matériaux multicouches. En identifiant les meilleures stratégies d’échantillonnage, nous proposons une technique efficace et non biaisée pour construire des chemins de lumière à l’intérieur de ce type de matériau. Notre nouvelle approche permet d’obtenir un estimateur de Monte Carlo efficace et de faible variance dans des matériaux contenant un nombre arbitraire de couches. / Realistic computer generated images and simulations require physically-based models to properly capture and reproduce light-material interactions. The underlying mathematical formulations are complex and mandate the use of efficient numerical methods, since analytic solutions are not available. Monte Carlo integration is one such commonly used numerical method, although, alternative approaches leveraging, e.g., basis expansions, may be suitable to solve these challenging problems. In this thesis by articles, we present two works where we efficiently devise numerical integration strategies for the rendering of complex materials. First, we propose a method to compute a spatial-angular multi-dimensional integration problem present when rendering materials with high-frequency normal variation under large, angularly varying illumination. By computing and manipulating a novel spherical histogram data representation, we are able to use spherical harmonics to efficiently solve the integral, outperforming the state-of-the-art by a factor of roughly 30×. Our second work describes a high-performance Monte Carlo integration strategy for rendering layered materials. By identifying the best path sampling strategies in the micro-scale light transport context, we are able to tailor an unbiased and efficient path construction method to evaluate high throughput, low variance paths through an arbitrary number of layers.

L'analyse des propriétés statistiques de la distribution de la matière dans le cosmos (Grandes Structures, LSS or Large Scale Structure) est l'une des principales sondes cosmologiques qui permettent l'étude du modèle standard cosmologique, en particulier les paramètres caractérisant la matière noire et l'énergie noire. Les Oscillations Acoustiques Baryoniques (BAO's) sont l'une des mesures qui peuvent être extraites de l'étude de la distribution de matière à grande échelle (LSS).L'observation de la distribution cosmique de la matière à partir de l'émission à 21 cm de l'hydrogène atomique neutre (HI) est une nouvelle méthode, complémentaire des relevés optiques pour cartographier la distribution de la matière dans le cosmos. La méthode de cartographie d'intensité (Intensity Mapping) a été proposée depuis moins d'une dizaine d'années comme une méthode efficace pour cartographier en trois dimensions l'émission radio à 21 cm. Elle n'implique en particulier pas la détection des objets individuels (galaxies), et peut donc être effectué avec des instruments plus modestes en taille que ceux comme SKA ou FAST qui sont conçus pour détecter les galaxies à 21 cm à des distances cosmologiques. Des interféromètres radio utilisant un ensemble de réflecteurs cylindriques ou paraboliques fixes, observant le ciel en mode transit sont adaptés à la cartographie d'intensité. Le mode d'observation spécifique de ce type de radio télescope en cartographie d'intensité est étudié dans le cadre de ce travail de thèse. On montre en particulier qu'une méthode spécifique de reconstruction des cartes du ciel à partir des visibilités peut être appliquée aux observations de ces interféromètres fonctionnant en mode transit. Cette méthode correspond à la décomposition en modes m des harmoniques sphériques et est très performante pour la reconstruction de grandes zones du ciel observées en mode transit. Un code de reconstruction fondé sur ce principe a été développé, ainsi que différents critères de comparaison des performances instrumentales, comme le lobe d'antenne synthétisé, le spectre de bruit sur les cartes reconstruites et la réponse globale de l'instrument dans le plan (l,m) des harmoniques sphériques. La méthode a été appliquée à différentes configurations des interféromètres composés de réflecteurs paraboliques ou cylindriques dans le cadre des projets PAON-4 et Tianlai. Outre l'optimisation des configurations des interféromètres Tianlai et PAON-4, le travail présenté inclut une première application de la méthode aux données PAON-4. / The analysis of the statistical properties of the distribution of matter in the cosmos (LSS or Large Scale Structure) is one of the main cosmological probes that allow the study of the cosmological standard model, in particular the parameters characterizing dark matter and dark energy. Baryonic Acoustic Oscillations (BAO's) are one of the measurements that can be extracted from the study of matter distribution in large-scale structure (LSS).The observation of the cosmic distribution of the matter from neutral atomic hydrogen (HI) 21 cm emission is a new method, complementary to the optical observation to map the distribution of matter in the cosmos. In the last decade, the Intensity Mapping method has been proposed as an effective method for mapping the 21cm radio emission in three dimensions. In particular, it does not require the detection of individual objects (galaxies), and can therefore be performed with instruments smaller in size than those such as SKA or FAST, which are designed to detect 21 cm galaxies at cosmological distances. A radio interferometer using a set of fixed cylindrical or parabolic reflectors observing the sky in transit mode are suitable instruments for intensity mapping surveys. The specific observational mode from this type of radio telescope by intensity mapping is studied in the context of this thesis. We show in particular that a specific sky maps reconstruction method from the visibilities can be applied to the observations of these interferometers operating in transit mode. This method corresponds to the m-modes decomposition of the spherical harmonics and is very efficient for the reconstruction of large sky areas observed in transit mode. A reconstruction code based on this principle has been developed, as well as different criteria for the comparison of instrumental performances, such as the synthesized antenna lobe, the noise spectrum of the reconstructed maps and the overall instrument response in the spherical harmonics (l,m) plane. The method has then been applied to different configurations of interferometers composed of parabolic or cylindrical reflectors in the PAON-4 and Tianlai projects. In addition to optimizing the Tianlai and PAON-4 interferometer configurations, the work presented here includes a first application of the method to the PAON-4 data.

The aim of master thesis is to describe different calculation of global illumination methods including Light Propagation Volumes. All three steps of LPV calculation are widely described: injection, propagation and rendering. It is also proposed several custom extensions improving graphics quality of this method. Two parts of design and implementation are focused on scene description, rendering system, shadow rendering, implementation of LPV method and proposed extensions. As conclusion, measurement and several images of application are presented, followed by comparison in environment with diffenent parameters, thesis summary with evaluation of achieved results and suggestions of further improvements.

Le transport de la lumière permet de simuler physiquement le movement de photons dans un environnement virtuel. En rendu d’images, la lumière se propage une dernière fois vers un capteur virtuel la transformant en une image, affichée pour un observateur. Durant ce voyage la lumière peut être analysée fréquentiellement pour comprendre ses variations spatiales et angulaires afin d’accélerer le rendu. La génération d’images réalistes a subit de grandes avancées au cours des dernières années, réduisant l’écart entre simulation et réalité. Cependant les contraintes en terme de performance et de mémoire empêchent toujours aux applications interactives et en temps-réel de bénéficier des effets de rendu les plus complexes. Pour cela, les moteurs de rendu professionels modernes dépendent toujours de méthodes de pré-calculation de données et de procédures asynchrones de traitement. Cette thèse par article présente deux projets traitant du transport de la lumière à travers une perspective fréquentielle dans le contexte d’applications interactives et en temps-réel. Nous proposons premièrement une méthode pour réutiliser efficacement le calcul préalable de chemins de lumière par méthode Monte Carlo pour des séquences animées. Nous prenons avantage de l’analyse fréquentielle du transport de la lumière réalisée dans des travaux antérieurs, étendue ici à l’échantillonement et reconstruction spatial, angulaire et temporel. Notre seconde méthode pré-calcule le transport de la lumière à travers les volumes participatifs jusqu’aux surfaces, que nous encodons comme réponse impulsive. Cet opérateur compacte et efficace nous permet d’accélerer le transport à travers des volumes jusqu’aux surfaces dans le contexte de diffusion multiple dans des conditions arbitraires de média participatifs. / Light transport is the method of physically simulating the movement of photons in an environment. Applied to rendering, light travels one last time to a virtual sensor that captures it as an image displayed to an observer. As it travels, light is analysable frequentially to understand how it varies spatially and angularly to accelerate rendering. Recent advances in physically-based realistic rendering have been closing the gap between reality and simulation but the memory and performance costs still preclude the inclusion of the more computationally expensive effects in interactive and real-time applications. Because of this, modern production renderers rely on the ahead-of-time precomputation of data for efficient reuse in the form of offline computational processes and asynchronously distributed procedures. This thesis by publication investigates with two papers the simulation of light transport from a frequency-based perspective for interactive and precomputed real-time applications. We first propose a method for efficiently reusing light path computations over time in interactive Monte Carlo path-traced animation sequences. We leverage to this end the frequency analysis of light transport introduced in previous works, extended to spatial, angular and temporal sampling and reconstruction. Our second method investigates the precomputation of participating volume-to-surface light transport as impulse responses, a compact and efficient frequency-based transport operator. In turn, these operators accelerate by orders of magnitude the computation of multi-scattered volume-to-surface transport in arbitrary, potentially heterogeneous media conditions.

L’objet de ce travail est de proposer un modèle adapté pour la simulation du remplissage de moules qui réponde au meilleur compromis entre temps de calcul et précision des résultats. La difficulté est double. Il faut prendre en compte le phénomène de remplissage qui est un problème complexe à frontières libres et les spécificités liées au Verre : viscosité fortement thermodépendante et température de fusion élevée qui nécessite de prendre en compte le rayonnement. Le Chapitre I est consacrée à la partie écoulement du Verre liquide. La bibliothèque numérique Aquilon/Thétis, adaptée pour traiter ce type de problèmes et les couplages thermique air/verre/parois, a été utilisée (Méthode V.O.F pour le suivi de l’interface, méthodes de type Lagrangien augmenté/Projection vectorielle pour le couplage Vitesse-Pression). Pour l’aspect radiatif, différentes approches sont proposées : conductivité radiative équivalente (Chapitre II), méthode explicite directe pour la validation (Chapitre III) et méthode d’harmoniques sphériques ou méthode PN (Chapitre IV). Dans le Chapitre V, la méthode PN retenue est validée dans des cas simples et est appliquée ensuite à des cas avec couplage convectif en géométries complexes et obstacles semi-transparents (1D, 2D et 3D, 2D axi-symétrique et milieu non gris). Une version P1 modifiée est présentée. Les résultats sont assez proches de ceux donnés par la méthode P3 avec des temps de calcul modestes. L’intérêt de ce modèle est qu’il est facilement intégrable dans des codes numériques existants : une seule équation différentielle du second ordre stationnaire à résoudre en 3D / The aim of this study is to propose an adapted model for the simulation of mould filling that must be a compromise solution between computational time and results accuracy. The double difficulty is to take into account the filling phenomenon that is a complex problem due to the presence of free boundaries and to the Glass specificities: viscosity that is highly thermal dependant and high melting temperature that requires taking into account radiation effects. Chapter I is devoted to the melting Glass flow. The numerical libraries Aquilon/Thétis, adapted for solving such type of problems and the thermal coupling between Air/Glass/Walls, has been used. (V.O.F method for front tracking, Augmented Lagrangian/Vector Projection methods for solving Pressure/Velocity coupling). For radiative aspect, different approaches are proposed: equivalent radiative conductivity (Chapter II), direct explicit method for validation (Chapter III) and spherical harmonics method or PN method (Chapter IV). In the Chapter V, the selected PN method is validated through simple cases and is then applied in other cases with convective coupling in complex geometries including semi-transparent inclusions (1D, 2D and 3D, 2D axi-symmetric and non grey medium). A P1 modified version is presented. The results are close to those given by P3 method but with reduced computational time. The main interest of this model is that it can be easily implemented in existing numerical codes: a single stationary second order partial differential equation to solve in 3D

The present thesis considers the problem of reconstructing a function f that is defined on the d-dimensional unit sphere from its mean values along hyperplane sections. In case of the two-dimensional sphere, these plane sections are circles. In many tomographic applications, however, only limited data is available. Therefore, one is interested in the reconstruction of the function f from its mean values with respect to only some subfamily of all hyperplane sections of the sphere. Compared with the full data case, the limited data problem is more challenging and raises several questions. The first one is the injectivity, i.e., can any function be uniquely reconstructed from the available data? Further issues are the stability of the reconstruction, which is closely connected with a description of the range, as well as the demand for actual inversion methods or algorithms. We provide a detailed coverage and answers of these questions for different families of hyperplane sections of the sphere such as vertical slices, sections with hyperplanes through a common point and also incomplete great circles. Such reconstruction problems arise in various practical applications like Compton camera imaging, magnetic resonance imaging, photoacoustic tomography, Radar imaging or seismic imaging. Furthermore, we apply our findings about spherical means to the cone-beam transform and prove its singular value decomposition. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Problem der Rekonstruktion einer Funktion f, die auf der d-dimensionalen Einheitssphäre definiert ist, anhand ihrer Mittelwerte entlang von Schnitten mit Hyperebenen. Im Fall d=2 sind diese Schnitte genau die Kreise auf der Sphäre. In vielen tomografischen Anwendungen sind aber nur eingeschränkte Daten verfügbar. Deshalb besteht das Interesse an der Rekonstruktion der Funktion f nur anhand der Mittelwerte bestimmter Familien von Hyperebenen-Schnitten der Sphäre. Verglichen mit dem Fall vollständiger Daten birgt dieses Problem mehrere Herausforderungen und Fragen. Die erste ist die Injektivität, also können alle Funktionen anhand der gegebenen Daten eindeutig rekonstruiert werden? Weitere Punkte sind die die Frage nach der Stabilität der Rekonstruktion, welche eng mit einer Beschreibung der Bildmenge verbunden ist, sowie der praktische Bedarf an Rekonstruktionsmethoden und -algorithmen. Diese Arbeit gibt einen detaillierten Überblick und Antworten auf diese Fragen für verschiedene Familien von Hyperebenen-Schnitten, angefangen von vertikalen Schnitten über Schnitte mit Hyperebenen durch einen festen Punkt sowie Kreisbögen. Solche Rekonstruktionsprobleme treten in diversen Anwendungen auf wie der Bildgebung mittels Compton-Kamera, Magnetresonanztomografie, fotoakustischen Tomografie, Radar-Bildgebung sowie der Tomografie seismischer Wellen. Weiterhin nutzen wir unsere Ergebnisse über sphärische Mittelwerte, um eine Singulärwertzerlegung für die Kegelstrahltomografie zu zeigen.