Topologische optische Systeme ziehen als Gegenstand aktueller Forschung große Aufmerksamkeit auf sich. Bemerkenswert sind dabei Phänomene wie die streu- und verlustfreie Lichtausbreitung mit Unempfindlichkeit gegenüber Defekten oder die einseitig gerichtete Lichtausbreitung. Das wissenschaftliche Verständnis topologischer Systeme ist jedoch noch nicht vollständig. Ziel dieser Doktorarbeit ist es, topologische Systeme in einer Dimension sowohl aus experimenteller wie auch aus theoretischer Sicht besser zu verstehen. Grundlage für alle Untersuchungen sind Mikrokavitäten mit einer optischen Dicke von der Hälfte der Designwellenlänge 1/2·λ_D = 1/2·620 nm. Diese werden umschlossen von Braggreflektoren und erreichen Qualitätsfaktoren in der Größenordnung von 10^3. Aufgrund der starken Lokalisierung des elektrischen Feldes in Kombination mit zahlreichen Möglichkeiten zur Durchführung optischer Messungen bieten Mikrokavitäten sowohl ein System zur Realisierung topologischer Zustände als auch Nachweismethoden für diese Zustände. Die Kavitäten sind mit der organischen Matrix tris-(8-hydroxy quinoline) aluminum (Alq_3) und darin eingebetteten kleinen organischen Farbstoffmolekülen gefüllt. In einem ansonsten symmetrischen Probenaufbau wechseln sich Kavitäten mit 4-(dicyanomethylene)-2-methyl-6-(p-dimethylaminostyryl)-4H-pyran (DCM) als optisch aktivem Medium (Gewinn) und zinc phthalocyanine (ZnPc) als Absorber (Verlust) ab. Bei sorgfältig austariertem Gewinn und Verlust ermöglicht eine Kombination aus Raumspiegelungs- und Zeitumkehrsymmetrie (PT-Symmetrie) eine spontane Symmetriebrechung, die für das Auftreten nicht-trivialer topologischer Eigenschaften erforderlich ist. Auf theoretischer Seite wird ein Tight-Binding-Modell für optische Mikrokavitäten hergeleitet. Das elektrische Feld ist stark in den Kavitäten lokalisiert und gebunden; die Transmission durch die Spiegel, welche die Kavitäten trennen, wird mittels eines Hüpfterms im Hamiltonoperator beschrieben. Mit dem entwickelten Modell wird ein Probenaufbau mit gekoppelten Kavitäten, die in einer PT -symmetrischen Su-Schrieffer-Heeger-Kette (SSH-Kette) angeordnet sind, betrachtet. Die Auswertung des Hamiltonoperators sagt die Ausbildung topologisch nicht-trivialer Randzustände ab sechs gekoppelten Kavitäten voraus. Die Analyse einer nicht-trivialen topologischen Kette mit zehn gekoppelten Kavitäten zeigt das Auftreten von Randzuständen und simuliert die daraus resultierenden Eigenschaften der Reflexionsmessungen. Im Experiment werden Proben mit zwei gekoppelten Kavitäten (eine Einheitszelle der SSH-Kette) hergestellt und das Transmissions- und Laserverhalten analysiert. Sowohl die symmetrischen als auch die antisymmetrischen Moden des gekoppelten Systems zeigen Lasing. Oberhalb der Laserschwelle zeigt das gekoppelte System mit austariertem Gewinn und Verlust nicht-reziprokes Verhalten. Die Messungen unterscheiden sich in Abhängigkeit von der Pump- und Detektionsrichtung in der Intensität, was auf eine gebrochene PT -Symmetrie hinweist.:1 Introduction 2 Principles of microcavity lasers 3 Physical models of light as particle and wave 4 Sample preparation and measurement setups 5 Theoretical modeling with the tight-binding approximation 6 Experimental results 7 Summary and Outlook Bibliography / Topological photonics has attracted tremendous research interest in recent years due to remarkable phenomena, like scatter-free and lossless light propagation with immunity to defects or directional light propagation. However, many questions regarding non-trivial topological systems are still open. This thesis aims to deepen the understanding of non-trivial topological systems in one dimension from both the experimental and theoretical points of view. The basis for all investigations are microcavities with an optical thickness of half of the design wavelength 1/2·λ_D = 1/2·620 nm. These are enclosed by Bragg reflectors and achieve quality factors in the order of 10^3. Due to the strong confinement of the electric field in combination with numerous possibilities to conduct optical measurements, microcavities offer a system for both realizing topological states as well as detection methods for these states. The cavities are filled with the organic matrix tris-(8-hydroxy quinoline) aluminum (Alq_3) and therein embedded small organic dye molecules. In an otherwise symmetric sample design, coupled cavities are doped alternating with 4-(dicyanomethylene)-2-methyl-6-(p-dimethyl\-amino\-styryl)-4H-pyran (DCM) as optically active medium (gain) and zinc phthalocyanine (ZnPc) as absorber (loss). With balanced gain and loss, parity-time (PT) symmetry provides the spontaneous breaking of symmetry necessary for the emergence of non-trivial topological signatures. From the theoretical side, a tight-binding model for optical microcavities is developed. The electric field is strongly confined in the cavities; transmission of the electric field through the mirrors separating the cavities is explained with the help of a hopping mechanism. This model is then applied to a sample design with coupled cavities arranged in a PT-symmetric Su-Schrieffer-Heeger (SSH) chain. The evaluation of the Hamiltonian predicts topological non-trivial edge states starting from a minimum of six coupled cavities. The analysis of a non-trivial topological chain with ten coupled cavities shows the emergence of edge states and predicts the implications on reflection measurements. In the experiment, samples with two coupled cavities (one unit cell in the SSH chain) are fabricated, and transmission and lasing behavior are analyzed. Both the symmetric and antisymmetric modes of the coupled system show lasing. Above the lasing threshold, the coupled system with balanced gain and loss shows non-reciprocal behavior. The measurements differ in intensity as a function of the pump and detection directions, pointing to the achieved broken PT-symmetric phase.:1 Introduction 2 Principles of microcavity lasers 3 Physical models of light as particle and wave 4 Sample preparation and measurement setups 5 Theoretical modeling with the tight-binding approximation 6 Experimental results 7 Summary and Outlook Bibliography

Dans les bases de données spatiales actuellement mises en oeuvre, les phénomènes naturels sont généralement représentés par des géométries ayant des frontières bien délimitées. Une telle description de la réalité ignore le vague qui caractérise la forme de certains objets spatiaux (zones d'inondation, lacs, peuplements forestiers, etc.). La qualité des données enregistrées est donc dégradée du fait de ce décalage entre la réalité et sa description. Cette thèse s'attaque à ce problème en proposant une nouvelle approche pour représenter des objets spatiaux ayant des formes vagues et caractériser leurs relations topologiques. Le modèle proposé, appelé QMM model (acronyme de Qualitative Min-Max model), utilise les notions d'extensions minimale et maximale pour représenter la partie incertaine d'un objet. Un ensemble d'adverbes permet d'exprimer la forme vague d'un objet (ex: a region with a partially broad boundary), ainsi que l'incertitude des relations topologiques entre deux objets (ex: weakly Contains, fairly Contains, etc.). Cette approche est moins fine que d'autres approches concurrentes (modélisation par sous-ensembles flous ou modélisation probabiliste). Mais elle ne nécessite pas un processus d'acquisition complexe des données. De plus elle est relativement simple à mettre en oeuvre avec les systèmes existants de gestion de bases de données. Cette approche est ensuite utilisée pour contrôler la qualité des données dans les bases de données spatiales et les entrepôts de données spatiales en spécifiant des contraintes d'intégrité par l'intermédiaire des concepts du modèle QMM. Une extension du langage de contraintes OCL (Object Constraint Language) a été étudiée pour spécifier des contraintes topologiques impliquant des objets ayant des formes vagues. Un logiciel existant (outil OCLtoSQL développé à l'Université de Dresden) a été étendu pour permettre la génération automatique du code SQL d'une contrainte lorsque la base de données est gérée par un système relationnel. Une expérimentation de cet outil a été réalisée avec une base de données utilisée pour la gestion des épandages agrico'les. Pour cette application, l'approche et l'outil sont apparus très efficients. Cette thèse comprend aussi une étude de l'intégration de bases de données spatiales hétérogènes lorsque les objets sont représentés avec le modèle QMM. Des résultats nouveaux ont été produits et des exemples d'application ont été explicités.

Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Cette étude vise à unifier dans une même approche les descriptions données par une sémantique cognitive et les représentations associées, et étudiées par une sémantique formelle. La sémantique cognitive a pour but d’associer des schèmes aux significations des unités analysées. La sémantique formelle consiste à étudier les modes de représentation de ces schèmes et les relations avec les observables. Notre étude s’appuie et s’insère dans le modèle général développé à l’université Paris-Sorbonne dans le groupe LaLIC (Langages, Logiques, Informatique et Cognition), il s’agit d’utiliser le modèle de la GAC (Grammaire Applicative et Cognitive) et de la GRACE (GRammaire Applicative Cognitive et Enonciative) ; ces deux modèles font appel d’une part à la topologie et d’autre part à la logique combinatoire en vue d’un traitement automatique de la signification. Nous avons choisi d’étudier le problème des prépositions et plus spécialement des trois prépositions : dans, sous et à du français et de leur équivalents en arabe ; cela nous à conduit à rechercher des invariants associés à ces trois prépositions ou relateurs, la préposition dans renvoie à l’intériorité d’un lieu, qu’il soit spatial, temporel, spatio-temporel, notionnel ou d’activité ; la préposition sous renvoie à un lieu déterminé ou engendré par un autre lieu dont on prend la fermeture ; quand à la préposition à renvoie à la fermeture d’un lieu. Le lieu est un lieu cognitif abstrait, suffisamment général qui, selon le contexte peut prendre des valeurs plus particulières. / This study aims to unify in a single approach the descriptions given by cognitive semantics and associated representations, studied by formal semantics. Cognitive semantics consists to associate the meanings of the analyzed with schemes. Formal semantics consists in studying the modes of representation of these schemes and the relations to the observables. Our study is based on the general model developed at the Paris-Sorbonne University in the LaLIC group, using the GAC model (Applicative and Cognitive Grammar) and GRACE (GRammar Applicative Cognitive and Enunciative), these two models use the one hand to the topology and on the other hand to the combinatory logic in order to an automatic processing of meanings. We have chosen to study the problem of the three prepositions: dans, sous and à of French and their equivalences in Arabic, this leads us to search for invariants associated with these three prepositions or relators, the preposition dans refers to the interiority of a place, be it spatial, temporal, spatial-temporal, notional or activity and the preposition sous refers to a specific place or generated by another place whose closing is taken. The preposition à refers to the closing of a place, here the place is cognitive or abstract place, sufficiently general that according to the context can take more particular values.

Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l'existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d'introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d'inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d'inconnue v, contient un terme source d'ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l'aide d'un changement d'inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l'existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l'existence d'une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d'existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.

Cette thèse a pour objet l'étude des invariants de type fini des sphères d'homologie rationnelle de dimension 3, et des nœuds homologiquement triviaux dans ces sphères. Les principaux résultats sont présentés dans le chapitre 2. Ils sont démontrés dans les chapitres 3 à 6. Le chapitre 3 est un article intitulé ''Finite type invariants of rational homology 3-spheres'', à paraître dans Algebraic & Geometric Topology. Il décrit le gradué associé à la filtration de l'espace vectoriel rationnel engendré par les sphères d'homologie rationnelle, définie par les chirurgies rationnelles préservant le lagrangien. Le chapitre 4 est un article intitulé ''On Alexander modules and Blanchfield forms of null-homologous knots in rational homology spheres'', publié dans Journal of Knot Theory and its Ramifications. Il contient la classification des modules d'Alexander des nœuds homologiquement triviaux dans les sphères d'homologie rationnelle, et une étude des formes de Blanchfield définies sur ces modules. Dans la suite, on considère les paires (M,K) formées d'une sphère d'homologie rationnelle M et d'un nœud K homologiquement trivial dans M. Dans le chapitre 5, on montre que deux telles paires ont des modules d'Alexander rationnels munis de leurs formes de Blanchfield isomorphes si et seulement si elles s'obtiennent l'une de l'autre par une suite finie de chirurgies rationnelles nulles préservant le lagrangien, c'est-à-dire effectuées sur des corps en anses d'homologie rationnelle homologiquement triviaux dans le complémentaire du nœud. Dans le chapitre 6, on étudie le gradué associé à la filtration de l'espace vectoriel rationnel engendré par les paires (M,K) définie par les chirurgies rationnelles nulles préservant le lagrangien. Ces deux derniers chapitres comportent des travaux en progrès.

Dans cette thèse, on définit un invariant fonctoriel d'enchevêtrements dans le tore épaissi qui généralise l'intégrale de Kontsevich. Cet invariant est tout d'abord construit analytiquement à partir d'une version universelle de la connexion de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard elliptique. On donne ensuite une version combinatoire de sa construction, basée sur la notion d' " associateur elliptique " introduite par Enriquez. L'outil principal de cette dernière construction est un théorème qui caractérise la catégorie des enchevêtrements en genre quelconque par une propriété universelle exprimée dans le langage des catégories tensorielles.

Thèse diffusée initialement dans le cadre d'un projet pilote des Presses de l'Université de Montréal/Centre d'édition numérique UdeM (1997-2008) avec l'autorisation de l'auteur.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.