This report analyzes and compares Barycentric Lagrange interpolation to Cardinal Trigonometric interpolation, with regards to computational cost and accuracy. It also covers some edge case scenarios which may interfere with the accuracy and stability. Later on, these two interpolation methods are applied on parameterized curves and surfaces, to compare and contrast differences with the standard one dimensional scenarios. The report also contains analysis of and comparison with regular Lagrange interpolation. The report concludes that Barycentric Lagrange interpolation is generally speaking more computationally efficient, and that the inherent need for periodicity makes Cardinal Trigonometric interpolation less reliable in comparison. On the other hand, Barycentric Lagrange interpolation is difficult to implement for higher dimensional problems, and also relies heavily on Chebyshev spaced nodes, something which can cause issues in a practical application of interpolation. Given ideal scenarios, Cardinal Trigonometric interpolation is more accurate, and for periodic functions generally speaking better than Barycentric Lagrange interpolation. Regular Lagrange interpolation is found to be unviable due to the comparatively big computational cost.

We study a Bernstein inequality for a fractional derivative of order α ≥ 0 of a trigonometric polynomial in the space L0. In the case of zero order derivative, we obtain two-sided estimates for a sharp constant in this inequality, which show its behavior with respect to n. For positive and sufficiently small α, we obtain an upper estimate for a constant in the Bernstein inequality in L0. In the second part of the dissertation, we obtain estimates for norms in the space L0 of operators that set several higher or lower coefficients of a trigonometric polynomial to be zero. / Изучается неравенство Бернштейна для дробной производной порядка α ≥ 0 тригонометрических полиномов в пространстве L0. В случае производной нулевого порядка получены двусторонние оценки точной константы в этом неравенстве, дающие порядок ее поведения по n. Для положительных, достаточно малых значений α получена оценка сверху константы в неравенстве Бернштейна в L0. Во второй части работы получены оценки норм в пространстве L0 операторов, которые зануляют несколько старших или младших коэффициентов тригонометрического полинома.

Рассматривается обобщенное ядро Пуассона, представляющее собой линейную комбинацию ядра Пуассона и сопряженного ядра Пуассона. Найдены величины наилучшего интегрального приближения снизу и сверху этого ядра тригонометрическими полиномами порядка не выше заданного и соответствующие полиномы наилучшего одностороннего приближения. / We consider the generalized Poisson kernel,which is a linear combination of the Poisson kernel and the conjugate Poisson kernel. The values of the best integral approximations to this kernel from below and from above by trigonometric polynomials of degree not exceeding a given number has been found. The corresponding polynomials of the best one-sided approximation has been obtained.

We study the problem on the exact estimation of the value of the best mean-square approximation on the period to an arbitrary complex-valued periodic function by trigonometric polynomials of degree not exceeding a given number in terms of its nonclassical L2 -modulus of continuity generated by the finite-difference operator of order 2m-1, m>= 2, with alternating constant coefficients equal to 1 in absolute value. / Исследуется задача о точной оценке величины наилучшего среднеквадратического приближения на периоде произвольной комплекснозначной периодической функции тригонометрическими полиномами порядка не выше заданного через ее неклассический L2 -модуль непрерывности, порожденный конечно-разностным оператором порядка 2m-1, m>= 2, с постоянными знакочередующимися коэффициентами, равными по модулю единице.

We introduce the notion of the modulus of fractality and consider the problem of approximation of functions with a restriction on the modulus of fractality by partial sums of trigonometric Fourier series (Fourier sums). The upper estimate of the difference between the function and the corresponding Fourier sum in terms of the modulus of continuity and the modulus of fractality is given. Examples of functions from the considered classes with trigonometric Fourier series diverging at some point are constructed. / Вводится понятие модуля фрактальности и рассматривается задача приближения функций с ограничением на модуль фрактальности частичными суммами тригонометрических рядов Фурье (суммами Фурье). Приведена оценка сверху модуля разности функции и соответствующей суммы Фурье, выраженная в терминах модуля непрерывности и модуля фрактальности. Построены примеры функций из рассматриваемых классов с расходящимся в некоторой точке тригонометрическим рядом Фурье.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Marcia Regina Ramos Costa Ribeiro.pdf: 3132591 bytes, checksum: fd48bc9e0ade34cd96a259cf8101d1a8 (MD5) Previous issue date: 2011-10-03 / Fundo de Apoio à Pesquisa do Estado de São Paulo / This paper is part of an ongoing research on Mathematics in the curriculum, based on the assumption that the characterization of the prior knowledge on Math of the students may help in significant learning. In this perspective, the research focused on the prior knowledge of students in Brazilian Ensino Médio (roughly equivalent to American high school) on trigonometric functions, using qualitative research and participant observation. The objective is to understand the possibilities and difficulties in the use of the material given to students of the schools of the State of São Paulo, focusing in these students prior knowledge on trigonometric functions, identifying obstacles that may rise during these activities and checking the need for interventions to promote the build-up of knowledge on the subject. The proposal was to have students do activities proposed on the material supplied by the state of São Paulo. The analysis is based on Ausubel s theory of significant learning, on Coll s constructivist perspective (2006) and Pozo s studies, concerning learning and teaching contents. The results indicate that the prior knowledge of the students may be divided into many groups, given its important characteristic of including conceptual knowledge as well as procedures, values, regulations and attitudes. The ability to identify this prior knowledge is an important tool to create better pedagogical interventions and significant learning / Esse trabalho está inserido na linha de pesquisa A Matemática na Estrutura Curricular e Formação de Professores e no projeto de pesquisa A aprendizagem significativa e conhecimentos prévios: investigando o currículo de Matemática, em uma perspectiva construtivista; tem como pressuposto que a caracterização dos conhecimentos prévios dos estudantes relacionados aos conteúdos matemáticos que se pretende ensinar contribui para a aprendizagem significativa. Nessa perspectiva, o objetivo desta pesquisa é compreender as possibilidades e dificuldades em utilizar o material distribuído aos alunos da rede pública do Estado de São Paulo, focando conhecimentos prévios desses estudantes em relação ao conteúdo funções trigonométricas, identificando dificuldades que podem surgir durante a execução dessas atividades e verificando as necessidades de intervenções para a promoção da construção de conhecimento relativo ao tema. Para essa investigação, foi utilizada a pesquisa qualitativa e a técnica da observação participante. Foram observadas as ações de um grupo de alunos do segundo ano do Ensino Médio de uma escola pública estadual, durante a realização de atividades propostas e contidas no material. A análise está apoiada na teoria da aprendizagem significativa de Ausubel, na perspectiva construtivista de Coll (2006) e nos estudos de Pozo (2002) relativos aos conteúdos de ensino e à aprendizagem. Os resultados indicam que os conhecimentos prévios dos alunos relacionados as funções trigonométricas podem ser classificados em uma grande variedade de grupos, dada a sua importante característica de incluir tanto conhecimentos conceituais como procedimentos, valores, normas e atitudes; a caracterização desses conhecimentos prévios dos alunos, por parte do professor, a cada nova experiência educativa, constitui-se em importante ferramenta para a realização de intervenções pedagógicas mais eficientes e geradoras de aprendizagem significativa

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:55Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carlos Francisco Borges.pdf: 2604675 bytes, checksum: 815cc9155f159a14b24957f9b7ed0342 (MD5) Previous issue date: 2009-10-23 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The purpose of this essay was to contribute to Trigonometry teaching, specially, to the transition of the trigonometric reasons in the rectangle triangle for the trigonometric circle. A sequence was elaborated with 12 activities, from which ten were created worrying about guiding the student to understand the trigonometric reasons of the rectangle triangle to the trigonometric circle using the dynamic geometry software Geogebra. An activity was made with the objective of working with the radian definition and the conversion of the unit circle (radians) to the angle unit (degrees) and, at last, an activity which had as purpose to create a tool to be used in the classroom when it was not possible to use the calculator, or the computer. The activities were applied to 12th graders in a school from the city of Francisco Morato, Great São Paulo. For such, 4 meetings were used to do the application; the students did the activities in pairs and were not done during the lessons. The Theory of the Didactic Situations and other basis of the Didactic Engineering were used in the elaboration, analysis, application and data survey of the teaching sequence. The experimentation pointed that the students did not make use of some necessary previous knowledge and presented some difficulties to expose their written observations. However, it also showed that there was improvement in the students learning, because while doing the activities using the dynamic geometry, they showed interest and focus / Esse trabalho teve por objetivo contribuir com o ensino de trigonometria, em especial, na transição das razões trigonométricas no triângulo retângulo para o círculo trigonométrico. Foi elaborada uma sequência com 12 atividades, das quais dez foram criadas com a preocupação de conduzir o aluno a compreender as razões trigonométricas do triângulo retângulo para o círculo trigonométrico utilizando, o software de geometria dinâmica Geogebra. Uma atividade foi criada com o intuito de trabalhar com a definição de radianos e a conversão da unidade de arcos (radianos) para unidade de ângulos (graus) e, por fim, uma atividade que tinha por objetivo construir um dispositivo para ser utilizado em sala de aula quando não fosse possível utilizar a calculadora, ou o computador. As atividades foram aplicadas para oito alunos do 2º ano do Ensino Médio de uma escola da cidade de Francisco Morato, Grande São Paulo. Para tal foram usados quatro encontros para realizar a aplicação; os alunos fizeram as atividades em duplas e fora do horário de aula. A Teoria das Situações Didáticas e alguns pressupostos da Engenharia Didática foram usados na elaboração, análise, aplicação e coleta de dados da sequência de ensino. A experimentação aponta que os alunos não mobilizaram alguns conhecimentos prévios necessários e apresentam algumas dificuldades para exporem suas observações por escrito. Mas também mostrou que houve avanços na aprendizagem dos alunos, pois ao executarem as atividades utilizando a geometria dinâmica, mostraram interesse e concentração

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:59:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ricardo Uchoa Fernandes.pdf: 2015098 bytes, checksum: 6b4dff7832d9c478d3fbc8376b57a470 (MD5) Previous issue date: 2010-05-19 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The effective learning of the student is the main goal of a reflective teacher, so it is not enough simply to have all the technical knowledge, you need something more, namely mediation, have a clear and objective, to mobilize material resources for the success of this process . Just thought, this work was to build a meaningful learning the basics of trigonometry in circumference. use this research to teaching engineering, a research methodology that is considered as an experimental scheme based on achievements in teaching classroom. The research has two analytical tools, giving great importance to the training analysis of the error. The first instrument directs for construction of the trigonometric circle, using ruler, protractor and pencil, the second instrument construction is done in dynamic geometry software GeoGebra. The activities of this research tool, as applied to twelve students in the 2nd grade of high school to a state school in Guaratinguetá, interior of Sao Paulo, in the Paraiba Valley. Were two meetings for the application, the students worked individually in the first assessment tool and trio in the second evaluation instrument. The trial shows that prior knowledge have been mobilized to carry out these activities, and information technology as a pedagogical resource, ie, activity with GeoGebra aroused the interest of students because they were more focused and performance was better / O aprendizado efetivo do educando é o principal objetivo de um professor reflexivo, para isso, não basta simplesmente ter todo o conhecimento técnico, é necessário algo a mais, saber mediar, ter uma linguagem clara e objetiva, mobilizar recursos materiais para o sucesso desse processo. Assim pensado, este trabalho teve por objetivo construir uma aprendizagem significativa dos conceitos básicos da trigonometria na circunferência. Esta pesquisa utiliza a engenharia didática, uma metodologia de pesquisa que é considera como um esquema experimental com base em realizações didáticas em sala de aula. A pesquisa possui dois instrumentos de análise, dando grande importância para a análise didática do erro. O primeiro instrumento direciona para a construção da circunferência trigonométrica, utilizando régua, transferidor e lápis; no segundo instrumento, a construção é feita no software de geometria dinâmica Geogebra. As atividades desse instrumento de pesquisa, forma aplicadas para doze alunos da 2ª série do Ensino Médio de uma escola estadual de Guaratinguetá, interior de São Paulo, no vale do Paraíba. Foram dois encontros para a aplicação, sendo que os alunos trabalharam individualmente no primeiro instrumento de avaliação e em trio no segundo instrumento avaliativo. A experimentação evidencia que conhecimentos prévios foram mobilizados para a realização dessas atividades e a informática como recurso pedagógico, isto é, atividade com o Geogebra despertou o interesse dos alunos, pois ficaram mais concentrados e o desempenho foi melhor. Além disso, pode-se entender que tanto a mobilização dos conhecimentos prévios quanto a aquisição de novos pode ser incrementada a partir da adoção de uma estratégia pedagógica com uso de tecnologias e de uma abordagem que considera que a construção dos conhecimentos de forma significativa não prescinde do uso reconstrutivo do erro como ferramenta didática

Submitted by Celso Magalhaes (celsomagalhaes@ufrrj.br) on 2018-09-04T13:53:30Z No. of bitstreams: 1 2017- Edhana das Gra?as Ferreira.pdf: 3492287 bytes, checksum: 3b6664a9dea3fdcac631cfd8660b38d2 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-04T13:53:30Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017- Edhana das Gra?as Ferreira.pdf: 3492287 bytes, checksum: 3b6664a9dea3fdcac631cfd8660b38d2 (MD5) Previous issue date: 2017-08-31 / This work aims to propose a methodology that helps teachers on the teaching of graphs of trigonometric functions from the development of studies directed with activities involving the use of technology, in this case the software Graphmatica. It is made a bibliographical review on the historical evolution of Trigonometry, the use of technology and the studies directed in education. Then, are analyzed the chapters on trigonometric functions in the textbooks proposed in the most recent guide, the PNLD 2015. The use of technology is proposed as an alternative to the traditional method of teaching and aims to increase the interest of students as it is something very present in their daily life increasingly dominated by computers, tablets and smartphones. From the graphical representations of the basic functions sine, cosine and tangent, seek the analysis of particularities of the families of functions, such as domain, image and period, through directed activities until the generalization of these specificities with the parameters changes, as well as the graphical transformations that occurred. It is held an exposition of the qualitative results of the application of the material in research conducted in a first year class in high school, which in general aspects were considered positive / Este trabalho tem como objetivo propor uma metodologia que auxilie os professores no ensino de gr?ficos de fun??es trigonom?tricas a partir do desenvolvimento de estudos dirigidos com atividades envolvendo o uso de tecnologia, neste caso o software Graphmatica. ? realizada uma revis?o bibliogr?fica sobre a evolu??o hist?rica da Trigonometria, o uso de tecnologia e dos estudos dirigidos na educa??o. Em seguida, s?o analisados os cap?tulos referentes ?s fun??es trigonom?tricas nos livros did?ticos propostos no guia mais recente, o PNLD 2015. A utiliza??o da tecnologia ? proposta como uma alternativa ao m?todo tradicional de ensino e visa aumentar o interesse dos alunos por se tratar de algo muito presente em seu cotidiano cada vez mais dominado por computadores, tablets e smartphones. A partir das representa??es gr?ficas das fun??es b?sicas seno, cosseno e tangente, busca-se a an?lise de particularidades das fam?lias de fun??es, como dom?nio, imagem e per?odo, atrav?s de atividades direcionadas at? a generaliza??o dessas especificidades com as mudan?as de par?metros, bem como das transforma??es gr?ficas ocorridas. ? realizada uma exposi??o dos resultados qualitativos da aplica??o do material em pesquisa realizada em uma turma de primeira s?rie do ensino m?dio, que em aspectos gerais foram considerados positivos.