This thesis is about children´s thoughts on what is capable of growth and what does not, as well as what is needed for these things to grow. My survey has been carried out in three different preschools with children who are four and five years old. My purpose is to create more knowledge about children's perceptions of what differentiates growing from not growing. My aspiration is to make it visible what the children's thoughts is about what it means that something is growing and about what is needed for anything to grow, in order to provide preschool teachers with an increased understanding of the thoughts and experiences children may have. In my research I have used semi-structured interviews. During the interviews I showed the children a toy-car, seeds, leaves, twigs, balloons, rocks, ants and pictures of fire, the sun and the earth. My interview questions emanated from these things. The children used their previous experience and past knowledge to determine if these things were growing or not, this led to the fact that their opinions often parted. The children agreed with each other that humans, seeds, leaf and twigs could grow. They explained that they had memories of themselves as shorter before and that they had also planted seeds. The children also agreed upon that the earth and toy car wasn’t able to grow. None of the children had seen a toy car or the earth growing and they explained it by saying these objects were unable to. When it came to the sun, fire, ants, rocks and balloons they had different experiences and therefore different opinions. One child remembered a large rock which it had climbed upon and draws the conclusions that it must have grown. Another child had observed the sun as bigger in the sky and therefore thought the sun could grow. To have awareness of what knowledge children already have and in which ways children can interpret their own knowledge is important for preschool teachers in order to be able to meet children where they are and help them gain greater knowledge and understanding in the area. / Det här examensarbetet handlar om barns tankar om vad som växer och vad som inte växer samt vad som behövs för att något ska växa. Min undersökning har utförts på tre olika förskolor med barn som är fyra och fem år gamla. Mitt syfte är att skapa mer kunskap om barns uppfattningar kring vad som skiljer det som växer från det som inte växer. Mitt mål är att med denna studie  kunna synliggöra barnens tankar om vad det innebär att något växer och vad som behövs för att något ska kunna växa för att ge förskollärare ökad förståelse för vilka tankar och erfarenheter barnen kan ha med sig. I min undersökning har jag använt semi-strukturerade intervjuer. Vid intervjutillfället hade jag med mig en leksaksbil, frön, blad, kvistar, ballonger, stenar, myror och bilder på eld, solen och jorden och mina intervjufrågor utgick ifrån dessa. Barnen använde sina tidigare erfarenheter och kunskaper för att bestämma om någonting växte eller inte, detta medförde att deras åsikter oftast gick isär. Barnen var överrens om att de själva, frön, blad och kvistar kunde växa. De berättade att de hade minnen av att de själva varit kortare förut och de hade även planterat frön. Barnen var också överrens om att jorden och leksaksbilen inter kunde växa. Inget barn hade sett en leksaksbil eller jorden växa och detta förklarade de genom att svara att de inte kunde växa. När det kom till solen, eld, myror, stenar och ballonger så hade barnen olika erfarenheter och därför också olika åsikter. Ett barn mindes en stor sten som barnet klättrat på, och drog slutsatsen att den stenen måste ha växt. Ett annat barn hade sett solen se stor ut på himlen och ansåg därför att solen kunde växa. Att ha kännedom om vilka kunskaper barnen har med sig och hur barnen kan tolka dessa kunskaper är viktigt när förskollärare ska möta barnen där de är och hjälpa dem att få ökad kunskap och förståelse på området.

Att arbeta med matematiska mönster som upprepar sig eller är växande ger elever möjlighet att använda sitt aritmetiska tänkande men kanske främst ger det eleverna förutsättningar till att träna på sitt algebraiska tänkande. Tidigare forskning visar på att mönster ger förutsättningar till att undersöka matematiska relationer, samband och likheter, vilket introducerar eleverna till den tidiga algebran och ger dem möjlighet att utöka det algebraiska tänkandet. För att skapa en adekvat undervisning om mönster är det viktigt att ha en förståelse för elevers uppfattningar av mönster. Denna studie är en kvalitativ fallstudie som syftar till att undersöka hur elever i årskurs 2 uppfattar linjärt växande mönster som presenteras visuellt med tillhörande positionsnummer. Undersökningen genomfördes med hjälp av en uppgiftsbaserad intervju med 12 elever. Eleverna arbetade med uppgifter (se bilaga 1) samtidigt som de blev intervjuade om hur de resonerar och uppmanades att yttra de tankar de hade om uppgifterna. För att analysera den data som samlades in användes en tabell (Tabell 1.) hämtad ur Wilkie och Clarkes studie (2016) som visar olika nivåer av rekursivt och explicit resonemang eleverna kan ha. Resultatet av denna studie visar att alla elever klarar av att förlänga de linjära mönstren som de arbetat med samt att vissa elever till och med klarade av att skapa en korrekt ekvation av mönstren i uppgifterna. Studiens resultat visar på att det finns elever som tänker på ett rekursivt sätt och elever som har ett explicit tankesätt. Vissa av eleverna som tänkte rekursivt var mer fokuserade på det visuella i mönstret än det numeriska vilket gjorde att de behövde den föregående figuren för att skapa nästa figur. Vidare fanns det elever som såg det numeriska och kunde omvandla mönstret till ekvation som möjliggjorde en uträkning av vilken figur som helst i mönstret. Resultatet visade även en progression av elevernas resonemang då alla elever antingen hamnade på samma nivå eller en högre nivå för varje uppgift som gjordes.

Många studier undersöker om det finns ett samband mellan förvärvande bolags förvärvsfrekvens och dess aktieavkastning. Å ena sidan belyser Drapers och Paudyals (2006) studie att företagsförvärv är en framgångsrik investeringsstrategi, givet att företaget investerar i privata bolag. Å andra sidan redogör Ismail (2008) för att serieförvärvande bolag i större utsträckning erhåller en lägre avkastning än organiskt växande bolag. Dessa motstridiga studier indikerar att det finns ett behov av att undersöka om förvärvsfrekvensen inverkar på bolags aktieavkastning. Om så är fallet är det även intressant att studera om detta samband är positivt eller negativt. Studiens hypoteser baseras på tidigare forskning, vilka författarna till övervägande del finner tala för att organiskt växande bolag genererar en högre avkastning än serieförvärvande bolag (Fuller, Netter och Stegemoller, 2002; Laamanen och Keil, 2008; Ismail, 2008). I denna uppsats studeras de högst kapitaliserade bolagen, vars aktier är noterade på de största aktiemarknaderna i nordvästra Europa. Bolagen delas upp i portföljer efter dess förvärvsfrekvens, värdering och storlek. Studien sammanställer och analyserar om och hur den faktiska och den riskjusterade avkastningen skiljer sig åt mellan bolag med låg respektive hög förvärvsfrekvens. Givet att det råder en hög proportion av privata förvärv, och en mindre andel publika förvärv, dras slutsatsen att det för lågt värderade bolag finns ett samband mellan förvärvsfrekvens och avkastning. Resultatet visar även att detta samband är positivt, trots att en kort tidshorisont studeras. Däremot är det inte statistiskt säkerställt att det finns ett samband mellan förvärvsfrekvens och avkastning för högt värderade bolag.

Mönsterarbete i lågstadiet är en bra start för inlärning av algebra, detta ger en grund för den kommande mer avancerade algebraundervisningen. Studiens övergripande syfte är att undersöka hur arbetet med mönster inom åldrarna 6-10 år kan se ut, och vilka fördelar mönsterarbetet har för elevers kommande lärande inom matematik. Uppsatsen är baserad på nationell och internationell vetenskapligt granskad forskning. Olika undervisningsexempel, som kan tillämpas i lågstadiet, belyses och vikten av mönsterarbetet tas upp. Studien berör arbete med tre typer av mönster: upprepade mönster, växande mönster och talföljder. Vår analys av forskning visar att mönsterarbete är en viktig del i matematiken och att det kan komma till nytta i elevers fortsatta matematikinlärning. Den visar också att upprepade mönster är den vanligaste sorten av mönster att arbeta med i de yngre åldrarna, men forskarna menar att lärarna bör vidga undervisningen och även arbeta med andra mönster. Studien riktar sig främst till lärare som undervisar i F-3 men även till andra som är intresserade av hur arbetet med mönster kan se ut i de lägre åldrarna. Exemplen som tas upp i uppsatsen kan lärare använda i sin undervisning.

Studien försöker bidra med kunskap om hur lärare, med fokus på årskurs 4-6, arbetar med växande geometriska mönster i skolan. Avsikten med studien är att bidra med kunskap om vilka metoder lärare använder, vilka svårigheter de upplever med undervisningen samt hur de tror att undervisningen kan utvecklas. Då det anses att växande geometriska mönster är en ingång för elever att gå från ett rekursivt till ett algebraiskt tänkande ingår det som en del i kursplanen för matematikämnet. Inom forskningsfältet finns det två skilda teorier om hur undervisning om växande geometriska mönster ska bedrivas, nämligen hierarkisk- eller dynamisk undervisning. Studien undersöker på ett kvalitativt sätt ovan nämnda teorier. Studien använder fenomenologin som teoretisk utgångspunkt för att förstå det komplexa fenomenet undervisning. Semistrukturerade intervjuer har genomförts med fyra grundskolelärare i Västsverige. De data som insamlats från intervjuerna har analyserats ett flertal gånger enligt den hermeneutiska spiralen. Det för att säkerställa att resultatet blir vetenskapligt trovärdigt. Studien fann att lärare föredrar att arbeta praktiskt med växande geometriska mönster, bland annat genom metoden ”mattemaskinen” och genom att skapa egna mönster med praktiskt material. Vidare fann studien att lärare har svårt att undervisa elever om hur de ska skriva en formel till ett givet mönster, då lärarna upplever att elever ofta har svårt att ens förstå hur de ska ta sig an uppgiften. Det framkom även att läromedlet spelar en stor roll för hur mycket tid det matematiska området får i undervisningen. För att undervisningen om växande geometriska mönster ska kunna förbättras menar lärarna att de behöver mer utbildning om hur undervisningen ska bedrivas, framförallt när det kommer till att undervisa om formelskapandet. Lärarna anser att det matematiska området borde uppmuntras mer av Skolverket. / This study investigates how teachers work with growing geometric patterns, with a focus on students aged 10-12 in the west of Sweden. Specifically, it uncovers what methods teachers use and the difficulties they experience when teaching growing geometrical patterns, as well as outlining how they believe teaching in this subject can be developed.  Teaching growing geometrical patterns is part of the Swedish curriculum, because it is seen as a pathway to algebra. Current research says that there are two main theories on teaching growing geometrical pattern, hierarchically or dynamically. This study takes a qualitative approach to investigate these theories further. It uses phenomenology as a theoretical framework, as a way to understand the complex phenomenon of teaching. Semi-structured interviews were conducted with four primary school teachers in Sweden. The data gained from these interviews was analysed multiple times using the hermeneutical spiral, to ensure scientific rigour. The findings demonstrate that teachers prefer using hands on methods when teaching growing geometrical patterns to students, such as a method called the “math machine” and using real objects to create patterns. However, they experience difficulties when instructing students how to turn the pattern into a formula, as students often find this progression difficult to grasp. Additionally, the teachers explained that study material has a big impact on how much time teaching growing geometrical patterns is allocated in the classroom, as most of them will only teach this topic if it is covered in the textbook. For the teaching to improve, teachers need more resources regarding how to teach growing geometrical patterns, particularly when it comes to developing formula, and the teaching of the topic needs to be further promoted by the Swedish National Agency for Education.

Arbetet är en systematisk litteraturstudie med fokus på yngre elevers förståelse för mönster. Studien behandlar även vanligt förekommande svårigheter kring mönster och hur lärare i förskoleklass kan arbeta för att främja elevernas förståelse. Studiens resultat har sin grund i vetenskapliga artiklar som visar på att det finns många faktorer som påverkar och avgör vilken nivå av förståelse en elev ligger på samt att svårigheterna varierar utifrån vilken typ av mönster eleven arbetar med. Genom analysen framkommer hur dessa olika faktorer kan användas och tas hänsyn till i undervisning av förskoleklasselever.

Verksamheten är i behov av en mer balanserad styrning jämfört med nuläget i form av ett bantat balanserat styrkort, med fokus på enbart ett till tre mått per perspektiv. Detta då ett fullvärdigt styrkort kommer att ta för mycket tid i anspråk från ledningsgruppen, som bör lägga sin fokus på att bygga marknad, ta hand om den växande organisationen och arbetet med certifiering enligt ISO 17020. Ett väl avvägt balanserat styrkort bör dock kunna användas som hjälp i det strategiska utvecklingsarbetet liksom i den löpande styrningen.

<p>Verksamheten är i behov av en mer balanserad styrning jämfört med nuläget i form av ett bantat balanserat styrkort, med fokus på enbart ett till tre mått per perspektiv. Detta då ett fullvärdigt styrkort kommer att ta för mycket tid i anspråk från ledningsgruppen, som bör lägga sin fokus på att bygga marknad, ta hand om den växande organisationen och arbetet med certifiering enligt ISO 17020. Ett väl avvägt balanserat styrkort bör dock kunna användas som hjälp i det strategiska utvecklingsarbetet liksom i den löpande styrningen.</p>

Detta arbete undersöker prestandakraven hos realtidsväxande procedurellt genererande träd baserade på L-systemet genom att jämföra dessa med identiska träd representerade i form av statisk mesh. Ett stokastiskt parametriskt kontextberoende L-system med hakparenteser har implementerats i en enkel testmiljö baserad på OpenGL, statisk mesh har implementerats i form av display list. Undersökningen har jämfört de två teknikerna baserat på renderingstid, minnesanvändning, och genereringstid av Lsystem, såväl som hur de båda teknikerna skalar med antal vertiser och L-systemslängd. Resultaten visar på att de L-systemsbaserade träden har längre renderingstid än de representerade med statisk mesh, utöver tid för att växa träden via L-systemet före var rendering. De L-systemsbaserade träden visade dock på lägre minnesanvändning än sin statiska motsvarighet. Resultaten visar även på att de tekniker som jämförts inte nödvändigtvis var optimalt implementerade, och arbetet avslutas med en diskussion om hur detta skulle kunna åtgärdas i framtida arbeten. / <p>Det finns övrigt digitalt material (t.ex. film-, bild- eller ljudfiler) eller modeller/artefakter tillhörande examensarbetet som ska skickas till arkivet.</p><p>There are other digital material (eg film, image or audio files) or models/artifacts that belongs to the thesis and need to be archived.</p>

Undervisning med växande geometriska mönster ses som en bro mellan aritmetiskt och algebraiskt tänkande genom att elever möter uppgifter som möjliggör generalisering av aritmetiska uttryck. Eftersom svenska elever i internationella tester visar upp bättre resultat inom aritmetik än algebra är syftet med studien att ta reda på vilka aspekter som är kritiska för elevers utveckling från ett aritmetiskt till ett algebraiskt tänkande. Studien är en learning study där en lektion planerades och genomfördes i tre klasser i årskurs 5 och 6. Lektionerna kompletterades med ett för- och eftertest som tillsammans med lektionerna bidrog till studiens resultat. Vid planering och analys av lektionerna tillämpades variationsteorin som fokuserar på vilket lärande som möjliggörs, vilket lärande som sker och vad som kan förbättra lärande. Resultatet är att det kan vara kritiskt för elever att urskilja regelbundenheten i växande geometriska mönster och att särskilja regelbundenheten från proportionalitet. En ytterligare kritisk aspekt kan vara att urskilja bokstävers betydelse inom matematik. I resultatet framkommer även att två av de variationsmönster som använts kan möjliggöra urskiljning av aspekter som kan vara kritiska för elever. Vid undervisning med växande geometriska mönster finns det flera aspekter som lärare behöver möjliggöra för elever att urskilja. Genom att använda genomtänkta variationsmönster kan aspekterna synliggöras och därmed utveckla elevers förståelse för algebra. / Teaching of growing geometrical patterns should be seen as a bridge between arithmetic and algebraic thinking, that through giving the students tasks that enables generalization of arithmetic expressions. Swedish students’ results show that they perform better arithmetically than algebraically therefore, the aim of this study is to ascertain which aspects that are critical to students’ development from an arithmetic thinking to an algebraic thinking. This study is a learning study where a lesson was planned and performed in three different classes in grade 5 and 6. The lessons included a pre-test and a posttest to further validate the study and the tests, combined with the lessons, contributed to the result of the study. When planning and analyzing the lessons the theory that was applied was variation theory which focuses on what is learned, what learning that takes place and what can be improved to further the learning. The result of this study shows that it can be critical for students to discern regularities in growing geometrical patterns and also to separate regularity from proportionality. Furthermore, the study found another critical aspect which is to discern the meaning of letters within mathematics. The result also reveals two variation patterns which enables discerning of aspects that appear critical for students. When teaching about growing geometrical patterns there are several aspects teachers need to make possible for students to discern. Through utilization of variation patterns that are well prepared and thought through these aspects can be visualized and consequently auxiliary advance students understanding for algebra.