L’émergence récente de grands réseaux, surtout réseaux sociaux en ligne (OSN), a révélé la difficulté de crawler le réseau complet et a déclenché le développement de nouvelles techniques distribuées. Dans cette thèse, nous concevons et analysons des algorithmes basés sur les marches aléatoires et la diffusion pour l'échantillonnage, l'estimation et l'inférence des fonctions des réseaux. La thèse commence par le problème classique de trouver les valeurs propres dominants et leurs vecteurs propres de matrices de graphe symétriques, comme la matrice Laplacienne de graphes non orientés. En utilisant le fait que le spectre est associé à une équation de type différentiel Schrödinger, nous développons des techniques évolutives à l’aide de la diffusion sur le graphe. Ensuite, nous considérons l’échantillonnage des fonctions de réseau (comme somme et moyenne) en utilisant les marches aléatoires sur le graphe. Afin d'éviter le temps «burn-in» de marche aléatoire, avec l'idée de régénération à un nœud fixe, nous développons un estimateur de la fonction de somme qui est non asymptotiquement non-biaisé et dérivons une approximation à la postérieure Bayésienne. La dernière partie de la thèse étudie l'application de la théorie des valeurs extrêmes pour faire une inférence sur les événements extrêmes à partir des échantillons stationnaires des différentes marches aléatoires pour l’échantillonnage de réseau / The recent emergence of large networks, mainly due to the rise of online social networks, brought out the difficulty to gather a complete picture of a network and it prompted the development of new distributed techniques. In this thesis, we design and analyze algorithms based on random walks and diffusion for sampling, estimation and inference of the network functions, and for approximating the spectrum of graph matrices. The thesis starts with the classical problem of finding the dominant eigenvalues and the eigenvectors of symmetric graph matrices like Laplacian of undirected graphs. Using the fact that the eigenspectrum is associated with a Schrödinger-type differential equation, we develop scalable techniques with diffusion over the graph and with gossiping algorithms. They are also adaptable to a simple algorithm based on quantum computing. Next, we consider sampling and estimation of network functions (sum and average) using random walks on graph. In order to avoid the burn-in time of random walks, with the idea of regeneration at its revisits to a fixed node, we develop an estimator for the aggregate function which is non-asymptotically unbiased and derive an approximation to its Bayesian posterior. An estimator based on reinforcement learning is also developed making use of regeneration. The final part of the thesis deals with the use of extreme value theory to make inference from the stationary samples of the random walks. Extremal events such as first hitting time of a large degree node, order statistics and mean cluster size are well captured in the parameter “extremal index”. We theoretically study and estimate extremal index of different random walk sampling techniques

Faire l'estimation d'une copule de valeurs extrêmes bivariée revient à estimer A, sa fonction de Pickands qui lui est associée. Cette fonction A:[0,1] \( \rightarrow \) [0,1] doit satisfaire certaines contraintes : $$\max\{1-t, t \} \leq A(t) \leq 1, \hspace{3mm} t\in[0,1]$$ $$\text{A est convexe.}$$ Plusieurs estimateurs ont été proposés pour estimer cette fonction A, mais peu respectent ses contraintes imposées. La contribution principale de ce mémoire est d'introduire une technique simple de correction d'estimateurs de la fonction de Pickands de sorte à ce que les estimateurs corrigés respectent les contraintes exigées. La correction proposée utilise une nouvelle propriété du vecteur aléatoire bivarié à valeurs extrêmes, combinée avec l'enveloppe convexe de l'estimateur obtenu pour garantir le respect des contraintes de la fonction A. La seconde contribution de ce mémoire est de présenter un estimateur bayésien non paramétrique de la fonction de Pickands basé sur la forme introduite par Capéraà et al. (1997). L'estimateur utilise les processus de Dirichlet pour estimer la fonction de répartition d'une transformation du vecteur aléatoire bivarié à valeurs extrêmes. Des analyses par simulations sont produites sur un ensemble d'estimateurs pour mesurer la performance de la correction et de l'estimateur bayésien proposés, sur un ensemble de 18 distributions de valeurs extrêmes bivariées. La correction améliore l'erreur quadratique moyenne sur l'ensemble des niveaux. L'estimateur bayésien proposé obtient l'erreur quadratique moyenne minimale pour les estimateurs considérés. / Estimating a bivariate extreme-value copula is equivalent to estimating A, its associated Pickands function. This function A: [0,1] \( \rightarrow \) [0,1] must satisfy some constraints : $$\max\{1-t, t \} \leq A(t) \leq 1, \hspace{3mm} t\in[0,1]$$ $$\text{A is convex.}$$ Many estimators have been proposed to estimate A, but few satisfy the imposed constraints. The main contribution of this thesis is the introduction of a simple correction technique for Pickands function estimators so that the corrected estimators respect the required constraints. The proposed correction uses a new property of the extreme-value random vector and the convex hull of the obtained estimator to guaranty the respect of the Pickands function constraints. The second contribution of this thesis is to present a nonparametric bayesian estimator of the Pickands function based on the form introduced by Capéraà, Fougères and Genest (1997). The estimator uses Dirichlet processes to estimate the cumulative distribution function of a transformation of the extreme-value bivariate vector. Analysis by simulations and a comparison with popular estimators provide a measure of performance for the proposed correction and bayesian estimator. The analysis is done on 18 bivariate extreme-value distributions. The correction reduces the mean square error on all distributions. The bayesian estimator has the lowest mean square error of all the considered estimators.

Dans cette thèse, nous abordons l'estimation non paramétrique de la fonction de dépendance des distributions multivariées à valeurs extrêmes. Dans une première partie, on adopte l’hypothèse classique stipulant que les variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d). Plusieurs estimateurs non paramétriques sont comparés pour une fonction de dépendance trivariée de type logistique dans deux différents cas. Dans le premier cas, on suppose que les fonctions marginales sont des distributions généralisées à valeurs extrêmes. La distribution marginale est remplacée par la fonction de répartition empirique dans le deuxième cas. Les résultats des simulations Monte Carlo montrent que l'estimateur Gudendorf-Segers (Gudendorf et Segers, 2011) est plus efficient que les autres estimateurs pour différentes tailles de l’échantillon. Dans une deuxième partie, on ignore l’hypothèse i.i.d vue qu’elle n'est pas vérifiée dans l'analyse des séries temporelles. Dans le cadre univarié, on examine le comportement extrêmal d'un modèle autorégressif Gaussien stationnaire. Dans le cadre multivarié, on développe un nouveau théorème qui porte sur la convergence asymptotique de l'estimateur de Pickands vers la fonction de dépendance théorique. Ce fondement théorique est vérifié empiriquement dans les cas d’indépendance et de dépendance asymptotique. Dans la dernière partie de la thèse, l'estimateur Gudendorf-Segers est utilisé pour modéliser la structure de dépendance des concentrations extrêmes d’ozone observées dans les stations qui enregistrent des dépassements de la valeur guide et limite de la norme Tunisienne de la qualité d'air NT.106.04. / In this thesis, we investigate the nonparametric estimation of the dependence function for multivariate extreme value distributions. Firstly, we assume independent and identically distributed random variables (i.i.d). Several nonparametric estimators are compared for a trivariate dependence function of logistic type in two different cases. In a first analysis, we suppose that marginal functions are generalized extreme value distributions. In a second investigation, we substitute the marginal function by the empirical distribution function. Monte Carlo simulations show that the Gudendorf-Segers (Gudendorf and Segers, 2011) estimator outperforms the other estimators for different sample sizes. Secondly, we drop the i.i.d assumption as it’s not verified in time series analysis. Considering the univariate framework, we examine the extremal behavior of a stationary Gaussian autoregressive process. In the multivariate setting, we prove the asymptotic consistency of the Pickands dependence function estimator. This theoretical finding is confirmed by empirical investigations in the asymptotic independence case as well as the asymptotic dependence case. Finally, the Gudendorf-Segers estimator is used to model the dependence structure of extreme ozone concentrations in locations that record several exceedances for both guideline and limit values of the Tunisian air quality standard NT.106.04.

Voir la bibliographie du mémoire pour les références du résumé. See the thesis`s bibliography for the references in the summary. / Ce mémoire étudie le comportement du maximum et des hauts points de la marche aléatoire branchante et du champ libre gaussien discret en dimension deux lorsque la variance de leurs accroissements est inhomogène dans le temps. Nous regardons le cas où il y a un nombre fini d'échelles $0 = \lambda_0 < \lambda_1 < ... < \lambda_M = 1$ et des paramètres de variance $\sigma_i > 0$ associés aux intervalles de temps $[\lambda_{i-1},\lambda_i]$. La marche aléatoire branchante inhomogène généralise le modèle considéré dans [23] et le champ libre gaussien inhomogène généralise le modèle introduit dans [4]. Le but du mémoire est d'étendre les résultats connus sur la convergence du maximum [5,6,23] et le nombre de hauts points [16] à ces deux nouveaux champs gaussiens. Les résultats aident à mieux comprendre comment la perturbation des corrélations dans l'un ou l'autre des modèles de base influence l'ordre de grandeur du maximum et l'ordre du nombre de hauts points. / This thesis studies the behavior of the maximum and high points of the branching random walk and the Gaussian free field when the variance of their increments is time-inhomogeneous. We look at the case where there are a finite number of scales $0 = \lambda_0 < \lambda_1 < ... < \lambda_M = 1$ and variance parameters $\sigma_i > 0$ associated with the time intervals $[\lambda_{i-1},\lambda_i]$. The inhomogeneous branching random walk generalizes the model considered in [23] and the inhomogeneous Gaussian free field generalizes the model introduced in [4]. The purpose of the thesis is to extend known results on the convergence of the maximum [5,6,23] and the number of high points [16] to these new Gaussian fields. The results help to better understand how perturbations of the correlations in one or the other basic models influence the order of magnitude of the maximum and the order of the number of high points.

La thèse est composée de trois parties. La première présente un certain nombre de mesures de dépendance extrême. Une application sur les actions et les obligations de 49 pays montre que la théorie des valeurs extrêmes multivariées conduit aux résultats différents de ceux issus du coefficient de corrélation, mais relativement proches de ceux obtenus du rho de Spearman conditionnel multivarié. Cette partie évalue aussi le risque de pertes importantes simultanées. La deuxième partie examine les déterminants des co-mouvements extrêmes entre 5 pays core et 49 pays non core. Les mécanismes de transmission des chocs varient de la période moins récente à la période récente, des pays développés aux pays émergents, des chocs normaux aux chocs extrêmes. La troisième partie étudie le rôle de valeur refuge de l’or sur la période 1986-2012. Les gains positifs extrêmes de l'or peuvent être liés aux pertes extrêmes du S&P. Cependant, ce lien n'est pas toujours valable, il évolue dans le temps et serait conditionné par d'autres facteurs. / The thesis consists of three parts. The first part introduces a number of measures of extreme dependency. An application on stock and bond markets of 49 countries shows the multivariate extreme value theory leads to results which are different from those from the correlation coefficient, but relatively close to those obtained from multivariate conditional Spearman's rho. This part also assesses the risk of simultaneous losses. The second part examines the determinants of extreme co-movements between 5 core countries and 49 non-core countries. Transmission mechanisms of shocks vary from less recent to recent period, from developed to emerging markets, from normal to extreme shocks. The third part examines the role of safe haven of gold over the period 1986-2012. Extreme positive gains of gold can be linked to extreme losses of S&P. However, this relationship is not always valid, it evolves over time and could be determined by other factors.

Cette thèse a pour but le développement de certains aspects de la modélisation de la dépendance dans la gestion des risques en dimension plus grande que un. Le premier chapitre est constitué d'une introduction générale. Le deuxième chapitre est constitué d'un article s'intitulant « Estimating Bivariate Tail : a copula based approach », soumis pour publication. Il concerne la construction d'un estimateur de la queue d'une distribution bivariée. La construction de cet estimateur se fonde sur une méthode de dépassement de seuil (Peaks Over Threshold method) et donc sur une version bivariée du Théorème de Pickands-Balkema-de Haan. La modélisation de la dépendance est obtenue via la Upper Tail Dependence Copula. Nous démontrons des propriétés de convergence pour l'estimateur ainsi construit. Le troisième chapitre repose sur un article: « A multivariate extension of Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation», soumis pour publication. Nous abordons le problème de l'extension de mesures de risque classiques, comme la Value-at-Risk et la Conditional-Tail-Expectation, dans un cadre multidimensionnel en utilisant la fonction de Kendall multivariée. Enfin, dans le quatrième chapitre de la thèse, nous proposons un estimateur des courbes de niveau d'une fonction de répartition bivariée avec une méthode plug-in. Nous démontrons des propriétés de convergence pour les estimateurs ainsi construits. Ce chapitre de la thèse est lui aussi constitué d'un article, s'intitulant « Plug-in estimation of level sets in a non-compact setting with applications in multivariate risk theory», accepté pour publication dans la revue ESAIM:Probability and Statistics. / In this PhD thesis we consider different aspects of dependence modeling with applications in multivariate risk theory. The first chapter is constituted by a general introduction. The second chapter is essentially constituted by the article “Estimating Bivariate Tail: a copula based approach”, actually submitted for publication. It deals with the problem of estimating the tail of a bivariate distribution function. We develop a general extension of the POT (Peaks-Over-Threshold) method, mainly based on a two-dimensional version of the Pickands-Balkema-de Haan Theorem. The dependence structure between the marginals in the upper tails is described by the Upper Tail Dependence Copula. Then we construct a two-dimensional tail estimator and study its asymptotic properties. The third chapter of this thesis is based on the article “A multivariate extension of Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation” and submitted for publication. We propose a multivariate generalization of risk measures as Value-at-Risk and Conditional-Tail-Expectation and we analyze the behavior of these measures in terms of classical properties of risk measures. We study the behavior of these measures with respect to different risk scenarios and stochastic ordering of marginals risks. Finally in the fourth chapter we introduce a consistent procedure to estimate level sets of an unknown bivariate distribution function, using a plug-in approach in a non-compact setting. Also this chapter is constituted by the article “Plug-in estimation of level sets in a non-compact setting with applications in multivariate risk theory”, accepted for publication in ESAIM: Probability and Statistics journal.

Notre intérêt dans cette thèse est de combiner les différentes techniques de mesure du risque opérationnel dans les secteurs financiers, et on s'intéresse plus particulièrement aux conséquences du risque d'estimation dans les modèles, qui est un risque opérationnel particulier. Nous allons présenter les concepts mathématiques et actuariels associés ainsi qu'une application numérique en ce qui concerne l'approche de mesure avancée comme Loss Distribution pour calculer l'exigence en capital. En plus, on se concentre sur le risque d'estimation illustré avec l'analyse des scénarios de l'opinion d'experts en conjonction avec des données de pertes internes pour évaluer notre exposition aux évènements de gravité. Nous concluons cette première partie en définissant une technique de mise l'échelle sur la base de (MCO) qui nous permet de normaliser nos données externes à une banque locale Libanaise.Dans la deuxième partie, on donne de l'importance sur la mesure de l'erreur induite sur le SCR par l'erreur d'estimation des paramètres, on propose une méthode alternative pour estimer une courbe de taux et on termine par attirer l'attention sur les réflexions autour des hypothèses de calcul et ce que l'on convient de qualifier d'hypothèse "cohérente avec les valeurs de marché" serait bien plus pertinente et efficace que la complexification du modèle, source d'instabilité supplémentaire, ainsi mettre en évidence le risque d'estimation qui est lié au risque opérationnel et doit être accordé beaucoup plus d'attention dans nos modèles de travail / Our interest in this thesis is first to combine the different measurement techniques for operational risk in financial companies, and we highlight more and more the consequences of estimation risk which is treated as a particular part of operational risk. In the first part, we will present a full overview of operational risk, from the regulatory laws and regulations to the associated mathematical and actuarial concepts as well as a numerical application regarding the Advanced Measurement Approach, like Loss Distribution to calculate the capital requirement, then applying the Extreme Value Theory. We conclude this first part by setting a scaling technique based on (OLS) enabling us to normalize our external data to a local Lebanese Bank. On the second part, we feature estimation risk by first measuring the error induced on the SCR by the estimation error of the parameters, to having an alternative yield curve estimation and finishing by calling attention to the reflections on assumptions of the calculation instead of focusing on the so called hypothesis "consistent with market values", would be more appropriate and effective than to complicate models and generate additional errors and instability. Chapters in this part illustrate the estimation risk in its different aspects which is a part of operational risk, highlighting as so the attention that should be given in treating our models

Le sujet principal de cette thèse est la physique des verres de spin. Les verres de spin ont été introduits au début des années 70 pour décrire alliages magnétiques diluées. Ils ont désormais été considerés pour comprendre le comportement de liquides sousrefroidis. Parmis les systèmes qui peuvent être décrits par le langage des systèmes desordonnés, on trouve les problèmes d’optimisation combinatoire. Dans la première partie de cette thèse, nous considérons les modèles de verre de spin avec intéraction de Kac pour investiguer la phase de basse température des liquides sous-refroidis. Dans les chapitres qui suivent, nous montrons comment certaines caractéristiques des modèles de verre de spin peuvent être obtenues à partir de résultats de la théorie des matrices aléatoires en connection avec la statistique des valeurs extrêmes. Dans la dernière partie de la thèse, nous considérons la connexion entre la théorie desverres de spin et la science computationnelle, et présentons un nouvel algorithme qui peut être appliqué à certains problèmes dans le domaine des finances. / The main subject of this thesis is the physics of spin glasses. After their introduction in the 70s in order to describe dilute magnetic alloys, spin-glass models have been considered prototype models to understand the behavior of supercooled liquids. Among the systems that can be described and analyzed using the language of disordered systems, there are problems of combinatorial optimization. In the first part of the thesis, we consider spin-glass models with Kac interactions in order to investigate the supercooled phase of glass-forming liquids. Afterwards, we show how some features of spin-glass models can be described by ubiquitous results of Random Matrix Theory in connection with Extreme Value Statistics. Finally, from the interaction of spin-glass theory and computer science, we put forward a new algorithm of immediate application in Financial problems.

L'entrée en application depuis le 1er Janvier 2016 de la réforme réglementaire européenne du secteur des assurances Solvabilité 2 est un événement historique qui va changer radicalement les pratiques en matière de gestion des risques. Elle repose sur une prise en compte importante du profil et de la vision du risque, via la possibilité d'utiliser des modèles internes pour calculer les capitaux de solvabilité et l'approche ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) pour la gestion interne du risque. La modélisation mathématique est ainsi un outil indispensable pour réussir un exercice réglementaire. La théorie du risque doit être en mesure d'accompagner ce développement en proposant des réponses à des problématiques pratiques, liées notamment à la modélisation des dépendances et aux choix des mesures de risques. Dans ce contexte, cette thèse présente une contribution à l'amélioration de la gestion des risques actuariels. En quatre chapitres nous présentons des mesures multivariées de risque et leurs applications à l'allocation du capital de solvabilité. La première partie de cette thèse est consacrée à l'introduction et l'étude d'une nouvelle famille de mesures multivariées élicitables de risque qu'on appellera des expectiles multivariés. Son premier chapitre présente ces mesures et explique les différentes approches utilisées pour les construire. Les expectiles multivariés vérifient un ensemble de propriétés de cohérence que nous abordons aussi dans ce chapitre avant de proposer un outil d'approximation stochastique de ces mesures de risque. Les performances de cette méthode étant insuffisantes au voisinage des niveaux asymptotiques des seuils des expectiles, l'analyse théorique du comportement asymptotique est nécessaire, et fera le sujet du deuxième chapitre de cette partie. L'analyse asymptotique est effectuée dans un environnement à variations régulières multivariées, elle permet d'obtenir des résultats dans le cas des queues marginales équivalentes. Nous présentons aussi dans le deuxième chapitre le comportement asymptotique des expectiles multivariés sous les hypothèses précédentes en présence d'une dépendance parfaite, ou d'une indépendance asymptotique, et nous proposons à l'aide des statistiques des valeurs extrêmes des estimateurs de l'expectile asymptotique dans ces cas. La deuxième partie de la thèse est focalisée sur la problématique de l'allocation du capital de solvabilité en assurance. Elle est composée de deux chapitres sous forme d'articles publiés. Le premier présente une axiomatisation de la cohérence d'une méthode d'allocation du capital dans le cadre le plus général possible, puis étudie les propriétés de cohérence d'une approche d'allocation basée sur la minimisation d'indicateurs multivariés de risque. Le deuxième article est une analyse probabiliste du comportement de cette dernière approche d'allocation en fonction de la nature des distributions marginales des risques et de la structure de la dépendance. Le comportement asymptotique de l'allocation est aussi étudié et l'impact de la dépendance est illustré par différents modèles marginaux et différentes copules. La présence de la dépendance entre les différents risques supportés par les compagnies d'assurance fait de l'approche multivariée une réponse plus appropriée aux différentes problématiques de la gestion des risques. Cette thèse est fondée sur une vision multidimensionnelle du risque et propose des mesures de nature multivariée qui peuvent être appliquées pour différentes problématiques actuarielles de cette nature / The entry into force since January 1st, 2016 of Solvency 2, the European regulatory reform of insurance industry, is a historic event that will radically change the practices in risk management. It is based on taking into account the own risk profile and the internal view of risk through the ability to use internal models for calculating solvency capital requirement and ORSA (Own Risk and Solvency Assessment) approach for internal risk management. It makes the mathematical modeling an essential tool for a successful regulatory exercise. The risk theory must allow to support this development by providing answers to practical problems, especially those related to the dependence modeling and the choice of risk measures. In the same context, this thesis presents a contribution to improving the management of insurance risks. In four chapters we present multivariate risk measures and their application to the allocation of solvency capital. The first part of this thesis is devoted to the introduction and study of a new family of multivariate elicitable risk measures that we will call multivariate expectiles. The first chapter presents these measures and explains the different construction approaches. The multivariate expectiles verify a set of coherence properties that we also discuss in this chapter before proposing a stochastic approximation tool of these risk measures. The performance of this method is insufficient in the asymptotic levels of the expectiles thresholds. That makes the theoretical analysis of the asymptotic behavior necessary. The asymptotic behavior of multivariate expectiles is then the subject of the second chapter of this part. It is studied in a multivariate regular variations framework, and some results are given in the case of equivalent marginal tails. We also study in the second chapter of the first part the asymptotic behavior of multivariate expectiles under previous assumptions in the presence of a perfect dependence, or in the case of asymptotic independence. Finally, we propose using extreme values statistics some estimators of the asymptotic expectile in these cases. The second part of the thesis is focused on the issue of solvency capital allocation in insurance. It is divided into two chapters; each chapter consists of a published paper. The first one presents an axiomatic characterization of the coherence of a capital allocation method in a general framework. Then it studies the coherence properties of an allocation approach based on the minimization of some multivariate risk indicators. The second paper is a probabilistic analysis of the behavior of this capital allocation method based on the nature of the marginal distributions of risks and the dependence structure. The asymptotic behavior of the optimal allocation is also studied and the impact of dependence is illustrated using some selected models and copulas. Faced to the significant presence of dependence between the various risks taken by insurance companies, a multivariate approach seems more appropriate to build responses to the various issues of risk management. This thesis is based on a multidimensional vision of risk and proposes some multivariate risk measures that can be applied to several actuarial issues of a multivariate nature

Ce mémoire est consacré à trois modèles classiques de géométrie aléatoire : les mosaïques, les enveloppes convexes et le modèle booléen. Dans la première partie, on étudie les mosaïques poissonniennes d'hyperplans isotropes et plus particulièrement leur zéro-cellule qui est un polyèdre convexe aléatoire de l'espace euclidien. Deux cas particuliers de zéro-cellules sont la cellule typique de Poisson-Voronoi et la cellule de Crofton. On donne une formule explicite pour la loi du nombre de côtés d'une zéro-cellule en dimension deux. On s'intéresse au comportement asymptotique de cette loi et on fait le lien avec le problème de Sylvester des points en position convexe. On décrit ensuite la loi du rayon circonscrit ainsi que le comportement asymptotique du polyèdre à grand rayon inscrit au moyen de théorèmes limites. De cette manière et aussi par l'utilisation de la fréquence fondamentale, on apporte des précisions à l'énoncé de la conjecture de D. G. Kendall. La seconde partie a pour objet les enveloppes convexes de processus ponctuels de Poisson isotropes dans la boule-unité. On établit un résultat de type grandes déviations pour le nombre de sommets. On montre ensuite la convergence de la frontière de l'enveloppe après changement d'échelle et on en déduit des résultats de valeurs extrêmes, estimations de variance, théorèmes centraux limites et principes d'invariance pour certaines caractéristiques. Dans la troisième partie, on s'intéresse enfin aux modèles de recouvrement de type booléen de l'espace euclidien. Dans un premier travail, on applique une variante du modèle sans interpénétration des objets à la modélisation d'un phénomène de fissuration. On étudie ensuite la convergence de la composante connexe de l'origine d'un modèle booléen vers la cellule de Crofton en dimension deux. On s'intéresse enfin à la fonction de visibilité de cette composante connexe pour laquelle on obtient une estimée de la queue de distribution et des résultats de valeurs extrêmes.