The aim of this thesis is to didactically properly assemble a set of exercises and tests form the field of Mathematical Analysis. Examples will be based on themes: real-valued functions of a real variable and its properties, limits and continuity of a function, derivative of a function and course of a function. Moodle software will be used to randomly generate specific tests in a way that from each set will be generated certain number of exercises. In addition to the test assignments this thesis will include their detailed solutions. This thesis will work as an individual preparation for the exam in mathematical analysis or the exam itself.

Submitted by Liliane Ferreira (ljuvencia30@gmail.com) on 2018-06-25T14:16:08Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Leopoldo José ALves - 2018.pdf: 5213486 bytes, checksum: 037bff67b65db65da5d517f8efdc57b8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-06-27T11:40:17Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Leopoldo José ALves - 2018.pdf: 5213486 bytes, checksum: 037bff67b65db65da5d517f8efdc57b8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-06-27T11:40:17Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Leopoldo José ALves - 2018.pdf: 5213486 bytes, checksum: 037bff67b65db65da5d517f8efdc57b8 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-06-15 / The mathematics of High School does not contemplate in a direct way the study of calculation of limits of real functions in its curricular programs, although such content is fundamental part in several undergraduate courses, like Engineering and Informatics. In this context, the development of this research seeks answers to the questions: What contributions does the use of the WxMAXIMA software provide for the understanding of the concepts of limits of real functions at the High School? What is the achievement of the students participating in the project with the study of limits of real functions? Therefore, the main objective of this dissertation is to apply and analyze a teaching proposal for High School students, consisting of activities on the calculation of limits of real functions in the computer lab. In order to reach this objective, a bibliographical research was carried out, highlighting the limits of real functions, concepts, the history and application of this subject in the context of mathematics, as well as the definition and application of WxMAXIMA software in the teaching and learning process. In addition to the theoretical study, a case study was developed at the Taguatinga Norte High School, in Distrito Federal, with the collaboration of 20 students, who study at that institution, where the meetings were held using computers of the computer lab in April 2018. With the results obtained through ten activities developed at the Computer Lab, a questionnaire applied to students and the researcher´s field diary, it was possible to verify that the students presented difficulties in the construction and reading of function graphs and in mathematics contents worked in lectures. However, by using the computer as a tool for the study of functions, these students were able to achieve the objectives of the proposed activities quite easily. These results allow us to conclude that the use of the WxMAXIMA software contributed to a better understanding of the concepts of Limits of Real-valued Functions, making the activities more meaningful, since the students were better able to understand the contents of each activity and achieve a better adaptation to WxMAXIMA software. / A matemática do Ensino Médio não contempla de maneira direta o estudo de cálculo de limites de funções reais em seus programas curriculares, embora tal conteúdo seja parte fundamental em diversos cursos de Graduação, como Engenharias e Informática. Nesse contexto, o desenvolvimento desta pesquisa busca respostas às indagações: Quais as contribuições que o uso do software WxMAXIMA proporciona para a compreensão dos conceitos de limites de funções reais no nível médio? Qual o aproveitamento por parte dos alunos participantes do projeto com o estudo de limites de funções reais? Nesse sentido, o objetivo principal desta dissertação é aplicar e analisar uma proposta de ensino, para alunos do Ensino Médio, consistindo de atividades sobre o cálculo de limites de funções reais no laboratório de informática. Para o alcance desse objetivo foi realizada uma pesquisa bibliográfica, destacando limites de funções reais, conceitos, o histórico e aplicação desse assunto no contexto da Matemática e, também, a definição e aplicação do software WxMAXIMA no processo de ensino e aprendizagem. Além do estudo teórico, foi desenvolvido um estudo de caso no Centro de Ensino Médio de Taguatinga Norte, no Distrito Federal, contando com a colaboração de 20 alunos que estudam na referida instituição, onde os encontros foram realizados utilizando os computadores do Laboratório de Informática no mês de abril de 2018. Com os resultados obtidos por meio de dez atividades desenvolvidas no Laboratório de Informática, questionário aplicado aos alunos e diário de campo do pesquisador, foi possível constatar que os alunos apresentavam dificuldades na construção e leitura de gráficos de funções e nos conteúdos de Matemática trabalhados em aulas expositivas. Porém, ao utilizarem o computador como ferramenta para o estudo de funções, esses alunos conseguiram atingir os objetivos das atividades propostas com certa facilidade. Esses resultados permitem concluir que o uso do software WxMAXIMA contribuiu para melhor compreensão de conceitos de limites de funções reais, tornando as atividades mais significativas, uma vez que os alunos foram compreendendo melhor o conteúdo ministrado em cada atividade e conquistando uma melhor adaptação ao software WxMAXIMA.

Submitted by Irene Nascimento (irene.kessia@ufpe.br) on 2016-10-17T18:58:21Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) tese-ldsp-cin-ufpe.pdf: 2057113 bytes, checksum: 40e1baebc2bc4840cd9803fdc16d952f (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-17T18:58:21Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 1232 bytes, checksum: 66e71c371cc565284e70f40736c94386 (MD5) tese-ldsp-cin-ufpe.pdf: 2057113 bytes, checksum: 40e1baebc2bc4840cd9803fdc16d952f (MD5) Previous issue date: 2016-08-26 / CNPQ / A Análise de Agrupamentos, também conhecida por Aprendizagem Não-Supervisionada, é uma técnica importante para a análise exploratória de dados, tendo sido largamente empregada em diversas aplicações, tais como mineração de dados, segmentação de imagens, bioinformática, dentre outras. A análise de agrupamentos visa a distribuição de um conjunto de dados em grupos, de modo que indivíduos em um mesmo grupo estejam mais proximamente relacionados (mais similares) entre si, enquanto indivíduos pertencentes a grupos diferentes tenham um alto grau de dissimilaridade entre si. Do ponto de vista de otimização, a análise de agrupamentos é considerada como um caso particular de problema de NP-Difícil, pertencendo à categoria da otimização combinatória. Técnicas tradicionais de agrupamento (como o algoritmo K-Means) podem sofrer algumas limitações na realização da tarefa de agrupamento, como a sensibilidade à inicialização do algoritmo, ou ainda a falta de mecanismos que auxiliem tais métodos a escaparem de pontos ótimos locais. Meta-heurísticas como Algoritmos Evolucionários (EAs) e métodos de Inteligência de Enxames (SI) são técnicas de busca global inspirados na natureza que têm tido crescente aplicação na solução de uma grande variedade de problemas difíceis, dada a capacidade de tais métodos em executar buscas minuciosas pelo espaço do problema, tentando evitar pontos de ótimos locais. Nas últimas décadas, EAs e SI têm sido aplicadas com sucesso ao problema de agrupamento de dados. Nesse contexto, a meta-heurística conhecida por Otimização por Busca em Grupo (GSO) vem sendo aplicada com sucesso na solução de problemas difíceis de otimização, obtendo desempenhos superiores a técnicas evolucionárias tradicionais, como os Algoritmos Genéticos (GA) e a Otimização por Enxame de Partículas (PSO). No contexto de análise de agrupamentos, EAs e SIs são capazes de oferecer boas soluções globais ao problema, porém, por sua natureza estocástica, essas abordagens podem ter taxas de convergência mais lentas quando comparadas a outros métodos de agrupamento. Nesta tese, o GSO é adaptado ao contexto de análise de agrupamentos particional. Modelos híbridos entre o GSO e o K-Means são apresentados, de modo a agregar o potencial de exploração oferecido pelas buscas globais do GSO à velocidade de exploitação de regiões locais oferecida pelo K-Means, fazendo com que os sistemas híbridos formados sejam capazes de oferecerem boas soluções aos problemas de agrupamento tratados. O trabalho apresenta um estudo da influência do K-Means quando usado como operador de busca local para a inicialização populacional do GSO, assim como operador para refinamento da melhor solução encontrada pela população do GSO durante o processo geracional desenvolvido por esta técnica. Uma versão cooperativa coevolucionária do modelo GSO também foi adaptada ao contexto da análise de agrupamentos particional, resultando em um método com grande potencial para o paralelismo, assim como para uso em aplicações de agrupamentos distribuídos. Os resultados experimentais, realizados tanto com bases de dados reais, quanto com o uso de conjuntos de dados sintéticos, apontam o potencial dos modelos alternativos de inicialização da população propostos para o GSO, assim como de sua versão cooperativa coevolucionária, ao lidar com problemas tradicionais de agrupamento de dados, como a sobreposição entre as classes do problema, classes desbalanceadas, dentre outros, quando em comparação com métodos de agrupamento existentes na literatura. / Cluster analysis, also known as unsupervised learning, is an important technique for exploratory data analysis, and it has being widely employed in many applications such as data mining, image segmentation, bioinformatics, and so on. Clustering aims to distribute a data set in groups, in such a way that individuals from the same group are more closely related (more similar) among each other, while individuals from different groups have a high degree of dissimilarity among each other. From an optimization perspective, clustering is considered as a particular kind of NP-hard problem, belonging in the combinatorial optimization category. Traditional clustering techniques (like K-Means algorithm) may suffer some limitations when dealing with clustering task, such as the sensibility to the algorithm initialization, or the lack of mechanisms to help these methods to escape from local minima points. Meta-heuristics such as EAs and SI methods are nature-inspired global search techniques which have been increasingly applied to solve a great variety of difficult problems, given their capability to perform thorough searches through a problem space, attempting to avoid local optimum points. From the past few decades, EAs and SI approaches have been successfully applied to tackle clustering problems. In this context, Group Search Optimization (GSO) meta-heuristic has been successfully applied to solve hard optimization problems, obtaining better performances than traditional evolutionary techniques, such as Genetic Algorithms (GA) and Particle Swarm Optimization (PSO). In clustering context, EAs an SIs are able to obtain good global solutions to the problem at hand, however, according to their stochastic nature, these approaches may have slow convergence rates in comparison to other clustering methods. In this thesis, GSO is adapted to the context of partitional clustering analysis. Hybrid models of GSO and K-Means are presented, in such a way that the exploration offered by GSO global searches are combined with fast exploitation of local regions provided by K-Means, generating new hybrid systems capable of obtaining good solutions to the clustering problems at hands. The work also presents a study on the influence of K-Means when adopted as a local search operator for GSO population initialization, just like its application as an refinement operator for the best solution found by GSO population during GSO generative process. A cooperative coevolutionary variant of GSO model is adapted to the context of partitional clustering, resulting in a method with great potential to parallelism, as much as for the use in distributed clustering applications. Experimental results, performed as with the use of real data sets, as with the use of synthetic data sets, showed the potential of proposed alternative population initialization models and the potential of GSO cooperative coevolutionary variant when dealing with classic clustering problems, such as data overlapping, data unbalancing, and so on, in comparison to other clustering algorithms from literature.

Orientadora: Profa. Dra. Mariana Rodrigues da Silveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , 2018. / A Teoria de Morse é baseada na obtenção de informações topológicas de uma variedade M diferenciável por meio de uma função real f : M !R com apenas pontos críticos não degenerados. Nesta dissertação estudamos uma adaptação desta teoria para funções com imagem no círculo S1. Este estudo é realizado considerando o recobrimento cíclico infinito de M induzido pelo recobrimento universal R sobre S1. Mostramos que, assim como no caso Morse, informações topológicas de M podem ser recuperadas através de um complexo de cadeias construído a partir dos pontos críticos de f . / Morse theory is based on recovering topological information about a smooth manifold M using a real valued function f : M ! R with a finite number of nondegenarate critical points. In this work we study an adaptation of this theory for circle valued maps. This study is done considering the infinite cyclic covering of M induced by the universal covering R of S1. We prove that, as in the Morse case, topological information of M can be recovered using a chain complex generated by the critical points of f .

Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C0(K,X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que se C0(K1,X) é isomorfo a C0(K2,X), onde X é um espaço de Banach de cotipo finito e tal que X é separável ou X* tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X = R ou X = C. Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1,X) em C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma soma topológica finita de K2. Mais ainda, se Xn não contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo n &isin; N, então K1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismo T de C(K1) em um subespaço de C(K2,X) com ||T||||T-1|| < 3, então a cardinalidade do &alpha;-ésimo derivado de K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do &alpha;-ésimo derivado de K1, para todo ordinal &alpha;. Em seguida, seja n um inteiro positivo, &Gamma; um conjunto infinito munido da topologia discreta e X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K,X) e C0(&Gamma;,X) é maior ou igual a 2n + 1. Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entre C([1,&omega;nk],X) e C0(N,X) é exatamente 2n+1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais para alguns teoremas de Cambern de 1970. Para um ordinal enumerável &alpha;, denotando por C(&alpha;) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, &alpha;], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(&omega;) e C(&omega;nk), 1 < n, k < &omega;, verificando H(n, k) - G(n, k) < 2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Peczynski de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entre C(&omega;) e cada um dos espaços C(&alpha;), &omega;<&alpha;<&omega;&omega;. / For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C0(K,X) the space of X-valued continuous functions on K which vanish at infinity, endowed with the supremum norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C0(K1,X) is isomorphic to C0(K2,X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is separable or X* has the Radon-Nikodým property, then either K1 and K2 are finite or K1 and K2 have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case X = R or X = C. We also prove that if K1 and K2 are compact ordinal spaces and X is Banach space having finite cotype, then the existence of an isomorphism T from C(K1,X) onto C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3 implies that some finite topological sum of K1 is homeomorphic to some finite topological sum of K2. Moreover, if Xn contains no subspace isomorphic to Xn+1 for every n &isin; N, then K1 is homeomorphic to K2. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K1) into C(K2,X) with ||T||||T-1|| < 3, then the cardinality of the &alpha;-th derivative of K2 is either finite or greater than the cardinality of the &alpha;-th derivative of K1, for every ordinal &alpha;. Next, let n be a positive integer, &Gamma; an infinite set with the discrete topology and X is a Banach space having finite cotype. We prove that if the n-th derivative of K is not empty, then the Banach Mazur distance between C0(K,X) and C0(&Gamma;,X) is greater than or equal to 2n + 1. Thus, we also show that for every positive integers n and k, the Banach Mazur distance between C([1,&omega;nk],X) and C0(N,X) is exactly 2n+1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern theorems. For a countable ordinal &alpha;, writing C(&alpha;) for the Banach space of continuous functions on the interval of ordinal [1, &alpha;], we give lower bounds H(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach- Mazur distances between C(&omega;) and C(&omega;nk), 1 < n, k < &omega;, such that H(n, k) - G(n, k) < 2. These estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Peczynski question on the Banach-Mazur distances between C(&omega;) and each of the C(&alpha;) spaces, &omega;<&alpha;<&omega;&omega;.

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-24T17:12:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 EspirituLedesma_GuidoGerson_D.pdf: 1229937 bytes, checksum: 00f2d538b5b2a2c4147d828351f4ef16 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Neste trabalho, usamos os grafos de Lyapunov como uma ferramenta combinat{\'o}ria para obter classifica\c{c}{\~o}es completas de fluxos Smale sobre $\ss$ e fluxos Morse-Novikov sobre superf{\'i}cies orient{\'a}veis e n{\~a}o orient{\'a}veis. Esta classifica\c{c}{\~a}o consiste em obter condi\c{c}{\~o}es necess{\'a}rias e suficientes que devem ser satisfeitas por um grafo de Lyapunov abstrato de forma a ser associado a um fluxo Smale sobre $\ss$ ou um fluxo Morse-Novikov sobre uma superf{\'i}cie respectivamente. Assim nesta tese de doutorado obtemos os seguintes resultados: \begin{enumerate} \item As condições locais que devem ser satisfeitas por cada vértice do grafo de Lyapunov, assim como as condições globais que devem ser satisfeitas pelos grafos para estarem associados a um fluxo Smale sobre $\ss$ ou a um fluxo Morse-Novikov sobre uma superfície s{\~a}o determinadas. \item A realização destes grafos abstratos sujeita {\'a}s condições determinadas acima, como fluxos Smale sobre $\ss$ ou fluxos Morse-Novikov sobre superfícies respectivamente, são obtidas. \end{enumerate} / Abstract: In this work Lyapunov graphs are used as a combinatorial tool in order to obtain a complete classification of Smale flows on $\ss$ and Morse-Novikov flows on orientable and non-orientable surfaces. This classification consists in determining necessary and sufficient conditions that must be satisfied by an abstract Lyapunov graph so that it is associated to a Smale flow on $\ss$ or to a Morse-Novikov flow on a surface respectively.\\ In summary in this doctoral thesis we obtain the following results: \begin{enumerate} \item The local conditions that must be satisfied by each vertex on a Lyapunov graph is determinated as well as the global conditions on the graph in order for it to be associated to a Smale flow on $\ss$ or a Morse-Novikov flow on a surface. \item The realization of these graphs subject to the conditions found above as Smale flows on $\ss$ or as Morse-Novikov flows on surfaces respectively is obtained. \end{enumerate} / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Ketty Abaroa de Rezende / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T10:15:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Lima_DahisyValadaodeSouza_D.pdf: 22146296 bytes, checksum: c88725de657b032422b9e4614ccd91a9 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: O tema principal desta tese é o estudo de fluxos gradientes associados a campos vetoriais $-\nabla f$ em variedades fechadas, onde $f$ é uma função do tipo Morse, Morse circular e Morse-Bott. Para obter informações dinâmicas em cada caso, utilizamos ferramentas algébricas e topológicas, tais como sequências espectrais e matrizes de conexão. No contexto de Morse, consideramos um complexo de cadeias $(C,\Delta)$ gerado pelos pontos críticos de $f$ onde $\Delta$ conta (com sinal) o número de linhas do fluxo entre dois pontos críticos consecutivos. Uma análise via sequências espectrais $(E^{r},d^{r})$ é feita para se obter resultados de continuação global em superfícies. Nós relacionamos as diferenciais da $r$-ésima página de $(E^{r},d^{r})$ com cancelamentos dinâmicos entre pontos críticos. No caso de função de Morse circular $f:M \rightarrow S^{1}$, o método da varredura para um complexo de Novikov $(\mathcal{N},\Delta)$ associado $f$ e gerado pelos pontos críticos de $f$ é definido sobre o anel $\mathbb{Z}((t))$. Este método produz a cada etapa matrizes de Novikov. Provamos que a matriz final produzida pelo método da varredura tem entradas polinomiais, o que é surpreendente, já que as matrizes intermediárias podem ter séries infinitas como entradas. Apresentamos resultados que mostram que os módulos e diferenciais de uma sequência espectral associada a $(\mathcal{N},\Delta)$ podem ser recuperados através do método da varredura. Para fluxos gradientes associados a funções de Morse-Bott, as singularidades formam variedades críticas. Usamos a teoria do índice de Conley para obter uma caracterização do conjunto de matrizes de conexão para fluxos Morse-Bott. Obtemos resultados sobre o efeito no conjunto de matrizes de conexão causado por mudanças na ordem parcial e na decomposição de Morse de um conjunto invariante isolado / Abstract: The main theme in this thesis is the study of gradient flows associated to a vector field $-\nabla f$ on closed manifolds, where $f$ is either a Morse function, a circle-valued Morse function or a Morse-Bott function. In order to obtain dynamical information, we make use of algebraic and topological tools such as spectral sequences and connection matrices. In the Morse context, consider a chain complex $(C,\Delta)$ generated by the critical points of $f$, where $\Delta$ counts the number of flow lines between consecutive critical points with signs. A spectral sequence $(E^{r},d^{r})$ analysis is used to obtain results on global continuation of flows on surfaces. A link is established between the differentials on the $r$-th page of $(E^{r},d^{r})$ and cancellation of critical points. In the circle-valued Morse case $f:M \rightarrow S^{1}$, a sweeping algorithm for the Novikov chain complex $(\mathcal{N},\Delta)$ associated to $f$ and generated by the critical points of $f$ is defined over the ring $\mathbb{Z}((t))$. This algorithm produces at each stage Novikov matrices. We prove that the last Novikov matrix has polynomial entries which is quite surprising since the matrices in the intermediary stages may have infinite series entries. We also present results showing that the modules and differentials of the spectral sequence associated to $(\mathcal{N},\Delta)$ can be retrieved through the sweeping algorithm. For gradient flows associated to Morse-Bott functions, the singularities form critical manifolds. We use the Conley index theory for the critical manifolds in order to characterize the set of connection matrices for Morse-Bott flows. Results are obtained on the effects on the set of connection matrices caused by a change in the partial ordering and Morse decomposition of isolated invariant sets / Doutorado / Matematica / Doutora em Matemática

We begin by studying field-theory amplitude relations such as the Kleiss-Kuijf, Bern-Carrasco-Johansson, Kawai-Lewellen-Tye and the double copy construction, which are important ingredients in this thesis. Going beyond the field-theory limit we study how the gauge-sector of the heterotic string relates to type I amplitudes through the single valued projection of multiple zeta values. At low energy and for a U(1) gauge group (a single brane) the type I amplitudes are generated by the Born-Infeld action, whereas the corresponding heterotic amplitudes vanish in this limit. As a simple exercise we study Yang-Mills theory deformed by a $F^4$ operator, which is the first correction induced by the Born-Infeld action. This exercise is then generalized by considering the four- and six-point amplitudes in Tseytlin's proposal for a non-Abelian Born-Infeld action. Comparing these amplitudes with those found in type I and heterotic string theory we attempt to gain more insight about the non-Abelian Born-Infeld action.

Cette thèse est consacrée à définir et étudier des invariants motiviques associés aux ensembles semi-algébriques dans les corps valués. Ceux-ci sont les combinaisons booléennes d'ensembles définis par des inégalités valuatives. L'outil principal que nous utilisons est l'intégration motivique, une forme de théorie de la mesure à valeurs dans le groupe de Grothendieck des variétés définies sur le corps résiduel. Dans une première partie, on définit la notion de densité locale motivique. C'est un analogue valuatif du nombre de Lelong complexe, de la densité réelle de Kurdyka-Raby et de la densité p-adique de Cluckers-Comte-Loeser. C'est un invariant métrique à valeurs dans un localisé du groupe de Grothendieck des variétés. Notre résultat principal est que cet invariant se calcule sur le cône tangent muni de multiplicités motiviques. On établit un analogue de la formule de Cauchy-Crofton locale. On montre enfin que dans le cas d'une courbe plane, la densité motivique est égale à la somme des inverses des multiplicités des branches. L'objet de la seconde partie est de définir un morphisme d'anneau du groupe de Grothendieck des ensembles semi-algébriques sur un corps valué K vers le groupe de Grothendieck de la catégorie d'Ayoub des motifs rigides analytiques sur K. On montre qu'il étend le morphisme qui envoie la classe d'une variété algébrique sur la classe de son motif cohomologique à support compact. Cela fournit donc une notion virtuelle de motif cohomologique à support compact pour les variétés rigides analytiques. On montre également un théorème de dualité permettant de comparer le motif cohomologique de la fibre de Milnor analytique avec la fibre de Milnor motivique. / This thesis is devoted to define and study some motivic invariants associated to semialgebraic sets in valued fields. They are boolean combinations of sets defined by valuative inequalities. Our main tool is the theory of motivic integration, which is a kind of measure theory with values in the Grothendieck group of varieties defined over the residue field. In the first part, we define the notion of motivic local density. It is a valuative analog of complex Lelong number, Kurdyka-Raby real density and p-adic density of Cluckers- Comte-Loeser. It is a metric invariant with values in a localization of the Grothendieck group of varieties. Our main result is that it can be computed on the tangent cone with motivic multiplicities. We also establish an analog of the local Cauchy-Crofton formula. We finally show that the density of a germ of plane curve defined over the residue field is equal to the sum of the inverses of the multiplicities of the formal branches of the curve. The goal of the second part is to define a ring morphism from the Grothendieck group of semi-algebraic sets defined over a valued field K to the Grothendieck group of Ayoub’s categoryof rigid analytic motives over K. We show that it extends the morphism sending the class of an algebraic variety to the class of its cohomological motive with compact support. This gives a notion of virtual cohomological motive with compact support for rigid analytic varieties. We also show a duality theorem allowing us to compare the cohomological motive of the analytic Milnor fiber with the motivic Milnor fiber.

This paper offers an existence result for finite dimensional stochastic differential inclusions with maximal monotone drift and diffusion terms. Kravets studied only set-valued drifts in [5], whereas Motyl [4] additionally observed set-valued diffusions in an infinite dimensional context. In the proof we make use of the Yosida approximation of maximal monotone operators to achieve stochastic differential equations which are solvable by a theorem of Krylov and Rozovskij [7]. The selection property is verified with certain properties of the considered set-valued maps. Concerning Lipschitz continuous set-valued diffusion terms, uniqueness holds. At last two examples for application are given.