Les travaux portent sur l'étude d'équations aux dérivées partielles à la charnière de la physique de la mécanique des milieux continus et de la géométrie différentielle, le point de départ étant le modèle d'électromagnétisme non-linéaire introduit par Max Born et Leopold Infeld en 1934 comme substitut aux traditionnelles équations linéaires de Maxwell. Ces équations sont remarquables par leurs liens avec la géométrie différentielle (surfaces extrémales dans l'espace de Minkowski) et ont connu un regain d'intérêt dans les années 90 en physique des hautes énergies (cordes et D-branes).Le travail se décompose en quatre chapitres.La théorie des systèmes paraboliques dégénérés d'EDP non-linéaires est fort peu développée, faute de pouvoir appliquer les principes de comparaison habituels (principe du maximum), malgré leur omniprésence dans de nombreuses applications (physique, mécanique, imagerie numérique, géométrie...). Dans le premier chapitre, on montre comment de tels systèmes peuvent être parfois dérivés, asymptotiquement, à partir de systèmes non-dissipatifs (typiquement des systèmes hyperboliques non-linéaires), par simple changement de variable en temps non-linéaire dégénéré à l'origine (où sont fixées les données initiales). L'avantage de ce point de vue est de pouvoir transférer certaines techniques hyperboliques vers les équations paraboliques, ce qui semble à première vue surprenant, puisque les équations paraboliques ont la réputation d'être plus facile à traiter (ce qui n'est pas vrai, en réalité, dans le cas de systèmes dégénérés). Le chapitre traite, comme prototype, du curve-shortening flow", qui est le plus simple des mouvements par courbure moyenne en co-dimension supérieure à un. Il est montré comment ce modèle peut être dérivé de la théorie des surfaces de dimension deux d'aire extrémale dans l'espace de Minkowski (correspondant aux cordes relativistes classiques) qui peut se ramener à un système hyperbolique. On obtient, presque automatiquement, l'équivalent parabolique des principes d'entropie relative et d'unicité fort-faible qu'il est, en fait, bien plus simple d'établir et de comprendre dans le cadre hyperbolique.Dans le second chapitre, la même méthode s'applique au système de Born-Infeld proprement dit, ce qui permet d'obtenir, à la limite, un modèle (non répertorié à notre connaissance) de Magnétohydrodynamique (MHD), où on retrouve à la fois une diffusivité non-linéaire dans l'équation d'induction magnétique et une loi de Darcy pour le champ de vitesse. Il est remarquable qu'un système d'apparence aussi lointaine des principes de base de la physique puisse être si directement déduit d'un modèle de physique aussi fondamental et géométrique que celui de Born-Infeld.Dans le troisième chapitre, un lien est établi entre des systèmes paraboliques et le concept de flot gradient de formes différentielles pour des métriques de transport. Dans le cas des formes volumes, ce concept a eu un succès extraordinaire dans le cadre de la théorie du transport optimal, en particulier après le travail fondateur de Felix Otto et de ses collaborateurs. Ce concept n'en est vraiment qu'à ses débuts: dans ce chapitre, on étudie une variante du «curve-shortening flow» étudié dans le premier chapitre, qui présente l'avantage d'être intégrable (en un certain sens) et de conduire à des résultats plus précis.Enfin, dans le quatrième chapitre, on retourne au domaine des EDP hyperboliques en considérant, dans le cas particulier des graphes, les surfaces extrémales de l'espace de Minkowski, de dimension et co-dimension quelconques. On parvient à montrer que les équations peuvent se reformuler sous forme d'un système élargi symétrique du premier ordre (ce qui assure automatiquement le caractère bien posé des équations) d'une structure remarquablement simple (très similaire à l'équation de Burgers) avec non linéarités quadratiques, dont le calcul n'a rien d'évident. / Our work concerns about the study of partial differential equations at the hinge of the continuum physics and differential geometry. The starting point is the model of non-linear electromagnetism introduced by Max Born and Leopold Infeld in 1934 as a substitute for the traditional linear Maxwell's equations. These equations are remarkable for their links with differential geometry (extremal surfaces in the Minkowski space) and have regained interest in the 90s in high-energy physics (strings and D-branches).The thesis is composed of four chapters.The theory of nonlinear degenerate parabolic systems of PDEs is not very developed because they can not apply the usual comparison principles (maximum principle), despite their omnipresence in many applications (physics, mechanics, digital imaging, geometry, etc.). In the first chapter, we show how such systems can sometimes be derived, asymptotically, from non-dissipative systems (typically non-linear hyperbolic systems), by simple non-linear change of the time variable degenerate at the origin (where the initial data are set). The advantage of this point of view is that it is possible to transfer some hyperbolic techniques to parabolic equations, which seems at first sight surprising, since parabolic equations have the reputation of being easier to treat (which is not true , in reality, in the case of degenerate systems). The chapter deals with the curve-shortening flow as a prototype, which is the simplest exemple of the mean curvature flows in co-dimension higher than 1. It is shown how this model can be derived from the two-dimensional extremal surface in the Minkowski space (corresponding to the classical relativistic strings), which can be reduced to a hyperbolic system. We obtain, almost automatically, the parabolic version of the relative entropy method and weak-strong uniqueness, which, in fact, is much simpler to establish and understand in the hyperbolic framework.In the second chapter, the same method applies to the Born-Infeld system itself, which makes it possible to obtain, in the limit, a model (not listed to our knowledge) of Magnetohydrodynamics (MHD) where we have non-linear diffusions in the magnetic induction equation and the Darcy's law for the velocity field. It is remarkable that a system of such distant appearance of the basic principles of physics can be so directly derived from a model of physics as fundamental and geometrical as that of Born-Infeld.In the third chapter, a link is established between the parabolic systems and the concept of gradient flow of differential forms with suitable transport metrics. In the case of volume forms, this concept has had an extraordinary success in the field of optimal transport theory, especially after the founding work of Felix Otto and his collaborators. This concept is really only on its beginnings: in this chapter, we study a variant of the curve-shortening flow studied in the first chapter, which has the advantage of being integrable (in a certain sense) and lead to more precise results.Finally, in the fourth chapter, we return to the domain of hyperbolic EDPs considering, in the particular case of graphs, the extremal surfaces of the Minkowski space of any dimension and co-dimension. We can show that the equations can be reformulated in the form of a symmetric first-order enlarged system (which automatically ensures the well-posedness of the equations) of a remarkably simple structure (very similar to the Burgers equation) with quadratic nonlinearities, whose calculation is not obvious.

Nous étudions dans ce mémoire les méthodes de parallélisation en espace-temps pour résoudre des équations différentielles partielles (EDPs). En particulier, nous nous concentrons sur la méthode de Schwarz relaxation d'onde, l'algorithme Pararéel, et leur couplage, l'algorithme Pararéel Schwarz relaxation d'onde (PSWR). Nous nous intéressons à la résolution de l'équation de la chaleur. Nous introduisons ces méthodes, ainsi que d'autres méthodes de parallélisation en espace-temps. Puis nous présentons les méthodes mutligrilles et l'algorithme Multigrid reduction in time MGRIT en mettant en avant leur lien avec l'algorithme Pararéel. Nous proposons une implémentation de PSWR. Nous faisons plusieurs expériences numériques avec cette implémentation pour résoudre l'équation de la chaleur en 1D en parallèle. Nous expérimentons également en couplant la méthode MGRIT avec Schwarz relaxation d'onde. Enfin, nous proposons une nouvelle analyse de convergence pour PSWR et présentons des résultats d'expérience. Nous revenons également sur un autre résultat de convergence super-linéaire déjà existant. Nous discutons ensuite des différences entre notre résultat et ce dernier. / In this thesis, we study space-time parallelization methods for solving partial differential equations. Specifically, we focus on the Schwarz waveform relaxation method, the Parareal algorithm, and their coupling, the Pararel Schwarz waveform relaxation algorithm (PSWR). We are interested in solving the heat equation. We introduce these methods, along with other space-time parallelization methods. Then, we present multigrid methods and the MGRIT algorithm, highlighting their connection to the Parareal algorithm. We propose an implementation of PSWR. We conduct several numerical experiments with this implementation to solve the 1D heat equation in parallel. We also experiment with coupling the MGRIT method with Schwarz waveform relaxation. Finally, we propose a new convergence analysis for PSWR and present experimental results. We also talk about another existing super-linear convergence result and discuss the differences between our result and the latter.

L'adaptation de maillage peut être très utile dans l'application de la méthode des éléments finis à certains problèmes physico-mathématiques. L'adaptation est une procédure qui nécessite, entre autres, des algorithmes efficaces de calcul des dérivées de fonctions de type Pk ou Qk- Des méthodes d'estimation des dérivées ont donc été élaborées pour résoudre ce problème. Ce travail consiste à expliquer au lecteur ce qu'est exactement la récupération des dérivées et à dresser une liste des méthodes classiques qui sont utilisées de nos jours. Nous développons aussi une nouvelle méthode de récupération pour les fonctions de type Pi qui est, à plusieurs égards, beaucoup plus performante que les méthodes classiques. Un aspect intéressant de cette nouvelle méthode est qu'elle est globale et qu'elle n'a ainsi pas besoin de traitement spécial sur le bord des maillages.

La thèse est consacrée essentiellement à l'étude de systèmes non linéaires d'évolution issus d'un modèle de Boussinesq : couplage entre les équations de Navier-stokes avec un second membre F(µ), où F est une force de gravité proportionnelle à des variations de densité qui dépendent de la température et l'équation de l'énergie.<br />Le premier chapitre nous donne un résultat d'existence d'une solution faible-renormalisée du système de Boussinesq en dimension 2, dans le cas où F est bornée.<br />Dans le chapitre 2, on aborde le cas de fonctions F plus générales : F vérifie une hypothèse de croissance. On démontre l'existence de solutions pour toutes données initiales ou pour des données initiales petites selon la croissance de F.<br />Dans le chapitre 3, nous faisons une généralisation des résultats du chapitre 2 mais sans le terme de convection.<br />Dans le chapitre 4, le manque de stabilité de l'énergie de dissipation dans L1(Q) en dimension 3, nous contraint à transformer de façon formelle le système de Boussinesq. On démontre l'existence d'une solution faible de ce nouveau système en dimension 3.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans cette thèse, on considère des problèmes issus de l'analyse d'EDP stochastiques paraboliques non-dégénérées et dégénérées, de lois de conservation hyperboliques stochastiques, et d'EDS avec coefficients continus. Dans une première partie, on s'intéresse à des EDPS paraboliques dégénérées- on adapte les notions de formulation et de solutions cinétiques, puis on établit l'existence, l'unicité ainsi que la dépendance continu en la condition initiale. Comme résultat préliminaire, on obtient la régularité des solutions dans le cas non-dégénéré, sous l'hypothèse que les coefficients sont suffisamment réguliers et ont des dérivées bornées. Dans une deuxième partie, on considère des lois de conservation hyperboliques avec un forçage stochastique, et on étudie leur approximation au sens de Bhatnagar-Gross-Krook. En particulier, on décrit les lois de conservation comme limites hydrodynamiques du modèle BGK stochastique lorsque le paramètre d'échelle microscopique tend vers 0. Dans une troisième partie, on donne une preuve nouvelle et élémentaire du théorème classique de Skorokhod, concernant l'existence de solutions faibles d'EDS à coefficients continus, sous une condition de type Lyapunov appropriée. / In this thesis, we address several problems arising in the study of nondegenerate and degenerate parabolic SPDEs, stochastic hyperbolic conservation laws and SDEs with continues coefficients. In the first part, we are interested in degenerate parabolic SPDEs, adapt the notion of kinetic formulation and kinetic solution and establish existence, uniqueness as well as continuous dependence on initial data. As a preliminary result we obtain regularity of solutions in the nondegenerate case under the hypothesis that all the coefficients are sufficiently smooth and have bounded derivatives. In the second part, we consider hyperbolic conservation laws with stochastic forcing and study their approximations in the sense of Bhatnagar-Gross-Krook. In particular, we describe the conservation laws as a hydrodynamic limit of the stochastic BGK model as the microscopic scale vanishes. In the last part, we provide a new and fairly elementary proof of Skorkhod's classical theorem on existence of weak solutions to SDEs with continuous coefficients satisfying a suitable Lyapunov condition.

Ce travail est consacré à l'étude du comportement en temps grand d'équations aux dérivées partielles de type parabolique. Plus particulièrement, on s'intéresse à des équations non linéaires de type diffusion, qui interviennent dans de nombreux modèles issus de la physique (par exemple l'équation des milieux poreux) ou de la biologie (par exemple le modèle de Patlak-Keller-Segel pour la chimiotaxie). Dans les chapitres I et II on s'intéresse à une amélioration de l'inégalité de Sobolev à travers son inégalité duale, l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, dans le cadre du laplacien ordinaire et du laplacien fractionnaire, respectivement. Le chapitre III est un passage en revue de l'inégalité d'Onofri, qui joue le rôle de l'inégalité de Sobolev pour la dimension deux. De nouveaux résultats sont apportés, dont certains sont étendus aux variétés riemanniennes au chapitre IV. Enfin, le chapitre V traite des états stationnaires de deux modèles paraboliques, utilisés pour l'étude du déplacement de foules et la modélisation en biologie (chimiotaxie). / This work is dedicated to the study of the large time behaviour of some parabolic type partial differential equations. More specifically, we look into non linear diffusion equations that appear in a number of models arising in physics (e.g. the porous medium equation) or biology (e.g. the Patlak-Keller-Segel model for chemotaxis)Chapters I and II deal with an improved Sobolev inequality by means of its dual, the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality, in the framework of the standard and fractional Laplacian, respectively. Chapter III is a review of the Onofri inequality,which acts as the Sobolev inequality for dimension two. New results are provided, and some of them are extended to Riemannian manifolds in Chapter IV. Finally, Chapter V deals with the stationary states of two parabolic models, used for thestudy of crowd motion and modeling in biologie (chemotaxis).

Avant d'estimer les paramètres intervenant dans des systèmes dynamiques, linéaires ou non-linéaires, contrôlés ou non contrôlés, il est important d'effectuer une étude d'identifiabilité, c'est à dire si, à partir des données expérimentales, les paramètres étudiés sont uniques ou non. Plusieurs méthodes ont été développées ces dernières années, en particulier une qui est basée sur l'algèbre différentielle. Celle-ci a conduit à un algorithme utilisant le package Diffalg implémenté sous Maple et permettant de tester l'identifiabilité de systèmes d'équations différentielles. Les résultats obtenus à partir de cette étude permettent de mettre en place des méthodes numériques pour obtenir une première estimation des paramètres, ceci sans aucune connaissance à priori de leur valeur. Cette première estimation peut alors être utilisée comme point de départ d'algorithmes itératifs spécialisés dans l'étude des problèmes mal posés : la régularisation de Tikhonov. <br />Dans cette thèse, deux modèles non linéaires en pharmacocinétique de type Michaelis-Menten ont tout d'abord été étudiés. Ensuite, nous nous sommes intéressés à un modèle de pollution décrit par une équation aux dérivées partielles parabolique. Le terme source à identifier était modélisé par le produit de la fonction débit avec la masse de Dirac, de support la position de la source polluante. Le but du travail était de fournir une première estimation de la source polluante. Après avoir obtenu l'identifiabilité du problème continu, nous avons étudié l'identifiabilité d'un problème approché en nous appuyant sur les méthodes d'algèbre différentielle. Celui-ci a été obtenu en approchant la masse de Dirac par une fonction gaussienne et en discrétisant ensuite le système en espace. Les résultats d'identifiabilité ont été obtenus quel que soit le nombre de points de discrétisation en espace. De cette étude théorique, nous en avons déduit des algorithmes numériques donnant une première estimation des paramètres à identifier.

Ces travaux sont dédiés au développement de méthodes numériques à base d'ondelettes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles et pour le traitement d'images. La première partie est consacrée à la construction d'une nouvelle méthode couplant ondelettes et domaines fictifs pour la résolution d'équations paraboliques 2D définies sur un domaine quelconque. Une analyse complète de la méthode est fournie; elle montre l'efficacité de cette approche en terme de qualité des résultats (borne d'erreur, raffinement local), d'efficacité numérique (conditonnement, préconditionnement simple) et de flexibilité de l'implémentation (implémentation rapide et efficace). Deux applications numériques à la résolution de l'équation de la chaleur définie sur des domaines non polygonaux ou à frontière mobile (problème de Stefan) sont présentées. La seconde partie est consacrée à la construction d'un nouvel algorithme de compression d'images adapté aux contours. On commence par introduire des analyses multi-échelles 1D du type Harten, dépendant d'une famille de points. Ces analyses conduisent à des décompositions multi-échelles efficaces pour la représentation de signaux discontinus. Cette approche est ensuite généralisée au cas bi-dimensionnel et un algorithme de compression multi-directionnel dépendant des contours de l'image est introduit. Il utilise une carte des contours obtenue préalablement. Plusieurs comparaisons avec d'autres approches sont ensuite présentées.

La description des mécanismes de conduction dans les dispositifs semi-conducteurs par le modèle dérive-diffusion (DD) mène à un système de trois équations aux dérivées partielles non linéaires fortement couplées. Cette thèse est composée de trois parties. La première est consacrée à la mise en équations et à la présentation des régimes de fonctionnement ainsi que la simplification du modèle dans le cas d'une jonction pn. La deuxième partie consiste à identifier la zone de dépletion dans une jonction PN. En formulant le problème en un problème d'inéquations variationnelles, nous démontrons que le problème admet une solution. L'originalité numérique de cette partie est l'utilisation des noeuds sur la frontière libre comme inconnus. Nous proposons deux algorithmes de résolution que nous testons en utilisant la méthode des éléments finis et la méthode des équations intégrales. Dans la troisième partie, nous nous intéressons à l'étude mathématique du modèle DD à l'état stationnaire dans les semi-conducteurs écrit avec les variables de Slotboom. Nous démontrons l'existence d'une solution, dans le cas où les lois de mobilités dépendent du champ électrique, en appliquant les techniques de l'analyse convexe. Ensuite, nous considérons que le terme d'avalanche est non nul, nous donnons des estimations a priori et nous prouvons un théorème d'existence. Afin d'étudier l'unicité de solutions de notre modèle, nous exposons tout d'abord une condition pour que le système possède au plus une solution. Nous en déduisons des résultats d'unicité dans des cas spécifiques tels que le domaine soit suffisamment petit ou la permittivité soit assez grande. Nous donnons un théorème d'unicité locale dans les cas où le terme d'avalanche est non nul et les changements de conditions aux limites se font à angles droits.