Dans une première partie, on introduit des estimateurs d'erreur a posteriori pour l'équation de la chaleur<br />dans R^d, d=2,3 via une méthode d'éléments finis non conformes en espace et un schéma d'Euler implicite en temps. Pour cette discrétisation, on élabore un indicateur d'erreur résiduel spatial basé sur les sauts des dérivées normales et tangentielles de notre approximation, ainsi qu'un indicateur résiduel temporel basé sur le saut du gradient à chaque pas de temps. Les bornes inférieures et supérieures de la norme de l'erreur forment les résultats principaux de cette étude. En outre, on montre que ces estimateurs sont fiables et efficaces. Dans une seconde partie, on traite le problème de Stokes dynamique. L'élaboration des estimateurs a posteriori est également basée sur des estimateurs spatiaux et temporels. Une preuve de leur fiabilité et de leur efficacité est donnée. Finalement, les tests numériques et un algorithme adaptatif confirment les prévisions théoriques et le bon comportement de ces estimateurs.

The calculations of the viscosity coefficient of a gas become very complicated when the density of particles increases.<br />These calculations become very complicate because of the possibility of occurrence of more than two particles collisions. But the hypothesis of the “molecular chaos” cannot always be valid and the correlations between the particles become more important with increasing density.<br />The introduction of a micro-irreversibility process in the collision between two particles compatible with the H-theorem, cannot assure the definition of the band of dissipation on the basis of dynamics and statistical models. We need the theory of the intermolecular forces and the electromagnetic theory.<br />In order to overcome this difficulty, we define by simulation a relation between the relaxation of the pair distribution function and the collision time of two particles. In this way, we get a band of dissipation in the attractive part of a realistic potential as Lennard-Jones or Hanley-Klein potential. It is the space where the acceleration variations are negative

Cette thèse traite du problème industriel de la modélisation et de<br />la simulation numérique du rayonnement acoustique à l'entrée d'air des nacelles<br />d'Airbus. Les hypothèses physiques subséquentes au contexte industriel<br />précis conduisent à un modèle simplifié de propagation acoustique linéaire sur<br />un écoulement porteur potentiel et non-linéaire. La modélisation de la source<br />modale de bruit du moteur se traduit par une condition de bord exprimée par<br />un opérateur Dirichlet-Neumann. L'existence et l'unicité du problème mathématique<br />général (auquel on a rajouté une condition de Sommerfeld convectée)<br />de la perturbation potentielle et locale autour d'un écoulement uniforme sont<br />démontrées. Un couplage discret alliant le potentiel acoustique (éléments finis<br />de volume) et sa dérivée conormale de bord (éléments finis de frontière) par une<br />équation intégrale est proposé. Le code informatique est validé analytiquement<br />et comparativement. Les résultats originaux prouvent la nécessité de la prise en<br />compte des non-linéarités de l'écoulement par des différences de plus de 5 décibels<br />en champ lointain. Le positionnement optimal de la surface rayonnante et<br />la possibilité d'adaptation de la méthode multipôle rapide rendent ce couplage<br />incontournable. Le modèle simplifié potentiel-linéaire, même si il n'est a priori<br />apte qu'à traiter l'entrée d'air, trouve toute sa justification en tant que brique<br />d'un code global basé sur la décomposition de domaine. Finalement, soulignons<br />l'avènement d'un élément fini axisymétrique naturel et d'une alternative originale<br />de calcul de l'écoulement non-linéaire par une méthode de point fixe.

Ce travail porte, pour l'essentiel, sur l'analyse numérique de la dynamique des dislocations. Les dislocations sont des défauts qui se déplacent dans les cristaux, lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes extérieures. Notre travail se focalise principalement sur deux études. La première concerne l'étude théorique et numérique d'une équation de transport non-locale; la seconde est une étude numérique proposant un calcul de l'hamiltonien effectif pour un problème d'homogénéisation de la dynamique des dislocations. D'une façon générale, la dynamique des dislocations est décrite par une équation eikonal dont la vitesse est nonlocale. Ici, nous nous limitons à un modèle en dimension 1 d'espace. Dans une première partie nous démontrons des résultats d'existence et d'unicité de la solution en temps long ainsi qu'une estimation d'erreur théorique/numérique pour un schéma aux différences finies. Dans une deuxième partie un schéma monotone est utilisé pour calculer l'hamiltonien effectif qui décrit le comportement collectif de densités de dislocations comme limite d'un modèle ou les dislocations sont décrites individuellement. Les résultats numériques présentés ici viennent en soutien à une étude théorique d'homogénéisation.

Cette thèse est concernée par le contrôle frontière de l’équation d’onde unidimensionnelle, qui peut être utilisée pour modéliser une corde (comme une corde de guitare). L’objectif est d’agir à une frontière pour contrôler et stabiliser l’autre frontière qui est considérée comme une condition aux frontières avec une dynamique instable. Cette thèse suggère des réponses aux deux questions suivantes: Considérons que la condition à la frontière de dynamique instable a des paramètres inconnus. Une loi de contrôle adaptatif non linéaire est-elle toujours efficace, si l’amortissement visqueux pris égal à zéro pour sa conception n’est plus négligé? Comment peut-on prendre en compte l’amortissement dans le domaine afin de stabiliser l’équation d’onde soumise à des conditions aux frontières dynamiques? Cette thèse suggère une méthode pour effectuer une analyse de Lyapunov afin de prouver la robustesse, vis à vis d’une erreur de modèle, d’une loi de contrôle adaptatif non linéaire particulière comme réponse à la première question. Puis, en utilisant une technique de backstepping à dimension infinie, nous développons une loi de contrôle par rétroaction qui stabilise exponentiellement l’équation d’onde considérée. / This thesis is concerned by the boundary control of the one dimensional wave equation, which can be used to model a string (like a guitar string). The objective is to act at one boundary to control and stabilize the otherboundary which is considered to be an unstable dynamic boundary condition. This thesis suggests answers to both following questions:Consider that the unstable dynamics boundary condition has some unknown parameters. Is a nonlinear adaptive control law still performing efficiently, if the viscous damping taken equal to zero for its design is no longer neglected?How can we take into account the in-domain damping in order to stabilize the wave equation subject to dynamic boundary conditions?This thesis suggests a method to derive a Lyapunov analysis in order to prove the robustness mismatch ofparticular nonlinear adaptive control law as the answer of the first question. Then using infinite dimensionalbackstepping technique we develop feedback control law that exponentially stabilize the considered wave equation.

Cette thèse porte sur l'étude des phénomènes d'explosion pour certaines équations aux dérivées partielles dispersives et plus particulièrement pour l'équation de Schrodinger non linéaire. Ces phénomènes ont été beaucoup étudiés et notamment dans le cas Euclidien. On s'intéresse ici à des cas où l'espace n'est plus l'espace Euclidien. Cela comprend en particulier l'étude des trois prototypes : domaine de l'espace Euclidien, tore (courbure nulle), sphère (courbure positive) et espace hyperbolique (courbure négative). Concernant l'équation de Schrodinger, plusieurs résultats ont montré que la métrique pouvait influencer le comportement qualitatif des solutions, en particulier les propriétés dispersives des solutions et le seuil critique d'existence locale pour le problème de Cauchy. Plusieurs résultats concernant l'explosion sont ensuite venus confirmer ces phénomèmes. Dans cette thèse, on se propose de poursuivre cette étude. / In this thesis, we study blow-up behavior of solutions for dispersive equations, more precisely for the nonlinear Schr"odinger equation. This has been studied essentially in the Euclidean case. In this work, we are interested in the case where the equation is posed on a general manifold; this includes the case of a domain of the Euclidean space, torus (zero curvature); the sphere (non negative curvature) and the hyperbolic space (negative curvature). For the Schr"odinger equation, several results proved that the metric could change the qualitative behavior of the solutions, in particular dispersive properties and the critical threshold of existence for the Cauchy problem. Then, some results showed that blow-up theory is also concerned. In this work, we continue this study.

Soit $T$ une constante positive. Dans le présent travail, nous nous intéressons à l'existence d'une solution $T$-anti-périodique et d'une solution $T$-périodique de l'équation différentielle d'Abel \begin{equation*} \theta^{\prime}=f_0+\sum_{j\in \mathbb N} f_j\theta^j \end{equation*} avec $f_j$, ($j \in \lbrace 0, 1, 2, ...\rbrace$) à variation bornée sur $[0, T]$. Nous allons généraliser cette équation au cas impulsif où $\theta$ et $\theta^{\prime}$ subissent des sauts dépendants de l'état. Le premier chapitre consiste en un rappel de quelques définitions, notions de bases et résultats fondamentaux de l'analyse réelle et fonctionnelle que nous allons utiliser tout au long des chapitres 2 et 3. Au deuxième chapitre, on étudie l'existence d'une solution $T$-anti-périodique dans le sens que $\theta(0)= -\theta(T)$. Les conditions que nous imposons nous permettent d'utiliser le théorème du point fixe de Banach. Cette méthode nous donne non seulement l'existence d'une solution, mais aussi un moyen de trouver la solution numériquement ainsi qu'une majoration de la vitesse de convergence uniforme, d'une suite d'itérations de Picard vers la solution. Les résultats obtenus dans ce chapitre sont publiés dans \cite{BelleyGueye17}. Au troisième chapitre, on étudie l'existence d'une solution T-périodique pour la même équation. On utilise encore le théorème du point fixe de Banach pour garantir l'unicité de la solution. L'unicité est nécessaire pour que la fonction moyenne $M(\mu)$ que nous introduirons plus tard soit bien définie. Cette méthode nous donne également, non seulement l'existence d'une solution, mais aussi un moyen de trouver la solution numériquement ainsi qu'une majoration de la vitesse de convergence uniforme d'une suite d'itérations de Picard, vers la solution.

L'objet de cette thèse est l'étude de la simulation numérique de certains processus stochastiques, les diffusions, dont le mouvement brownien est un exemple typique. Nous commençons par quelques rappels sur le mouvement brownien au chapitre 1. Il s'agit d'une présentation élémentaire, qui s'appuie sur la simulation numérique, et permet de rappeler quelques propriétés classiques. Puis nous présentons au chapitre 2 une simulation alternative du mouvement brownien, en un sens plus naturelle, qui s'attache davantage à son comportement spatial que les méthodes traditionnelles. Le mouvement brownien est simulé à des instants aléatoires qui gouvernent son comportement; ce sont les temps de sortie de certaines "boîtes noires". En choisissant la taille et la position de ces boîtes noires dans l'espace, et sous réserve qu'elles se chevauchent, on peut ainsi simuler très précisément une trajectoire brownienne. La suite de la thèse est consacrée à l'analyse numérique des équations différentielles stochastiques (E.D.S) et à la simulation informatique de leur solution. Nous commençons au chapitre 3 par une introduction qui rappelle ce que sont les E.D.S, cite quelques unes de leurs propriétés et applications classiques dans les sciences de l'ingénieur. Au chapitre 4 nous présentons un résultat de convergence trajectorielle du schéma d'Euler en en précisant l'ordre de convergence. Un résultat similaire est présenté pour le schéma de Milshtein au chapitre 5. Comme on peut s'y attendre, ce schéma est plus performant que le schéma d'Euler, quand la condition classique de commutativité est vérifiée. Ceci améliore partiellement un résultat de Denis Talay. On étudie ensuite au chapitre 6 une classe de schémas de discrétisation à pas variables permettant une approximation spatiale des diffusions dans l'esprit du chapitre 2. Nous commençons par un résultat assez général de convergence d'un schéma d'Euler défini le long d'une subdivision aléatoire. Dans le cas où cette subdivision est gouvernée par les temps de passage successifs du mouvement brownien, nous retrouvons et étendons partiellement des travaux de Nigel Newton. Dans le cas où cette subdivision de façon à ce que les accroissements du schéma de discrétisation soient constants, nous étudions un schéma de discrétisation originalement présenté par Bichteler. Nous précisons sa vitesse de convergence et donnons une méthode de simulation numérique. Le chapitre 7 est un panorama des travaux existants sur la discrétisation des équations différentielles stochastiques. Sans prétendre être exhaustif, nous présentons au contraire une relecture des travaux existants dans l'optique de la simulation numérique. Enfin le chapitre 8 s'attache à quelques questions ou problèmes non résolus qui représentent un intérêt évident pour les applications. Nous suggérons pour chacune de ces questions quelques commencements de réponse.

Dans cette thèse, le mouvement brownien branchant (MBB) est un système aléatoire de particules, où celles-ci diffusent sur la droite réelle selon des mouvements browniens et branchent à taux constant en un nombre aléatoire de particules d'espérance supérieure à 1. Nous étudions deux modèles de MBB avec sélection : le MBB avec absorption à une droite espace-temps et le N -MBB, où, dès que le nombre de particules dépasse un nombre donné N , seules les N particules les plus à droite sont gardées tandis que les autres sont enlevées du système. Pour le premier modèle, nous étudions la loi du nombre de particules absorbées dans le cas où le processus s'éteint presque sûrement, en utilisant un lien entre les équations de Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskounov (FKPP) et de Briot-Bouquet. Pour le deuxième modèle, dont l'étude représente la plus grande partie de cette thèse, nous donnons des asymptotiques précises sur la position du nuage de particules quand N est grand. Plus précisément, nous montrons qu'elle converge à l'échelle de temps log³ N vers un processus de Lévy plus une dérive linéaire, tous les deux explicites, confirmant des prévisions de Brunet, Derrida, Mueller et Munier. Cette étude contribue à la compréhension de fronts du type FKPP sous l'influence de bruit. Enfin, une troisième partie montre le lien qui existe entre le MBB et des processus ponctuels stables.

Nous présentons une méthode de retournement temporel avec conditions aux limites absorbantes (TRAC). Cette méthode permet de " recréer le passé " sans connaissance de la source qui a émis les signaux rétro-propagés. Nous proposons deux applications aux problèmes inverses : la réduction de la taille du domaine de calcul en redéfinissant une surface de référence virtuelle sur laquelle les récepteurs semblent positionnés, et la détermination de la localisation d'une inclusion inconnue à partir de mesures au bord. La méthode TRAC ne nécessite aucune connaissance a priori des propriétés physiques de l'inclusion. Des tests numériques effectués sur l'équation des ondes illustrent l'efficacité de cette méthode, qui se révèle être très robuste vis-à-vis du bruit sur les données. En particulier, nous appliquons la méthode TRAC à la discrimination entre une unique inclusion et deux inclusions proches.