Les problèmes de transmission avec couche mince sont délicats à approcher numériquement, en raison de la nécessité de construire des maillages à l’échelle de la couche mince. Il est courant d’éviter ces difficultés en usant de problèmes avec conditions aux limites approchées — dites d’impédance. Si l’approximation des problèmes de transmission par des problèmes d’impédance s’avère performante dans le cas de domaines réguliers, elle l’est beaucoup moins lorsque ceux-ci comportent des coins ou arêtes. L’objet de cette thèse est de proposer de nouvelles conditions d’impédance, plus performantes, afin de corriger cette perte de performance. Pour cela, les développements asymptotiques des différents problèmes-modèles sont construits et étudiés afin de localiser avec précision l’origine de la perte, en lien avec les profils singuliers associés aux coins et arêtes. De nouvelles conditions d’impédance sont construites, de type Robin multi-échelle ou Venctel. D’abord étudiées en dimension 2, elles sont ensuite généralisées à certaines situations en dimension 3. Des simulations viennent confirmer l’efficience des méthodes théoriques. / Transmission problems with thin layer are delicate to approximate numerically, because of the necessity to build meshes on the scale of the thin layer. It is common to avoid these difficulties by using problems with approximate boundary conditions — also called impedance conditions. Whereas the approximation of transmission problems by impedance problems turns out to be successful in the case of smooth domains, the situation is less satisfactory in the presence of corners and edges. The goal of this thesis is to propose new impedance conditions, more efficient, to correct this lack of performance. For that purpose, the asymptotic expansions of the various models -problems are built and studied to locate exactly the origin of the loss, in connection with the singular profiles associated to corners and edges. New impedance conditions are built, of multi-scale Robin or Venctel types. At first studied in dimension 2, they are then generalized in certain situations in dimension 3. Simulations have been carried out to confirm the efficiency of the theoretical methods to some.

Ce mémoire est consacré à l'étude mathématique de divers modèles variationnels permettant la description de systèmes quantiques, en particulier infinis. Les outils mathématiques utilisés sont ceux de l'analyse non linéaire, du calcul des variations, des équations aux dérivées partielles, de la théorie spectrale et du calcul scientifique. <br /><br />Une première partie contient quelques résultats pour des systèmes finis. Nous étudions des approximations de l'équation de Schrödinger pour N électrons dans une molécule ou un atome, puis le modèle de Hartree-Fock-Bogoliubov pour un système de fermions interagissant avec une force de type gravitationnelle.<br /><br />Dans une seconde partie nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer l'existence de la limite thermodynamique pour des systèmes quantiques interagissant avec la force de Coulomb.<br /><br />Ensuite, nous construisons deux modèles de type Hartree-Fock pour des systèmes infinis. Le premier est un modèle relativiste, déduit de l'électrodynamique quantique, et qui permet de décrire le comportement d'électrons, couplés avec celui du vide de Dirac qui peut se polariser. Le second modèle décrit l'état d'un cristal non relativiste en présence d'un défaut chargé ; il est complété par une nouvelle approche numérique.<br /><br />La dernière partie du mémoire est consacrée au problème de pollution spectrale, un phénomène observé lorsque l'on cherche à calculer des valeurs propres au milieu du spectre essentiel, par exemple pour des opérateurs de Dirac ou de Schrödinger périodique.

Cette thèse traite de la résolution théorique et constructive de problèmes inverses pour des équations de diffusion isotropes dans des domaines plan simplement et doublement connexes. A partir de données de Cauchy (potentiel, flux) disponibles sur une partie de la frontière du domaine, il s'agit de retrouver ces quantités sur la partie du bord où l'on ne dispose pas d'information, ainsi qu'à l'intérieur du domaine. L'approche mise au point consiste à considérer les solutions de l'équation de diffusion comme les parties réelles des solutions complexes d'une équation de Beltrami conjuguée. Ces fonctions analytiques généralisées d'un type particulier permettent de définir des classes de Hardy, dans lesquelles le problème inverse est régularisé en étant reformulé comme un problème de meilleure approximation sous contrainte (ou encore problème extrémal borné, d'adéquation aux données). Le caractère bien posé de celui-ci est assuré par des résultats d'existence et de régularité auxquels s'ajoutent des propriétés de densité à la frontière. Une application au calcul de la frontière libre d'un plasma sous confinement magnétique dans le tokamak Tore Supra (CEA-IRFM Cadarache) est proposée. La résolution du problème extrémal à partir d'une base de fonctions adaptées (harmoniques toroïdales) fournit un critère permettant de qualifier les estimations de la frontière plasma. Un algorithme de descente permet de le faire décroître, en améliorant l'estimation de la frontière. Cette méthode, qui ne requiert pas d'intégration de l'équation dans le domaine, fournit de très bons résultats et semble appelée à connaître des extensions pour d'autres tokamaks tels que JET et ITER.

Les travaux présentés dans ce mémoire se basent sur les apports de l'algèbre différentielle et les méthodes du calcul symbolique pour résoudre des problèmes d'automatique non linéaire qui ne se prêtent pas à une résolution numérique directe.<br /><br />Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées parfaitement connues.<br /><br />Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique polynomiale en la taille de l'entrée permettant de tester l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent.<br /><br /><br />À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique, nous proposons une généralisation de la notion de platitude différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement paramétrées bijectivement par des fonctions arbitraires.<br /><br />Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles ordinaires par discrétisation ; notre approche consiste à chercher des discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie : l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.

L'objectif principal de cette thèse consiste à étudier plusieurs thématiques : l'étude de l'observation et la commande d'un système de structure flexible et l'étude de la stabilité asymptotique d'un système d'échangeurs thermiques. Ce travail s'inscrit dans le domaine du contrôle des systèmes décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP). On s'intéresse au système du corps-poutre en rotation dont la dynamique est physiquement non mesurable. On présente un observateur du type Luenberger de dimension infinie exponentiellement convergent afin d'estimer les variables d'état. L'observateur est valable pour une vitesse angulaire en temps variant autour d'une constante. La vitesse de convergence de l'observateur peut être accélérée en tenant compte d'une seconde étape de conception. La contribution principale de ce travail consiste à construire un simulateur fiable basé sur la méthode des éléments finis. Une étude numérique est effectuée pour le système avec la vitesse angulaire constante ou variante en fonction du temps. L'influence du choix de gain est examinée sur la vitesse de convergence de l'observateur. La robustesse de l'observateur est testée face à la mesure corrompue par du bruit. En mettant en cascade notre observateur et une loi de commande stabilisante par retour d'état, on souhaite obtenir une stabilisation globale du système. Des résultats numériques pertinents permettent de conjecturer la stabilité asymptotique du système en boucle fermée. Dans la seconde partie, l'étude est effectuée sur la stabilité exponentielle des systèmes d'échangeurs thermiques avec diffusion et sans diffusion. On établit la stabilité exponentielle du modèle avec diffusion dans un espace de Banach. Le taux de décroissance optimal du système est calculé pour le modèle avec diffusion. On prouve la stabilité exponentielle dans l'espace Lp pour le modèle sans diffusion. Le taux de décroissance n'est pas encore explicité dans ce dernier cas.

Cette thèse étudie les urnes de Pólya à travers le prisme de la combinatoire analytique. Les urnes sont des modèles, conceptuellement très simples, de dynamique de croissance ou d'extinction dont les comportements limites sont extrêmement variés. Ces modèles sont largement étudiés par des approches probabilistes mais la compréhension précise des diverses lois limites reste une question ouverte. Les travaux de Flajolet et al. en 2005 ont illustré que pour ces questions, une approche par combinatoire analytique peut se révéler très fructueuse: l'étude des propriétés (nature, singularités) des séries génératrices associées aux urnes donne accès à des lois limites avec grande précision. Cette thèse s'inscrit dans la continuité de ces travaux et commence par identifier les séries des urnes de nature algébrique, grâce à un algorithme sophistiqué issu du calcul formel (Divination/Preuve automatique). Pour les classes d'urnes algébriques, nous menons des analyses, exacte et asymptotique, afin de connaître avec précision les comportements limites (structures des moments, vitesse de convergence, aspects limites locaux). Puis, l'étude d'urnes non algébriques est faite au travers d'exemples concrets portant sur la modélisation de réseaux sociaux, ainsi que sur la combinatoire des formules booléennes. Enfin, à travers des modèles d'urnes plus généraux (absence d'équilibre, présence d'aléa au sein des règles de substitution), nous montrons que l'approche symbolique de la combinatoire analytique est robuste. En particulier, une étude combinatoire générale des urnes sans condition d'équilibre est réalisée pour la première fois, unissant toute urne à une équation aux dérivées partielles.

Mes travaux de recherche concernent les méthodes pour la conception optimale en mécanique des fluides numérique. Il s'agit d'un contexte difficile, dans la mesure où l'évaluation de la fonctionnelle coût pour l'optimisation s'appuie sur la résolution des équations aux dérivées partielles régissant l'écoulement, caractérisées par de fortes non- linéarités, anisotropies et éventuellement discontinuités. Plus spécifiquement, mes travaux ont porté sur le développement de méthodes de conception hiérarchiques, pour la modélisation et la paramétrisation, dans le but d'améliorer les propriétés de convergence; sur des méthodes de conception isogéométriques, permettant l'emploi d'une base unique d'ordre élevé pour la représentation géométrique et la simulation; sur des méthodes de conception robuste, pour prendre en compte les incertitudes et les erreurs durant la procédure de conception. Ces développements ont été appliqués à divers problèmes de conception optimale, principalement en aérodynamique compressible, mais aussi en hydrodynamique, pour des modélisations allant des équations d'Euler stationnaires aux équations de Navier-Stokes instationnaires avec fermeture turbulente. Les résultats obtenus ont notamment montré l'intérêt d'introduire un niveau de modélisation supplémentaire : l'utilisation de méta-modèles de type Processus Gaussiens, associés à une recherche des paramètres de conception maximisant l'amélioration probable, conduit à une optimisation globale pour un nombre de simulations significativement réduit (de l'ordre de quelques dizaines). De plus, cette approche peut permettre de prendre en compte les incertitudes et erreurs, en introduisant la notion d'observation bruitée. Le second résultat important concerne l'emploi des méthodes d'analyse isogéométrique, qui offrent un cadre conceptuel intégrant la géométrie et l'analyse. J'ai montré que cette approche permet le développement de schémas d'ordre élevé, de méthodes hiérarchiques pour la modélisation et l'optimisation, et facilite l'analyse de sensibilité et les couplages multidisciplinaires.

Le développement de capillaires sanguins à partir d'un réseau pré-existant, l'angiogenèse, joue un rôle fondamental dans de nombreux contextes physiopathologiques, tels la cicatrisation des tissus ou le développement d'une tumeur solide. Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la régulation de ce phénomène par les facteurs mécaniques (rigidité, viscosité, traction cellulaire). Dans un dialogue permanent entre l'expérimentation et la modélisation, nous avons développé un modèle théorique biomécanique minimal des premières étapes de l'angiogenèse in vitro, où l'angiogenèse est supposée issue d'une instabilité mécanique entre les forces actives de traction cellulaire et la résistance passive viscoélastique de la matrice extracellulaire. Notre modèle consiste en un système d'équations aux dérivées partielles non-linéaires couplées, résolu par la méthode des éléments finis. Nous avons mené des analyses de stabilité linéaire et non-linéaire de l'état d'équilibre homogène pour déterminer les points de bifurcation du système correspondant à une instabilité de Turing. Nous avons ensuite effectué une étude approfondie de l'influence des différents paramètres sur la formation du réseau. Les résultats des simulations numériques sont comparés avec succès aux résultats expérimentaux, obtenus par notre équipe ou extraits de la littérature. Dans une seconde partie de nos travaux, nous avons étudié des voies de régulation possibles, par les effets mécaniques, de la dégradation de la matrice extracellulaire. Nous avons alors montré que la régulation mécanique de la dégradation pouvait être un processus clé de l'angiogenèse in vitro.

Le calcul scientifique parallèle est un domaine en plein essor qui permet à la fois d’augmenter la vitesse des longs traitements, de traiter des problèmes de taille plus importante ou encore des problèmes plus précis. Ce domaine permet donc d’aller plus loin dans les calculs scientifiques, d’obtenir des résultats plus pertinents, car plus précis, ou d’étudier des problèmes plus volumineux qu’auparavant. Dans le monde plus particulier de la simulation numérique scientifique, la résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP) est un calcul particulièrement demandeur de ressources parallèles. Si les ressources matérielles permettant le calcul parallèle sont de plus en plus présentes et disponibles pour les scientifiques, à l’inverse leur utilisation et la programmation parallèle se démocratisent difficilement. Pour cette raison, des modèles de programmation parallèle, des outils de développement et même des langages de programmation parallèle ont vu le jour et visent à simplifier l’utilisation de ces machines. Il est toutefois difficile, dans ce domaine dit du “parallélisme implicite”, de trouver le niveau d’abstraction idéal pour les scientifiques, tout en réduisant l’effort de programmation. Ce travail de thèse propose tout d’abord un modèle permettant de mettre en oeuvre des solutions de parallélisme implicite pour les simulations numériques et la résolution d’EDP. Ce modèle est appelé “Structured Implicit Parallelism for scientific SIMulations” (SIPSim), et propose une vision au croisement de plusieurs types d’abstraction, en tentant de conserver les avantages de chaque vision. Une première implémentation de ce modèle, sous la forme d’une librairie C++ appelée SkelGIS, est proposée pour les maillages cartésiens à deux dimensions. Par la suite, SkelGIS, et donc l’implémentation du modèle, est étendue à des simulations numériques sur les réseaux (permettant l’application de simulations représentant plusieurs phénomènes physiques). Les performances de ces deux implémentations sont évaluées et analysées sur des cas d’application réels et complexes et démontrent qu’il est possible d’obtenir de bonnes performances en implémentant le modèle SIPSim. / Parallel scientific computations is an expanding domain of computer science which increases the speed of calculations and offers a way to deal with heavier or more accurate calculations. Thus, the interest of scientific computations increases, with more precised results and bigger physical domains to study. In the particular case of scientific numerical simulations, solving partial differential equations (PDEs) is an especially heavy calculation and a perfect applicant to parallel computations. On one hand, it is more and more easy to get an access to very powerfull parallel machines and clusters, but on the other hand parallel programming is hard to democratize, and most scientists are not able to use these machines. As a result, high level programming models, framework, libraries, languages etc. have been proposed to hide technical details of parallel programming. However, in this “implicit parallelism” field, it is difficult to find the good abstraction level while keeping a low programming effort. This thesis proposes a model to write implicit parallelism solutions for numerical simulations such as mesh-based PDEs computations. This model is called “Structured Implicit Parallelism for scientific SIMulations” (SIPSim), and proposes an approach at the crossroads of existing solutions, taking advantage of each one. A first implementation of this model is proposed, as a C++ library called SkelGIS, for two dimensional Cartesian meshes. A second implementation of the model, and an extension of SkelGIS, proposes an implicit parallelism solution for network-simulations (which deals with simulations with multiple physical phenomenons), and is studied in details. A performance analysis of both these implementations is given on real case simulations, and it demonstrates that the SIPSim model can be implemented efficiently.

Dans ce travail de thèse, nous nous sommes intéressés à la modélisation des phénomènes de diffraction d’ondes électromagnétiques par des objets à symétrie de révolution complexes et fortement hétérogènes. La méthode que nous développons ici consiste en un couplage entre équations aux dérivées partielles (EDP) et équations intégrales (EI). Cette idée est essentiellement connue pour avoir deux avantages. Le premier est que les hétérogénéités de l’objet sont prises en compte naturellement dans la formulation du problème. Le deuxième est dû à l’utilisation des équations intégrales qui donnent une représentation exacte des solutions dans le milieu extérieur en fonction des courants surfaciques. Le domaine de simulation peut ainsi être ramené à l’objet lui-même. L’utilisation de développements en séries de Fourier combinés à la propriété d’invariance par rotation de l’objet permet alors la réduction du problème global 3D à un ensemble dénombrable de problème 2D.L’étude de ces problèmes nous a conduit à décomposer notre analyse en plusieurs parties,chacune ayant à traiter une partie du problème complet ou les méthodes d’intégrations numériques. Ces dernières étant difficiles à réaliser dans le cas des équations intégrales.Nous avons tout d’abord étudié un problème de Maxwell intérieur pour lequel nous avons développé une nouvelle méthode d’éléments finis d’ordre élevé dont nous avons montré l’efficacité et la précision sur de multiples exemples. Puis, nous avons étudié le problème de diffraction d’ondes planes pour des objets parfaitement conducteurs. La méthode d’éléments finis de frontière employée est alors construite par extension de la méthode précédente via l’opérateur de trace tangentielle. En combinant ces deux études, nous avons résolu le problème couplé en introduisant la propriété de symétrie de révolution dans une formulation variationnelle bien choisie. Par construction, les éléments finis qui y sont utilisés sont alors naturellement adaptées. L’algorithme de parallélisation de la méthode de couplage est finalement présentée et des comparaisons entre notre code AxiMax et un code 3D sont illustrées. Dans tous les cas, nous montrons que la méthode d’éléments finis d’ordre élevé permet d’obtenir des résultats d’une grande précision en fonction de la qualité des paramètres de simulation. / In this thesis, we are interested in modeling diffraction of electromagnetic waves by axisymmetric and highly heterogeneous objects. Our method consists in a coupling between partial differential equations and integral equations. This idea is mainly interesting for two reasons : heterogeneities are handled naturally in the formulation and integral equations give an analytical representation of solutions outside the object based on surface currents.These advantages allow us to limit the domain of simulation to the object itself. In addition,using Fourier series combined with the rotational invariance property of the object, the 3D problem is reduced to a countable set of 2D problems. The study of these problems is split into several parts. Each part has to deal with aspecific problem as for example the numerical integration of singular integrals which is difficult to achieve. As a first step, we study time-harmonic Maxwell’s equations in a bounded domain for which we develop a new high-order finite element method and present its efficiency and accuracy on many examples. Secondly, we consider the diffraction of plane waves by perfect electric conductors to analyse integral equations for these kind of object.The boundary finite element method applied is defined by extension of the previous one via tangential trace operator. Then, we solve the coupled problem using a well chosen formulation based on the previous studies for which our finite element method is naturally adapted by construction. In order to evaluate its efficiency, a comparison is performed between our program « AxiMax » and one based on a purely 3D model. To conclude, in the last two chapters, we present the numerical integration method and the multi-processing algorithm developed in AxiMax. In all cases, we put forward the fact that our finite element method provides accurate results depending on the quality of the simulation parameters.