Die Stixel-Welt ist eine neuartige und vielseitig einsetzbare Zwischenrepräsentation zur effizienten Beschreibung dreidimensionaler Szenen. Heutige stereobasierte Sehsysteme ermöglichen die Bestimmung einer Tiefenmessung für nahezu jeden Bildpunkt in Echtzeit. Das erlaubt zum einen die Anwendung neuer leistungsfähiger Algorithmen, doch gleichzeitig steigt die zu verarbeitende Datenmenge und der dadurch notwendig werdende Aufwand massiv an. Gerade im Hinblick auf die limitierte Rechenleistung jener Systeme, wie sie in der videobasierten Fahrerassistenz zum Einsatz kommen, ist dies eine große Herausforderung. Um dieses Problem zu lösen, bietet die Stixel-Welt eine generische Abstraktion der Rohdaten des Sensors. Jeder Stixel repräsentiert individuell einen Teil eines Objektes im Raum und segmentiert so die Umgebung in Freiraum und Objekte. Die Arbeit stellt die notwendigen Verfahren vor, um die Stixel-Welt mittels dynamischer Programmierung in einem einzigen globalen Optimierungsschritt in Echtzeit zu extrahieren. Dieser Prozess wird durch eine Vielzahl unterschiedlicher Annahmen über unsere von Menschenhand geschaffene Umgebung gestützt. Darauf aufbauend wird ein Kalmanfilter-basiertes Verfahren zur präzisen Bewegungsschätzung anderer Objekte vorgestellt. Die Arbeit stellt umfangreiche Bewertungen der zu erwartenden Leistungsfähigkeit aller vorgestellten Verfahren an. Dafür kommen sowohl vergleichende Ansätze als auch diverse Referenzsensoren, wie beispielsweise LIDAR, RADAR oder hochpräzise Inertialmesssysteme, zur Anwendung. Die Stixel-Welt ist eine extrem kompakte Abstraktion der dreidimensionalen Umgebung und bietet gleichzeitig einfachsten Zugriff auf alle essentiellen Informationen der Szene. Infolge dieser Arbeit war es möglich, die Effizienz vieler auf der Stixel-Welt aufbauender Algorithmen deutlich zu verbessern. / The Stixel World is a novel and versatile medium-level representation to efficiently bridge the gap between pixel-based processing and high-level vision. Modern stereo matching schemes allow to obtain a depth measurement for almost every pixel of an image in real-time, thus allowing the application of new and powerful algorithms. However, it also results in a large amount of measurement data that has to be processed and evaluated. With respect to vision-based driver assistance, these algorithms are executed on highly integrated low-power processing units that leave no room for algorithms with an intense calculation effort. At the same time, the growing number of independently executed vision tasks asks for new concepts to manage the resulting system complexity. These challenges are tackled by introducing a pre-processing step to extract all required information in advance. Each Stixel approximates a part of an object along with its distance and height. The Stixel World is computed in a single unified optimization scheme. Strong use is made of physically motivated a priori knowledge about our man-made three-dimensional environment. Relying on dynamic programming guarantees to extract the globally optimal segmentation for the entire scenario. Kalman filtering techniques are used to precisely estimate the motion state of all tracked objects. Particular emphasis is put on a thorough performance evaluation. Different comparative strategies are followed which include LIDAR, RADAR, and IMU reference sensors, manually created ground truth data, and real-world tests. Altogether, the Stixel World is ideally suited to serve as the basic building block for today''s increasingly complex vision systems. It is an extremely compact abstraction of the actual world giving access to the most essential information about the current scenario. Thanks to this thesis, the efficiency of subsequently executed vision algorithms and applications has improved significantly.

Die Least-Squares Finite-Elemente-Methoden (LSFEMn) basieren auf der Minimierung des Least-Squares-Funktionals, das aus quadrierten Normen der Residuen eines Systems von partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung besteht. Dieses Funktional liefert einen a posteriori Fehlerschätzer und ermöglicht die adaptive Verfeinerung des zugrundeliegenden Netzes. Aus zwei Gründen versagen die gängigen Methoden zum Beweis optimaler Konvergenzraten, wie sie in Carstensen, Feischl, Page und Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014) zusammengefasst werden. Erstens scheinen fehlende Vorfaktoren proportional zur Netzweite den Beweis einer schrittweisen Reduktion der Least-Squares-Schätzerterme zu verhindern. Zweitens kontrolliert das Least-Squares-Funktional den Fehler der Fluss- beziehungsweise Spannungsvariablen in der H(div)-Norm, wodurch ein Datenapproximationsfehler der rechten Seite f auftritt. Diese Schwierigkeiten führten zu einem zweifachen Paradigmenwechsel in der Konvergenzanalyse adaptiver LSFEMn in Carstensen und Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) für das 2D-Poisson-Modellproblem mit Diskretisierung niedrigster Ordnung und homogenen Dirichlet-Randdaten. Ein neuartiger expliziter residuenbasierter Fehlerschätzer ermöglicht den Beweis der Reduktionseigenschaft. Durch separiertes Markieren im adaptiven Algorithmus wird zudem der Datenapproximationsfehler reduziert. Die vorliegende Arbeit verallgemeinert diese Techniken auf die drei linearen Modellprobleme das Poisson-Problem, die Stokes-Gleichungen und das lineare Elastizitätsproblem. Die Axiome der Adaptivität mit separiertem Markieren nach Carstensen und Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) werden in drei Raumdimensionen nachgewiesen. Die Analysis umfasst Diskretisierungen mit beliebigem Polynomgrad sowie inhomogene Dirichlet- und Neumann-Randbedingungen. Abschließend bestätigen numerische Experimente mit dem h-adaptiven Algorithmus die theoretisch bewiesenen optimalen Konvergenzraten. / The least-squares finite element methods (LSFEMs) base on the minimisation of the least-squares functional consisting of the squared norms of the residuals of first-order systems of partial differential equations. This functional provides a reliable and efficient built-in a posteriori error estimator and allows for adaptive mesh-refinement. The established convergence analysis with rates for adaptive algorithms, as summarised in the axiomatic framework by Carstensen, Feischl, Page, and Praetorius (Comp. Math. Appl., 67(6), 2014), fails for two reasons. First, the least-squares estimator lacks prefactors in terms of the mesh-size, what seemingly prevents a reduction under mesh-refinement. Second, the first-order divergence LSFEMs measure the flux or stress errors in the H(div) norm and, thus, involve a data resolution error of the right-hand side f. These difficulties led to a twofold paradigm shift in the convergence analysis with rates for adaptive LSFEMs in Carstensen and Park (SIAM J. Numer. Anal., 53(1), 2015) for the lowest-order discretisation of the 2D Poisson model problem with homogeneous Dirichlet boundary conditions. Accordingly, some novel explicit residual-based a posteriori error estimator accomplishes the reduction property. Furthermore, a separate marking strategy in the adaptive algorithm ensures the sufficient data resolution. This thesis presents the generalisation of these techniques to three linear model problems, namely, the Poisson problem, the Stokes equations, and the linear elasticity problem. It verifies the axioms of adaptivity with separate marking by Carstensen and Rabus (SIAM J. Numer. Anal., 55(6), 2017) in three spatial dimensions. The analysis covers discretisations with arbitrary polynomial degree and inhomogeneous Dirichlet and Neumann boundary conditions. Numerical experiments confirm the theoretically proven optimal convergence rates of the h-adaptive algorithm.

Dans cette thèse de doctorat, nous présentons les travaux que nous avons effectués dans trois directions reliées : la compression de données en alphabet infini, les statistiques bayésiennes en dimension infinie, et les mélanges de distributions discrètes multivariées. Dans le cadre de la compression de données sans perte, nous nous sommes intéressé à des classes de sources stationnaires sans mémoire sur un alphabet infini, définies par une condition d'enveloppe à décroissance exponentielle sur les distributions marginales. Un équivalent de la redondance minimax de ces classes a été obtenue. Un algorithme approximativement minimax ainsi que des a-priori approximativement les moins favorables, basés sur l'a-priori de Jeffreys en alphabet fini, ont en outre été proposés. Le deuxième type de travaux porte sur la normalité asymptotique des distributions a-posteriori (théorèmes de Bernstein-von Mises) dans différents cadres non-paramétriques et semi-paramétriques. Tout d'abord, dans un cadre de régression gaussienne lorsque le nombre de régresseurs augmente avec la taille de l'échantillon. Les théorèmes non-paramétriques portent sur les coefficients de régression, tandis que les théorèmes semi-paramétriques portent sur des fonctionnelles de la fonction de régression. Dans nos applications au modèle de suites gaussiennes et à la régression de fonctions appartenant à des classe de Sobolev ou de régularité hölderiennes, nous obtenons simultanément le théorème de Bernstein-von Mises et la vitesse d'estimation fréquentiste minimax. L'adaptativité est atteinte pour l'estimation de fonctionnelles dans ces applications. Par ailleurs nous présentons également un théorème de Bernstein-von Mises non-paramétrique pour des modèles exponentiels de dimension croissante. Enfin, le dernier volet de ce travail porte sur l'estimation du nombre de composantes et des variables pertinentes dans des modèles de mélange de lois multinomiales multivariées, dans une optique de classification non supervisée. Ce type de modèles est utilisé par exemple pour traiter des données génotypiques. Un critère du maximum de vraisemblance pénalisé est proposé, et une inégalité oracle non-asymptotique est obtenue. Le critère retenu en pratique comporte une calibration grâce à l'heuristique de pente. Ses performances sont meilleurs que celles des critères classiques BIC et AIC sur des données simulées. L'ensemble des procédures est implémenté dans un logiciel librement accessible.

Ce document synthétise un ensemble de travaux portant sur le développement et l'analyse de méthodes de volumes finis utilisées pour l'approximation numérique d'équations aux dérivées partielles issues de la physique. Le mémoire aborde dans sa première partie des schémas colocalisés de type Godunov d'une part pour les équations de l'électromagnétisme, et d'autre part pour l'équation des ondes acoustiques, avec une étude portant sur la perte de précision de ce schéma à bas nombre de Mach. La deuxième partie est consacrée à la construction d'opérateurs différentiels discrets sur des maillages bidimensionnels relativement quelconques, en particulier très déformés ou encore non-conformes, et à leur utilisation pour la discrétisation d'équations aux dérivées partielles modélisant des phénomènes de diffusion, d'électrostatique et de magnétostatique et d'électromagnétisme par des schémas de type volumes finis en dualité discrète (DDFV) sur maillages décalés. La troisième partie aborde ensuite l'analyse numérique et les estimations d'erreur a priori et a posteriori associées à la discrétisation par le schéma DDFV de l'équation de Laplace. La quatrième et dernière partie est consacrée à la question de l'ordre de convergence en norme $L^2$ de la solution numérique du problème de Laplace, issue d'une discrétisation volumes finis en dimension un et en dimension deux sur des maillages présentant des propriétés d'orthogonalité. L'étude met en évidence des conditions nécessaires et suffisantes relatives à la géométrie des maillages et à la régularité des données du problème afin d'obtenir la convergence à l'ordre deux de la méthode.

Ce travail de recherche vise à contribuer au développement de nouveaux outils d'estimation d'erreur globale et locale en ingénierie mécanique. Les estimateurs d'erreur globale étudiés reposent sur le concept d'erreur en relation de comportement à travers des techniques spécifiques de construction de champs admissibles, assurant l'aspect conservatif ou garanti de l'estimation. Une nouvelle méthode de construction de champs admissibles est mise en place et comparée à deux autres méthodes concurrentes, en matière de précision, coût de calcul et facilité d'implémentation dans les codes éléments finis. Une amélioration de cette nouvelle méthode hybride fondée sur une minimisation locale de l'énergie complémentaire est également proposée. Celle-ci conduit à l'introduction et à l'élaboration de critères géométriques et énergétiques judicieux, permettant un choix approprié des régions à sélectionner pour améliorer localement la qualité des champs admissibles. Dans le cadre des estimateurs d'erreur locale basés sur l'utilisation conjointe des outils d'extraction et des estimateurs d'erreur globale, deux nouvelles techniques d'encadrement de l'erreur en quantité d'intérêt sont proposées. Celles-ci sont basées sur le principe de Saint-Venant à travers l'emploi de propriétés spécifiques d'homothétie, afin d'améliorer la précision des bornes d'erreur locale obtenues à partir de la technique d'encadrement classique fondée sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Les diverses études comparatives sont menées dans le cadre des problèmes d'élasticité linéaire en quasi-statique. Le comportement des différents estimateurs d'erreur est illustré et discuté sur des exemples numériques tirés d'applications industrielles. Les travaux réalisés constituent des éléments de réponse à la problématique de la vérification dans un contexte industriel.

L'objectif de cette thèse est l'analyse d'erreur a posteriori et la proposition de stratégies d'adaptivité basées sur des critères d'arrêt et de raffinement local de maillage. Nous traitons une classe d'équations paraboliques dégénér ées multidimensionnelles modélisant des problèmes importants pour l'industrie. Au chapitre 1 nous considérons le problème de Stefan instationaire a deux phases qui modélise un processus de changement de phase régi par la loi de Fourier. Nous régularisons la relation entre l'enthalpie et la température et nous discrétisons le problème par la méthode d'Euler implicite en temps et un schéma numérique conforme en espace tel que les élément finis conformes, ou les volumes finis centrés aux sommets du maillage. Nous démontrons une borne supérieure de la norme duale du résidu, de l'erreur sur l'enthalpie dans L2(0; T;H-1) et de l'erreur sur la température dans L2(0; T;L2), par des estimateurs d'erreur entièrement calculables. Ces estimateurs comprennent : un estimateur associé à l'erreur de régularisation, un estimateur associé à l'erreur d'une méthode de linéarisation (par exemple, la méthode de Newton), un estimateur associé à l'erreur en temps et un estimateur associé à l'erreur du schéma en espace. Par conséquent, ces estimateurs permettent de formuler un algorithme adaptatif de résolution où les erreurs associées peuvent être équilibrées. Nous proposons également une stratégie de raffinement local de maillages. En fin, nous prouvons l'efficacité de nos estimations d'erreur a posteriori. Un test numérique illustre l'efficacité de nos estimateurs et la performance de l'algorithme adaptatif. En particulier, des indices d'efficacité proches de la valeur optimale de 1 sont obtenus. Au chapitre 2 nous développons des estimations d'erreur a posteriori pour l'écoulement de Darcy polyphasique et isothermique, décrit par un système couplé d'équations aux dérivées partielles non linéaires et d'équations algébriques non linéaires. Ce système est discrétisé en espace par une méthode de volume finis centrés par maille et la méthode d'Euler implicite en temps. Nous etablissons une borne supérieure d'une norme duale du résidu augmentée d'un terme qui tiens compte de la non-conformité des volumes finis par des estimateurs d'erreur a posteriori entièrement calculables. Dans ce chapitre, nous nous concentrons sur la formulation d'un critère d'arrêt de l'algorithme de linéarisation du problème discrète (tel que la méthode de Newton) avec un critère d'arrêt du solveur algébrique de résolution du système linéarité (par exemple la méthode GMRes), de sort que les contributions des estimateurs d'erreur correspondant n'affectent plus la somme globale des estimateurs d'erreur de manière significative. Nous appliquons notre analyse sur des exemples réalistes d'ingénierie de réservoir pour confirmer qu'en général notre ajustement des critères d'arrêt apporte une économie significative (jusqu'au un ordre de magnitude en termes du nombre total des itérations du solveur algébrique), déjà sur des maillages fixes, et ceci sans perte notable de précision. Au chapitre 3 nous complétons le modèle décrit au chapitre 2 en considérant une condition non-isothermique pour l'écoulement a fin de traiter le modèle général d'écoulement polyphasique thermique dans les milieux poreux. Pour ce problème, nous développons des estimateurs d'erreur analogues a ceux du chapitre 2 pour lesquels nous établissons une borne supérieure d'erreur entièrement calculable, pour une norme duale du résidu complétée par un terme d'évaluation de la non-conformité. Nous montrons ensuite comment estimer séparément chaque composante d'erreur, ce qui nous permet d'ajuster les critères d'arrêt et d'équilibrer les contributions des différents estimateurs d'erreur : erreur d'approximation en temps, erreur d'approximation en espace, erreur de linéarisation et erreur du solveur algébrique. Ce chapitre se termine par une application des estimateurs au modèle d'huile morte. La preuve de l'efficacité de notre estimation a postiriori est egalement fournie. Finalement, au chapitre 4 nous considérons les procédés de récupération assistée d'huile. Plus précisément, nous étudions une technique de récupération thermique d'huile de type huile morte par injection de vapeur destinée a augmenter la mobilité des hydrocarbures. Dans ce chapitre, nous appliquons l'analyse a posteriori des chapitres 2 et 3, nous proposons une formule de quadrature pour simplifier l'évaluation des estimateurs, nous proposons un algorithme adaptatif de raffinement de maillages en espace et en temps basé sur les estimateurs et nous illustrons pas des essais numériques sur des exemples réalistes la performance de cette stratégie de raffinement. Notamment, des gains significatifs sont réalisés en terme du nombre de mailles nécessaires pour la simulation sur des exemples en dimension trois.

Contro l’argomento anselmiano del Proslogion sono state sollevate varie obiezioni, come quelle, molto note, di Gaunilone, di san Tommaso e di Kant. In questo saggio si sostiene la tesi che tutte queste critiche si basano fondamentalmente su una interpretazione imprecisa del testo di Anselmo che, se correttamente letto, ne risulta invece al riparo. Viene quindi offerta una nuova lettura dell’unum argumentum, con la quale, ricercandone lo spirito originario e più autentico, viene messa in risalto innanzitutto la sua struttura formale di dimostrazione per assurdo, illustrando in secondo luogo l’importante rapporto di complementarità che lega questa tipologia di prova a quelle strutturate in modo diverso, che procedono cioè a posteriori per costruzione diretta. / Many important Authors – as Gaunilo, Thomas Aquinas and Kant – have brought many well-known objections against the anselmian argument. This paper proposes the thesis that all these objections are based on an inaccurate interpretation of the Proslogion: in fact, an in-depth analysis of the text shows its fully validity. Therefore, it is offered a new reading of the anselmian argument, that looks for its original and authentic sense: firstly, it is enlightened its formal structure of proof by contradiction, and secondly it is showed its important complementary relationship with the other kind of a posteriori proofs.

Le but de cette étude est d'améliorer les performances, en termes d'espace mémoire et de temps de calcul, des simulations actuelles de l'Interaction mécanique Pastille-Gaine (IPG), phénomène complexe pouvant avoir lieu lors de fortes montées en puissance dans les réacteurs à eau sous pression. Parmi les méthodes de raffinement de maillage, méthodes permettant de simuler efficacement des singularités locales, une approche multi-grille locale a été choisie car elle présente l'intérêt de pouvoir utiliser le solveur en boîte noire tout en ayant un faible nombre de degrés de liberté à traiter par niveau. La méthode Local Defect Correction (LDC), adaptée à une discrétisation de type éléments finis, a tout d'abord été analysée et vérifiée en élasticité linéaire, sur des configurations issues de l'IPG, car son utilisation en mécanique des solides est peu répandue. Différentes stratégies concernant la mise en oeuvre pratique de l'algorithme multi-niveaux ont également été comparées. La combinaison de la méthode LDC et de l'estimateur d'erreur a posteriori de Zienkiewicz-Zhu, permettant d'automatiser la détection des zones à raffiner, a ensuite été testée. Les performances obtenues sur des cas bidimensionnels et tridimensionnels sont très satisfaisantes, l'algorithme proposé se montrant plus performant que des méthodes de raffinement h-adaptatives. Enfin, l'algorithme a été étendu à des problèmes mécaniques non linéaires. Les questions d'un raffinement espace/temps mais aussi de la transmission des conditions initiales lors du remaillage ont entre autres été abordées. Les premiers résultats obtenus sont encourageants et démontrent l'intérêt de la méthode LDC pour des calculs d'IPG.

This thesis is concerned with several issues of a posteriori error estimates for linear problems. In its first part error estimates for the heat conduction equation discretized by the backward Euler method in time and discontinuous Galerkin method in space are derived. In the second part guaranteed and locally efficient error estimates involving algebraic error for Poisson equation discretized by the discontinuous Galerkin method are derived. The technique is based on the flux reconstruction where meshes with hanging nodes and variable polynomial degree are allowed. An adaptive strategy combining both adaptive mesh refinement and stopping criteria for iterative algebraic solvers is proposed. In the last part a numerical method for computing guaranteed lower and upper bounds of principal eigenvalues of symmetric linear elliptic differential operators is presented. 1

Cette thèse aborde le processus ponctuel déterminantal, un modèle probabiliste qui capture la répulsion entre les points d’un certain espace. Celle-ci est déterminée par une matrice de similarité, la matrice noyau du processus, qui spécifie quels points sont les plus similaires et donc moins susceptibles de figurer dans un même sous-ensemble. Contrairement à la sélection aléatoire uniforme, ce processus ponctuel privilégie les sous-ensembles qui contiennent des points diversifiés et hétérogènes. La notion de diversité acquiert une importante grandissante au sein de sciences comme la médecine, la sociologie, les sciences forensiques et les sciences comportementales. Le processus ponctuel déterminantal offre donc une alternative aux traditionnelles méthodes d’échantillonnage en tenant compte de la diversité des éléments choisis. Actuellement, il est déjà très utilisé en apprentissage automatique comme modèle de sélection de sous-ensembles. Son application en statistique est illustrée par trois articles. Le premier article aborde le partitionnement de données effectué par un algorithme répété un grand nombre de fois sur les mêmes données, le partitionnement par consensus. On montre qu’en utilisant le processus ponctuel déterminantal pour sélectionner les points initiaux de l’algorithme, la partition de données finale a une qualité supérieure à celle que l’on obtient en sélectionnant les points de façon uniforme. Le deuxième article étend la méthodologie du premier article aux données ayant un grand nombre d’observations. Ce cas impose un effort computationnel additionnel, étant donné que la sélection de points par le processus ponctuel déterminantal passe par la décomposition spectrale de la matrice de similarité qui, dans ce cas-ci, est de grande taille. On présente deux approches différentes pour résoudre ce problème. On montre que les résultats obtenus par ces deux approches sont meilleurs que ceux obtenus avec un partitionnement de données basé sur une sélection uniforme de points. Le troisième article présente le problème de sélection de variables en régression linéaire et logistique face à un nombre élevé de covariables par une approche bayésienne. La sélection de variables est faite en recourant aux méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov, en utilisant l’algorithme de Metropolis-Hastings. On montre qu’en choisissant le processus ponctuel déterminantal comme loi a priori de l’espace des modèles, le sous-ensemble final de variables est meilleur que celui que l’on obtient avec une loi a priori uniforme. / This thesis presents the determinantal point process, a probabilistic model that captures repulsion between points of a certain space. This repulsion is encompassed by a similarity matrix, the kernel matrix, which selects which points are more similar and then less likely to appear in the same subset. This point process gives more weight to subsets characterized by a larger diversity of its elements, which is not the case with the traditional uniform random sampling. Diversity has become a key concept in domains such as medicine, sociology, forensic sciences and behavioral sciences. The determinantal point process is considered a promising alternative to traditional sampling methods, since it takes into account the diversity of selected elements. It is already actively used in machine learning as a subset selection method. Its application in statistics is illustrated with three papers. The first paper presents the consensus clustering, which consists in running a clustering algorithm on the same data, a large number of times. To sample the initials points of the algorithm, we propose the determinantal point process as a sampling method instead of a uniform random sampling and show that the former option produces better clustering results. The second paper extends the methodology developed in the first paper to large-data. Such datasets impose a computational burden since sampling with the determinantal point process is based on the spectral decomposition of the large kernel matrix. We introduce two methods to deal with this issue. These methods also produce better clustering results than consensus clustering based on a uniform sampling of initial points. The third paper addresses the problem of variable selection for the linear model and the logistic regression, when the number of predictors is large. A Bayesian approach is adopted, using Markov Chain Monte Carlo methods with Metropolis-Hasting algorithm. We show that setting the determinantal point process as the prior distribution for the model space selects a better final model than the model selected by a uniform prior on the model space.