Cette thèse est consacrée à l'étude de l'influence d'une fine couche hétérogène sur le comportement élastique linéaire d'une structure tridimensionnelle. Deux types d'hétérogénéités sont pris en compte : des cavités et des inclusions élastiques. Une étude complémentaire, dans le cas d'inclusions de grande rigidité, a été réalisée en considérant un problème de conduction thermique. Une analyse formelle par la méthode des développements asymptotiques raccordés conduit à un problème d'interface qui caractérise le comportement macroscopique de la structure. Le comportement microscopique de la couche est lui déterminé sur une cellule de base. Le modèle asymptotique obtenu est ensuite implémenté dans un code éléments finis. Une étude numérique permet de valider les résultats de l'analyse asymptotique.

Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive-diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie--dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.

Dans une première partie, nous présentons des équations de Saint-Venant. Sur le modèle proprement dit, nous remarquons tout d'abord que, suivant le lien entre la viscosité et le rapport des échelles caractéristiques, il est indispensable de conserver l'expression complète de la force de Coriolis : nous obtenons ainsi un nouveau modèle, avec un "effet cosinus". Nous montrons alors que les preuves d'existence de solutions faibles peuvent être adaptées à ce nouveau système. Des simulations numériques de certaines ondes soulignent l'importance de ce terme. Nous étudions ensuite l'influence des conditions limites (surface, fond) sur des modèles de type Saint-Venant. Nous présentons également des modèles obtenus en utilisant des échelles multiples en espace et en temps. Enfin, nous analysons théoriquement et numériquement un nouveau modèle de sédimentation puis nous donnons certains résultats pour les fluides visco-plastiques.<br />Dans une deuxième partie, nous nous intéressons aux équations limites que sont les équations quasi-géostrophiques (QG) et les équations des lacs. L'étude numérique des équations QG 2d nous permet de voir le rôle de l'effet cosinus de la force de Coriolis. En fonction de la topographie considérée, nous montrons que celui-ci peut être non négligeable. Toujours sur les équations QG, nous donnons un schéma, basé sur des développements asymptotiques, qui permet de bien capter la couche limite mais aussi d'ajouter le terme de topographie à la solution obtenue avec fond plat, sans refaire tous les calculs. Enfin, nous expliquons l'obtention des équations des lacs avec effet cosinus, et nous prouvons que les propriétés d'existence de solutions restent valables.

De nombreux ouvrages d'électromagnétisme ou d'acoustique classent les méthodes de résolution des problèmes de diffraction suivant le qualificatif d'analytique ou de numérique. Les premières donnent des formes explicites exactes ou asymptotiques des champs tandis que les secondes aboutissent à des expressions implicites en champ que l'on résout numériquement. Cette présentation se rapporte à certaines de nos publications relatives à la première catégorie. On y présente les solutions originales, exactes ou asymptotiques, de problèmes de diffraction d'une onde par des corps élémentaires comportant une ou plusieurs discontinuités de géométrie et/ou de matériau en 2D et 3D, en régime stationnaire ou instationnaire. Plusieurs de ces problèmes ainsi traités deviennent de nouveaux cas canoniques. On notera que les problèmes étudiés ne sont pas solubles par les méthodes classiques de séparation des variables.<br />Indiquons par ailleurs qu'étant donné la complexité des problèmes posés, nous avons proscrit les arguments heuristiques qui limitent trop souvent le domaine de validité de nombreuses méthodes analytiques.

Cette thèse porte sur l'estimation de fonctions à l'aide de tests dans trois cadres statistiques différents. Nous commençons par étudier le problème de l'estimation des intensités de processus de Poisson avec covariables. Nous démontrons un théorème général de sélection de modèles et en déduisons des bornes de risque non-asymptotiques sous des hypothèses variées sur la fonction à estimer. Nous estimons ensuite la densité de transition d'une chaîne de Markov homogène et proposons pour cela deux procédures. La première, basée sur la sélection d'estimateurs constants par morceaux, permet d'établir une inégalité de type oracle sous des hypothèses minimales sur la chaîne de Markov. Nous en déduisons des vitesses de convergence uniformes sur des boules d'espaces de Besov inhomogènes et montrons que l'estimateur est adaptatif par rapport à la régularité de la densité de transition. La performance de l'estimateur est aussi évalué en pratique grâce à des simulations numériques. La seconde procédure peut difficilement être implémenté en pratique mais permet d'obtenir un résultat général de sélection de modèles et d'en déduire des vitesses de convergence sous des hypothèses plus générales sur la densité de transition. Finalement, nous proposons un nouvel estimateur paramétrique d'une densité. Son risque est contrôlé sous des hypothèses pour lesquelles la méthode du maximum de vraisemblance peut ne pas fonctionner. Les simulations montrent que ces deux estimateurs sont très proches lorsque le modèle est vrai et suffisamment régulier. Il est cependant robuste, contrairement à l'estimateur du maximum de vraisemblance.

Cette thèse est divisée en deux parties: (i) la première partie concerne une nouvelle déduction purement géométrique de la cinématique des structures minces, notamment la cinématique des modèles classiques de plaque et de coque; (ii) la deuxième partie est relative à la modélisation des inclusions de grande rigidité dans un solide tridimensionnel et à la modélisation des poutres stratifiées à l'aide de la méthode des développements asymptotiques. (i) La dérivation géométrique de la cinématique des plaques et des coques est construite à partir des équations de compatibilité de Saint-Venant et de la formule intégrale de Cesàro-Volterra. L'appellation "géométrique" est due au fait qu'aucun renseignement sur la loi constitutive du matériau, sur l'équilibre et sur les forces appliquées n'a été utilisé. On considère un domaine de type plaque (ou coque) simplement connexe et on applique un développement asymptotique formel aux équations de Saint-Venant et à la formule de Cesàro-Volterra. En caractérisant les termes principaux du développement, on retrouve les hypothèses cinématiques des modèles de plaque de Kirchhoff-Love (ou Kirchhoff-Love généralisé dans le cas des coques) et de Reissner-Mindlin (ou Naghdi dans le cas des coques). (ii) La deuxième partie concerne l'étude asymptotique des conditions de transmission entre une couche mince de type coque et le solide 3D qui l'entoure. On déduit les problèmes limites dans le cas où les modules élastiques de la couche intermédiaire sont de l'ordre 1/epsilon et 1/epsilon^3 par rapport aux modules du solide 3D. De plus, on étudie le comportement asymptotique de trois différentes poutres multicouches en changeant les ordres de grandeur entre les épaisseurs de chaque couche et leurs respectifs modules élastiques.

Cette thèse est dédiée au développement et à l'analyse de schémas numériques de type volumes finis pour des équations de convection-diffusion, qui apparaissent notamment dans des modèles issus de la physique ou de la biologie. Nous nous intéressons plus particulièrement à la préservation de comportements asymptotiques au niveau discret. Ce travail s'articule en trois parties, composées chacune de deux chapitres. Dans la première partie, nous considérons la discrétisation du système de dérive diffusion linéaire pour les semi-conducteurs par le schéma de Scharfetter-Gummel implicite en temps. Nous nous intéressons à la préservation par ce schéma de deux types d'asymptotiques : l'asymptotique en temps long et la limite quasi-neutre. Nous démontrons des estimations d'énergie-dissipation d'énergie discrètes qui permettent de prouver d'une part la convergence en temps long de la solution approchée vers une approximation de l'équilibre thermique, d'autre part la stabilité à la limite quasi-neutre du schéma. Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à des schémas volumes finis préservant l'asymptotique en temps long dans un cadre plus général. Plus précisément, nous considérons des équations de type convection-diffusion non linéaires qui apparaissent dans plusieurs contextes physiques : équations des milieux poreux, système de dérive-diffusion pour les semi-conducteurs... Nous proposons deux discrétisations en espace permettant de préserver le comportement en temps long des solutions approchées. Dans un premier temps, nous étendons la définition du flux de Scharfetter-Gummel pour une diffusion non linéaire. Ce schéma fournit des résultats numériques satisfaisants si la diffusion ne dégénère pas. Dans un second temps, nous proposons une discrétisation dans laquelle nous prenons en compte ensemble les termes de convection et de diffusion, en réécrivant le flux sous la forme d'un flux d'advection. Le flux numérique est défini de telle sorte que les états d'équilibre soient préservés, et nous utilisons une méthode de limiteurs de pente pour obtenir un schéma précis à l'ordre deux en espace, même dans le cas dégénéré. Enfin, la troisième et dernière partie est consacrée à l'étude d'un schéma numérique pour un modèle de chimiotactisme avec diffusion croisée pour lequel les solutions n'explosent pas en temps fini, quelles que soient les données initiales. L'étude de la convergence du schéma repose sur une estimation d'entropie discrète nécessitant l'utilisation de versions discrètes d'inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Poincaré-Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. La démonstration de ces inégalités fait l'objet d'un chapitre indépendant dans lequel nous proposons leur étude dans un contexte assez général, incluant notamment le cas de conditions aux limites mixtes et une généralisation au cadre des schémas DDFV.

Dans cette thèse, nous nous inté́ressons à l'é́tude précise de valeurs propres exponentiellement petites du Laplacien de Witten. Plus particulièrement, nous considérons la ré́alisation autoadjointe du Laplacien de Witten agissant sur les fonctions, sur une variété à bord, avec conditions au bord de type Neumann. Cette étude prolonge et complète des travaux de B. Helffer, M. Klein et F. Nier dans le cas sans bord, et de B. Helffer et F. Nier dans le cas d'une varié́té́ à bord, avec conditions au bord de type Dirichlet. La prise en compte de conditions au bord de type Neumann demande de traiter l'analyse au bord avec un niveau de géné́ralité plus large que dans les travaux antérieurs. En particulier la construction de solutions WKB doit être abordée dans le cadre géné́ral des p-formes.

Cette thèse est divisée en cinq chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un processus statistique dépendant d'un paramétre continu tau et dont chaque marge peut être considérée comme un estimateur de Hill généralis.. Ce processus statistique permet de discriminer entièrement les domaines d'attraction des valeurs extrêmes. La normalité asymptotique de ce processus statistiquea été seulement donnée pour tau > 1/2. Nous complétons cette étude pour 0 < tau< 1/2, en donnant une approximation des domaines de Gumbel et de Fréchet. Des études de simulations effectuées avec le logiciel " R ", permettent de montrer la performance de ces estimateurs. Comme illustration, nous proposons une application de notre méthodologie aux données hydrauliques. Dans le troisième chapitre, nous étendons l'étude du processus statistique précédent dans un cadre fonctionnel. Nous proposons donc un processus stochastique dépendant d'une fonctionnelle positive pour obtenir une grande classe d'estimateurs de l'indice des valeurs extrêmes dont chaque estimateur est une marge d'un seul processus stochastique. L'étude théorique de ces processus stochastiques que nous avions menée, est basée sur la théorie moderne de convergence vague fonctionnelle. Cette dernière permet de gérer des estimateurs plus complexes sous forme de processus stochastiques. Nous donnons les distributions asymptotiques fonctionnelles de ces processus et nous montrons que pour certaines classes de fonctions, nous avons un comportement asymptotique non Gaussien et qui sera entièrement caractérisé. Dans le quatrième chapitre, on s'intéresse à l'estimation du paramètre du second ordre. Notons que ce paramètre joue un rôle très important dans le choix adaptatif du nombre optimal de valeurs extrêmes utilisé lors de l'estimation de l'indice des valeurs extrêmes. L'estimation de ce paramètre est également utilisée pour la réduction du biais des estimateurs de l'indice de queue et a reçu une grande attention dans la littérature des valeurs extrêmes .Nous proposons une simple et générale approche pour estimer le paramètre du second ordre, permettant de regrouper un grand nombre d'estimateurs. Il est montré que les estimateurs cités précedemment peuvent être vus comme des cas particuliers de notre approche. Nous tirons également parti de notre formalisme pour proposer de nouveaux estimateurs asymptotiquement Gaussiens du paramètre du second ordre. Finalement, certains estimateurs sont comparés tant du point de vue asymptotique que performance sur des échantillons de tailles finies. Comme illustration, nous proposons une application sur des données d'assurance. Dans le dernier chapitre, on s'intéresse aux mesures de risque actuariel pour des phénomènes capables d'engendrer des pertes financières très importantes (ou phenomènes extrêmes c'est-à-dire à des risques dont on ne sait pas si le système d'assurance sera capable de les supporte). De nombreuses mesures de risque ou principes de calcul de la prime ont été proposés dans la littérature actuarielle. Nous nous concentrons sur la prime de risque-ajustée. Jones et Zitikis (2003) ont donné une estimation de cette dernière basée sur la distribution empirique et ont établi sa normalité asymptotique sous certaines conditions appropriées, et qui ne sont pas souvent remplies dans le cas des distributions à queues lourdes. Ainsi, nous regardons ce cadre là et nous considérons une famille d'estimateurs de la prime de risque-ajustée basée sur l'approche de la théorie des valeurs extrêmes. Nous établissons leur normalité asymptotique et nous proposons également une approche de réduction de biais pour ces estimateurs. Des études de simulation permettent d'apprécier la qualité de nos estimateurs. Comme illustration, nous proposons une application sur des données d'assurance.

Les données du monde réel sont souvent de très grande dimension, faisant intervenir un grand nombre de variables non pertinentes ou redondantes. La sélection de variables est donc utile dans ce cadre. D'abord, on considère la sélection de variables dans le modèle de régression quand le nombre de variables est très grand. En particulier on traite le cas où le nombre de variables pertinentes est bien plus petit que la dimension ambiante. Sans supposer aucune forme paramétrique pour la fonction de régression, on obtient des conditions minimales permettant de retrouver l'ensemble des variables pertinentes. Ces conditions relient la dimension intrinsèque à la dimension ambiante et la taille de l'échantillon. Ensuite, on considère le problème du test d'une hypothèse nulle composite sous un modèle de régression non paramétrique multi varié. Pour une fonctionnelle quadratique donnée $Q$, l'hypothèse nulle correspond au fait que la fonction $f$ satisfait la contrainte $Q[f] = 0$, tandis que l'alternative correspond aux fonctions pour lesquelles $ |Q[f]|$ est minorée par une constante strictement positive. On fournit des taux minimax de test et les constantes de séparation exactes ainsi qu'une procédure optimale exacte, pour des fonctionnelles quadratiques diagonales et positives. On peut utiliser ces résultats pour tester la pertinence d'une ou plusieurs variables explicatives. L'étude des taux minimax pour les fonctionnelles quadratiques diagonales qui ne sont ni positives ni négatives, fait apparaître deux régimes différents : un régime " régulier " et un régime " irrégulier ". On applique ceci au test de l'égalité des normes de deux fonctions observées dans des environnements bruités