Cette thèse consiste en une étude des représentations de dimension finie de la super-algèbre de Lie gl(m,n). Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats sur ces super-algèbres de Lie. Dans le second chapitre nous étudions les représentations simples de gl(2,2). Ces modules peuvent être obtenus comme quotient de modules induits dont on connaît les suites de composition, ce qui nous permet de calculer une formule des caractères finie explicite. Dans le troisième chapitre nous étudions les représentations d'une déformation quantique de l'algèbre enveloppante de gl(m,n). Nous rappelons tout d'abord la construction des bases cristallines pour les facteurs directs de puissances tensorielles de la représentation standard. Nous montrons, en affaiblissant la notion de cristal, l'existence de bases cristallines pour des modules qui ne sont pas semi-simpes, et nous donnons une méthode pour les construire. Le quatrième chapitre porte sur le dévissage du bloc maximalement atypique de la catégorie des représentations de dimension finie de gl(2,2). La connaissance de la sous-catégorie pleine des modules projectifs maximalement atypiques nous permet de reconstituer la catégorie. Nous étudions dans un premier temps les modules projectifs indécomposables et nous donnons leurs suites de Loewy. Puis dans un deuxième temps nous étudions leurs morphismes. Pour terminer nous formulons une conjecturons sur la composition de ces morphismes.

L'objet de cette thèse est l'obtention de résultats uniformes sur l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques possédant une isogénie de degré premier. <br /><br />Le cadre se compose d'un corps de nombres K différent de Q et galoisien sur Q, d'une courbe elliptique E définie sur K et d'un nombre premier p ; on suppose que la courbe E possède une isogénie de degré p définie sur K.<br /><br />On détermine explicitement un nombre réel C(K), ne dépendant que du corps de nombres K, tel que si p est choisi strictement supérieur à C(K), alors l'image de la représentation galoisienne associée aux points de p-torsion de E contient les homothéties qui sont des puissances douzièmes. Ce résultat complète des travaux précédents d'Eckstein sur les homothéties dans l'image des représentations galoisiennes associées aux points de torsion des courbes elliptiques.<br /><br />La méthode employée est celle de Momose pour l'étude du caractère donnant l'action du groupe de Galois absolu de K sur le sous-groupe d'isogénie d'ordre p ("caractère d'isogénie").<br />Pour p strictement plus grand que C(K), on obtient deux formes possibles précises pour ce caractère d'isogénie : soit sa puissance douzième est égale au caractère cyclotomique à la puissance 6 ; soit il lui est naturellement associé un corps quadratique imaginaire et sa puissance douzième présente des similarités avec celle d'un caractère provenant d'une courbe elliptique à multiplication complexe.

We study the relationship of dominance for sequences and trees in Banach spaces. In the context of sequences, we prove that domination of weakly null sequences is a uniform property. More precisely, if $(v_i)$ is a normalized basic sequence and $X$ is a Banach space such that every normalized weakly null sequence in $X$ has a subsequence that is dominated by $(v_i)$, then there exists a uniform constant $C\geq1$ such that every normalized weakly null sequence in $X$ has a subsequence that is $C$-dominated by $(v_i)$. We prove as well that if $V=(v_i)_{i=1}^\infty$ satisfies some general conditions, then a Banach space $X$ with separable dual has subsequential $V$ upper tree estimates if and only if it embeds into a Banach space with a shrinking FDD which satisfies subsequential $V$ upper block estimates. We apply this theorem to Tsirelson spaces to prove that for all countable ordinals $\alpha$ there exists a Banach space $X$ with Szlenk index at most $\omega^{\alpha \omega +1}$ which is universal for all Banach spaces with Szlenk index at most $\omega^{\alpha\omega}$.

The thesis consists of three papers of the author. In the first paper, it is shown that the sets of Fréchet subdifferentiability of Lipschitz functions on a Banach space X are Borel if and only if X is reflexive. This answers a ques- tion of L. Zajíček. In the second paper, a problem of G. Debs, G. Godefroy and J. Saint Raymond is solved. On every separable non-reflexive Banach space, equivalent strictly convex norms with the set of norm-attaining func- tionals of arbitrarily high Borel class are constructed. In the last paper, binormality, a separation property of the norm and weak topologies of a Ba- nach space, is studied. A result of P. Holický is generalized. It is shown that every Banach space which belongs to a P-class is binormal. It is also shown that the asplundness of a Banach space is equivalent to a related separation property of its dual space. 1

In this thesis we consider various questions and problems about graphs that appear in the framework of descriptive set theory. The main object of study are graphons, graphings and variations of the graph G0. We establish an approach to the compactness of the graphon space via the weak* topology and introduce the notion of a fractional isomorphism for graphons. We use a variant of the G0-dichotomy in the context of the classification problem. Finally, we show a measurable version of the Vizing's theorem for graphings. 1

We study the complexity of the homeomorphism relation on the classes of metrizable compacta and Peano continua using the notion of Borel reducibil- ity. For each of these two classes we consider two different codings. Metrizable compacta can be naturally coded by the space of compact subsets of the Hilbert cube with the Vietoris topology. Alternatively, we can use the space of continuous functions from the Cantor space to the Hilbert cube with the topology of uniform convergence, where two functions are considered as equivalent iff their images are homeomorphic. Similarly, Peano continua can be coded either by the space of Peano subcontinua of the Hilbert cube, or (due to the Hahn-Mazurkiewicz theo- rem) by the space of continuous functions from r0, 1s to the Hilbert cube. We show that for both classes the two codings have the same complexity (the complexity of the universal orbit equivalence relation). Among other results, we also prove that the homeomorphism relation on the space of nonempty compact subsets of any given Polish space is Borel bireducible with the above mentioned equivalence relation on the space of continuous functions from the Cantor space to the Polish space.

The dissertation thesis consists of two thematic parts. The first part, i.e. chapters 2, 3 and 4, contains results concerning the topic of a new book of the supervisor and coauthors V. Kanovei and M. Sabok "Canonical Ramsey Theory on Polish Spaces". In Chapter 2, there is proved a canonization of all equivalence relations Borel reducible to equivalences definable by analytic P-ideals for the Silver ideal. Moreover, it investigates and classifies sube- quivalences of the equivalence relation E0. In Chapter 3, there is proved a canonization of all equivalence relations Borel reducible to equivalences de- finable by Fσ P-ideals for the Laver ideal and in Chapter 4, we prove the canonization for all analytic equivalence relations for the ideal derived from the Carlson-Simpson (Dual Ramsey) theorem. The second part, consisting of Chapter 5, deals with the existence of universal and ultrahomogeneous Polish metric structures. For instance, we construct a universal Polish metric space which is moreover equipped with countably many closed relations or with a Lipschitz function to an arbitrarily chosen Polish metric space. This work can be considered as an extension of the result of P. Urysohn who constructed a universal and ultrahomogeneous Polish metric space.

No description available.

La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujet du déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dans le plan complexe. L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytique de familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient une singularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale est composée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sontelles équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisinage d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classes d’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formels et d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Des déploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités. Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations via Borel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes paramétriques des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une singularité col-noeud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. En général, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède une unique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peut associer des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en utilisant les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généraliser cette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions de systèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularité irrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deux points singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions sectorielles couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte une description unifiée pour toutes les valeurs du paramètre. / The thesis is composed of a chapter of preliminaries and two articles on the theme of unfolding of singularities of analytic differential equations in a complex domain. They are both related to the problem of local analytic classification of parametric families of linear systems: When two parametric families of linear systems are equivalent by means of an analytic change of coordinates in a neighborhood of the singularity? The article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity deals with the question of analytic equivalence of parametric families of systems of linear differential equations in dimension 2 unfolding a generic resonant singularity of Poincaré rank 1 whose leading matrix is a Jordan bloc. The problem is completely solved and the moduli space of analytic equivalence classes is described in terms of a set of formal invariants and a single analytic invariant obtained from the trace of the monodromy. Universal unfoldings are provided for all such singularities. The article Confluence of singularities of non-linear differential equations via Borel-Laplace transformations investigates bounded solutions of systems of differential equations describing a 1-dimensional center manifold of an unfolded saddle-node singularity in a family of complex vector fields. Generally, a system of analytic ODE at a double singular point possesses a unique formal solution in terms of a divergent power series. The classical Borel summation method associates to it true solutions that are asymptotic to the series on certain sectors in the complex plane. The article shows how to unfold the Borel and Laplace integral transformations of the summation procedure. A new kind of solutions of parameter dependent systems of ODE with two simple (regular) singular points unfolding a double (irregular) singularity are constructed, which are bounded on certain “spiraling” domains attached to both singular points, and which at the limit converge uniformly to a pair of the classical sectorial solutions. The method provides a unified treatment for all values of parameter.

Dans les années 1830, l’image de Sade apparaît dans le roman noir. La révolte de Juillet fait écho à la Révolution de 1789. Le régime de Louis-Philippe dirige la France dans une période de transition. Les émeutes ponctuelles et le choléra de 1832 déterminent la tonalité sombre de l’imaginaire de la souffrance et du mal à l’époque. Le mouvement romantique rencontre Sade dans cette période difficile de l’évolution sociale. Les Jeunes-France, qualifiés un siècle plus tard par les surréalistes de petits romantiques, mettent en avant Sade face aux critiques des moralistes. L’image de Sade et l’imaginaire sadien apparaissent dans leurs romans noirs, genre indéfinissable au centre de différents versants littéraires, le roman gothique, le conte fantastique et le roman historique. La légende de la vie de Sade se forme à la fin du XVIIIe siècle dans les gazettes et dans les enquêtes de police. Il est vu par ses contemporains, Rétif de La Bretonne, par exemple, comme un libertin criminel, resté impuni sous l’Ancien Régime et un écrivain aliéné de la littérature libertine et perverse. Sade est également lié à la Révolution. Il a survécu à la Terreur de 1793 et son atrocité féodale est comparée à la cruauté de Danton et de Robespierre. Au tournant de 1830, Sade prisonnier en tant que victime de l’arbitraire de l’Empire est découvert par Charles Nodier dans ses recherches historiques. Celui-ci définit le terme « sadisme » dans le dictionnaire en 1834. La même année, les différentes facettes de l’image de Sade sont enfin abordées par Jules Janin dans son article biographique. Les jeunes romantiques explorent avec une certaine timidité les images de Sade dans leurs romans noirs. Dans les contes noirs et le roman historique de Pétrus Borel, Sade représente non seulement l’atrocité et la corruption de la cour de Louis XV, mais également la violence du déchaînement révolutionnaire. Chez Balzac, Sade et ses œuvres signifient une collaboration de la littérature érotique avec le récit noir. Dans les boudoirs balzaciens, se mettent en scène les crimes frénétiques et les perversions transgressives. Dans les romans noirs de Frédéric Soulié sous la forme du feuilleton, l’image de Sade et l’imaginaire sadien sont utilisés pour décrire la monstruosité sociale. Le sadisme est popularisé dans l’univers des mœurs corrompues. / The revolt of July in 1830 echoed the Revolution of 1789 and the rule of Louis-Philippe took France into a period of transition where the punctual riots and the cholera epidemic in 1832 was reflected in the dark tones of the image of sufferings and evil of that time. The romantic movement merged with the image of Sade in this difficult period of social evolution. The Jeunes-France, one century later qualified by the surrealists as petits romantiques, used the image of Sade to face down the critics of the moralists. It was during these turbulent times the image of Sade emerged in the black novel, an undefined genre in different literary tendencies, including the gothic novel, the fantastic tale and the historical novel. The legend of Sade’s life took its form at the end of 18th century in the gazettes and political inquiries. He was seen by his contemporaries, for example, Rétif de La Bretonne, that as a criminal libertine, one unpunished by the Ancien Régime, and was considered the insane writer of the libertine and perverse literature. Sade is related to the Revolution. Surviving the Terror of 1793, his feudal fury was compared to the cruelty of Danton and Robespierre. At the beginning of the 1830’s, the writings of Sade the prisoner, victim of an Empire, was discovered by Charles Nodier in his historical research. He defined the term “sadism” in the dictionary in 1834. In the same year, the multiple faces of the image of Sade were recorded by Jules Janin in his biographical article. The young romantic poets timidly explored the images of Sade in their black novels. Within these tales and within the historical novel of Pétrus Borel, Sade represented not only the atrocity and corruption of the Louis XV’s court, but also the violence of the revolutionary rampage. For Balzac, Sade and his work signified a collaboration of the erotic literature with the black story and in Balzac’s boudoirs, the frantic crimes and the transgressive perversions set the scenes. In the black novels of Frédéric Soulié in the form of the feuilleton, the image and the imaginary of Sade was used to describe the social monstrosity. The sadism was popularized in the universe of corrupted morals.