Le thème de cette thèse est les différents aspects de la théorie de Borel-Moore dans le monde motivique. Classiquement, sur le corps des nombres complexes, l’homologie de Borel-Moore, aussi appelée “homologie à support compact”, possède des propriétés assez différentes comparée avec l’homologie singulière. Dans cette thèse on étudiera quelques généralisations et applications de cette théorie dans les catégories triangulées de motifs.La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie on définit l'homologie motivique de Borel-Moore dans les catégories triangulées de motifs mixtes définies par Cisinski et Déglise et étudie ses diverses propriétés fonctorielles, tout particulièrement une fonctorialité analogue au morphisme de Gysin raffiné défini par Fulton. Ces résultats nous serviront ensuite à identifier le coeur de la structure de poids de Chow définie par Hébert et Bondarko: il se trouve que le coeur, autrement dit la catégorie des éléments de poids zéro, est équivalente à une version relative des motifs purs de Chow sur une base définie par Corti et Hanamura.Dans la deuxième partie on démontre la représentabilité de la G-théorie de Quillen, sous la reformulation de Thomason, dans un premier temps dans la catégorie A1-homotopique des schémas de Morel-Voevodsky, mais aussi dans la catégorie homotopique stable construite par Jardine. On établit une identification de celle-ci comme la théorie de Borel-Moore associée à la K-théorie algébrique, en utilisant le formalisme des six foncteurs établi par Ayoub et Cisinski-Déglise. / The theme of this thesis is different aspects of Borel-Moore theory in the world of motives. Classically, over the field of complex numbers, Borel-Moore homology, also called “homology with compact support”, has some properties quite different from singular homology. In this thesis we study some generalizations and applications of this theory in triangulated categories of motives.The thesis is composed of two parts. In the first part we define Borel-Moore motivic homology in the triangulated categories of mixed motives defined by Cisinski and Déglise and study its various functorial properties, especially a functoriality similar to the refined Gysin morphism defined by Fulton. These results are then used to identify the heart of the Chow weight structure defined by Hébert and Bondarko: it turns out that the heart, namely the category of elements of weight zero, is equivalent to a relative version of pure Chow motives over a base defined by Corti and Hanamura.In the second part we show the representability of Quillen’s G-theory, reformulated by Thomason, firstly in the A1-homotopy category of schemes of Morel-Voevodsky, but also in the stable homotopy category constructed by Jardine. We establish an identification of G-theory as the Borel-Moore theory associated to algebraic K-theory, by using the six functors formalism settled by Ayoub and Cisinski-Déglise.

Les systèmes dynamiques qui évoluent sur un grand intervalle de temps (dynamique moléculaire, prédiction astronomique, turbulence...) occupent une place importante dans le domaine de la science de l'ingénieur. Leur résolution numérique constitue, jusqu'à l'heure actuelle, un défi. En effet, la simulation de la solution nécessite un solveur non seulement rapide mais aussi qui respecte les propriétés physiques du problème, pour garantir la stabilité. Dans cette thèse, on se propose d'étudier, vis-à-vis de cette problématique, un schéma d'intégration temporelle basée sur la décomposition de la solution en série temporelle, suivie de la technique de resommation de Borel des séries divergentes. On analyse alors la rapidité du schéma sur des problèmes modèles. Ensuite, on montre sa capacité à préserver la structure des équations (symplecticité, iso-spectralité, conservation de l'énergie...) à un ordre arbitrairement élevé. Par la suite, on applique le schéma à la résolution d'équations aux dérivées partielles issues de la mécanique, dont les équations de la chaleur, de Burgers et de Navier-Stokes bidimensionnelles. Pour cela, on associe le schéma à une méthode de discrétisation par éléments finis en espace. Enfin, dans le but de rendre l'algorithme plus robuste, on s'intéresse à la représentation de la somme de Borel par une série de factorielle généralisée. / Dynamical systems which evolve in a large time interval (molecular dynamic, astronomical prediction, turbulence…) take an important place in engineering science. Their numerical resolution has so far constituted a challenge. Indeed, the simulation of the solution requires a solver which is not only fast but also respects the physical properties of the problem, to ensure the stability. In this thesis, we propose to study, regarding this issue, a time integration scheme based on the decomposition of the solution into time series, followed by Borel's resummation technique of divergent series. We analyse the speed of scheme on model problems. Next, we show its capability to preserve the structure of the equation (symplecticity, iso-spectrality, conservation of energy…) up to an arbitrary high order. Thereafter, we use the scheme to resolve partial differential equations coming from mechanics, including the two-dimensional heat equation, Burger’s equation and the Navier-Stokes equation. To this aim, we choose a finite element method for space discretisation. Finally, and in order to make the algorithm more robust, we are interested in the representation of the Borel sum by a generalized factorials series.

Cette thèse s'intéresse à la classification géométrique, locale et globale, des équations aux q-différences. Dans un premier temps nous réalisons une étude globale de certains systèmes dérivés des équations de q-Painlevé et introduits par Murata, en proposant une correspondance de Riemann-Hilbert-Birkhoff entre de tels systèmes et leurs matrices de connexion. Dans un second temps nous nous intéressons à la classification locale, en construisant un fibré vectoriel équivariant sur l'espace des classes formelles à deux pentes dont la fibre au dessus d'une classe formelle est l'espace de ses classes analytiques isoformelles. Ceci fait, voyant que l'action du groupe des automorphismes du gradué s'impose naturellement dans l'étude de ce fibré, nous nous intéressons à l'espace des classes analytiques, soit des classes analytiques isoformelles modulo cette action, dont nous proposons dans un cas restreint une première approche de classification via l'utilisation de variétés toriques. Dans un troisième temps nous construisons, via des transformations de q-Borel et de q-Laplace, des q-Stokes, soit des solutions méromorphes de systèmes, dans le cadre des systèmes à deux pentes dont une non entière et une nulle. / This thesis falls within the context of global and local geometric classification of q-difference equations. In a first part we study the global behaviour of some systems derived from q-Painlevé equations and introduced by Murata. We do so by constructing a Riemann-Hilbert-Birkhoff correspondence between such systems and their connexion matrices. In a second part we work on local classification by providing a construction of an equivariant vector bundle over the space of all formal classes with two slopes, the fibre over a formal class being the space of its isoformal analytic classes. As the action of the group of automorphisms of the graded module arises naturally when we study this bundle, we take an interest in the study of the space of analytic classes, which is the space of isoformal analytic classes modulo this action. We propose a first approach of such a classification by using toric varieties. In a third part we construct q-Stokes, i.e. meromorphic solutions of systems, in the context of systems with one non-integral slope and one equal to zero, this by using q-Borel and q-Laplace transforms.

Les transformations qui conservent l'ensemble des solutions des équations de Navier-Stokes (NS) sont appelées les symétries de NS. Elles forment un groupe de Lie dénommé groupe de symétrie de NS. Ce groupe jouent un rôle important dans la description de la physique des équations (loi de conservation, loi de paroi, ...). Ainsi, les modèles de turbulence devraient être invariant sous l'action de ce groupe. Dans la première partie de la thèse, on effectue alors une analyse de quelques modèles de sous-maille courants sous l'angle des symétries, puis, on construit une classe de modèles de sous-maille qui, d'une part, respectent le groupe de symétrie de NS et, d'autre part, sont conformes au second principe de la thermodynamique. Un modèle très simple de la classe est alors testé et validé numériquement. L'analyse et la construction de modèles sont également étendues au cas de la convection thermique. Dans la seconde partie de la thèse, on explore la possibilité d'intégrer la LES (simulation des grandes échelles) dans un algorithme de la famille MAN (méthode asymptotique numérique). La MAN est une technique numérique de perturbation, qui consiste à calculer la solution sous forme d'une série entière. Dans un premier temps, on construit et on teste un algorithme associant la MAN et la LES, avec l'aide d'une technique d'homotopie. Face aux limites de ce premier algorithme, on étudie dans un second temps l'utilisation d'un autre algorithme où on effectue un développement en série temporelle. Pour augmenter le domaine de validité de la série obtenue, ou bien pour calculer une solution analytique à partir de la série lorsque celle-ci diverge, on propose d'effectuer la méthode de resommation de Borel-Laplace. Dans les exemples numériques, on applique cette méthode à des modèles réduits issus des équations de Navier-Stokes.

Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s'intéresse au problème de trace au bord d'une solution positive de l'équation de Hamilton-Jacobi (E1) $-\Delta u+g(|\nabla u|)=0$ dans un domaine borné $\Omega$ de ${\mathbb R}^N$, satisfaisant (E2) $u = \mu$ sur $\partial \Omega$. Si $g(r) \geq r^q$ avec $q > 1$, on prouve que toute solution positive de (E1) admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière, pas nécessairement localement bornée. Si $g(r) = r^q$ avec $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ , on montre l'existence d'une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière $\nu \not \equiv \infty$ et on caractérise les singularités frontières isolées de solutions positives. Si $g(r) = r^q$ avec $q_c \leq q < 2$, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel $C_{\frac{2-q}{q},q'} . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque $k \to \infty$, de solutions d'équation $\partial_t u - \Delta u + f(u) =0$ dans ${\mathbb R}^N \times (0;\infty)$ avec donnée initiale $k\delta_0$ où $0$ est la masse de Dirac concentrée à l'origine et f est une fonction positive, continue, croissante et satisfaisant $f(0) = f^{-1}(0) = 0$. On prouve, sous certaines hypothèses portant sur f, qu'il existe essentiellement trois types de comportement possible en fonction des valeurs finies ou infinies des intégrales $\int_1^\infty f^{-1}(s)ds$ et $\int_1^\infty F^{-1/2}(s)ds$, où $F(s)=\int_0^s f(r)dr$. Grâce à ces résultats, on donne une nouvelle construction de la trace initiale et quelques résultats d'unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n'est pas bornée. Dans la troisième partie, on élargit le cadre de nos investigations et généralise les résultats obtenus dans la deuxième partie au cas où l'opérateur est non-linéaire. En particulier, on s'intéresse à des propriétés qualitatives de solutions positives de l'équation $ \partial_t u-\Delta_p u+f(u)=0$ où $p > 1, \Delta_p u = div(\abs{\nabla u}^{p-2}\nabla u)$ et $f$ est une fonction continue, croissante, positive et satisfaisant $f(0) = 0 = f^{-1}(0)$. Si $p > \frac{2N}{N+1}$, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l'existence et l'unicité des solutions fondamentales de données initiales $k\delta_0$ et on étudie la limite, lorsque $k \to \infty$, qui dépend du fait que $f^{-1}$ et $F^{-1/p}$ soient intégrables à l'infini ou pas, où $F(s) =\int_0^s f(r)dr. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si $p \geq 2$, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe de mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas modèle $f(u)=u^\alpha \ln^\beta(u+1)$ avec $\alpha>0$ et $\beta>0$.

Ce travail comprends deux parties indépendantes, mais intimement liées. La première partie concerne le calcul et l'évaluation numérique des invariants holomorphes des difféomorphismes tangents à l'identité, dans le cas-type. On y expose notamment trois méthodes de calculs numériques, dont l'une est basée sur une formule explicite des invariants. Celle-ci résulte de l'évaluation de l'application de cornes 7[+, dont les ingrédients de base sont des rationnels, des coefficients de Taylor du difféomorphisme étudié et des multitangentes. La seconde partie concerne l'étude des multitangentes et des relations les liant entre elles. Il s'agit de fonctions I-périodiques, généralisant les séries d'Eisenstein, et définissant un moule symétr~l. D'autres relations existent, tels la réduction en monotangentes qui indique un lien profond entre les multitangentes et les multizêtas. Des propriétés et conjectures de nature purement algébrique, arithmétique ou analytique sont ensuite exposées.

This thesis consists of five research papers. The first paper: We prove that under certain conditions, the existence of an isomorphism between spaces of continuous affine functions on the compact convex sets imposes home- omorphism between the sets of its extreme points. The second: We investigate a transfer of descriptive properties of elements of biduals of Banach spaces con- strued as functions on dual unit balls. We also prove results on the relation of Baire classes and intrinsic Baire classes of L1-preduals. The third: We identify intrinsic Baire classes of X with the spaces of odd or homogeneous Baire functions on ext BX∗ , provided X is a separable real or complex L1-predual with the set of extreme points of its dual unit ball of type Fσ. We also provide an example of a separable C∗ -algebra such that the second and second intrinsic Baire class of its bidual differ. The fourth: We generalize some of the above mentioned results for real non-separable L1-preduals. The fifth: We compute the distance of a general mapping to the family of mappings of the first resolvable class via the quantity frag and we introduce and investigate a class of mappings of countable oscillation rank.

Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s’intéresse au problème de trace au bord d’une solution positive de l’équation (E1) - Δu + g(∇u) = 0 dans un domaine borné Ω. Si g(r) ≥ rq avec q > 1, on prouve que toute solution positive de (E1)admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière. Si g(r) = rq avec1 < q < qc = N+1/N , on montre l’existence d’une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière. Si g(r) = rq avec qc ≤ q < 2, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel C2-q/q ,q’ . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées et sigma-modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque k → ∞, de solutions d’équation ∂tu - Δu + f(u) = 0 dans ℝN × (0,∞) avec donnée initiale kδ0. On prouve qu’il existe essentiellement trois types de comportement possible et démontre un résultat général d’existence de trace initiale et quelques résultats d’unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n’est pas bornée. Dans la troisième partie, on considère l’équation ∂tu - Δu + f(u) = 0 dans ℝN × (0,∞) où p > 1. Si p > 2N/N+1, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l’existence et l’unicité des solutions fondamentales et on étudie la limite lorsque k → ∞. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si p ≥ 2, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe des mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas f(u) = uα lnβ(u + 1) avec α,β > 0. / This thesis is divided into three parts. In the first part, we study the boundary trace of positive solutions of the equation (E1) - Δu + g(∇u) = 0 in a bounded domain . When g(r) ≥ rq with q > 1, we prove that any positive function of (E1) admits a boundary trace which is an outer regular Borel measure. When g(r) ≥ rq with 1 < q < qc = N+1/N, we prove the existence of a positive solution with a general outer regular Borel measure as boundary trace.When g(r) ≥ rq with qc ≤ q < 2, we establish a necessary condition for solvability in term of the Bessel capacity C2-q/q ,q’ . We also study boundary removable sets for moderate and sigma-moderate solutions. The second part is devoted to investigate the limit, when k → ∞, of the solutions of ∂tu - Δu + f(u) = 0 in ℝN × (0,∞) with initial data kδ0. We prove that there exist essentially three types of possible behaviour and provide a new and more general construction of the initial trace and some uniqueness and non-uniqueness results for solutions with unbounded initial data. In the third part, we consider the equation ∂tu - Δu + f(u) = 0 in ℝN × (0,∞) where p > 1. If p > 2N/N+1we provide a sufficient condition on f for existence and uniqueness of the fundamental solutions and we study their limit when k → ∞. We also give new results dealing with non uniqueness for the initial value problem with unbounded initial data. If p ≥ 2, we prove that any positive solution admits an initial trace in the class of positive Borel measures. Finally we apply the above results to the case f(u) = uα lnβ(u + 1) with α,β > 0.

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