This thesis is concerned with motion planning for the classical two-phase Stefan problem in level set formulation. The interface separating the fluid phases from the solid phases is represented as the zero level set of a continuous function whose evolution is described by the level set equation. Heat conduction in the two phases is modeled by the heat equation. A quadratic tracking-type cost functional that incorporates temperature tracking terms and a control cost term that expresses the desire to have the interface follow a prescribed trajectory by adjusting the heat flux through part of the boundary of the computational domain. The formal Lagrange approach is used to establish a first-order optimality system by applying shape calculus tools. For the numerical solution, the level set equation and its adjoint are discretized in space by discontinuous Galerkin methods that are combined with suitable explicit Runge-Kutta time stepping schemes, while the temperature and its adjoint are approximated in space by the extended finite element method (which accounts for the weak discontinuity of the temperature by a dynamic local modification of the underlying finite element spaces) combined with the implicit Euler method for the temporal discretization. The curvature of the interface which arises in the adjoint system is discretized by a finite element method as well. The projected gradient method, and, in the absence of control constraints, the limited memory BFGS method are used to solve the arising optimization problems. Several numerical examples highlight the potential of the proposed optimal control approach. In particular, they show that it inherits the geometric flexibility of the level set method. Thus, in addition to unidirectional solidification, closed interfaces and changes of topology can be tracked. Finally, the Moreau-Yosida regularization is applied to transform a state constraint on the position of the interface into a penalty term that is added to the cost functional. The optimality conditions for this penalized optimal control problem and its numerical solution are discussed. An example confirms the efficacy of the state constraint. / Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einem Optimalsteuerungsproblem für das klassische Stefan-Problem in zwei Phasen. Die Phasengrenze wird als Niveaulinie einer stetigen Funktion modelliert, was die Lösung der so genannten Level-Set-Gleichung erfordert. Durch Anpassen des Wärmeflusses am Rand des betrachteten Gebiets soll ein gewünschter Verlauf der Phasengrenze angesteuert werden. Zusammen mit dem Wunsch, ein vorgegebenes Temperaturprofil zu approximieren, wird dieses Ziel in einem quadratischen Zielfunktional formuliert. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden formal mit Hilfe der entsprechenden Lagrange-Funktion und unter Benutzung von Techniken aus der Formoptimierung hergeleitet. Für die numerische Lösung müssen die auftretenden partiellen Differentialgleichungen diskretisiert werden. Dies geschieht im Falle der Level-Set-Gleichung und ihrer Adjungierten auf Basis von unstetigen Galerkin-Verfahren und expliziten Runge-Kutta-Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung und die entsprechende Gleichung im adjungierten System werden mit einer erweiterten Finite-Elemente-Methode im Ort sowie dem impliziten Euler-Verfahren in der Zeit diskretisiert. Dieser Zugang umgeht die aufwändige Adaption des Gitters, die normalerweise bei der FE-Diskretisierung von Phasenübergangsproblemen unvermeidbar ist. Auch die Krümmung der Phasengrenze wird numerisch mit Hilfe der Methode der finiten Elemente angenähert. Zur Lösung der auftretenden Optimierungsprobleme werden ein Gradienten-Projektionsverfahren und, im Fall dass keine Kontrollschranken vorliegen, die BFGS-Methode mit beschränktem Speicherbedarf eingesetzt. Numerische Beispiele beleuchten die Stärken des vorgeschlagenen Zugangs. Es stellt sich insbesondere heraus, dass sich die geometrische Flexibilität der Level-Set-Methode auf den vorgeschlagenen Zugang zur optimalen Steuerung vererbt. Zusätzlich zur gerichteten Bewegung einer flachen Phasengrenze können somit auch geschlossene Phasengrenzen sowie topologische Veränderungen angesteuert werden. Exemplarisch, und zwar an Hand einer Beschränkung an die Lage der Phasengrenze, wird auch noch die Behandlung von Zustandsbeschränkungen mittels der Moreau-Yosida-Regularisierung diskutiert. Ein numerisches Beispiel demonstriert die Wirkung der Zustandsbeschränkung.

This thesis is concerned with several issues of a posteriori error estimates for linear problems. In its first part error estimates for the heat conduction equation discretized by the backward Euler method in time and discontinuous Galerkin method in space are derived. In the second part guaranteed and locally efficient error estimates involving algebraic error for Poisson equation discretized by the discontinuous Galerkin method are derived. The technique is based on the flux reconstruction where meshes with hanging nodes and variable polynomial degree are allowed. An adaptive strategy combining both adaptive mesh refinement and stopping criteria for iterative algebraic solvers is proposed. In the last part a numerical method for computing guaranteed lower and upper bounds of principal eigenvalues of symmetric linear elliptic differential operators is presented. 1

Práce je zaměřená na numerickou simulaci dvoufázového proudění. Je studován matematický model a numerická aproximace toku dvou nemísitelných nestlačitelných tekutin. Rozhraní mezi tekutinami je popsáno pomocí pomocí tzv. level set metody. Představena je diskretizace problému v prostoru a v čase. Metoda konečných prvk· se zpětnou Eulerovou metodou je aplikována na Navierovy-Stokesovy rovnice a časoprostorová nespojitá Galerkinova metoda je použita k řešení transportního problému. D·raz je kladen na analýzu chyby nespojité Galerkinovy metody přímek a časoprostorové nespojité Galerkinovy metody pro transportní problém. Jsou prezentovány numerické výsledky. 1

Die vorliegende Arbeit "Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods" beweist optimale Konvergenzraten für vier diskontinuierliche Petrov-Galerkin (dPG) Finite-Elemente-Methoden für das Poisson-Modell-Problem für genügend feine Anfangstriangulierung. Sie zeigt dazu die Äquivalenz dieser vier Methoden zu zwei anderen Klassen von Methoden, den reduzierten gemischten Methoden und den verallgemeinerten Least-Squares-Methoden. Die erste Klasse benutzt ein gemischtes System aus konformen Courant- und nichtkonformen Crouzeix-Raviart-Finite-Elemente-Funktionen. Die zweite Klasse verallgemeinert die Standard-Least-Squares-Methoden durch eine Mittelpunktsquadratur und Gewichtsfunktionen. Diese Arbeit verallgemeinert ein Resultat aus [Carstensen, Bringmann, Hellwig, Wriggers 2018], indem die vier dPG-Methoden simultan als Spezialfälle dieser zwei Klassen charakterisiert werden. Sie entwickelt alternative Fehlerschätzer für beide Methoden und beweist deren Zuverlässigkeit und Effizienz. Ein Hauptresultat der Arbeit ist der Beweis optimaler Konvergenzraten der adaptiven Methoden durch Beweis der Axiome aus [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius 2014]. Daraus folgen dann insbesondere die optimalen Konvergenzraten der vier dPG-Methoden. Numerische Experimente bestätigen diese optimalen Konvergenzraten für beide Klassen von Methoden. Außerdem ergänzen sie die Theorie durch ausführliche Vergleiche beider Methoden untereinander und mit den äquivalenten dPG-Methoden. / The thesis "Adaptive Discontinuous Petrov-Galerkin Finite-Element-Methods" proves optimal convergence rates for four lowest-order discontinuous Petrov-Galerkin methods for the Poisson model problem for a sufficiently small initial mesh-size in two different ways by equivalences to two other non-standard classes of finite element methods, the reduced mixed and the weighted Least-Squares method. The first is a mixed system of equations with first-order conforming Courant and nonconforming Crouzeix-Raviart functions. The second is a generalized Least-Squares formulation with a midpoint quadrature rule and weight functions. The thesis generalizes a result on the primal discontinuous Petrov-Galerkin method from [Carstensen, Bringmann, Hellwig, Wriggers 2018] and characterizes all four discontinuous Petrov-Galerkin methods simultaneously as particular instances of these methods. It establishes alternative reliable and efficient error estimators for both methods. A main accomplishment of this thesis is the proof of optimal convergence rates of the adaptive schemes in the axiomatic framework [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius 2014]. The optimal convergence rates of the four discontinuous Petrov-Galerkin methods then follow as special cases from this rate-optimality. Numerical experiments verify the optimal convergence rates of both types of methods for different choices of parameters. Moreover, they complement the theory by a thorough comparison of both methods among each other and with their equivalent discontinuous Petrov-Galerkin schemes.

Die Herstellung hochqualitativer Produkte in der Lebensmittel-, Kosmetik- und Pharmaindustrie erfordert den Einsatz reproduzierbarer Reinigungsprozesse. Häufig wird die nasschemische Reinigung als Cleaning in Place Verfahren angewandt. Diese Arbeit leistet einen Beitrag zur Optimierung von Reinigungsprozessen im nicht immergierten System insbesondere bei der Anwendung gravitationsgetriebener Flüssigkeitsfilme. Inhalte sind Untersuchungen zum Benetzungs- und Strömungsverhalten im Vergleich zur Reinigungswirkung von Flüssigkeitsfilmen. Als Modellverschmutzungen wurden zwei lebensmitteltypische Bestandteile in Kombination mit partikulären Anteilen eingesetzt. Im Ergebnis konnte nachgewiesen werden, dass sich das Reinigungsverhalten der gewählten Verschmutzungen mit der Hydrodynamik am Beispiel von Flüssigkeitsfilmen beschreiben lässt. Zusätzlich wurde ein neuartiger Ansatz zur Optimierung der Reinigungseffizienz durch die Anwendung diskontinuierlicher Flüssigkeitsfilme untersucht. Dadurch konnte gezeigt werden, dass der Ressourceneinsatz gegenüber einer kontinuierlichen Flüssigkeitsfilmströmung signifikant verringert werden kann, wobei die Reinigungszeit nur geringfügig steigt.:Danksagung ... II Inhaltsverzeichnis ... III Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen ... VI Abkürzungsverzeichnis ... XVI 1 Einleitung, Motivation und Gegenstand der Arbeit ... 1 2 Grundlagen der Reinigung ... 3 2.1 Begriffserklärung ... 3 2.2 Industrielle Reinigungsprozesse ... 3 2.2.1 Einordnung ... 3 2.2.2 Reinigungsgeräte für die Nassreinigung im nicht immergierten System ... 8 2.3 Reinigungsvorgänge im nicht immergierten System ... 10 2.3.1 Komponenten des Reinigungssystems ... 10 2.3.2 Schmutzhaftmechanismen ... 20 2.3.3 Reinigungsmechanismen und Wirkzusammenhänge ... 23 2.3.4 Reinigungskinetik ... 28 3 Methoden für Reinigungsuntersuchungen ... 32 3.1 Einordnung ... 32 3.2 Industrielle Methoden ... 33 3.3 Wissenschaftliche Methoden ... 35 4 Gravitationsgetriebene Flüssigkeitsfilmströmungen ... 37 4.1 Einteilung von Filmströmungen und Filmkennzahlen ... 37 4.2 Kennzahlen zur Oberflächenbenetzung ... 40 4.3 Filmdicke und Filmoberflächenwelligkeit ... 47 4.3.1 Modellvorstellungen und Kennzahlen ... 47 4.3.2 Experimentelle Methoden ... 50 4.4 Strömungsgeschwindigkeit ... 54 4.4.1 Modellvorstellungen und Kennzahlen ... 54 4.4.2 Experimentelle Methoden ... 58 5 Zielsetzung und Lösungsweg ... 61 5.1 Problemstellung ... 61 5.2 Arbeitshypothese ... 62 5.3 Vorgehen ... 62 5.4 Zusammenhang mit anderen Arbeiten ... 63 6 Material und Methoden ... 64 6.1 Auswahl Substrate ... 64 6.2 Topografiebestimmung ... 64 6.3 Kontaktwinkelmessung ... 66 6.4 Untersuchungsobjekt ... 68 6.5 Grundaufbau der Versuchsanlage ... 68 6.6 Auswahl der Flüssigkeit ... 70 6.7 Festlegung der Einstellparameter für die Strömungs- und Reinigungsmessungen ... 71 6.8 Charakterisierung des Stoffsystems ... 71 6.8.1 Quellverhalten ... 71 6.8.2 Bindungskräfte ... 77 6.9 Hydrodynamik ... 79 6.9.1 Oberflächenbenetzung ... 79 6.9.2 Filmdicke ... 85 6.9.3 Strömungsgeschwindigkeit ... 102 6.10 Reinigungsuntersuchungen ... 115 6.10.1 Auswahl der Modellverschmutzungen ... 115 6.10.2 Auswahl und Konzeption der Messdatenerfassung ... 117 6.10.3 Versuchsaufbau ... 119 6.10.4 Aufnahmeparameter ... 121 6.10.5 Benetzungseinfluss auf die Phosphoreszenzintensität ... 123 6.10.6 Methode zur reproduzierbaren Verschmutzung ebener Substrate ... 125 6.10.7 Überprüfung der Reproduzierbarkeit und Gleichmäßigkeit der Verschmutzungsmethode ... 128 6.10.8 Versuchsablauf ... 130 6.10.9 Messdatenaufbereitung und -auswertung ... 130 7 Versuchsauswertung und Ergebnisse ... 140 7.1 Charakterisierung der Verschmutzung ... 140 7.1.1 Quellverhalten ... 140 7.1.2 Bindungskräfte ... 144 7.1.3 Zusammenfassung der Verschmutzungscharakterisierung ... 150 7.2 Hydrodynamik gravitationsgetriebener Flüssigkeitsfilme ... 151 7.2.1 Oberflächenbenetzung ... 151 7.2.2 Filmdicke und Filmdickenverteilung ... 163 7.2.3 Strömungsgeschwindigkeit ... 171 7.2.4 Zusammenfassung der Hydrodynamik gravitationsgetriebener Flüssigkeitsfilme ... 180 7.3 Reinigungsverhalten gravitationsgetriebener Flüssigkeitsfilme ... 182 7.3.1 Reinigungskinetik ... 182 7.3.2 Gereinigte Zonen ... 185 7.3.3 Einfluss des Flächenverschmutzungsgewichtes ... 187 7.3.4 Einfluss der Betriebsparameter ... 188 7.3.5 Reinigungseffizienz ... 191 7.3.6 Einfluss der Oberfläche ... 193 7.3.7 Fehlerdiskussion ... 195 7.3.8 Zusammenfassung des Reinigungsverhaltens ... 197 8 Vergleich Reinigungsverhalten und Hydrodynamik gravitationsgetriebener Flüssigkeitsfilme ... 198 8.1 Vorbemerkungen zum Vergleich ... 198 8.2 Einfluss Strömungsparameter auf das Reinigungsverhalten ... 198 8.2.1 Einfluss der Filmdicke und Filmdickenverteilung ... 198 8.2.2 Einfluss der Strömungsgeschwindigkeit ... 199 8.3 Einfluss abgeleiteter Größen auf das Reinigungsverhalten ... 201 8.3.1 Einfluss der Wandschubspannung ... 201 8.3.2 Einfluss der Grenzschichtdicke ... 202 8.4 Zusammenfassung des Vergleiches zwischen Reinigungsverhalten und Hydrodynamik ... 205 9 Optimierungsansatz: diskontinuierliche Flüssigkeitsfilme ... 207 10 Zusammenfassung und Ausblick ... 211 Literaturverzeichnis ... 214 Anhangverzeichnis ... 229

In dieser Arbeit untersuchen wir mehrere Anwendungen von photonischen und plasmonischen Nanostrukturen unter Verwendung zweier verschiedener numerischer Methoden: die Fourier-Moden-Methode (FMM) und ein unstetiges Galerkin-Zeitraumverfahren (discontinuous Galerkin time-domain method, DGTD method). Die Methoden werden für vier verschiedene Anwendungen eingesetzt, die alle eine Materialmodellerweiterung in der Implementierung der Methoden erfordern. Diese Anwendungen beinhalten die Untersuchung von dünnen, freistehenden, periodisch perforierten Goldfilmen. Wir charakterisieren die auftretenden Oberflächenplasmonenpolaritonen durch die Berechnung von Transmissions- und Elektronenenergieverlustspektren, die mit experimentellen Messungen verglichen werden. Dazu stellen wir eine Erweiterung der DGTD-Methode zur Verfügung, die sowohl absorbierende, impedanzangepasste Randschichten als auch Anregung mit geglätteter Ladungsverteilung für materialdurchdringende Elektronenstrahlen beinhaltet. Darüber hinaus wird eine Erweiterung auf nicht-dispersive anisotrope Materialien für eine Formoptimierung einer volldielektrischen magneto-optischen Metaoberfläche verwendet. Diese Optimierung ermöglicht eine verstärkte Faraday-Rotation zusammen mit einer hohen Transmission. Zusätzlich untersuchen wir abstimmbare hyperbolische Metamaterialresonatoren im nahen Infrarot mit Hilfe der FMM. Wir berechnen deren Resonanzen und vergleichen sie mit dem Experiment. Zum Schluss wird die Implementierung eines nichtlinearen Vier-Niveau-System-Materialmodells in der DGTD-Methode verwendet, um die Laserschwellen eines Mikroresonators mit Bragg-Spiegeln zu berechnen. Bei Einführung eines Silbergitters mit variablen Spaltgrößen wird eine defektinduzierte Kontrolle der Laserschwellen ermöglicht. Die Berechnung der vollständigen, zeitaufgelösten Felddynamik innerhalb des Resonator gibt dabei Aufschluss über die beteiligten Lasermoden. / In this thesis, we study several applications of photonic and plasmonic nanostructures by employing two different numerical methods: the Fourier modal method (FMM) and discontinuous Galerkin time-domain (DGTD) method. The methods are used for four different applications, all of which require a material model extension for the implementation of the methods. These applications include the investigation of thin, free-standing periodically perforated gold films. We characterize the emerging surface plasmon polaritons by computing both transmittance and electron energy loss spectra, which are compared to experimental measurements. To this end, we provide an extension of the DGTD method, including absorbing stretched coordinate perfectly matched layers as well as excitations with smoothed charge distribution for material-penetrating electron beams. Furthermore, an extension to non-dispersive anisotropic materials is used for shape optimization of an all-dielectric magneto-optic metasurface. This optimization enables an enhanced Faraday rotation along with high transmittance. Additionally, we study tuneable near-infrared hyperbolic metamaterial cavities with the help of the FMM. We compute the cavity resonances and compare them to the experiment. Finally, the implementation of a non-linear four-level system material model in the DGTD method is used to compute lasing thresholds of a distributed Bragg reflector microcavity. Introducing a silver grating with variable gap sizes allows for a defect-induced lasing threshold control. The computation of the full time-resolved field dynamics of the cavity provides information on the involved lasing modes.

This thesis details the development, verification and validation of an unsteady unstructured high order (≥ 3) h/p Discontinuous Galerkin - Fourier solver for the incompressible Navier-Stokes equations on static and rotating meshes in two and three dimensions. This general purpose solver is used to provide insight into cross-flow (wind or tidal) turbine physical phenomena. Simulation of this type of turbine for renewable energy generation needs to account for the rotational motion of the blades with respect to the fixed environment. This rotational motion implies azimuthal changes in blade aero/hydro-dynamics that result in complex flow phenomena such as stalled flows, vortex shedding and blade-vortex interactions. Simulation of these flow features necessitates the use of a high order code exhibiting low numerical errors. This thesis presents the development of such a high order solver, which has been conceived and implemented from scratch by the author during his doctoral work. To account for the relative mesh motion, the incompressible Navier-Stokes equations are written in arbitrary Lagrangian-Eulerian form and a non-conformal Discontinuous Galerkin (DG) formulation (i.e. Symmetric Interior Penalty Galerkin) is used for spatial discretisation. The DG method, together with a novel sliding mesh technique, allows direct linking of rotating and static meshes through the numerical fluxes. This technique shows spectral accuracy and no degradation of temporal convergence rates if rotational motion is applied to a region of the mesh. In addition, analytical mappings are introduced to account for curved external boundaries representing circular shapes and NACA foils. To simulate 3D flows, the 2D DG solver is parallelised and extended using Fourier series. This extension allows for laminar and turbulent regimes to be simulated through Direct Numerical Simulation and Large Eddy Simulation (LES) type approaches. Two LES methodologies are proposed. Various 2D and 3D cases are presented for laminar and turbulent regimes. Among others, solutions for: Stokes flows, the Taylor vortex problem, flows around square and circular cylinders, flows around static and rotating NACA foils and flows through rotating cross-flow turbines, are presented.

This work develops a discontinuous Galerkin finite element discretization of non- linear hyperbolic conservation equations with efficient and robust high order stabilization built on an entropy-based artificial viscosity approximation. The solutions of equations are represented by elementwise polynomials of an arbitrary degree p > 0 which are continuous within each element but discontinuous on the boundaries. The discretization of equations in time is done by means of high order explicit Runge-Kutta methods identified with respective Butcher tableaux. To stabilize a numerical solution in the vicinity of shock waves and simultaneously preserve the smooth parts from smearing, we add some reasonable amount of artificial viscosity in accordance with the physical principle of entropy production in the interior of shock waves. The viscosity coefficient is proportional to the local size of the residual of an entropy equation and is bounded from above by the first-order artificial viscosity defined by a local wave speed. Since the residual of an entropy equation is supposed to be vanishingly small in smooth regions (of the order of the Local Truncation Error) and arbitrarily large in shocks, the entropy viscosity is almost zero everywhere except the shocks, where it reaches the first-order upper bound. One- and two-dimensional benchmark test cases are presented for nonlinear hyperbolic scalar conservation laws and the system of compressible Euler equations. These tests demonstrate the satisfactory stability properties of the method and optimal convergence rates as well. All numerical solutions to the test problems agree well with the reference solutions found in the literature. We conclude that the new method developed in the present work is a valuable alternative to currently existing techniques of viscous stabilization.

Sudden personal transformation (SPT) was defined as a subjectively reported, positive, profound, and lasting personal change that follows a relatively brief and memorable inner experience. Although such change has been described in numerous biographies, works of fiction, and religious and scholarly texts, a consistent definition and systematic program of research is lacking in the psychological literature. Moreover, almost nothing is known about what causes such change from the subjective point of view of individuals who have experienced it first hand. This study used semi-structured interviews and thematic analysis to explore the common beliefs of three participants about the factors that facilitated and the mechanisms that caused their SPT. Findings reveal that all participants reported a life transition, feeling miserable, feeling exhausted, feeling unable to resolve adverse circumstances, reaching a breaking point, and support from others facilitated their individual SPT’s. All participants also indicated that a formalized activity or ceremony as well as a process outside of their conscious control (either a higher power or a deep inner wisdom) produced or caused their SPT’s. Implications for future research and counselling practice are discussed. / Graduate

Submitted by CLAYTON EDUARDO LENTE DA SILVA null (claedu@gmail.com) on 2016-06-02T17:41:44Z No. of bitstreams: 1 TeseFinalClayton.pdf: 1339813 bytes, checksum: 78fb3fb4fd37414af7b1a14dd1d3a122 (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2016-06-06T16:37:20Z (GMT) No. of bitstreams: 1 silva_cel_dr_sjrp.pdf: 1339813 bytes, checksum: 78fb3fb4fd37414af7b1a14dd1d3a122 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-06T16:37:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 silva_cel_dr_sjrp.pdf: 1339813 bytes, checksum: 78fb3fb4fd37414af7b1a14dd1d3a122 (MD5) Previous issue date: 2016-05-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Nesta tese estudamos sistemas dinâmicos não suaves autônomos e não autônomos. Consideramos inicialmente sistemas quadráticos positivamente limitados autônomos planares e damos condições sobre os campos para que o sistema de Filippov correspondente seja limitado. Também estudamos uma classe de sistemas quadráticos e provamos que, sob algumas restrições nos coeficientes da parte linear, os sistemas de Filippov relacionados são limitados. Em seguida, consideramos sistemas não autônomos e damos condições para a existência de soluções periódicas de uma classe de equações diferenciais ordinárias não autônomas. Por fim, consideramos equações diferenciais ordinárias não autônomas de segunda ordem genéricas, relacionadas a sistemas não suaves e não autônomos, estudamos o conceito de solução destas equações e damos condições analíticas que são satisfeitas por soluções típicas, como as soluções deslizantes, por exemplo. A unicidade de soluções para estas equações também é estudada. / In this thesis we study autonomous and non-autonomous non-smooth dynamical systems. We initially consider planar autonomous positively bounded quadratic systems. We give conditions on the vector fields for that the correspondent Filippov system be bounded. We also study a class of quadratic systems and we prove that, under some restrictions on the coefficients of linear part, the related Filippov systems are bounded. We then consider non-autonomous systems and we give conditions for the existence of periodic solutions of a certain class of non-autonomous ordinary differential equations. Finally we consider generic non-autonomous second order differential equations and we study the concept of solution of these equations and determine analytical conditions that are satisfied by typical solutions, sliding solutions for instance. Moreover, the uniqueness of solutions for these equations is studied.