La recherche en didactique des mathématiques que nous présentons a pour objet les interventions de l'enseignant dans l'activité mathématique de l'élève. Le cadre théorique est celui de la théorie des situations didactiques. Nous commençons par proposer une élaboration théorique qui permet de rendre compte de certaines interventions de l'enseignant. D'une part, nous faisons appel au concept d'étayage pour caractériser les interventions de l'enseignant dans la relation élève-milieu qui ne dénaturent pas la signification de l'activité pour l'élève. Nous montrons comment l'étayage s'insère dans une négociation du sens mathématique de l'interaction élève-milieu, négociation pouvant déboucher sur l'effet Topaze. D'autre part, nous caractérisons l'action de l'enseignant sur la compréhension de l'élève, par un processus explicatif co-construit dans l'interaction entre l'enseignant et l'élève. Nous proposons alors d'analyser ces deux processus dans une situation d'interaction enseignant-élève originale : le préceptorat, c'est-à-dire l'interaction didactique qui a lieu entre un enseignant et un unique élève. Nous avons mis en place un dispositif expérimental afin d'observer des interactions de préceptorat et de faire fonctionner nos outils d'analyse. Nos expérimentations ont été réalisées dans le cadre du projet TéléCabri qui a pour objet l'étude des usages et la spécification d'un environnement informatique d'enseignement à distance intégrant téléprésence et partage de l'espace d'apprentissage, notamment le micromonde Cabri-géomètre. L'analyse didactique des interactions de préceptorat passe par l'étude du rôle joué par ler micromonde Cabri-géomètre, composante du milieu pour l'apprentissage. Les résultats obtenus concernent : la pratique habituelle des enseignants qui transparaît dans les interactions de préceptorat, en particulier leur gestion de l'espace de travail Cabri-géomètre, l'étayage et l'effet Topaze ainsi que la caractérisation didactique du processus explicatif.

Dans ce travail de recherche, nous nous intéressons à une étude didactique de l'arithmétique au sens de théorie élémentaire des nombres dans l'objectif d'étudier certains choix de l'enseignement de l'arithmétique en France depuis le début du XX° siècle et d'identifier certaines contraintes institutionnelles après la réintroduction de l'arithmétique dans l'enseignement secondaire au début du XX1° siècle, ainsi que les effets de ces contraintes sur la pratique des enseignants et les acquis des élèves. Nous avons tout d'abord conduit une analyse épistémologique pour décrire les organisations mathématiques et les choix de définitions dans le savoir savant, que nous avons complété par un état des lieux sur les travaux antérieurs dans le monde anglo-saxon d'une part, et dans les travaux français d'autre part. Nous conduisons ensuite une analyse institutionnelle de l'arithmétique dans une perspective écologique pour dégager les différents systèmes de contraintes et de conditions qui pèsent sur les évolutions de ce savoir au cours du processus de transposition didactique interne, en analysant les programmes et les manuels dans deux institutions : au collège et en classe de seconde à partir de la réforme de 1902, jusqu'en 2010. Nous cherchons dans les programmes et les manuels des traces des organisations mathématiques de référence au collège et en classe de seconde pour l'objet d'arithmétique et les différents types de définitions. Nous poursuivons par une étude des rapports personnels des enseignants et des élèves aux objets de savoir en jeu en classe de seconde, pour confronter ensuite les réponses des enseignants avec la réponse de leurs élèves. Nos travaux montrent une très grande instabilité des contenus d'arithmétique dans le curriculum français au collège et à la transition collège/ lycée.

Cette note de synthèse rédigée en vue de soutenir une habilitation à diriger des recherches (HDR) a comme but de proposer une relecture de l'ensemble de travaux de recherche que je conduis depuis une quinzaine d'année sur l'articulation entre la logique et le raisonnement mathématique à la lumière de la théorie élémentaire des modèles de Tarski, qui joue ici le rôle de référence épistémologique pour les analyses didactiques. Une première partie présente les aspects de la théorie des modèles que j'ai retenu pour les études didactiques, ainsi qu'un exemple de l'utilisation de ce cadre pour repenser les questions de vérité, de validité, de nécessité et de certitude. La suite du document développe les analyses suivant trois axes : un retour sur les connecteurs logiques au-delà des tables de vérité ; un questionnement de différentes pratiques ordinaires dans la classe de mathématiques concernant la gestion des questions de quantification ; l'interprétation des énoncés mathématiques sous les angles syntaxique, sémantique et pragmatique. Ceci permet de réinterpréter un certain nombre d'erreurs classiques de logique ; de réduire la distance supposée entre logique de sens commun et logique mathématique et de s'interroger sur certains choix d'enseignement eu égards en particulier aux objectifs d'apprentissage visés en terme de rigueur.<br />Les résultats obtenus dans ce cadre théorique général permettent d'envisager un programme de recherche suivant deux axes complémentaires. Le premier axe concerne le développement des travaux visant à élucider le rôle que joue le formalisme logique dans l'élaboration des connaissances mathématiques au niveau de l'enseignement universitaire en lien avec la mise en œuvre d'ingénieries didactiques. Le second axe concerne la poursuite des recherches amorcées sur le croisement entre analyses didactiques et analyses dynamiques du discours dans la classe de mathématiques en mobilisant les ressources offertes par la sémantique logique.

Il s'agit, dans cette thèse, de mieux comprendre l'action, en mathématiques, de professeurs des écoles (premier degré) auprès d'élèves présentant des difficultés d'apprentissage. Ces professeurs exercent dans deux pôles, les uns en classe " ordinaire ", les autres, spécialisés, travaillent en réseau d'aides spécialisées aux élèves en difficulté (RASED) : ces maîtres E mettent en oeuvre ponctuellement de petits groupes d'aide aux apprentissages, accueillant exclusivement des élèves " peu performants ". La méthodologie élaborée tente de répondre aux questionnements et aux besoins de l'enquête. Elle utilise largement un matériau empirique, basé sur les transcripts des séances et des entretiens menés auprès de 6 professeurs (3 en classe ordinaire, 3 en regroupement d'adaptation). Ce travail se situe aussi dans une approche comparative : nous analysons et comparons les données empiriques selon des grains différents, en nous appuyant sur des concepts issus de la didactique des mathématiques. Nous utilisons ainsi une stratégie de confrontation entre modèles théoriques et actions in situ. Cette méthodologie est d'abord qualitative, mais elle trouve son originalité en y mêlant des analyses quantitatives (via un questionnaire-scénario renseigné par 41 maîtres de classe et 47 maîtres E) ce qui nous permet une " montée " en généralité

A l'articulation entre analyse épistémologique et analyse didactique, notre recherche vise à identifier les potentialités de l'arithmétique pour l'apprentissage du raisonnement mathématique et à étudier l'écologie de celles-ci en classe de terminale scientifique où ce champ a été réintroduit depuis peu. L'analyse épistémologique s'est appuyée sur la distinction entre deux dimensions du raisonnement que nous avons qualifiées respectivement de dimension organisatrice et dimension opératoire. Elle s'est attachée à identifier les formes que prennent ces dimensions dans le cas particulier de l'arithmétique, à travers l'étude de nombreux exemples de preuves, et a mis en évidence les potentialités qui en résultent pour l'apprentissage du raisonnement mathématique. L'analyse didactique a conjugué l'étude de différents corpus : sujets du baccalauréat, brochures destinées aux enseignants, copies d'une épreuve d'entraînement au baccalauréat, transcriptions d'une séance de recherche en groupes en classe de terminale scientifique. A travers l'étude menée sur le versant institutionnel (sujets de baccalauréat, documents pour les enseignants), elle a montré une exploitation certaine mais limitée des potentialités identifiées a priori et mis en évidence certains ressorts de la réduction opérée. L'analyse de travaux d'élèves a, quant à elle, montré à la fois une créativité mathématique certaine des élèves mais aussi des difficultés de raisonnement indéniables et permis d'en préciser la nature. L'analyse didactique nous a conduit à mieux percevoir à la fois l'intérêt et les limites de l'étude épistémologique qui l'avait précédée.

Depuis quelques années, l'algorithme fait son entrée dans l'enseignement secondaire en France et à l'étranger. L'enseignement de ce concept fortement lié aux mathématiques et à la preuve soulève de nombreuses questions didactiques. Cette thèse propose une analyse épistémologique du concept afin de permettre l'étude de sa transposition didactique et la construction de situations didactiques. Dans un premier temps, nous présentons une analyse épistémologique détaillée du concept en mettant en avant ses aspects fondamentaux. Cela permet de proposer un modèle de conceptions (au sens de ckc) pour l'algorithme du point de vue du savoir savant et tenant compte l'ensemble des formes que peut prendre l'algorithme. Ces résultats, validés expérimentalement par les analyses d'entretiens avec des chercheurs, permettent de mener une étude de la transposition en jeu dans l'enseignement secondaire français (lycée). Au travers de l'étude des instructions officielles, de manuels scolaires et de ressources en ligne, nous mettons en évidence une transposition partielle du concept principalement orientée vers la programmation et l'usage de l'algorithme comme un outil. Enfin, la dernière partie propose une caractérisation de problèmes fondamentaux pour l'algorithme et des perspectives pour la construction et l'étude de situations didactiques en algorithmique. / For few years, the notion of an algorithm has been introduced in secondary school curricula in France and abroad. Teaching this concept, strongly linked with mathematics and proof raises many didactic questions. This thesis proposes an epistemological analysis of the concept of an algorithm in order to allow the study of its transposition and the building of didactic situations. First, we introduce a detailed epistemological analysis of the concept, highlighting its fundamental aspects. It allows us to propose a model of conceptions (in the meaning of ckc) for algorithm viewed from the academical knowledge and taking into account the different forms an algorithm can take. Those results, experimentally validated by the analysis of interviews of researchers, permit to study the didactic transposition involved in the French secondary school (lycée). Through the study of the official curricula and some textbooks and online resources, we emphasize a partial transposition of the concept, mainly tool-oriented and based on programming. Finally, the last part proposes a characterization of fundamental problems for algorithm and perspectives for designing an studying didactic situations in algorithmics.

La thèse montre que les contraintes temporelles du fonctionnement didactique induisent des apprentissages invisibles à l'enseignant. Ces apprentissages n'assurent pas la progression didactique, mais ils jouent un rôle important dans la réussite des élèves. <br />Leur existence est établie par l'observation d'épisodes didactiques au moyen de techniques d'approche biographique originales. La méthode est appliquée à l'observation des difficultés des élèves avec le calcul algébrique au Lycée, et à leur explication.

La thèse étudie la prise en compte du principe décimal de la numération lors de l'introduction des nombres supérieurs à mille, en troisième année d'école primaire. En nous appuyant sur les cadres de la théorie anthropologique du didactique (TAD) et de la théorie des situations didactiques (TSD), nous avons d'abord construit une organisation mathématique de référence et une situation fondamentale de la numération, pour étudier les différentes étapes de la transposition didactique. Un premier résultat est le constat d'un manque de prise en compte du principe décimal de la numération de position dans les manuels et programmes actuels ainsi que dans les pratiques. Notre étude se poursuit par la détermination de conditions que devrait vérifier une ressource qui aiderait les enseignants à améliorer la prise en compte de ce principe. Pour cela nous utilisons la méthodologie d'ingénierie didactique pour le développement d'une ressource : élaborer une première version, analyser son utilisation par des enseignants, l'adapter en une seconde version, etc. (cycles conception-usage). Les résultats de l'étude concernent la pertinence des situations (mises en scène de la situation fondamentale) et de leur description aux enseignants. Ils permettent d'envisager des modifications possibles pour une ressource plus efficace. L'étude permet aussi de préciser les difficultés des élèves et de recueillir des informations sur les pratiques ordinaires des enseignants.

Dans le cadre de notre thèse en didactique des mathématiques, nous explorons la per- tinence du récit en tant que mode de pensée et support potentiel à la construction de raisonnement. Nous soutenons l'hypothèse que lors d'une activité de résolution de pro- blèmes de mathématiques, la construction d'un récit visant à répondre à une situation problématique peut être un élément déclencheur, producteur et structurant du raisonne- ment. En nous appuyant sur différents travaux qui ont souligné les fonctions heuristiques et structurantes du récit, nous avons caractérisé au plan théorique et mis à l'épreuve ex- périmentalement un milieu didactique permettant d'envisager une co-construction entre récit et raisonnement. La situation de résolution de problèmes que nous proposons, construite autour d'un jeu, amène les élèves à produire des récits descriptifs (basés sur des parties effectivement réalisées) et des récits d'anticipation (basés sur des parties imaginaires). Nos résultats mettent en évidence que le récit enrichit le milieu didactique au sens proposé par Hersant (2010), en particulier au travers de l'acte de construction par les élèves. Celui-ci soutient l'établissement du raisonnement et sa justification mathématique. C'est en produisant différents types de récits que les élèves, tout en prenant en charge les contraintes ma- thématiques de la situation, s'affranchissent du monde sensible et s'engagent dans une véritable activité de preuve mathématique (production d'exemples, de contre-exemples, de conjectures, d'argumentations, etc.).

Dans le cadre de notre thèse en didactique des mathématiques, nous explorons la pertinence du récit en tant que mode de pensée et support potentiel à la construction de raisonnement. Nous soutenons l'hypothèse que lors d'une activité de résolution de problèmes de mathématiques, la construction d'un récit visant à répondre à une situation problématique peut être un élément déclencheur, producteur et structurant du raisonnement. En nous appuyant sur différents travaux qui ont souligné les fonctions heuristiques et structurantes du récit, nous avons caractérisé au plan théorique et mis à l'épreuve expérimentalement un milieu didactique permettant d'envisager une co-construction entre récit et raisonnement. La situation de résolution de problèmes que nous proposons, construite autour d'un jeu, amène les élèves à produire des récits descriptifs (basés sur des parties effectivement réalisées) et des récits d'anticipation (basés sur des parties imaginaires). Nos résultats mettent en évidence que le récit enrichit le milieu didactique au sens proposé par Hersant (2010), en particulier au travers de l'acte de construction par les élèves. Celui-ci soutient l'établissement du raisonnement et sa justification mathématique. C'est en produisant différents types de récits que les élèves, tout en prenant en charge les contraintes mathématiques de la situation, s'affranchissent du monde sensible et s'engagent dans une véritable activité de preuve mathématique (production d'exemples, de contre-exemples, de conjectures, d'argumentations, etc.) / Our thesis in mathematics education explores the relevance of story building as a pattern of thought and potential support for the construction of reasoning. We assume that establishing a narrative in order to answer a problematic situation is both a trigger and processing aid. Our main hypothesis is that the narrative act offers structured guidelines for the process of reasoning during problem solving activity. Several studies have indeed highlighted the heuristics and structuring functions of narrative. Relying on these studies we first characterized theoretically and then tested experimentally a didactical environment. We shaped the characteristics of this environment with the objective of ensuring a joint development between narrative and reasoning. The situation of problem solving we offer is built around a game. To address problematic situations, students produced descriptive (based on games actually made) and anticipated (based on imaginary games) narratives. In both case, the construction of a narrative is a powerful asset. Our results demonstrate that the story enriches, within the meaning of Hersant (2010), the educational environment. The act of narration supports the student’s mathematical reasoning and justification. While producing different types of stories, students embrace the mathematical constraints of the situations and step back from the sensible world. No more restrained by material thinking, the students are more inclined to mathematical approach. Therefore, they develop or enhance their mathematical proving skills (example and counter-example arguments, mathematical conjectures and demonstrations, etc.)