Dans ce travail de recherche, nous nous intéressons à une étude didactique de l’arithmétique au sens de théorie élémentaire des nombres dans l’objectif d'étudier certains choix de l'enseignement de l’arithmétique en France depuis le début du XX° siècle et d'identifier certaines contraintes institutionnelles après la réintroduction de l’arithmétique dans l’enseignement secondaire au début du XX1° siècle, ainsi que les effets de ces contraintes sur la pratique des enseignants et les acquis des élèves. Nous avons tout d'abord conduit une analyse épistémologique pour décrire les organisations mathématiques et les choix de définitions dans le savoir savant, que nous avons complété par un état des lieux sur les travaux antérieurs dans le monde anglo-saxon d’une part, et dans les travaux français d’autre part. Nous conduisons ensuite une analyse institutionnelle de l’arithmétique dans une perspective écologique pour dégager les différents systèmes de contraintes et de conditions qui pèsent sur les évolutions de ce savoir au cours du processus de transposition didactique interne, en analysant les programmes et les manuels dans deux institutions : au collège et en classe de seconde à partir de la réforme de 1902, jusqu’en 2010. Nous cherchons dans les programmes et les manuels des traces des organisations mathématiques de référence au collège et en classe de seconde pour l’objet d’arithmétique et les différents types de définitions. Nous poursuivons par une étude des rapports personnels des enseignants et des élèves aux objets de savoir en jeu en classe de seconde, pour confronter ensuite les réponses des enseignants avec la réponse de leurs élèves. Nos travaux montrent une très grande instabilité des contenus d’arithmétique dans le curriculum français au collège et à la transition collège/ lycée. / In this research, we are interested in a didactic study of the arithmetical contents, where arithmetic refers to elementary theory of numbers. We aimed to study choices of the teaching of arithmetic in France from the early XXth century and to identify institutional constraints for the reintroduction of arithmetic in the secondary education that occurred in the early XXIth and their effects on teaching practices and students’ experiences. First, we lead an epistemological analysis to describe the different mathematical organizations, and definitions that should be chosen for the teaching of arithmetic that we have completed with a review of previous researches in the Anglo-Saxon world on one hand, and in the French works on the other hand. We lead then an institutional analysis of the arithmetic in an ecological perspective to reveal different systems of constraints and conditions that should have an influence on the evolutions of this knowledge during the process of internal didactic transposition, by analyzing the programs and the textbooks in two institutions: Middle school and the fifth year of High school, from the reform of 1902 till 2010, tracking the mathematical organizations and the definitions. Second, we lead a study of the personal relationships of teachers and students regarding the arithmetical concepts involved in fifth year of high school through two questionnaires, including a comparison between teachers’ answers and the answers of their own pupils. A main result of our research is the great instability of the arithmetical content in the French curriculum at Middle school and at the transition from Middle school into High school.

La question de l’enseignement du nombre à l’école maternelle est abordée à travers les savoirs et les connaissances mathématiques spécifiques du professeur. Cette thèse s’inscrit dans le cadre de la théorie des situations didactiques. Une modélisation des savoirs mathématiques spécifiques pour l’enseignement du nombre à l’école maternelle est proposée afin d’étudier l’enseignement du nombre de dix enseignants. Le travail est complété par une micro formation relative à des savoirs spécifiques pour la quantité. La thèse étudie l’impact de nouveaux savoirs sur les connaissances mathématiques spécifiques de cinq professeurs. Enfin, les résultats de la recherche sont interprétés par rapport à la formation des enseignants / Teaching numbers in preschool is addressed though the specific mathematical knowledge of the teacher himself. This thesis work comes within theoretical didactical situations. A modeling system for specific mathematical knowledge is suggested in order to study the way ten teachers teach numbers. This work is completed by a short training course related to quantity knowledge. This thesis work analyses the impact of these new specific fields of knowledge for five amongst ten of these teachers. The final result of the research work is highlighted by teachers training.

La récente réforme des lycées en France de 2009 s'est accompagnée d'un changement de programmes en mathématiques. Relativement à la classe de seconde, deux sujets nous questionnent : d'une part, la nouvelle place de l'algèbre, désormais plongée dans le domaine fonctionnel, lui conférant un rôle essentiellement d'outil, et d'autre part l'introduction d'une familiarisation avec l'algorithmique. De par l'intérêt de lier ces deux sujets, ce travail de thèse propose une étude didactique de la reprise de l'algèbre élémentaire en classe de seconde, et plus particulièrement des objets gravitant autour du concept d'équation, objets dont nous cherchons à affiner le sens par le détour de l'algorithmique. Nous situant dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique de Chevallard, nous étudions les conditions et les contraintes de cette reprise. Au travers d'une ingénierie didactique mise en place avec la collaboration de trois enseignants de lycée, nous montrons comment la reprise de concepts d'algèbre élémentaire par le biais de l'algorithmique induit pour les élèves un geste de généralisation, tout en réalisant une certaine matérialisation des objets algébriques, en les manipulant au sein d'un programme informatique. Pour les enseignants, cette ingénierie provoque un questionnement sur les praxéologies de leur enseignement de l'algèbre, suscité par des tâches non routinières de catégorisation et de modélisation des équations. Enfin, nous mettons en évidence la question de l'intégration du domaine de l'algorithmique dans la discipline des mathématiques et le besoin d'une formation des professeurs pour assurer la viabilité de cet enseignement. / The recent French schools reform (2009) was accompanied by a change in mathematics curriculum. With respect to the “classe de seconde” (9th-10th Grade in US High School), two subjects question us: first, the new positioning of algebra, now part of the functional domain, giving it a primary role of tool, and on the other hand, the introduction of algorithmic concepts.Through the value of combining these two subjects, this thesis proposes a didactic study of the resumption of elementary algebra in “classe de seconde”, and especially of the objects orbiting around equation concept, objects of which we search to refine the meaning, through the detour of algorithmics. Positioned within the anthropological theory of the didactic by Chevallard, we study the conditions and constraints of this resumption. Through a didactic engineering implementation in collaboration with three high school teachers, we show how the resumption of basic algebra concepts through algorithmics induced for students a gesture of generalization, while achieving some materialization of algebraic objects, manipulating them in a computer program. For teachers, this engineering induces a questioning of their praxeology teaching algebra, generated by non-routine tasks of equations categorization and modeling. Finally, we highlight the challenge of integrating algorithmics domain within mathematics discipline and the need for teachers to be trained, to ensure the viability of this teaching.

La thèse étudie l'évolution sous contraintes du milieu que se donnent les élèves dans les cadres des premiers moments d'une activité d'étude et de recherche sur les équations du premier degré à une inconnue en classe de 4°. Le dispositif d'observation - analyses mathématique et didactique a priori soutenant la proposition d'activité, mise en place de groupes au sein des classes, films des interactions au sein du processus de recherche - recourt à une méthodologie de type clinique. Elle autorise une analyse micro-didactique qui, utilisant les récents développements de la théorie Anthropologique du didactique, conclut à la différenciation des milieux, des temporalités et des fonctions au sein des groupes observés et un enrichissement du concept de mémoire didactique. / The thesis studies the evolution under constraints of the milieu that pupils give themselves in the frames of the first moments of an activity of study and research on single-unknown equations of the first degree in class of 4 °.The observation device - a priori mathematical and didactical analyzes supporting the activity proposal, setting up groups within the classes, films of the interactions within the research process - resorts to a methodology of the clinical type. It allows a micro-didactic analysis which, using the most recent developments of the anthropological theory of didactics, concludes with the differentiation of the environments, the temporalities and the functions within the groups observed and an enrichment of the concept of didactic memory.

Dans cette thèse, nous étudions l’impact du P.I.B.I.D. (Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência), programme de formation des professeurs au Brésil, créé en 2007, sur la formation des enseignants de mathématiques.Notre problématique est double : le P.I.B.I.D. apporte-t-il une amélioration conséquente à la formation des enseignants ?, et pour les professeurs de mathématiques : est-ce que la didactique des mathématiques, telle qu’elle est enseignée dans les Instituts d’Enseignement Supérieur, est liée réellement à la pratique de classe des enseignants formés par ce programme ?L’impact de la pensée française dans la sphère éducative brésilienne est indéniable. Ce sont de grands chercheurs français qui ont dirigé la construction des curriculums de formation des enseignants brésiliens. Il est donc naturel de comparer la formation donnée par le P.I.B.I.D. avec celle donnée dans les E.S.P.E. en France. Quatre parties composent cette thèse. Dans la première nous traçons le cadre général dans lequel se place la formation des enseignants en faisant une brève comparaison des systèmes scolaires brésilien et français au Chapitre I. Dans le suivant après avoir présenté succinctement le système d’enseignement supérieur brésilien, nous faisons un historique de la formation des professeurs au Brésil depuis 1 827, puis nous présentons le PIBID, sa création et son évolution jusqu’à nos jours où il va être remplacé par le Programme de Résidence Pédagogique.Dans la deuxième partie, nous abordons un point technique essentiel pour comprendre le PIBID : le système statistique complexe utilisé au Brésil pour piloter le système éducatif et repérer les écoles ayant le plus d’élèves en difficulté afin de les encourager à participer à ce programme en accueillant des boursiers. Au chapitre III, nous décrivons le Recensement Scolaire et son organisation. Nous explicitons certains concepts statistiques comme le flux scolaire et le taux de performance. Pour trouver des comparaisons pertinentes entre le Brésil et de la France, nous portons notre attention sur le redoublement et le décrochage scolaire en France. Au chapitre IV nous approfondissons ces concepts en détaillant le fonctionnement du S.A.E.B. (Système National d’Évaluation de l’Éducation de Base) et le calcul de l’I.D.E.B. (Indice de Développement de l’Éducation de Base) qui est crucial pour le P.I.B.I.D.Dans la troisième partie au chapitre V, nous analysons les réponses aux questions que nous avons posées lors des entretiens menés auprès de 34 acteurs du P.I.B.I.D. L’intégralité des échanges traduits en français figure à l’Annexe A. V. La transcription représente plus de 3 700 tours de parole.Enfin la quatrième partie est consacrée au point central de notre réflexion sur la formation des enseignants de mathématiques au Brésil, c’est-à-dire l’apport des théories pédagogiques et didactiques à cette formation.Nous décrivons brièvement au chapitre VI, l’influence au Brésil des recherches françaises en pédagogie et en didactique des mathématiques, en prenant en considération les travaux de Gaston Bachelard et Jean Piaget pour la pédagogie et de Guy Brousseau, Gérard Vergnaud, Yves Chevallard et Michèle Artigue, Gérard Sensevy et Rémi Brissiaud pour la didactique. Dans le chapitre VII, après un bref rappel des dispositifs de formation des enseignants en France nous portons un regard personnel sur cette formation dans les E.S.P.E. à travers des comptes rendus de séances d’observation que nous a pu effectuer à Nice. Enfin concernant le P.I.B.I.D., nous concluons que c’est un programme innovant qui a apporté beaucoup de progrès dans la formation des enseignants, et nous suggérons quelques améliorations sur la nature des stages dans les écoles et en retour quelques améliorations à apporter en France dans le choix des écoles où se déroulent les stages de formation des futurs enseignants.Cette recherche est complétée par une bibliographie de 180 références. / In this thesis, we study the impact of the P.I.B.I.D. (Programa Institucional of Bolsas de Iniciação in Docência), training program of teachers in Brazil, created in 2007, on the formation of the teachers of mathematics.Our problem is twofold: does the P.I.B.I.D. provide a significant improvement in teacher training ?, and for mathematics teachers: is the didactic of mathematics, as taught in Higher Education Institutes, really linked to the class practice of teachers trained by this program?The impact of French thought in the Brazilian educational sphere is undeniable. These are great French researchers who led the construction of Brazilian teacher training curricula. It is therefore natural to compare the training given by P.I.B.I.D. with that given in the E.S.P.E. in France.Four parts compose this thesis. In the first we draw the general framework in which teacher training takes place by doing a brief comparison of the Brazilian and French school systems in Chapter I. In the following chapter, after presenting briefly the Brazilian higher education system, we write a historical of the training of teachers in Brazil since 1827, next we present the P.I.B.I.D., its creation and its evolution until our days when it will be replaced by the Pedagogical Residence Program.In the second part, we address an essential technical point to understand the P.I.B.I.D.: the complex statistical system used in Brazil to steer the education system and identify the schools with the most students in difficulty, to encourage them to participate in this program, welcoming fellows future teachers. In Chapter III, we describe the School Census and its organization. We explain some statistical concepts such as school flow and performance rate. To find relevant comparisons between Brazil and France, we turn our attention to repetition and drop out of school in France. In Chapter IV we delve deeper into these concepts by detailing the functioning of the National Basic Education Assessment System (S.A.E.B.) and the calculation of the I.D.E.B. (Basic Education Development Index) which is crucial for the P.I.B.I.D.In the third part, in Chapter V, we analyze the answers to the questions we asked in interviews with 34 stakeholders in the P.I.B.I.D. All the exchanges translated into French are given in Appendix A. V. The transcript represents more than 3,700 speaking slots.Finally, the fourth part is devoted to the central point of our reflection on the training of mathematics teachers in Brazil, that is to say the contribution of pedagogical and didactic theories to this training. We briefly describe in Chapter VI, the influence in Brazil of French researches in pedagogy and didactics of mathematics, taking into account the work of Gaston Bachelard and Jean Piaget for pedagogy and Guy Brousseau, Gérard Vergnaud, Yves Chevallard, Michèle Artigue, Gérard Sensevy and Rémi Brissiaud for didactics.In Chapter VII, after a brief review of teacher training schemes in France, we take a personal look at this training in the E.S.P.E. through reports of observation sessions that we have done in Nice.Finally, concerning the P.I.B.I.D., we conclude that it is an innovative program that has made a lot of progress in the training of teachers, and we suggest some improvements on the nature of internships in schools and in return some improvement to be made in France in the choice of schools where the training courses for future teachers take place.This research is completed by a bibliography of 180 references.

Dans cette thèse, nous analysons les pratiques de deux enseignants de sixième sur le chapitre de la symétrie axiale au cours d'une même année scolaire (un enseignant en ZEP et un enseignant en établissement ordinaire). Nous nous intéressons à la fois aux apprentissages des élèves via leurs productions en contrôles, compte tenu des scénarios globaux et des déroulements organisés en classe, et à la compréhension des logiques d'action des deux enseignants, notamment compte tenu des contraintes sociales et institutionnelles. L'étude est menée en utilisant le cadre théorique de la double approche didactique et ergonomique des pratiques enseignantes (Robert & Rogalski, 2002), en lien avec la théorie de l'activité. Les premières analyses comparatives sont complétées par celles d'une expérience complémentaire menée l'année suivante : il a été proposé à l'enseignant de ZEP d'adopter (et d'adapter) pour sa classe le scénario conçu par l'enseignant d'établissement ordinaire l'année précédente. Les résultats de cette expérience, qui témoignent d'évolutions importantes, nous conduisent à affiner et à compléter notre analyse des pratiques en évaluant plus finement les poids respectifs de la composante personnelle et des différentes contraintes ; elles nous permettent en outre de questionner des conditions d'évolution des pratiques.

La raison initiale du sujet de cette thèse est l'introduction, pour la première fois en France, d'éléments de théorie des graphes dans un curriculum de l'enseignement secondaire, à savoir celui de la spécialité mathématiques de la Terminale économique et sociale (ES) en 2002.<br />Après une brève étude historique de la genèse – relativement récente – du graphe en tant que concept mathématique et de la signification épistémologique de cette genèse, nous analysons les choix faits pour la transposition de ce concept, en particulier les énoncés proposés aux élèves, qui montrent le décalage entre les intentions affichées et la réalité. Cette partie du programme de terminale ES se particularise par sa mise en œuvre « axée sur le seule résolution de problèmes ».<br />Or, nous montrons que les manuels scolaires sont dans ce chapitre composés d'exercices et non de problèmes. L'enseignement de théorie des graphes, s'il se limite à la résolution, locale, de ces exercices ou de « casse-tête » mathématiques, ne permet pas aux élèves de comprendre les concepts mathématiques sous-jacents ni surtout d'accéder au sens du raisonnement mathématique (en particulier autour de la modélisation et de la preuve) et à la richesse de la démarche scientifique, ce qu'aurait dû permettre ce domaine facilement abordable des mathématiques.<br />Une étude théorique et expérimentale du problème de « parcours eulériens dans les graphes » a ensuite été menée, du primaire au supérieur, sous des formes différentes (situations-recherche en classe avec ou sans support matériel, étude de documents). Des éléments didactiques ont aussi été tirés de deux stages de formation d'enseignants en théorie des graphes pour la Terminale ES.<br />Ces différentes études nous ont conduit à proposer un nouvel ensemble organisé de problèmes à destination des enseignants de Terminale ES, accompagnés de leur résolution et d'analyses didactiques qui attestent que des mathématiques plus consistantes peuvent être abordées et construites sur ce thème.

Notre étude porte sur les effets didactiques de la symétrie axiale dans l'enseignement et l'apprentissage des transformations du plan au collège. Nous référons à la théorie des champs conceptuels de Vergnaud mais aussi au cadre des paradigmes géométriques et des Espaces de Travail Géométriques (ETG) de Houdement & Kuzniak afin de décrire la nature du travail géométrique en jeu dans l'activité de l'élève. Nous souhaitons déterminer le rôle de la symétrie axiale dans le type de déconstruction des figures, au sens de Duval, au cœur de l'ETG personnel des élèves. A partir de l'analyse d'un questionnaire commun en 5e et en 3e, il apparaît que la stabilité des ETG personnels des élèves de 3e est due à la souplesse d'adaptation des schèmes de la symétrie axiale selon la tâche. Cependant, ces schèmes semblent s'opposer à ceux liés à la rotation, et révèlent ainsi une appréhension des figures différentes selon la transformation en jeu. L'instabilité des ETG personnels des élèves de 5e se manifeste elle par de nombreux amalgames dus à la symétrie axiale. De nombreuses observations de classes en 6e, 5e et 3e d'un même professeur ont permis d'expliciter en partie ces résultats. Certains schèmes construits en classe révèlent des glissements qui semblent négligeables en classe mais se cristallisent ensuite dans les pratiques des élèves. Cette thèse rend également compte de la nature du travail géométrique dans une problématique pratique à travers une enquête auprès de tailleurs de pierre et ébénistes. Cette étude décrit comment la symétrie se révèle un concept « naturalisé » et organisateur de la conduite de l'artisan, dans le cadre d'une géométrie en acte organisée mais figée.

Le texte est organisé en deux parties : Parcours personnel dans un champ de questions, et Synthèse des problèmes d'un domaine de recherches. La première partie présente mon parcours biographique en didactique des mathématiques, depuis l'entrée dans la problématique : Didactique d'un corps de savoirs, puis l'identification des dimensions principales du didactique : L'espace-temps didactique scolaire, et la recherche de leurs déterminations institutionnelles : La relation didactique et l'institution scolaire. L'exposé permet une première acculturation avec les systèmes conceptuels les plus lar-gement utilisés et débattus en didactique des mathématiques francophone, la théorie des situations didactiques, TSD, et l'approche anthropologique du di-dactique, TAD. On montre le développement de l'approche biographique, une méthode de recherche originale qui permet l'intervention pour l'observation et appartient donc aux méthodes cliniques. Cette méthode produit des questions relatives au savoir dans les institutions, et des questions relatives aux sujets dans les insti-tutions. La question de la mémoire collective est la clé du lien entre ces deux dimensions. La deuxième partie interroge la consistance des questions produites et des résultats obtenus. Pour travailler cette question on reprend les notions centra-les de " situation " et de " adidacticité ". Deux grands types de questions sont alors étudiés : l'étude et son organisation, le savoir comme mémoire collecti-ve. La méthode clinique comme évolution de l'approche biographique est alors mise en place comme l'outil central des études à venir.

Ce travail de thèse porte sur le passage, dans l'enseignement secondaire, d'une géométrie du concret à une géométrie portant sur des objets idéaux. Nous montrons que des environnements de géométrie dynamique tridimensionnelle offrent des conditions favorables à ce passage, que nous détaillons. La réflexion théorique s'appuie sur la Théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) pour proposer des hypothèses quant aux conditions et mécanismes d'apprentissage. En outre, notre questionnement initial est interprété à l'aide de deux cadres principaux. Le point de vue épistémologique des paradigmes géométriques (Houdement et Kuzniak, 2006) permet d'identifier la référence à GII comme un objectif fondamental. L'approche cognitive de Duval (2005, 1994) montre qu'à cette fin, l'élève doit abandonner la visualisation iconique et s'appuyer sur déconstruction dimensionnelle pour l'interprétation et la résolution des problèmes de géométrie. La géométrie dynamique dans l'espace est envisagée comme moteur de cette double perspective, et la déconstruction instrumentale y joue un rôle clef. Ce rôle, ainsi que des hypothèses d'émergences de la déconstruction dimensionnelle, sont précisés par un important travail théorique s'appuyant sur le modèle cKc (Balacheff, 1995; Balacheff et Margolinas, 2005), ainsi que la mise en œuvre d'une ingénierie didactique. Celle-ci apporte une validation expérimentale de plusieurs plusieurs résultats, au nombre desquels : - la pertinence d'analyser l'activité géométrique simultanément en termes de visualisations, déconstructions, et paradigmes géométriques ; - l'intérêt de la géométrie dynamique dans l'espace pour déstabiliser la visualisation iconique ; - l'existence de deux déconstructions instrumentales, et leur rôle fondamental pour l'émergence de la déconstruction dimensionnelle ; - les interactions entre les différentes déconstructions, qui n'étaient pas établies dans les travaux antérieurs ; - la possibilité de produire des situations s'appuyant sur la géométrie dynamique dans l'espace favorisant l'émergence de la déconstruction dimensionnelle ; - l'intérêt du modèle cKc pour la modélisation et l'analyse des phénomènes observés.