The topic of this thesis is a diffusion process on a potential landscape which is given by a smooth Hamiltonian function in the regime of small noise. The work provides a new proof of the Eyring-Kramers formula for the Poincaré inequality of the associated generator of the diffusion. The Poincaré inequality characterizes the spectral gap of the generator and establishes the exponential rate of convergence towards equilibrium in the L²-distance. This result was first obtained by Bovier et. al. in 2004 relying on potential theory. The presented approach in the thesis generalizes to obtain also asymptotic sharp estimates of the constant in the logarithmic Sobolev inequality. The optimal constant in the logarithmic Sobolev inequality characterizes the convergence rate to equilibrium with respect to the relative entropy, which is a stronger distance as the L²-distance and slightly weaker than the L¹-distance. The optimal constant has here no direct spectral representation. The proof makes use of the scale separation present in the dynamics. The Eyring-Kramers formula follows as a simple corollary from the two main results of the work: The first one shows that the associated Gibbs measure restricted to a basin of attraction has a good Poincaré and logarithmic Sobolev constants providing the fast convergence of the diffusion to metastable states. The second main ingredient is a mean-difference estimate. Here a weighted transportation distance is used. It contains the main contribution to the Poincaré and logarithmic Sobolev constant, resulting from exponential long waiting times of jumps between metastable states of the diffusion.

Background: Normal pressure hydrocephalus (NPH) has been an ongoing and challenging field of research for the past decades because two main issues are still not fully understood: the pathophysiologic mechanisms underlying ventricular enlargement and prediction of outcome after surgery. Purpose: To evaluate changes in diffusion tensor imaging (DTI) derived parameters in patients with suspected normal pressure hydrocephalus before and after withdrawal of cerebrospinal fluid (CSF). Material and Methods: Twenty-four consecutive patients with clinical and radiological suspicion of NPH and 14 agematched control subjects were examined with DTI on a clinical 3T scanner. Patients were examined before and 6–36 h after CSF drainage (interval between scans, 5 days). Fifteen patients were finally included in data analysis. Fractional anisotropy (FA) and mean, parallel, and radial diffusivity (MD, PD, RD) were evaluated using a combination of a ROI-based approach and a whole-brain voxel-by-voxel analysis. Results: Alteration of DTI parameters in patients with suspected NPH is regionally different. Compared to the control group, we found an elevation of FA in the subcortical white matter (SCWM) and corpus callosum, whereas the other diffusion parameters showed an increase throughout the brain in variable extent.We also found a slight normalization of RD in the SCWM in patients after lumbar drainage. Conclusion: Our results show that DWI parameters are regionally dependent and reflect multifactorial (patho-) physiological mechanisms, which need to be interpreted carefully. It seems that improvement of gait is caused by a decrease of interstitial water deposition in the SCWM.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Coarse-Graining (dt. ``Vergröberung", ``Zusammenfassung von Zuständen") für Gradientensysteme und Markov-Prozesse. Coarse-Graining ist ein etabliertes Verfahren in der Mathematik und in den Naturwissenschaften und hat das Ziel, die Komplexität eines physikalischen Systems zu reduzieren und effektive Modelle herzuleiten. Die mathematischen Probleme in dieser Arbeit stammen aus der Theorie der Systeme interagierender Teilchen. Hierbei werden zwei Ziele verfolgt: Erstens, Coarse-Graining mathematisch rigoros zu beweisen, zweitens, mathematisch äquivalente Beschreibungen für die effektiven Modelle zu formulieren. Die ersten drei Teile der Arbeit befassen sich mit dem Grenzwert schneller Reaktionen für Reaktionssysteme und Reaktions-Diffusions-Systeme. Um effektive Modelle herzuleiten, werden nicht nur die zugehörigen Reaktionsratengleichungen betrachtet, sondern auch die zugrunde liegende Gradientenstruktur. Für Gradientensysteme wurde in den letzten Jahren eine strukturelle Konvergenz, die sogenannte ``EDP-Konvergenz", entwickelt. Dieses Coarse-Graining-Verfahren wird in der vorliegenden Arbeit auf folgende Systeme mit langsamen und schnellen Reaktionen angewandt: lineare Reaktionssysteme (bzw. Markov-Prozesse auf endlichem Zustandsraum), nichtlineare Reaktionssysteme, die das Massenwirkungsgesetz erfüllen, und lineare Reaktions-Diffusions-Systeme. Für den Grenzwert schneller Reaktionen wird eine mathematisch rigorose und strukturerhaltende Vergröberung auf dem Level des Gradientensystems inform von EDP-Konvergenz bewiesen. Im vierten Teil wird der Zusammenhang zwischen Gleichungen mit Gedächtnis und Markov-Prozessen untersucht. Für Gleichungen mit Gedächtnisintegralen wird explizit ein größer Markov-Prozess konstruiert, der die Gleichung mit Gedächtnis als Teilsystem enthält. Der letzte Teil beschäftigt sich mit verschieden Diskretisierungen für den Fokker-Planck-Operator. Dazu werden numerische und analytische Eigenschaften untersucht. / This thesis deals with coarse-graining for gradient systems and Markov processes. Coarse-graining is a well-established tool in mathematical and natural sciences for reducing the complexity of a physical system and for deriving effective models. The mathematical problems in this work originate from interacting particle systems. The aim is twofold: first, providing mathematically rigorous results for physical coarse-graining, and secondly, formulating mathematically equivalent descriptions for the effective models. The first three parts of the thesis deal with fast-reaction limits for reaction systems and reaction-diffusion systems. Instead of deriving effective models by solely investigating the associated reaction-rate equation, we derive effective models using the underlying gradient structure of the evolution equation. For gradient systems a structural convergence, the so-called ``EDP-convergence", has been derived in recent years. In this thesis, this coarse-graining procedure has been applied to the following systems with slow and fast reactions: linear reaction systems (or Markov process on finite state space), nonlinear reaction systems of mass-action type, and linear reaction-diffusion systems. For the fast-reaction limit, we perform rigorous and structural coarse-graining on the level of the gradient system by proving EDP-convergence. In the fourth part, the connection between memory equations and Markov processes is investigated. Considering linear memory equations, which can be motivated from spatial homogenization, we explicitly construct a larger Markov process that includes the memory equation as a subsystem. The last part deals with different discretization schemes for the Fokker–Planck operator and investigates their analytical and numerical properties.

This master’s thesis investigates generative AI-art through the lens of actor network theory. By focusing on the role of images in datasets as a material that effects both AI-models and artworks, the decisively non-human agencies generative AI-models can be said to possess, and the traces and associations that generative AI-models imbue artworks with, this thesis aims to investigate art that has been created with GAN-models as well as contemporary text-to-image diffusion-models, by way of similar premises. Forgoing common discussions and questions regarding the status of AI-art as art that inundate many a reasoning regarding this topic, this thesis instead investigates the use of generative AI to make images and art with an understanding of it as a multifaceted practice that can be observed and experienced in a variety of ways.  General topics such as the way images are used to train AI-models, the blurry connections between trained images and generated images, the way AI-models can be used and interacted with by using prompts as well as different kinds of interfaces and AI-Image-generators, are investigated, followed by the analysis of a number of artworks for which generative AI has been used. Throughout this study generative AI-art emerges as a both novel and oftentimes contested artform that is defined by direct and indirect connection to other media, a varied understanding of what it is that the artificial intelligence appears to do, and a use of the AI-artwork as a means to comment the mediums emerging characteristics.

On considère le problème d’advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le problème d’advection (β•∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borné du plan. Le terme de diffusion est approché par des éléments de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une méthode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le problème stationnaire d’advection-diffusion, la L²-stabilité (c’est-à-dire indépendante du coefficient de diffusion v) est démontrée pour la solution du problème approché obtenue par cette méthode d’éléments finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la géométrie doit être satisfaite. Des exemples de maillages sont donnés. Toujours avec cette condition géométrique sur le maillage, une inégalité de stabilité (où la discrétisation en temps n’est pas couplée à une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discrétisation en temps y est faite par un schéma d’Euler implicite. Une majoration de l’erreur, proportionnelle au pas en temps et à la finesse du maillage, est ensuite proposée et exprimée explicitement en fonction des données du problème. Pour le problème d’advection, une approche utilisant la théorie des graphes est utilisée pour obtenir l’existence et l’unicité de la solution, ainsi que le résultat de stabilité. Comme pour la stabilité du problème d’advection-diffusion, une condition géométrique - qui est équivalente pour les points intérieurs du maillage à celle du problème d’advection-diffusion - est nécessaire. / We consider the stationary linear convection-diffusion equation v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), the time dependent d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v) equation and the linear advection equation (β•∇u, v) = (f, v) on a two dimensional bounded polygonal domain. The diffusion term is discretized by Crouzeix-Raviart piecewise linear finite elements, and the convection term by upwind barycentric finite volumes on a triangular grid. For the stationary convection-diffusion problem, L²-stability (i.e. independent of the diffusion coefficient v) is proven for the approximate solution obtained by this combined finite-element finite-volume method. This result holds if the underlying grid satisfies a condition that is fulfilled, for example, by some structured meshes. Using again this condition on the grid, stability is shown for the time dependent convection-diffusion equation (without any link between mesh size and time step). An implicit Euler approach is used for the time discretization. It is shown that the error associated with this scheme decays linearly with the mesh size and the time step. This result holds without any link between mesh size and time step. The dependence of the corresponding error bound on the diffusion coefficient is completely explicit. For the stationary advection equation, an approach using graph theory is used to obtain existence, uniqueness and stability. As in the stationary linear convection-diffusion equation, the underlying grid must satisfy some geometric condition. / Gegenstand der Arbeit ist die zweidimensionale stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v), sowie die Konvektionsgleichung (β•∇u, v) = (f, v). Der Diffusionsterm ist diskretisiert mittels Crouzeix-Raviart stückweise lineare Finite Elemente. Das Gebiet ist in Dreiecke unterteilt und der Konvektionsterm ist mittels einer upwind Methode auf Baryzentrische Finite Volumenelemente definiert. Für die stationäre Konvektion-Diffusionsgleichung, wird (d.h. von v unabhängige) L²-Stabilität der numerischen Lösung bewiesen. Voraussetzung dafür, ist die Erfüllung gewisser geometrischer Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets. Beispiele von Unterteilungen die diese Bedingungen erfüllen, werden gegeben. Wieder an dieser geometrischen Bedingung geknüpft, wird Stabilität (d.h. die Zeitdiskretisierung ist entkoppelt von der Netzweite) für die zeitabhängige Konvektion-Diffusionsgleichung, bewiesen. Für die Zeitableitung wird dabei eine Implizite Euler Diskretisierung verwendet. Eine obere Schranke für den Diskretisierungsfehler, proportional zum Zeitdiskretisierungsparameter und zur Netzfeinheit, ausgedrückt als Funktion der Daten der Differenzialgleichung, wird gezeigt. Für die Konvektionsgleichung wird ein graphentheoretischer Zugang verwendet, der es ermöglicht Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität, zu bekommen. Für die Stabilität, werden ähnliche geometrische Bedingungen an die Unterteilung des Gebiets gestellt, wie beim stationären Konvektion-Diffusionsproblem.

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Hydrogel, semi-interpenetrating polymer network, poly(2-hydroxyethyl methacrylate), diffusion