Denna text är delvis en dokumentation av min egna resa inom datorbaserat tonsättande, specifikt inom algoritmisk komposition. Det är även ett utforskande av den tankevärld som finns i anknytning till dessa metoder – där estetiska koncept och konsekvenser diskuteras. Texten kommer huvudsakligen att beröra metoder som gynnas av eller möjliggörs av teknologi. Jag har försökt att närma mig dessa ämnen holistiskt genom att diskutera allt från estetik, teknik, till konkreta realiseringar av särskilda musikaliska idéer. Till detta tillkommer även många notexempel, lite kod, och illustrationer – specifikt för att stödja förklaringarna av, för många musikstudenter, främmande utommusikaliska koncept.

Eine klassische Art, die Dynamik nichtlinearer Systeme zu beschreiben, besteht in der Analyse ihrer Fourierspektren. Für periodische und quasiperiodische Prozesse besteht das Fourierspektrum nur aus diskreten Deltafunktionen. Das Spektrum einer chaotischen Bewegung ist hingegen durch das Vorhandensein einer stetigen Komponente gekennzeichnet. In der Arbeit geht es um einen eigenartigen, weder regulären noch vollständig chaotischen Zustand mit sogenanntem singulärstetigen Leistungsspektrum. <br /> Unsere Analyse ergab verschiedene Fälle aus weit auseinanderliegenden Gebieten, in denen singulär stetige (fraktale) Spektren auftreten. Die Beispiele betreffen sowohl physikalische Prozesse, die auf iterierte diskrete Abbildungen oder gar symbolische Sequenzen reduzierbar sind, wie auch Prozesse, deren Beschreibung auf den gewöhnlichen oder partiellen Differentialgleichungen basiert. / One of the classical ways to describe the dynamics of nonlinear systems is to analyze theur Fourier spectra. For periodic and quasiperiodic processes the Fourier spectrum consists purely of discrete delta-functions. On the contrary, the spectrum of a chaotic motion is marked by the presence of the continuous component. In this work, we describe the peculiar, neither regular nor completely chaotic state with so called singular-continuous power spectrum. <br /> Our investigations concern various cases from most different fields, where one meets the singular continuous (fractal) spectra. The examples include both the physical processes which can be reduced to iterated discrete mappings or even symbolic sequences, and the processes whose description is based on the ordinary or partial differential equations.

I detta arbete undersöks vilken grad av inomartskonkurrens som ger upphov till ett observerat utbredningsmönster av maskrosor (Taraxacum sect. Ruderalia). Maskrosor har både fröspridning och vegetativ förökning. Studien hypotiserar att utbredningen kan beskrivas utifrån enkla regler för spridning och konkurrens. Dessa används i simuleringar med en binär cellulär automat där utveckling sker i deterministiska tidssteg. Modellen består av ett rutnät där en tom cell antingen kan förbli tom eller koloniseras, medan en upptagen cell antingen kan överleva eller dö ut. Reglerna efterliknar situationer med hög respektive låg känslighet för inomartskonkurrens. De mått på jämförelse mellan observation och simulering som används är mönstrets fraktala dimension, mönstrets tendens att aggregera och storleken på den enklaste algoritm som beskriver datan. Två olika initialvillkor används för att testa modellens robusthet. Den observerade utbredningen kontrolleras även mot slumpmässig fördelning. Resultaten visar att den observerade utbredningen är klusterartad. Simulering med en högre inomartskonkurrens beskriver utbredningen väl sett till aggregering och fraktal dimension. Lägre inomartskonkurrens beskriver dock maskrosornas verkliga utbredning sett till algoritmisk komplexitet, vilket tolkas som att individer kan leva närmare inpå varandra än vad regeln om högre inomartskonkurrens förutsätter. För vald klusterstorlek är simuleringarna ej känsliga för initialvillkoren, men då hela fördelningen av antal celler per klusterstorlek i stickprov på ett tidssteg analyseras har initialvillkoren fakstiskt betydelse. Sett till fördelningen av cell per klusterstorlek liknar ingen simulering den observerade utbredningen. Därmed kan modellen tänkas inrymma den vegetativa förökningen medan fröspridningen, som är stokastisk, ej inryms på samma vis.

The purpose of this research is to investigate properties of diffusion processes in porous media. Porous media are modelled by random Sierpinski carpets, each carpet is constructed by mixing two different generators with the same linear size. Diffusion on porous media is studied by performing random walks on random Sierpinski carpets and is characterized by the random walk dimension $d_w$. In the first part of this work we study $d_w$ as a function of the ratio of constituents in a mixture. The simulation results show that the resulting $d_w$ can be the same as, higher or lower than $d_w$ of carpets made by a single constituent generator. In the second part, we discuss the influence of static external fields on the behavior of diffusion. The biased random walk is used to model these phenomena and we report on many simulations with different field strengths and field directions. The results show that one structural feature of Sierpinski carpets called traps can have a strong influence on the observed diffusion properties. In the third part, we investigate the effect of diffusion under the influence of external fields which change direction back and forth after a certain duration. The results show a strong dependence on the period of oscillation, the field strength and structural properties of the carpet.

The purpose of this research is to investigate properties of diffusion processes in porous media. Porous media are modelled by random Sierpinski carpets, each carpet is constructed by mixing two different generators with the same linear size. Diffusion on porous media is studied by performing random walks on random Sierpinski carpets and is characterized by the random walk dimension $d_w$. In the first part of this work we study $d_w$ as a function of the ratio of constituents in a mixture. The simulation results show that the resulting $d_w$ can be the same as, higher or lower than $d_w$ of carpets made by a single constituent generator. In the second part, we discuss the influence of static external fields on the behavior of diffusion. The biased random walk is used to model these phenomena and we report on many simulations with different field strengths and field directions. The results show that one structural feature of Sierpinski carpets called traps can have a strong influence on the observed diffusion properties. In the third part, we investigate the effect of diffusion under the influence of external fields which change direction back and forth after a certain duration. The results show a strong dependence on the period of oscillation, the field strength and structural properties of the carpet.

Den fraktala geometrin slog igenom i västvärlden under 60-70-talet och inspirerade vetenskapen till nya framsteg inom allt från datorteknologi till antennkonstruktion samt influerade konstens metodik och filosofi. Fraktaler som matematiska modeller hade studerats i väst redan på 1800 talet och ur afrikansk konst samt ur fontida egyptiska skulpturer kan vi skåda en betydligt äldre förståelse för de metoder som genererar dessa komplexa mönster. Inom musiken har fraktaler och självliknelse varit en del av kompositionsteorin sedan medeltiden, Josquin Des Prez och Johannes Ockeghem är två tidiga exempel som komponerade skalbara melodier som överlagrades i olika stämmor. I vår tid är Per Nörgård det mest framstående exemplet på tonsättare som inkorporerat fraktala tekniker i sina kompositioner. Oändlighetsserien, en heltalssekvens som upptäcktes av Nörgård i slutet av 50-talet inspirerade flera verk där de fraktala kvaliteterna återigen fick stå i förgrunden. I detta examensarbete diskuteras vad en fraktal är samt dess historiska bakgrund. Med utgång ifrån musikaliska exempel så härleds ett antal kompositionstekniker för att komponera musikaliska kanon samt fraktala sekvenser. Dessa kan göras för hand eller med hjälp av dator, kod finns i bilagorna. Slutligen med utgång från min egna musik för symfoniorkester samt stråkorkester tas konkreta exempel upp där dessa metoder använts. / <p>Patrik Ohlsson, Subtle Subsets för stråkorkester (2014), framfördes av Musica Vitae under ledning av dirigent Michael Bartosch.</p>

Stuttgart, Univ., Diss., 2005.

The purpose of this research is to investigate properties of diffusion processes in porous media. Porous media are modelled by random Sierpinski carpets, each carpet is constructed by mixing two different generators with the same linear size. Diffusion on porous media is studied by performing random walks on random Sierpinski carpets and is characterized by the random walk dimension $d_w$. In the first part of this work we study $d_w$ as a function of the ratio of constituents in a mixture. The simulation results show that the resulting $d_w$ can be the same as, higher or lower than $d_w$ of carpets made by a single constituent generator. In the second part, we discuss the influence of static external fields on the behavior of diffusion. The biased random walk is used to model these phenomena and we report on many simulations with different field strengths and field directions. The results show that one structural feature of Sierpinski carpets called traps can have a strong influence on the observed diffusion properties. In the third part, we investigate the effect of diffusion under the influence of external fields which change direction back and forth after a certain duration. The results show a strong dependence on the period of oscillation, the field strength and structural properties of the carpet.

The purpose of this research is to investigate properties of diffusion processes in porous media. Porous media are modelled by random Sierpinski carpets, each carpet is constructed by mixing two different generators with the same linear size. Diffusion on porous media is studied by performing random walks on random Sierpinski carpets and is characterized by the random walk dimension $d_w$. In the first part of this work we study $d_w$ as a function of the ratio of constituents in a mixture. The simulation results show that the resulting $d_w$ can be the same as, higher or lower than $d_w$ of carpets made by a single constituent generator. In the second part, we discuss the influence of static external fields on the behavior of diffusion. The biased random walk is used to model these phenomena and we report on many simulations with different field strengths and field directions. The results show that one structural feature of Sierpinski carpets called traps can have a strong influence on the observed diffusion properties. In the third part, we investigate the effect of diffusion under the influence of external fields which change direction back and forth after a certain duration. The results show a strong dependence on the period of oscillation, the field strength and structural properties of the carpet.

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Dynamik in komplexen Systemen. Eine zentrale Rolle spielen dabei Random Walks, mit deren Hilfe die anomale Relaxation in solchen Systemen simuliert wird. Die Komplexität der in dieser Arbeit untersuchten Systeme spiegelt sich in hohem Maße in deren Zustandsraumstruktur wider. Nach einer Einführung verschiedener komplexer Systeme wird kurz auf Algorithmen eingegangen, die bei der Erfassung der zum Teil sehr großen Zustandsräume eine wichtige Rolle spielen. Ein sogenannter Branch-and-Bound Algorithmus wird für die Untersuchung des niedrigenergetischen Anteils komplexer Zustandsräume eingesetzt. Die Simulation der Dynamik wird durch Random Walk Prozesse simuliert und im Wahrscheinlichkeitsbild durch eine Mastergleichung beschrieben. Auf verschiedene Formen der Mastergleichung und deren Lösung wird detailliert eingegangen. Wichtige Anwendungen sind Simulationen von Random Walks auf Fraktalen bzw. auf hierarchischen Baumstrukturen. Solche Simulationen lassen den Vergleich mit experimentellen Befunden zu, wie z.B. der anomalen Diffusion bzw. den Nichtgleichgewichts- phänomenen in Spingläsern. Anhand einer solchen Modellbildung können experimentelle Ergebnisse reproduziert und besser verstanden werden. Ein weiterer wichtiger Beitrag zum Verständnis solcher Prozesse wird durch einen neu entwickelten Algorithmus zur Vergröberung des Zustandsraumes geleistet.