Soit (M,ω) un variété symplectique fermée et connexe.On considère des sous-variétés lagrangiennes α : L → (M,ω). Si α est monotone, c.- à-d. s’il existe η > 0 tel que ημ = ω, Paul Biran et Octav Conea ont défini une version relative de l’homologie quantique. Dans ce contexte ils ont déformé l’opérateur de bord du complexe de Morse ainsi que le produit d’intersection à l’aide de disques pseudo-holomorphes. On note (QH(L), ∗), l’homologie quantique de L munie du produit quantique. Le principal objectif de cette dissertation est de généraliser leur construction à un classe plus large d’espaces. Plus précisément on considère soit des sous-variétés presque monotone, c.-à-d. α est C1-proche d’un plongement lagrangian monotone ; soit les fibres toriques de variétés toriques Fano. Dans ces cas non nécessairement monotones, QH(L) va dépendre de certains choix, mais cela sera irrelevant pour les applications présentées ici. Dans le cas presque monotone, on s’intéresse principalement à des questions de déplaçabilité, d’uniréglage et d’estimation d’énergie de difféomorphismes hamiltoniens. Enfin nous terminons par une application combinant les deux approches, concernant la dynamique d’un hamiltonien déplaçant toutes les fibres toriques non-monotones dans CPn. / Let (M,ω) be a closed connected symplectic maniflod. We consider lagrangian submanifolds α : L →֒ (M,ω). If α is monotone, i.e. there exists η > 0 such that ημ = ω, Paul Biran and Octav Cornea defined a relative version of quantum homology. In this relative setting they deformed the boundary operator of the Morse complex as well as the intersection product by means of pseudoholomorphic discs. We note (QH(L,Λ), ∗) the quantum homology of L endowed with the quantum product. The main goal of this dissertation is to generalize their construction to a larger class of spaces. Namely, we consider : either the so called almost monotone lagrangian submanifolds, i.e. α is C1-close to a monotone lagrangian embedding, or the toric fibers of toric Fano manifolds. In those cases, we are able to generalize the constructions made by Biran and Cornea. However, in those non necessarily monotone cases, QH(L) will depend on some choices, but in a way irrelevant for the applications we have in mind. In the almost monotone case, we are mainly interested in displaceability, uniruling and ernegy estimates for hamiltonian diffeomorphsims. Finally, we end by an application, that combine the two approaches, concerning the dynamics of hamiltonian that displace all non-monotone toric fibers of CPn.

En 1998, R. Gompf a défini un invariant homotopique des champs de plans orientés des 3-variétés fermées orientées. Cet invariant est défini pour les champs de plans orientés xi; de toute 3-variété fermée orientée M dont la première classe de Chern c_1(xi) est un élément de torsion de H_2(M;Z). Dans le premier chapitre de la thèse, nous définissons une extension de l’invariant de Gompf pour toutes les 3-variétés compactes orientées à bord et nous étudions ses variations lors de chirurgies lagrangiennes. Il en résulte que l’invariant de Gompf étendu peut être vu comme un invariant de type fini de degré 2.L’invariant Théta est un invariant de variétés de dimension 3 parallélisées qui provient de la partie de degré 1 du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons. G. Kuperberg et D. Thurston ont identifié l’invariant Théta(M,tau) d’une sphère d’homologie entière M munie d’une parallélisation tau; à lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) où lambda_cw désigne la généralisation de Walker de l’invariant de Casson et p_1 est un invariant de la parallélisation définie à partir d’une première classe de Pontrjagin. C. Lescop a étendu l’invariant Théta aux sphères d’homologie rationnelle munies d’une classe d’homotopie de combings et elle a montré que pour toute sphère d’homologie rationnelle M munie d’un combing X, la formule Théta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) était encore valable pour une extension ad hoc des nombres de Pontrjagin aux combings. Elle a aussi donné une formule combinatoire pour l’invariant Théta d’une sphère d’homologie rationnelle présentée par un diagramme de Heegaard et munie d’un combing associé au diagramme, et elle a démontré combinatoirement que cette formule définit un invariant homotopique des couples (M,[X]). Dans le prolongement de ce travail, le deuxième chapitre de la thèse présente une preuve combinatoire de la décomposition de cet invariant combinatoire comme 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). Cette preuve repose sur la théorie des invariants de type fini des sphères d’homologie rationnelle relativement aux chirurgies lagrangiennes établie par D. Moussard en 2012 / In 1998, R. Gompf defined a homotopy invariant of oriented 2-plane fields in 3-manifolds. This invariant is defined for oriented 2-plane fields xi in a closed oriented 3-manifold M when the first Chern class c_1(xi) is a torsion element of H_2(M;Z). In Chapter I, we define an extension of the Gompf invariant for all compact oriented 3-manifolds with boundary and we study its iterated variations under Lagrangian-preserving surgeries. It follows that the extended Gompf invariant has degree two for a suitable finite type invariant theory.The Theta-invariant is an invariant of parallelized 3-manifolds constructed from the degree one part of the perturbative expansion of Chern–Simons theory. G. Kuperberg and D. Thurston identified the invariant Theta(M,tau) of a rational homology 3-sphere M equipped with a parallelization tau with 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) where lambda_cw denotes Walker’s generalization of the Casson invariant and where p_1 is an invariant of parallelizations defined using a first Pontrjagin class. C. Lescop extended the Theta-invariant to rational homology 3-spheres equipped with a homotopy class of combings and she showed that for all rational homology 3-sphere M equipped with a combing X, the relation Theta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) still holds using an ad hoc extension of the Pontrjagin numbers for combings. She also gave a combinatorial formula for the Theta-invariant of a rational homology 3-sphere represented by a Heeagaard diagram and equipped with a combing associated to the diagram, and she proved that this formula defines a homotopy invariant of the pair (M,[X]), in a combinatorial way. Following this work, Chapter II presents a combinatorial proof of the decomposition of this combinatorial invariant as 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). This proof relies on the finite type invariant theory for rational homology 3-spheres with respect to Lagrangian-preserving surgeries established by D. Moussard in 2012

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La turbulence est connue pour sa capacité à disperser efficacement de la matière, que ce soit des polluantes dans les océans ou du carburant dans les moteurs à combustion. Deux considérations essentielles s’imposent lorsqu’on considère de telles situations. Primo, l’écoulement sous-jacente pourrait avoir une influence non-négligeable sur le comportement des particules. Secundo, la concentration locale de la matière pourrait empêcher le transport ou l’augmenter. Pour répondre à ces deux problématiques distinctes, deux dispositifs expérimentaux ont été étudiés au cours de cette thèse. Un premier dispositif a été mis en place pour étudier l’écoulement de von Kàrmàn, qui consiste en une enceinte fermé avec de l’eau forcé par deux disques en contra-rotation. Cette écoulement est connu pour être très turbulent, inhomogène, et anisotrope. Deux caméras rapides ont facilité le suivi Lagrangien des particules isodenses avec l’eau et petites par rapport aux échelles de la turbulence. Ceci a permis une étude du bilan d’énergie cinétique turbulente qui est directement relié aux propriétés de transport. Des particules plus lourdes que l’eau ont aussi été étudiées et montrent le rôle de l’anisotropie de l’écoulement dans la dispersion des particules inertielles. Un deuxième dispositif, un écoulement de soufflerie ensemencé avec des gouttelettes d’eau micrométriques a permis une étude de l’effet de la concentration locale de l’eau sur la vitesse de chute des gouttelettes grâce à une montage préexistant. Un modèle basé sur des méthodes théorique d'écoulements multiphasiques a été élaboré enfin de prendre en compte les effets collectifs de ces particules sedimentant dans un écoulement turbulent. Les résultats théoriques et expérimentaux mettent en évidence le rôle de la polydispersité et du couplage entre les deux phases dans l’augmentation de la sédimentation des gouttelettes. / Turbulence is well known for its ability to efficiently disperse matter, whether it be atmospheric pollutants or gasoline in combustion motors. Two considerations are fundamental when considering such situations. First, the underlying flow may have a strong influence of the behavior of the dispersed particles. Second, the local concentration of particles may enhance or impede the transport properties of turbulence. This dissertation addresses these points separately through the experimental study of two different turbulent flows. The first experimental device used is the so-called von K\'arm\'an flow which consists of an enclosed vessel filled with water that is forced by two counter rotating disks creating a strongly inhomogeneous and anisotropic turbulence. Two high-speed cameras permitted the creation a trajectory data base particles that were both isodense and heavier than water but were smaller than the smallest turbulent scales. The trajectories of this data base permitted a study of the turbulent kinetic energy budget which was shown to directly related to the transport properties of the turbulent flow. The heavy particles illustrate the role of flow anisotropy in the dispersive dynamics of particles dominated by effects related to their inertia. The second flow studied was a wind tunnel seeded with micrometer sized water droplets which was used to study the effects of local concentration of the settling velocities of these particles. A model based on theoretical multi-phase methods was developed in order to take into account the role of collective effects on sedimentation in a turbulent flow. The theoretical results emphasize the role of coupling between the underlying flow and the dispersed phase.

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

Notre thèse est divisée en 2 chapitres indépendants correspondant chacun à un article. Dans le premier chapitre, nous définissons une notion de surfaces isotropes dans les octonions, i.e. sur lesquelles certaines formes symplectiques canoniques s'annulent. En utilisant le produit vectoriel dans O, nous définissons une application rho de la grassmanienne des plans de O dans la sphère de dimension 6. Cela nous permet d'associer à chaque surface Sigma de O une fonction rho_Sigma de la surface sur la sphère. Alors, nous montrons que les surfaces isotropes de O telles que cette fonction est harmonique sont solutions d'un système complètement intégrable. En utilisant les groupes de lacets, nous construisons une représentation de type Weierstrass de ces surfaces. Par restriction au corps des quaternions, nous retrouvons comme cas particulier les surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires de R^4. Par restriction à Im(H), nous retrouvons les surfaces CMC de R^3. Dans le second chapitre, nous étudions les applications supersymétriques harmoniques définies sur R^{2|2} et à valeurs dans un espace symétrique, du point de vue des systèmes intégrables. Il est bien connu que les applications harmoniques de R^2 à valeurs dans un espace symétrique sont solutions d'un système intégrable. Nous montrons que les applications superharmoniques de R^{2|2} dans un espace symétrique sont solutions d'un système intégrable, et que l'on a une représentation de type Weierstrass en termes de potentiels holomorphes (ainsi qu'en termes de potentiels méromorphes). Nous montrons également que les applications supersymétriques primitives de R^{2|2} dans un espace 4-symétrique donnent lieu, par restriction à R^2, à des solutions du système elliptique du second ordre associé à l'espace 4-symétrique considéré (au sens de C.L. Terng).Ceci nous permet d'obtenir, de manière conceptuelle, une sorte d'interprétation supersymétrique de tous les systèmes elliptiques du second ordre associés à un espace 4-symétrique, en particulier du système intégrable construit au chapitre 1 (et plus particulièrement des surfaces lagrangiennes hamiltoniennes stationnaires dans un espace symétrique).

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

Dans ce travail, nous avons abordé le phénomène de la Convection Thermique Turbulente sous des angles nouveaux et innovants. <br /><br />Le premier système que nous abordons expérimentalement est un Canal Vertical dit Infini au sein duquel règne un gradient de température moyen constant. Le flux de masse dans ce canal est nul. L'image qui se dégage de nos mesures est celle d'un écoulement majoritairement inertiel, où les coefficients dissipatifs (la viscosité en l'occurrence) n'interviennent que pour fixer une longueur de cohérence L. Cette longueur est celle sur laquelle les panaches thermiques peuvent êtres considérés comme en « chute libre ». Le transport horizontal (d'impulsion et de chaleur) est entièrement dû aux fluctuations. La « longueur de mélange » associée est petite devant la largeur du canal. Par contre, le transport de chaleur vertical est dû à des structures cohérentes, les panaches. <br />Ces panaches, nous les retrouvons dans une étude Lagrangienne de l'écoulement au centre d'une cellule de Rayleigh Bénard. La sonde est une sphère de 2 cm de diamètre qui a la même densité que le fluide que nous utilisons, équipée de thermomètres et d'un émetteur radio. Elle est transportée par les panaches, ce qui nous permet une étude statistique de ceux-ci.

Dans une première partie, on rassemble plusieurs résultats en théorie du contrôle autour des inégalités d'Ingham, généralisations de l'égalité de Parseval, qui inter- viennent pour montrer l'observabilité, la contrôlabilité ou la stabilisation frontière ou interne de l'équation des ondes ou d'équations similaires dans certains cas parti- culiers. On s'intéresse dans un premier temps à l'optimalité de ce type d'inégalités en généralisant un résultat précédent au cas vectoriel. On développe ensuite un théo- rème de type Ingham adapté pour traiter le cas d'une géométrie cartésienne. Enfin, on donne des résultats d'observabilité dans le cas d'approximations numériques. Dans une seconde partie, on présente les méthodes semi-Lagrangiennes qui sont composées essentiellement de deux ingrédients : calcul des caractéristiques le long desquelles la fonction de distribution est constante et étape d'interpolation. On ana- lyse des schémas d'ordre élevé en temps pour le système de Vlasov-Poisson 1D×1D, basés sur le splitting directionnel, qui est une succession d'étapes de transport li- néaire. On étudie alors les méthodes semi-Lagrangiennes dans ce cas particulier et on fait le lien entre différentes formulations. On obtient également un théorème de convergence pour le système de Vlasov-Poisson dans ce cadre, qui reste valable pour des petits déplacements. On développe ensuite ce type de méthodes dans un cadre plus général, en se basant sur le splitting uni-dimensionnel conservatif, avec une variante de type Galerkin discontinu. Dans une dernière partie, on étudie l'opérateur de gyromoyenne qui intervient en physique des plasmas pour prendre en compte des corrections de rayon de Larmor fini. Enfin, on discute de la problématique de la divergence discrète nulle qui donne une compatibilité entre le calcul du champ et la méthode numérique de transport.

Cette thèse propose et analyse des méthodes numériques pour la résolution de l'équation de Vlasov. Cette équation modélise l'évolution d'une espèce de particules chargées sous l'effet d'un champ électromagnétique. La première partie est consacrée à une analyse mathématique de schémas semi-Lagrangiens résolvant l'équation de transport linéaire qui constituent la brique de base des méthodes de splitting directionnel.Des méthodes de résolution de l'équation de Vlasov couplée à l'équation de Poisson, dans le cas où uniquement le champ électrique est considéré, sont optimisées dans la seconde partie. Il s'agit d'optimisation en temps de calcul par l'utilisation de cartes graphiques (GPU) et l'utilisation d'un maillage non homogène.Dans la troisième et dernière partie, nous étudierons une méthode numérique de calcul de l'opérateur de gyromoyenne intervenant dans la théorie gyrocinétique que nous appliquerons à l'équation de quasi-neutralité. / This thesis proposes and analyzes numerical methods for solving the Vlasov equation. This equation models the evolution of a species of charged particles under the effet of an electromagnetic field. The first part is devoted to a mathematical analysis of semi-Lagrangian schemes solving the linear transport equation which is the basic building block of directional splitting methods.Solving methods for the Vlasov equation coupled to the Poisson equation, in the case where only the electric field is considered, are optimized in the second part. This optimization relates to the time of calculation by the use of Graphics Processing Unit (GPU) and the use of an inhomogeneous mesh.In the third and final part, we study a numerical method for calculating the gyroaverage operator involved in gyrokinetic theory. This method will be applied to solve the quasi-neutrality equation.