Cette thèse a pour objet l'étude de la mesure harmonique associée à une marche aléatoire sur un groupe hyperbolique ou sur un sous-groupe discret d'un groupe semi-simple. Dans ces deux cadres, les groupes sont munis d'un bord géométrique naturel, qui porte la mesure harmonique. On s'intéresse aux relations entre celle-ci et la structure métrique du bord, à travers l'étude de sa dimension. Dans chacun des cadres, on majore la dimension de la mesure harmonique par le quotient de l'entropie asymptotique et de la vitesse de fuite de la marche aléatoire. Cette majoration nous permet de construire des mesures harmoniques de petite dimension. Un de nos résultats principaux découle de cette construction : la mesure harmonique associée à une marche aléatoire sur un réseau d'un groupe semi-simple peut être singulière par rapport à la mesure de Haar sur l'espace des drapeaux complets.

Les marches aléatoires en milieu aléatoire ont suscité un vif intérêt au cours de ces dernières années, tant en sciences appliquées, comme moyen notamment d'affiner des modèles par une prise en compte des fluctuations de l'environnement, qu'en mathématiques, de par la multiplicité et la richesse des comportements qu'elles présentent. Cette thèse est dédiée à l'étude de divers aspects de la transience des marches aléatoires en milieu aléatoire. Elle est composée de deux parties, la première consacrée au cas des environnements de Dirichlet sur Z^d, la seconde au régime transient sous-diffusif sur Z. La loi de Dirichlet apparaît naturellement du fait de son lien avec les marches renforcées. Certaines de ses spécificités permettent de plus d'obtenir des résultats sensiblement plus précis qu'en général. On démontre ainsi tout d'abord une caractérisation de l'intégrabilité des temps de sortie de parties finies de graphes quelconques, qui permet de raffiner un critère de balisticité dans Z^d. On prouve également que les marches aléatoires en environnement de Dirichlet sont transientes directionnellement, avec probabilité positive, dès que les paramètres ne sont pas symétriques. En dimension 1, la thèse se focalise sur le rôle des vallées profondes de l'environnement, en fournissant une nouvelle preuve du théorème de Kesten-Kozlov-Spitzer dans le cas sous-diffusif basée sur l'étude fine du comportement de la marche. Outre une meilleure compréhension de l'émergence de la loi limite, cette preuve a l'avantage de fournir la valeur explicite de ses paramètres.

La Réserve fédérale a adopté un comportement plus agressif de lutte à l'inflation durant la période post-1979. Le changement d'orientation de la politique monétaire serait possiblement la cause principale de la stabilité accrue de l'économie après 1979. Lors de la simulation du modèle néo-keynésien, Clarida, Gali et Gertler (2000) mettent l'accent sur la réponse du taux d'intérêt aux écarts entre le taux d'inflation et une cible d'inflation constante. En s'inspirant du modèle néo-keynésien adopté par Clarida, Gali et Gertler (2000), cette étude fait l'objet d'estimations de règles monétaires pré-et post-1979. Le taux d'intérêt nominal semble être très sensible aux changements du taux d'inflation anticipé durant la période Volcker-Greenspan. Ainsi, nous faisons varier le taux cible d'inflation par l'emploi d'une marche aléatoire et nous analysons l'effet d'une cible d'inflation variable sur les variables contrôles de la règle monétaire durant les périodes pré-et post-1979. Nous réestimons la règle de la Fed au moyen d'une spécification plus réaliste et au moyen d'une méthode d'estimation plus rigoureuse permettant notamment un test formel de la validité des instruments utilisés lors de l'estimation. Il est donc nécessaire de s'assurer que la paramétrisation des valeurs considérées dans le modèle conçu par Clarida, Gali et Gertler (2000) est crédible. Les résultats montrent que l'emploi d'une cible d'inflation variable représente bien les données empiriques pour la période pré-et post-Volcker, tandis que l'utilisation d'une cible d'inflation constante dans la règle monétaire donne une bonne représentation de la conduite de la politique monétaire durant la période Volcker-Greenspan. Que nous utilisions un taux cible d'inflation constant ou variable dans notre estimation, les conclusions sont similaires, c'est-à-dire que la politique monétaire était accommodante avant 1979 et non accommodante après 1979. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : variabilité de l'inflation, règle monétaire, cible d'inflation variable, marche aléatoire.

La récente crise financière de 2007 a amené plusieurs questionnements sur la structure architecturale de la théorie financière; des critiques se sont mises à prendre cible la théorie de l'efficience des marchés financiers. Considérée comme la pire crise financière que le monde a connue depuis la Grande Dépression, la crise financière de 2007 a fourni des arguments de taille à ceux considérant la théorie de l'efficience comme dépassée. Le travail présent consiste à analyser la validité de la théorie de l'efficience des marchés à travers la crise financière de 2007. Le modèle d'un marché efficient demeure important dans le quotidien des multiples transactions sur le marché bousier. Ainsi, une approche employant des indices bousiers majeurs constitue une bonne source pour l'étude. Divers outils économétriques traditionnels et modernes tels que le test d'autocorrélation, le "runs test", le test du ratio de variance et le test du ratio de variance basé sur les rangs et les signes sont utilisés à cette fin. Les résultats obtenus ont démontré que l'efficience des marchés est toujours validée lorsque nous avons employé les tests d'autocorrélation et le "runs test". Dans le cas des tests du ratio de variance et celle basée sur les rangs et les signes, l'efficience n'a pu être validée dans certains cas. Cependant, l'explication de ce résultat s'explique par la présence de variance variable. En tenant compte de cet effet, les résultats ont soutenu la présence d'un marché efficient. Suite aux résultats trouvés, l'idée de renoncer à la théorie d'efficience des marchés n'a pas pu être retenue. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : efficience du marché, crise financière, marche aléatoire, test paramétrique, test non paramétrique

Nous considérons le mouvement brownien branchant qui est un objet mathématique modélisant l'évolution d'une population. Dans ce système, les individus se déplacent indépendamment selon des mouvement browniens et se divisent indépendamment à taux 1 en deux individus. Nous nous intéressons à la position la plus à droite (resp. à gauche) au temps s, qui est définie comme le maximum (resp. le minimum) des positions des individus vivants à ce temps-là. D'après Lalley et Sellke \cite{Lalley-Sellke1987}, chaque individu apparu dans ce système aura un descendant atteignant la position la plus à droite. Nous étudions ce phénomène quantitativement, en estimant le premier instant où chaque individu vivant à l'instant s a eu un tel descendant. Nous étudions ensuite la marche aléatoire branchante en temps discret qui est un système analogue dans lequel les marches aléatoires sont indexées par un arbre de Galton-Watson. On définit de la même façon la position la plus à droite et celle la plus à gauche à la génération n. Nous considérons la marche partant de la racine qui va à la position la plus à gauche. le chemin reliant la racine à la position la plus à gauche. Nous montrons que cette marche, convenablement renormalisée, converge en loi vers une excursion brownienne normalisée. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous plaçons "dans un cadre avec un critère de sélection". Etant donné un arbre régulier dont chaque individu a N enfants, nous attachons à chaque individu une variable aléatoire. Toutes les variables attachées sont i.i.d., de loi uniforme sur [0,1]. La sélection intervient de la façon suivante: un individu est conservé si le long du chemin le plus court le reliant à la racine, les variables aléatoires attachées sont croissantes; les autres individus sont éliminés du système. Nous étudions le comportement asymptotique de la population dans le processus lorsque N tend vers l'infini.

On étudie certaines propriétés d'une classe de processus aléatoires réels à temps continu, les marches aléatoires multifractales. Une particularité remarquable de ces processus tient en leur propriété d'autosimilarité : la loi du processus à petite échelle est identique à celle à grande échelle moyennant un facteur aléatoire multiplicatif indépendant du processus. La première partie de la thèse se consacre à la question de la convergence du moment empirique de l'accroissement du processus dans une asymptotique assez générale, où le pas de l'accroissement peut tendre vers zéro en même temps que l'horizon d'observation tend vers l'infini. La deuxième partie propose une famille de tests non-paramétriques qui distinguent entre marches aléatoires multifractales et semi-martingales d'Itô. Après avoir montré la consistance de ces tests, on étudie leur comportement sur des données simulées. On construit dans la troisième partie un processus de marche aléatoire multifractale asymétrique tel que l'accroissement passé soit négativement corrélé avec le carré de l'accroissement futur. Ce type d'effet levier est notamment observé sur les prix d'actions et d'indices financiers. On compare les propriétés empiriques du processus obtenu avec des données réelles. La quatrième partie concerne l'estimation des paramètres du processus. On commence par montrer que sous certaines conditions, deux des trois paramètres ne peuvent être estimés. On étudie ensuite les performances théoriques et empiriques de différents estimateurs du troisième paramètre, le coefficient d'intermittence, dans un cas gaussien

Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0<H<1/2. Ces travaux sont complétés par l'étude de versions affines par morceaux et par des simulations numériques. De nombreux problèmes connexes sont également étudiés. / Since their emergence in the 80's in the areas of turbulence and of strange attractors, multifractals have gained popularity. They appear now in finance, geophysics, study of network traffic and in many other areas of applied sciences. This development required adapted theoretical models. Bacry and Muzy's Multifractal Random Measure is one of these models. Thanks to its generality, its flexibility and to its relative simplicity, it became central in the domain of multifractals over the past ten years.In this PhD thesis, two families of multifractal processes are proposed. Their construction is based on the works of Schmitt and co-authors and of those of Bacry and Muzy. After the introduction (chapter 1), we use in chapter 2 alpha-stable moving averages to build multifractal processes; whereas chapter 3 is devoted to the construction of Multifractal Fractional Random Walks with Hurst index 0<H<1/2. This work is complemented by the study of linear versions and by numerical simulations. We study also numerous related problems.

On choisit un groupe algébrique G, un sous-groupe algébrique H de G ; on choisit une mesure de probabilité borélienne μ sur G. On considère alors la chaîne de Markov sur l’espace homogène X = G/H de probabilité de transition Px = μ * δx pour x ε X. Dans cette thèse, on étudie les propriétés de récurrence de ces marches aléatoires.On s’intéresse à deux types de récurrence : la récurrence presque-sûre (toute trajectoire revient presque-sûrement infiniment souvent dans un compact) et la récurrence en loi (il existe une mesure de probabilité μ stationnaire sur X .On s’intéresse également aux éventuelles propriétés de transience presque-sûre (toute trajectoire quitte presque-sûrement définitivement tout compact).On construira d’abord un exemple où on n’a ni récurrence presque-sûre en tout point, ni transience presque-sûre en tout point. On montrera ensuite un critère de récurrence presque-sûre dans le cas où G est un groupe de Lie semi-simple ; on a en fait dans ce cas une dichotomie : soit tous les points sont récurrents,soit tous les points sont transients.Dans le cas où G est le groupe affine GL(d,ℝ) α ℝd,on donnera un critère de récurrence en loi sur les Grassmanniennes affines, et, dans un dernier chapitre, on donnera quelques résultats partiels d'un projet en cours,permettant de donner des résultats pour le groupe SO(p, p+1) α ℝ2p+1. / Choose an algebraic group G, and an algebraic subgroup H. Choose a Borel probability measure μ on G. Consider the Markov chain on the G-space X = G/H with transition probability Px = μ * δx for x ε X.The point of this dissertation is the study of the recurrence properties of such a random walk.We consider two types of recurrence : almost-certain recurrence (i.e. almost-every trajectory enters some compact set infinitely often) and the associated almost-certain transience (where almost-every trajectory eventually leaves every compact set) and recurrence in law (i.e. there exists a μ stationary probability measure on X).First, we show that, in general, there is no dichotomy between almost-certain recurrence and transience by constructing an example with both almost-certainly recurrent and almost-certainly transient points.We then prove a criterion for almost-certain recurrence when G is a semi-simple Lie group and X is a G-space. In fact, in this case, we have a dichotomy where either every point of X is almost-certainly recurrent, or every point of X is almost certainly transient.When G is the affine group GL(d,ℝ) α ℝd, we give a criterion for recurrence in law on the affine Grassmannians.In the final chapter, we give some partial results from an ongoing project,which give a criterion for recurrence in law the group SO(p,p+1)α ℝ2p+1.

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Ce mémoire étudie le comportement des particules dont la position est maximale au temps t dans la marche aléatoire branchante et le mouvement brownien branchant sur R, pour des valeurs de t grandes. Plus exactement, on regarde le comportement du maximum d’une marche aléatoire branchante dans un environnement inhomogène en temps, au sens où la loi des accroissements varie en fonction du temps. On compare avec des modèles connus ou simplifiés, en particulier le modèle i.i.d., où l’on observe des marches aléatoires indépendantes et le modèle de la marche aléatoire homogène. On s’intéresse par la suite aux corrélations entre les particules maximales d’un mouvement brownien branchant. Plus précisément, on étudie le temps de branchement entre deux particules maximales. Finalement, on applique les méthodes et les résultats des premiers chapitres afin d’étudier les corrélations dans un mouvement brownien branchant dans un environnement inhomogène. Le résultat principal du mémoire stipule qu’il y a existence de temps de branchement au centre de l’intervalle [0, t] dans le mouvement brownien branchant inhomogène, ce qui n’est pas le cas pour le mouvement brownien branchant standard. On présentera également certaines simulations numériques afin de corroborer les résultats numériques et pour établir des hypothèses pour une recherche future. / This thesis studies the behavior of particles that are maximal at time t in branching random walk and branching Brownian motion on R, for large values of t. Precisely, we look at the behavior of the maximum in a branching random walk in a time-inhomogeneous environment, where the law of the increments varies with respect to time. We compare with known or simplified models such as the model where random walks are taken to be i.i.d. and the branching random walk in a time-homogeneous environment model. We then take a look at the correlations between maximal particles in a branching brownian motion. Specifically, we look at the branching time between those maximal particles. Finally, we apply results and methods from the first chapters to study those same correlations in branching Brownian motion in a inhomogeneous environment. The thesis’ main result establishes existence of branching time at the center of the interval [0, t] for the branching Brownian motion in a inhomogeneous environment, which is not the case for standard branching brownian motion.We also present results of simulations that agree with theoretical results and help establishing new hypotheses for future research.