L'objet de cette thèse est l'analyse multifractale des fonctions autosimilaires et l'étude de la validité du formalisme multifractal. Il s'agit d'abord de déterminer la régularité Hölderienne ponctuelle exacte pour des fonctions dont le graphe localement est grossièrement une contraction du graphe complet, à une fonction erreur près ; ensuite de calculer les dimensions de Hausdorff des ensembles de points où la fonction présente la même singularité; et enfin de vérifier les conjectures de Frish et Parisi et celle d'Arneodo, Bacry et Muzy, qui relient ces dimensions à des quantités moyennes extraites de la fonction. Nous étudions plusieurs types d'autosimilarités, et montrons (en reformulant parfois) que l'analyse par ondelettes permet d'étudier la validité de ces relations.

L'étude du domaine récent que constituent les problèmes d'optimisation combinatoires probabilistes (POCPs) forme le sujet de cette thèse. Les POCPs sont des généralisations des problèmes d'optimisation combinatoires classiques dont les formulations contiennent explicitement des éléments probabilistes. Plusieurs motivations ont provoqué cette étude. Deux d'entre elles sont particulièrement importantes. La première correspond au désir de formuler et d'analyser des modèles qui sont plus appropriés pour des problèmes pratiques pour lesquels l'aléatoire est une source constante de préoccupations, les modèles de nature probabiliste sont plus particulièrement attractifs comme abstraction mathématique des systèmes réels. La seconde motivation est d'analyser la stabilité des solutions optimales des problèmes déterministes lorsque les exemplaires sont perturbés : les perturbations sont simulées par la présence ou l'absence de sous-ensembles des données. Notre étude s'appuie sur certains de ces problèmes et en particulier : problème du voyageur de commerce; problème d'ordonnancement des travaux probabiliste et le problème du bin-packing probabiliste. Les questions soulevées et les résultats obtenus sont dans les domaines suivants : complexités des problèmes et analyse d'heuristiques pour les POCPs ; analyse du comportement asymptotique des problèmes lorsque les exemplaires correspondent à des problèmes de grandes tailles ; dégager une méthodologie générale d'étude de la stabilité des solutions des problèmes d'optimisation combinatoires classiques.

L'étude de l'évolution de galaxies, et tout particulièrement du phénomène d'évaporation, a été pour la première fois menée à l'aide de modèles physiques, par Chandrasekhar notamment, dans les années 40. Depuis, de nouveaux modèles plus sophistiqués ont été introduits par les physiciens. Ces modèles d'évolution des galaxies sont des modèles cinétiques; bien connus et bien étudiés par les mathématiciens. Cependant, l'aspect évaporation (le fait que des étoiles sortent du système étudié) n'avait pas encore été étudié mathématiquement, à ma connaissance. La galaxie est vue comme un gaz constitué d'étoiles et le modèle consiste en une équation de Vlasov-Poisson, l'interaction étant la gravitation universelle, couplée avec au second membre un terme de collision de type Landau. On rajoute à ce modèle une condition d'évaporation qui consiste à dire que les étoiles dont l'énergie cinétique est suffisamment élevée pour quitter le système sont exclues. Ce modèle étant trop compliqué à étudier tel quel, je propose dans cette thèse plusieurs modèles simplifiés qui sont des premières étapes nécessaires à l'étude du modèle général et qui permettent de mieux comprendre les difficultés à surmonter. Dans une première partie, je m'intéresse au cas homogène en espace, pour lequel le terme de Vlasov-Poisson est remplacé par une simple dérivée en temps. Je fais une étude précise du cas à symétrie radiale en vitesse avec un potentiel Maxwellien, le terme de Landau étant alors remplacé par un terme de type Fokker-Planck, et je montre dans ce cas l'existence et l'unicité d'une solution régulière et l'existence d'un profil asymptotique des solutions. Dans le cas homogène général, je montre l'existence et l'unicité d'une solution régulière tout pendant que la masse ne s'est pas totalement évaporée. J'illustre ces résultats théoriques par des simulations numériques réalisés à l'aide de schéma numériques conservateurs. Dans une seconde partie, je m'intéresse au cas non homogène en espace en dérivant un modèle hydrodynamique pour un modèle de type Vlasov-BGK (plus simple que le modèle Vlasov-Poisson-Landau) avec évaporation. / The study of the evolution of the galaxies, and more specially of the evaporation phenomenon, was for the first time carried out, by Chandrasekhar in particular, in the 40s. Since then, more sophisticated models have been introduced by physicists. These models are kinetics models; well-known and well-studied by mathematicians. However, the evaporation (the fact that stars leave the galaxy) has never been studied before, to my knowledge. The galaxy is seen as a gaz of stars and the model is formed by a Vlasov-Poisson equation, with the gravitational interaction, coupled with Kernel of collision of Landau. A condition of evaporation is added to this model, saying the stars with a large enough kinetic energy are excluded. As this model is too complicated to be studied, I propose in this thesis several simpler models which constitute first steps toward the study of the general model and which inform us about the difficulties implied. In the first part, I am interested in the space-homogeneous model, for which the Vlasov-Poisson term is replaced by a simple time derivative. I make a precise study of the spherically symmetric case with a Maxwellian potential for which the the Landau term is replaced by a Fokker-Planck typed term, and I show the existence of a unique regular solution and the fact that this solution admits an asymptotical profile. In the general homogeneous case, I show the existence of a unique regular solution as long as the mass has not totally disappeared. Theses theoretical results are illustrated with numerical simulations obtained with conservative schemes. In the second part, I am interested in the inhomogeneous case and I derive an hydro-dynamical model for a Vlasov-BGK model (a simpler model than Vlasov-Poisson-Landau) with evaporation.

Les neurosciences computationnelles ont permis de développer des outils mathématiques et informatiques permettant la création, puis la simulation de modèles représentant le comportement de certaines composantes de notre cerveau à l’échelle cellulaire. Ces derniers sont utiles dans la compréhension des interactions physiques et biochimiques entre les différents neurones, au lieu d’une reproduction fidèle des différentes fonctions cognitives comme dans les travaux sur l’intelligence artificielle. La construction de modèles décrivant le cerveau dans sa globalité, en utilisant une homogénéisation des données microscopiques est plus récent, car il faut prendre en compte la complexité géométrique des différentes structures constituant le cerveau. Il y a donc un long travail de reconstitution à effectuer pour parvenir à des simulations. D’un point de vue mathématique, les différents modèles sont décrits à l’aide de systèmes d’équations différentielles ordinaires, et d’équations aux dérivées partielles. Le problème majeur de ces simulations vient du fait que le temps de résolution peut devenir très important, lorsque des précisions importantes sur les solutions sont requises sur les échelles temporelles mais également spatiales. L’objet de cette étude est d’étudier les différents modèles décrivant l’activité électrique du cerveau, en utilisant des techniques innovantes de parallélisation des calculs, permettant ainsi de gagner du temps, tout en obtenant des résultats très précis. Quatre axes majeurs permettront de répondre à cette problématique : description des modèles, explication des outils de parallélisation, applications sur deux modèles macroscopiques. / Computational Neuroscience helped develop mathematical and computational tools for the creation, then simulation models representing the behavior of certain components of our brain at the cellular level. These are helpful in understanding the physical and biochemical interactions between different neurons, instead of a faithful reproduction of various cognitive functions such as in the work on artificial intelligence. The construction of models describing the brain as a whole, using a homogenization microscopic data is newer, because it is necessary to take into account the geometric complexity of the various structures comprising the brain. There is therefore a long process of rebuilding to be done to achieve the simulations. From a mathematical point of view, the various models are described using ordinary differential equations, and partial differential equations. The major problem of these simulations is that the resolution time can become very important when important details on the solutions are required on time scales but also spatial. The purpose of this study is to investigate the various models describing the electrical activity of the brain, using innovative techniques of parallelization of computations, thereby saving time while obtaining highly accurate results. Four major themes will address this issue: description of the models, explaining parallelization tools, applications on both macroscopic models.

Cette thèse a pour objet l'analyse et la discrétisation numérique des équations tridimensionnelles de l'électromagnétisme. Ces travaux débutent par l'étude de ces équations dans un domaine b orné multiplement connexe. Un théorème d'existence général a été établi, en proposant une nouvelle approche du problème, en le reformulant à l'aide d'un opérateur approprié, tenant compte des omplexités géométriques du domaine. Dans la suite, après avoir donnée un résultat de régularité, on propose une approximation numérique de la solution par une méthode spectrale. La méthode est, d'une part, analysée numériquement dans le cas d'une décomposition conforme du domaine, et d'autre, implantée dans le cadre d'un code 3D. Des tests numériques illustrant les prévisions théoriques sont exposés et comparés à ceux obtenus par une méthode d'éléments finis de type P1 qu'on présentera sommairement. En outre, les quatre premières valeurs propres du problème discret sont calculées et comparées à celui du spectre exact. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'une décomposition de domaine par une méthode spectrale avec joints pour le problème de Maxwell. Il est utile de souligner que les paramètres physiques sont considérés dans cette partie comme pouvant être hétérogènes. On applique cette méthode à un problème type présenté. Ce dernier permet d'unifier deux approches qui habituellement sont distinguées: le problème d'évolution de Maxwell, et le problème de Maxwell en régime harmonique. Des estimations d'erreurs sont démontrées, elles reposent sur un lemme, qui est une variante du second lemme de Strang, permettant de décomposer l'erreur en la somme de trois erreurs principales: l'erreur sur la meilleure approximation, l'erreur de consistance et l'erreur d'intégration numérique. Cette dernière étant obtenue de ma ière classique, les deux autres erreurs ont nécessité une recherche plus approfondie, notamment, la définition d'opérateurs discrets et un Lemme d'augmentation de degré pour l'erreur sur la meilleure approximation. Enfin des courbes d'erreurs et des tests numériques sont exposés validant un code de calcul tridimensionnel développé pour l'approximation de la solution du problème type (pour des paramètres physiques homogènes et hétérogènes).

Les cancers sont l'une des causes majeures de mortalité dans le monde. Les mécanismes en jeu dans la croissance tumorale sont qualitativement connus, mais on se sait pas à l'heure actuelle prédire précisément quel sera le développement d'une tumeur donnée, ni estimer de façon certaine le protocole thérapeutique optimal pour chaque patient. Il est entendu que la modélisation mathématique pourrait apporter des éléments de réponse à ces questions. Durant cette thèse on s'est alors intéressé à la construction de formalismes mathématiques pour décrire la croissance tumorale et l'action de traitement anti-cancéreux. En particulier, on s'est intéressé à la prise en compte des mécanismes aussi bien moléculaires que cellulaires et tissulaires, par la construction d'un modèle continu, multi-échelles, de croissance de tumeur solide et d'angiogenèse. A partir de ce modèle, nous a pu envisager de façon qualitative un protocole optimal de combinaison entre un anti-angiogénique et une chimiothérapie.Le modèle multi-échelles inclut une représentation mathématique des voies de signalisation du VEGF dont on détaille la construction.Dans une autre approche, on a considéré un modèle discret, cellule-centré, reproduisant le développement de sphéroïdes de cellules épithéliales mammaires telles qu'observées lorsque ces cellules sont cultivées in vitro. On a pu mettre en évidence les différents mécanismes cellulaires impliqués dans la morphogenèse de structures composées de cellules saines, et celles composées de cellules mutées.Ces contributions montrent l'intérêt du formalisme multi-échelles adopté pour intégrer les connaissances et données sous-jacentes à l'étude du traitement des tumeurs.

L'étude de l'évolution de galaxies, et tout particulièrement du phénomène d'évaporation, a été pour la première fois menée à l'aide de modèles physiques, par Chandrasekhar notamment, dans les années 40. Depuis, de nouveaux modèles plus sophistiqués ont été introduits par les physiciens. Ces modèles d'évolution des galaxies sont des modèles cinétiques; bien connus et bien étudiés par les mathématiciens. Cependant, l'aspect évaporation (le fait que des étoiles sortent du système étudié) n'avait pas encore été étudié mathématiquement, à ma connaissance. La galaxie est vue comme un gaz constitué d'étoiles et le modèle consiste en une équation de Vlasov-Poisson, l'interaction étant la gravitation universelle, couplée avec au second membre un terme de collision de type Landau. On rajoute à ce modèle une condition d'évaporation qui consiste à dire que les étoiles dont l'énergie cinétique est suffisamment élevée pour quitter le système sont exclues. Ce modèle étant trop compliqué à étudier tel quel, je propose dans cette thèse plusieurs modèles simplifiés qui sont des premières étapes nécessaires à l'étude du modèle général et qui permettent de mieux comprendre les difficultés à surmonter. Dans une première partie, je m'intéresse au cas homogène en espace, pour lequel le terme de Vlasov-Poisson est remplacé par une simple dérivée en temps. Je fais une étude précise du cas à symétrie radiale en vitesse avec un potentiel Maxwellien, le terme de Landau étant alors remplacé par un terme de type Fokker-Planck, et je montre dans ce cas l'existence et l'unicité d'une solution régulière et l'existence d'un profil asymptotique des solutions. Dans le cas homogène général, je montre l'existence et l'unicité d'une solution régulière tout pendant que la masse ne s'est pas totalement évaporée. J'illustre ces résultats théoriques par des simulations numériques réalisés à l'aide de schéma numériques conservateurs. Dans une seconde partie, je m'intéresse au cas non homogène en espace en dérivant un modèle hydrodynamique pour un modèle de type Vlasov-BGK (plus simple que le modèle Vlasov-Poisson-Landau) avec évaporation.

Ce mémoire s'inscrit dans l'émergente globalisation de l'intelligence artificielle aux domaines de la santé. Par le biais de l'application d'algorithmes modernes d'apprentissage automatique à deux études de cas concrètes, l'objectif est d'exposer de manière rigoureuse et intelligible aux experts de la santé comment l'intelligence artificielle exploite des données cliniques à la fois multivariées et longitudinales à des fins de visualisation et de prognostic de populations de patients en situation d'urgence médicale. Nos résultats montrent que la récente méthode de réduction de la dimensionalité PHATE couplée à un algorithme de regroupement surpasse d'autres méthodes plus établies dans la projection en deux dimensions de trajectoires multidimensionelles et aide ainsi les experts à mieux visualiser l'évolution de certaines sous-populations. Nous mettons aussi en évidence l'efficacité des réseaux de neurones récurrents traditionnels et conditionnels dans le prognostic précoce de patients malades. Enfin, nous évoquons l'analyse topologique de données comme piste de solution adéquate aux problèmes usuels de données incomplètes et irrégulières auxquels nous faisons face inévitablement au cours de la seconde étude de cas. / This thesis aligns with the trending globalization of artificial intelligence in healthcare. Through two real-world applications of recent machine learning approaches, our fundamental goal is to rigorously and intelligibly expose to the domain experts how artificial intelligence uses clinical multivariate time series to provide visualizations and predictions related to populations of patients in an emergency condition. Our results demonstrate that the recent dimensionality reduction tool PHATE combined with a clustering algorithm outperforms other more established methods in projecting multivariate time series in two dimensions and thus help the experts visualize sub-populations' trajectories. We also highlight traditional and conditional recurrent neural networks' proficiency in the early prognosis of ill patients. Finally, we allude to topological data analysis as a suitable solution to common problems related to data irregularities and incompleteness we inevitably face in the second case study.

Les méthodes d’apprentissage profond connaissent une croissance fulgurante. Une explication de ce phénomène est l’essor de la puissance de calcul combiné à l’accessibilité de données en grande quantité. Néanmoins, plusieurs applications de la vie réelle présentent des difficultés: la disponibilité et la qualité des données peuvent être faibles, l’étiquetage des données peut être ardu, etc. Dans ce mémoire, nous examinons deux contextes : celui des données limitées et celui du modèle économique CATS. Pour pallier les difficultés rencontrées dans ces contextes, nous utilisons des modèles d’apprentissage profond pour images avec structure additionnelle. Dans un premier temps, nous examinons les réseaux de scattering et étudions leur version paramétrée sur des petits jeux de données. Dans un second temps, nous adaptons les modèles de diffusion afin de proposer une alternative aux modèles à base d’agents qui sont complexes à construire et à optimiser. Nous vérifions empiriquement la faisabilité de cette démarche en modélisant le marché de l’emploi du modèle CATS. Nous constatons tout d’abord que les réseaux de scattering paramétrés sont performants sur des jeux de données de classification pour des petits échantillons de données. Nous démontrons que les réseaux de scattering paramétrés performent mieux que ceux non paramétrés, c’est-à-dire les réseaux de scattering traditionnels. En effet, nous constatons que des banques de filtres adaptés aux jeux de données permettent d’améliorer l’apprentissage. En outre, nous observons que les filtres appris se différencient selon les jeux de données. Nous vérifions également la propriété de robustesse aux petites déformations lisses expérimentalement. Ensuite, nous confirmons que les modèles de diffusion peuvent être adaptés pour modéliser le marché de l’emploi du modèle CATS dans une approche d’apprentissage profond. Nous vérifions ce fait pour deux architectures de réseau de neurones différentes. De plus, nous constatons que les performances sont maintenues pour différents scénarios impliquant l’apprentissage avec une ou plusieurs séries temporelles issues de CATS, lesquelles peuvent être tirées à partir d’hyperparamètres standards ou de perturbations de ceux-ci. / Deep learning methods are booming. An explanation of this phenomenon is the rise of computing power combined with the accessibility of large data quantity. Nevertheless, several real-life applications present difficulties: the availability and quality of data can be low, data labeling can be tricky, etc. In this thesis, we examine two contexts: that of limited data and that of the CATS economic model. To overcome the difficulties encountered in these contexts, we use deep learning models for images with additional structure. First, we examine scattering networks and study their parameterized version on small datasets. In a second step, we adapt diffusion models in order to propose an alternative to agent-based models which are complex to build and to optimize. We empirically verify the feasibility of this approach by modeling the labor market of the CATS model. We first observe that the parameterized scattering networks perform well on classification datasets for small samples of data. We demonstrate that parameterized scattering networks perform better than those not parametrized, i.e. traditional scattering networks. Indeed, we find that filterbanks adapted to the datasets make it possible to improve learning. Moreover, we observe that the learned filters differ according to the datasets. We also verify the property of robustness to small smooth deformations experimentally.. Then, we confirm that diffusion models can be adapted to model the labor market of the CATS model in a deep learning approach. We verify this fact for two different neural network architectures. Moreover, we find that performance is maintained for different scenarios involving training with one or more time series from CATS, which can be derived from standard hyperparameters or perturbations thereof.

En raison des relations complexes entre les variables des systèmes biologiques, l’hétérogénéité des données biologiques pose un défi pour leur modélisation par des modèles mathématiques et statistiques. En réponse, étant conçus pour traiter des données multiniveaux et bruitées, les modèles à effets mixtes deviennent de plus en plus populaires en modélisation quantitative de systèmes biologiques. L'objectif de cette thèse est de présenter l’application de modèles à effets mixtes à différents systèmes biologiques. Le deuxième chapitre de ce mémoire vise à déterminer la relation entre la cote de qualité du sirop d'érable, divers indicateurs de qualité couramment obtenus par les producteurs ainsi qu'un nouvel indicateur, le COLORI, et la concentration en acides aminés (AA). Pour cela, nous avons créé deux modèles à effets mixtes : le premier est un modèle ordinal qui prédit directement la cote de qualité du sirop d'érable en utilisant la transmittance, COLORI et AA ; le deuxième modèle est un modèle non linéaire qui prédit la concentration en AA en utilisant COLORI avec le pH comme approximation temporelle. Nos résultats montrent que la concentration en AA est un bon prédicteur de la qualité du sirop d'érable et que COLORI est un bon prédicteur de la concentration en AA. Le troisième chapitre traite de l’utilisation d’un modèle de la pharmacocinétique de population (PopPK) pour décrire la dynamique de l'estradiol dans un modèle de pharmacologie quantitative des systèmes (QSP) de la différenciation des cellules mammaires en cellules myoépithéliales afin de capturer l'hétérogénéité de la population de patients. Nous avons trouvé que la composante PopPK du modèle QSP n’a pas ajoutée de grande variation dans la dynamique de patients virtuels, ce qui suggère que le modèle QSP inclut intrinsèquement l'hétérogénéité. Dans l'ensemble, ce mémoire démontre l'application de modèles à effets mixtes au systèmes biologiques pour comprendre l'hétérogénéité des données biologiques. / Modelling biological systems with mathematical models has been a challenge due to the tendency for biological data to be heavily heterogeneous with complex relationships between the variables. Mixed effects models are an increasingly popular choice as a statistical model for biological systems since it is designed for multilevel data and noisy data. The aim of this thesis is to showcase the range of usage of mixed effects modelling for different biological systems. The second chapter aims to determine the relationship between maple syrup quality rating and various quality indicator commonly obtained by producers as well as a new indicator, COLORI, and amino acid (AA) concentration. For this, we created two mixed effects models: the first is an ordinal model that directly predicts maple syrup quality rating using transmittance, COLORI and AA; the second model is a nonlinear model that predicts AA concentration using COLORI with pH as a time proxy. Our models show that AA concentration is a good predictor for maple syrup quality, and COLORI is a good predictor for AA concentration. The third chapter involves using a population pharmacokinetics (PopPK) model to estimate estradiol dynamics in a quantitative systems pharmacokinetics (QSP) model for mammary cell differentiation into myoepithelial cells in order to capture population heterogeneity among patients. Our results show that the QSP model inherently includes heterogeneity in its structure since the added PopPK estradiol portion of the model does not add large variation in the estimated virtual patients. Overall, this thesis demonstrates the application of mixed effects models in biology as a way to understand heterogeneity in biological data.