Le manuscrit est constitué de deux parties indépendantes.Propriétés des Solutions de Viscosité des Equations Integro-Différentielles.Nous considérons des équations intégro-différentielles elliptiques et paraboliques non-linéaires (EID), où les termes non-locaux sont associés à des processus de Lévy. Ce travail est motivé par l'étude du Comportement en temps long des solutions de viscosité des EID, dans le cas périodique. Le résultat classique nous dit que la solution u(¢, t ) du problème de Dirichlet pour EID se comporte comme ?t Åv(x)Åo(1) quand t !1, où v est la solution du problème ergodique stationaire qui correspond à une unique constante ergodique ?.En général, l'étude du comportement asymptotique est basé sur deux arguments: la régularité de solutions et le principe de maximumfort.Dans un premier temps, nous étudions le Principe de Maximum Fort pour les solutions de viscosité semicontinues des équations intégro-différentielles non-linéaires. Nous l'utilisons ensuite pour déduire un résultat de comparaison fort entre sous et sur-solutions des équations intégro-différentielles, qui va assurer l'unicité des solutions du problème ergodique à une constante additive près. De plus, pour des équationssuper-quadratiques le principe de maximum fort et en conséquence le comportement en temps grand exige la régularité Lipschitzienne.Dans une deuxième partie, nous établissons de nouvelles estimations Hölderiennes et Lipschitziennes pour les solutions de viscosité d'une large classe d'équations intégro-différentielles non-linéaires, par la méthode classique de Ishii-Lions. Les résultats de régularité aident de plus à la résolution du problème ergodique et sont utilisés pour fournir existence des solutions périodiques des EID.Nos résultats s'appliquent à une nouvelle classe d'équations non-locales que nous appelons équations intégro-différentielles mixtes. Ces équations sont particulièrement intéressantes, car elles sont dégénérées à la fois dans le terme local et non-local, mais leur comportement global est conduit par l'interaction locale - non-locale, par exemple la diffusion fractionnaire peut donner l'ellipticité dans une direction et la diffusion classique dans la direction orthogonale.Visualisation et Restauration d'Images par Mouvements de CourbureLe rôle de la courbure dans la perception visuelle remonte à 1954, et on le doit à Attneave. Des arguments neurologiques expliquent que le cerveau humain ne pourrait pas possiblement utiliser toutes les informations fournies par des états de simulation. Mais en réalité on enregistre des régions où la couleur change brusquement (des contours) et en outre les angles et les extremas de courbure. Pourtant, un calcul direct de courbures sur une image est impossible. Nous montrons comment les courbures peuvent être précisément évaluées, à résolution sous-pixelique par un calcul sur les lignes de niveau après leur lissage indépendant.Pour cela, nous construisons un algorithme que nous appelons Level Lines (Affine) Shortening, simulant une évolution sous-pixelique d'une image par mouvement de courbure moyenne ou affine. Aussi bien dans le cadre analytique que numérique, LLS (respectivement LLAS) extrait toutes les lignes de niveau d'une image, lisse indépendamment et simultanément toutes ces lignes de niveau par Curve Shortening(CS) (respectivement Affine Shortening (AS)) et reconstruit une nouvelle image. Nousmontrons que LL(A)S calcule explicitement une solution de viscosité pour le le Mouvement de Courbure Moyenne (respectivement Mouvement par Courbure Affine), ce qui donne une équivalence avec le mouvement géométrique.Basé sur le raccourcissement de lignes de niveau simultané, nous fournissons un outil de visualisation précis des courbures d'une image, que nous appelons un Microscope de Courbure d'Image. En tant que application, nous donnons quelques exemples explicatifs de visualisation et restauration d'image : du bruit, des artefacts JPEG, de l'aliasing seront atténués par un mouvement de courbure sous-pixelique / The present dissertation has two independent parts.Viscosity solutions theory for nonlinear Integro-Differential EquationsWe consider nonlinear elliptic and parabolic Partial Integro-Differential Equations (PIDES), where the nonlocal terms are associated to jump Lévy processes. The present work is motivated by the study of the Long Time Behavior of Viscosity Solutions for Nonlocal PDEs, in the periodic setting. The typical result states that the solution u(¢, t ) of the initial value problem for parabolic PIDEs behaves like ?t Å v(x) Å o(1) as t ! 1, where v is a solution of the stationary ergodic problem corresponding to the unique ergodic constant ?. In general, the study of the asymptotic behavior relies on two main ingredients: regularity of solutions and the strong maximum principle.We first establish Strong Maximum Principle results for semi-continuous viscosity solutions of fully nonlinear PIDEs. This will be used to derive Strong Comparison results of viscosity sub and super-solutions, which ensure the up to constants uniqueness of solutions of the ergodic problem, and subsequently, the convergence result. Moreover, for super-quadratic equations the strong maximum principle and accordingly the large time behavior require Lipschitz regularity.We then give Lipschitz estimates of viscosity solutions for a large class of nonlocal equations, by the classical Ishii-Lions's method. Regularity results help in addition solving the ergodic problem and are used to provide existence of periodic solutions of PIDEs. In both cases, we deal with a new class of nonlocal equations that we term mixed integrodifferential equations. These equations are particularly interesting, as they are degenerate both in the local and nonlocal term, but their overall behavior is driven by the local-nonlocal interaction, e.g. the fractional diffusion may give the ellipticity in one direction and the classical diffusion in the complementary one.Image Visualization and Restoration by CurvatureMotionsThe role of curvatures in visual perception goes back to 1954 and is due to Attneave. It can be argued on neurological grounds that the human brain could not possible use all the information provided by states of simulation. But actually human brain registers regions where color changes abruptly (contours), and furthermore angles and peaks of curvature. Yet, a direct computation of curvatures on a raw image is impossible. We show how curvatures can be accurately estimated, at subpixel resolution, by a direct computation on level lines after their independent smoothing.To performthis programme, we build an image processing algorithm, termed Level Lines (Affine) Shortening, simulating a sub-pixel evolution of an image by mean curvature motion or by affine curvature motion. Both in the analytical and numerical framework, LL(A)S first extracts all the level lines of an image, then independently and simultaneously smooths all of its level lines by curve shortening (CS) (respectively affine shortening (AS)) and eventually reconstructs, at each time, a new image from the evolved level lines.We justify that the Level Lines Shortening computes explicitly a viscosity solution for the Mean CurvatureMotion and hence is equivalent with the clasical, geometric Curve Shortening.Based on simultaneous level lines shortening, we provide an accurate visualization tool of image curvatures, that we call an Image CurvatureMicroscope. As an application we give some illustrative examples of image visualization and restoration: noise, JPEG artifacts, and aliasing will be shown to be nicely smoothed out by the subpixel curvature motion.

<p dir="ltr">In Chapter 1, we introduce geometric motions from the general perspective of gradient flows. Here we develop the basic framework in which to pose the two main results of this thesis.</p><p dir="ltr">In Chapter 2, we examine the pinch-off phenomenon for a tubular surface moving by surface diffusion. We prove the existence of a one parameter family of pinching profiles obeying a long wavelength approximation of the dynamics.</p><p dir="ltr">In Chapter 3, we study a diffusion-based numerical scheme for curve shortening flow. We prove that the scheme is one time-step consistent.</p>

Ce mémoire porte sur l'étude des surfaces minimales et de courbure moyenne constante dans les espaces homogènes de dimension 3. Nous établissons les formules de Sym-Bobenko pour les surfaces de courbure moyenne constante 1/2 de H^2xR et minimales du groupe de Heisenberg, et donnons des exemples de construction de telles immersions par la méthode DPW. Nous montrons également que des propriétés de symétrie passent aux correspondances de type surfaces sœurs et cousines, ce qui entraîne l'existence de graphes entiers de courbure moyenne constante 1/2 à bout vertical dans H^2xR qui ne sont pas de révolution. Nous reprenons ensuite l'étude des bouts verticaux d'immersions de courbure moyenne constante 1/2 dans H^2xR. Nous munissons une famille de graphes entiers d'une structure de variété lisse et en déduisons un analogue pour H^2xR d'un théorème de A. E. Treibergs pour l'espace de Minkowski. Nous nous intéressons également aux déformations des anneaux de révolution. Une conséquence directe est l'existence d'anneaux immergés qui ne sont pas de révolution. Nous construisons notamment des anneaux dont les bouts n'ont pas le même axe. Enfin, nous décrivons les invariants de Nœther correspondant aux isométries des espaces homogènes pour les surfaces minimales et de courbure moyenne constante. Nous utilisons le formalisme de la géométrie de contact qui permet l'écriture de formules explicites en toute généralité, et nous étudions l'évolution des formes de Nœther sous l'action des isométries des espaces homogènes. Nous calculons ces invariants dans le cas des anneaux déformés de H^2xR, et dans celui des anneaux horizontaux du groupe de Heisenberg / The present dissertation deals with the study of minimal and constant mean curvature surfaces in 3-dimensional homogeneous spaces. In a first part, we establish Sym-Bobenko formulæ for constant mean curvature 1/2 surfaces in H^2xR and minimal surfaces in the Heisenberg group, and give examples of construction of such immersions using the DPW method. We also show that certain symmetry properties are shared by sister or cousin surfaces, which implies the existence non rotational entire graphs of constant mean curvature 1/2 in H^2xR with a vertical end.In a second part, we treat in more details the study of vertical ends of constant mean curvature 1/2 immersions in H^2xR. We endow a particular family entire graphs with a structure of smooth manifold and deduce an analogue in H^2xR to a theorem by A. E. Treibergs in the Minkowski space. We are also interested in deforming rotational annuli. A direct consequence is the existence of immersed non rotational annuli, and in particular we construct annuli with ends that do not have the same axis. Finally, we describe the Nœther invariants corresponding to isometries of the ambient homogeneous space for minimal and constant mean curvature surfaces. To do so, we use the formalism of contact geometry which allows general and explicit formulæ. We then study the evolution of Nœther form under the action of isometries in homogeneous spaces. We compute these invariants in the case of deformed annuli in H^2xR, and in the case of horizontal annuli in Heisenberg group

In this dissertation we study free boundary problems that model the evolution of interfaces in the presence of elasticity, such as thin film profiles and material void boundaries. These problems are characterized by the competition between the elastic bulk energy and the anisotropic surface energy. First, we consider the evolution equation with curvature regularization that models the motion of a two-dimensional thin film by evaporation-condensation on a rigid substrate. The film is strained due to the mismatch between the crystalline lattices of the two materials and anisotropy is taken into account. We present the results contained in [62] where the author establishes short time existence, uniqueness and regularity of the solution using De Giorgi’s minimizing movements to exploit the L2 -gradient flow structure of the equation. This seems to be the first analytical result for the evaporation-condensation case in the presence of elasticity. Second, we consider the relaxed energy introduced in [20] that depends on admissible pairs (E, u) of sets E and functions u defined only outside of E. For dimension three this energy appears in the study of the material voids in solids, where the pairs (E, u) are interpreted as the admissible configurations that consist of void regions E in the space and of displacements u of the atoms of the crystal. We provide the precise mathematical framework that guarantees the existence of minimal energy pairs (E, u). Then, we establish that for every minimal configuration (E, u), the function u is C 1,γ loc -regular outside an essentially closed subset of E. No hypothesis of starshapedness is assumed on the voids and all the results that are contained in [18] hold true for every dimension d ≥ 2.

Ce travail, à l'interface entre les mathématiques appliquées et la physique, s'articule autour de la modélisation numérique des vésicules biologiques, un modéle pour les globules rouges du sang. Pour cela, le modéle de Canham et Helfrich est adopté pour décrire le comportement des vésicules. La modélisation numérique utilise la méthode des fonctions de niveau dans un cadre éléments finis. Un nouvel algorithme de résolution numérique combinant une technique de multiplicateurs de Lagrange avec une adaptation automatique de maillages garantit la conservation exacte des volumes et des surfaces. Cet algorithme permet donc de dépasser une limitation cruciale actuelle de la méthode des fonctions de niveau, à savoir les pertes de masse couramment observées dans ce type de problémes. De plus, les propriétés de convergence de la méthode des fonctions de niveau se trouvent ainsi grandement améliorées, comme l'indiquent de nombreux tests numériques. Ces tests comprennent notamment des problémes d'advection élémentaires, des mouvements par courbure moyenne ainsi que des mouvements par diffusion de surface. Concernant l'équilibre statique des vésicules, une condition générale d'équilibre d'Euler-Lagrange est obtenue à l'aide d'outils de dérivation de forme. En dynamique, le mouvement d'une vésicule sous l'action d'un écoulement de cisaillement est étudié dans le cadre des nombres de Reynolds élevés. L'effet du confinement est considéré, et les régimes classiques de chenille de char et de basculement sont retrouvés. Finalement, pour la premiére fois, l'effet des termes inertiels est étudié et on montre qu'au delà d'une valeur critique du nombre de Reynolds, la vésicule passe d'un mouvement de basculement à un mouvement de chenille de char. / This work, at the interface between the Applied Mathematics and Physics is connected about the numerical modelisation of biological vesicles, a pattern for the red blood cells. For this reason, the pattern of Canham and Helfrich is adopted to describe the behaviour of the vesicles. The numerical modelisation uses the Level Set method in finite element framework. A new algorithm of numerical resolution combining one technique of Lagrange multipliers with an automatic mesh adaptation ensures the accurate conservation of volumes and surfaces. Thus this algorithm enables to exceed an existing crucial restriction of the Level Set method, that's to say, the wastes of mass usually noticed in this kind of problems. Moreover, the proprieties of convergence of the Level Set method are thus much more improved, as shown in many numerical tests. Those tests chiefly include elementary problems of advection, motions by mean curvature just as motions by spread of surface. Concerning the static equilibrum of the vesicles, a mechanical equilibrum equation (Euler-Lagrange equation) of a vesicle membrane under a generalized elastic bending energy is obtained and the approach is based on shape optimization tools. In dynamics, the motion of a vesicle under the effect of a shear flow is elaborated in the frames of reference of high Reynolds numbers. The effect of confinement is respected, and the standard regimes of tank-treading and of tumbling motion are found again. Finally, for the first time, the effect of the inertia terms is elaborated and we show that beyond a critical value of the number of Reynolds the vesicle passes from a tumbling motion to a tank-treading motion.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-08-09T17:38:25Z No. of bitstreams: 1 JAMILLY LOURÊDO ROCHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 5707925 bytes, checksum: 8010cd451ac64c8a7fccc36a2f8313f6 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-08-09T17:38:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 JAMILLY LOURÊDO ROCHA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2014..pdf: 5707925 bytes, checksum: 8010cd451ac64c8a7fccc36a2f8313f6 (MD5) Previous issue date: 2014-08 / Capes / Com uma aplicação adequada do conhecido princípio do máximo generalizado de Omori-Yau, obtemos resultados de rigidez com relação a hipersuperfícies imersas completascomcurvaturamédiadelimitadanoespaçohiperbólicoHn+1 (n+1)-dimensional. Em nossa abordagem exploramos a existência de uma dualidade natural entreHn+1 e a metade Hn+1 do espaço de SitterSn+11 , cujo modelo é chamado de steady state space. / As a suitable application of the well known generalized maximum principle of Omori-Yau, we obtain rigidity results concerning to a complete hypersurface immersed with bounded mean curvature in the (n+1)-dimensional hyperbolic spaceHn+1. In our approach, we explore the existence of a natural duality betweenHn+1 and the half Hn+1 of the de Sitter spaceSn+11 , which models the so-called steady state space.

In this work we prove two theorems that characterize the hypersurfaces in the unitary sphere of dimension n+1. The first result, obtained by H. Alencar and M. do Carmo, classifies hypersurfaces with constant mean curvature in the sphere. This result was published in April 1994 in Proceedings of The American Mathematical Society, volume 120, number 4 with the title Hypersurfaces with Constant Mean Curvature. The second result was obtained by Li Haizhong in the article Hypersurfaces with Constant Scalar Curvature in Space Forms, published in 1996 in the journal Mathematisch Annalen, volume 305. The theorem of Li Haizhong characterizes hypersurfaces with constant scalar curvature in the sphere. We prove the theorem of Li Haizhong using the results obtained by H. Alencar and M. do Carmo. / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Nesta dissertação apresentamos dois teoremas que caracterizam as hipersuperfícies na esfera unitária de dimensão n+1. O primeiro resultado, obtido por H. Alencar e M. do Carmo, classifica as hipersuperfícies com curvatura média constante na esfera. Este resultado foi publicado em abril de 1994 no Proceedings of The American Mathematical Society, volume 120, número 4 com o título Hypersurfaces With Constant Mean Curvature.O segundo resultado provado nesta dissertação foi obtido por Li Haizhong no artigo Hypersurfaces With Constant Scalar Curvature in Spaces Forms, publicado em 1996 no Mathematische Annalen, volume 305. O Teorema de Li Haizhong caracteriza as hipersuperfícies com curvatura escalar constante na esfera. Demonstraremos o Teorema de Li Haizhong utilizando os resultados obtidos por H. Alencar e M. do Carmo.

The goal of this dissertation is to present a R. Reilly's demonstration of the theorem of Alexandrov . The theorem states that The only compact hypersurfaces, conected, of constant mean curvature, immersed in Euclidean space are spheres. The theorem of Alexandrov was proved by A. D. Alexandrov in the article Uniqueness Theorems for Surfaces in the Large V, published in 1958 by Vestnik Leningrad University, volume 13, number 19, pages 5 to 8. In his demonstration, Alexandrov used the famous Principle of tangency, introduced by him in that article. In the year 1962, M. Obata shown in Certain Conditions for a Riemannian Manifold to be isometric With the Sphere, published by the Journal of Mathematical Society of Japan, volume 14, pages 333 to 340, that a Riemannian Manifold M, compact, connected and without boundary, is isometric to a sphere, since the Ricci curvature of M satisfies certain lower bound. This theorem solves the problem of finding manifolds that reach equality in the estimate of Lichnerowicz for the first eigenvalue. In 1977, R. Reilly, in the article Applications of the Hessian operator in a Riemannian Manifold, published in Indianna University Mathematical Journal, volume 23, pages 459 to 452, showed a generalization of the Obata theorem for compact manifolds with boundary. As an example of the technique developed in this demonstration, he presents a new demonstration of the theorem of Alexandrov. This demonstration, as well as the techniques involved are the object of study of this work. / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / O objetivo desta dissertação é apresentar uma demonstração de R. Reilly para o Teorema de Alexandrov. O teorema estabelece que As únicas hipersuperfícies compactas, conexas, de curvatura média constante, mergulhadas no espaço Euclidiano são as esferas. O teorema de Alexandrov foi provado por A. D. Alexandrov no artigo Uniqueness Theorems for Surfaces in the Large V, publicado em 1958 pela Vestnik Leningrad University, volume 13, número 19, páginas 5 a 8. Em sua demonstração, Alexandrov usou o famoso Princípio de Tangência, introduzido por ele no citado artigo. No ano de 1962, M. Obata demonstrou em Certain Conditions for a Riemannian Manifold to be Isometric With a Sphere, publicado pelo Journal of Mathematical Society of Japan, volume 14, páginas 333 a 340, que uma variedade Riemanniana M, compacta, conexa e sem bordo, é isométrica a uma esfera, desde que a curvatura de Ricci de M satisfaça determinada limitação inferior. Este teorema resolve o problema de encontrar as variedades que atingem a igualdade na estimativa de Lichnerowicz para o primeiro autovalor. Em 1977, R. Reilly, no artigo Applications of the Hessian Operator in a Riemannian Manifold, publicado no Indianna University Mathematical Journal, volume 23, páginas 459 a 452, demonstrou uma generalização do Teorema de Obata para variedades compactas com bordo. Como exemplo da técnica desenvolvida nesta demonstração, ele apresenta uma nova demonstração do Teorema de Alexandrov. Esta demonstração, bem como as técnicas envolvidas, são o objeto de estudo deste trabalho.

Provamos resultados sobre a geometria de hipersuperfícies em diferentes espaços ambiente. Primeiro, definimos uma aplicação de Gauss generalizada para uma hipersuperfície Mn-1 c/ Nn, onde N é um espaço simétrico de dimensão n ≥ 3. Em particular, generalizamos um resultado de Ruh-Vilms e apresentamos aplicações. Em seguida, estudamos superfícies em espaços de dimensão 3: estudamos a equação da curvatura média em um produto semidireto R2oAR e obtemos estimativas da altura e a existência de gráficos mínimos do tipo Scherk. Finalmente, no espaço ambiente de uma variedade hiperbólica de dimensão 3: nós apresentamos condições suficientes para que um mergulho completo de uma superfície ∑ de topologia finita em N com curvatura média |H∑| ≤ 1 seja próprio. / We prove results concerning the geometry of hypersurfaces on di erent ambient spaces. First, we de ne a generalized Gauss map for a hypersurface Mn-1 c/ Nn, where N is a symmetric space of dimension n ≥ 3. In particular, we generalize a result due to Ruh-Vilms and make some applications. Then, we focus on surfaces on spaces of dimension 3: we study the mean curvature equation of a semidirect product R2 oA R to obtain height estimates and the existence of a Scherk-like minimal graph. Finally, on the ambient space of a hyperbolic manifold N of dimension 3 we give su cient conditions for a complete embedding of a nite topology surface ∑ on N with mean curvature |H∑| ≤ 1 to be proper.

Historiquement et socialement, le visage est chez l'humain une modalité de prédilection pour déterminer l'identité et l'état émotionnel d'une personne. Il est naturellement exploité en vision par ordinateur pour les problèmes de reconnaissance de personnes et d'émotions. Les algorithmes d'analyse faciale automatique doivent relever de nombreux défis : ils doivent être robustes aux conditions d'acquisition ainsi qu'aux expressions du visage, à l'identité, au vieillissement ou aux occultations selon le scénario. La modalité 3D a ainsi été récemment investiguée. Elle a l'avantage de permettre aux algorithmes d'être, en principe, robustes aux conditions d'éclairage ainsi qu'à la pose. Cette thèse est consacrée à l'analyse de visages en 3D, et plus précisément la reconnaissance faciale ainsi que la reconnaissance d'expressions faciales en 3D sans texture. Nous avons dans un premier temps axé notre travail sur l'apport que pouvait constituer une approche régions aux problèmes d'analyse faciale en 3D. L'idée générale est que le visage, pour réaliser les expressions faciales, est déformé localement par l'activation de muscles ou de groupes musculaires. Il est alors concevable de décomposer le visage en régions mimiques et statiques, et d'en tirer ainsi profit en analyse faciale. Nous avons proposé une paramétrisation spécifique, basée sur les distances géodésiques, pour rendre la localisation des régions mimiques et statiques le plus robustes possible aux expressions. Nous avons également proposé une approche régions pour la reconnaissance d'expressions du visage, qui permet de compenser les erreurs liées à la localisation automatique de points d'intérêt. Les deux approches proposées dans ce chapitre ont été évaluées sur des bases standards de l'état de l'art. Nous avons également souhaité aborder le problème de l'analyse faciale en 3D sous un autre angle, en adoptant un système de cartes de représentation de la surface 3D. Nous avons ainsi proposé de projeter sur le plan 2D des informations liées à la topologie de la surface 3D, à l'aide d'un descripteur géométrique inspiré d'une mesure de courbure moyenne. Les problèmes de reconnaissance faciale et de reconnaissance d'expressions 3D sont alors ramenés à ceux de l'analyse faciale en 2D. Nous avons par exemple utilisé SIFT pour l'extraction puis l'appariement de points d'intérêt en reconnaissance faciale. En reconnaissance d'expressions, nous avons utilisé une méthode de description des visages basée sur les histogrammes de gradients orientés, puis classé les expressions à l'aide de SVM multi-classes. Dans les deux cas, une méthode de fusion simple permet l'agrégation des résultats obtenus à différentes échelles. Ces deux propositions ont été évaluées sur la base BU-3DFE, montrant de bonnes performances tout en étant complètement automatiques. Enfin, nous nous sommes intéressés à l'impact des dégradations des modèles 3D sur les performances des algorithmes d'analyse faciale. Ces dégradations peuvent avoir plusieurs origines, de la capture physique du visage humain au traitement des données en vue de leur interprétation par l'algorithme. Après une étude des origines et une théorisation des types de dégradations potentielles, nous avons défini une méthodologie permettant de chiffrer leur impact sur des algorithmes d'analyse faciale en 3D. Le principe est d'exploiter une base de données considérée sans défauts, puis de lui appliquer des dégradations canoniques et quantifiables. Les algorithmes d'analyse sont alors testés en comparaison sur les bases dégradées et originales. Nous avons ainsi comparé le comportement de 4 algorithmes de reconnaissance faciale en 3D, ainsi que leur fusion, en présence de dégradations, validant par la diversité des résultats obtenus la pertinence de ce type d'évaluation. / Historically and socially, the human face is one of the most natural modalities for determining the identity and the emotional state of a person. It has been exploited by computer vision scientists within the automatic facial analysis domain. Still, proposed algorithms classically encounter a number of shortcomings. They must be robust to varied acquisition conditions. Depending on the scenario, they must take into account intra-class variations such as expression, identity (for facial expression recognition), aging, occlusions. Thus, the 3D modality has been suggested as a counterpoint for a number of those issues. In principle, 3D views of an object are insensitive to lightning conditions. They are, theoretically, pose-independant as well. The present thesis work is dedicated to 3D Face Analysis. More precisely, it is focused on non-textured 3D Face Recognition and 3D Facial Expression Recognition. In the first instance, we have studied the benefits of a region-based approach to 3D Face Analysis problems. The general concept is that a face, when performing facial expressions, is deformed locally by the activation of muscles or groups of muscles. We then assumed that it was possible to decompose the face into several regions of interest, assumed to be either mimic or static. We have proposed a specific facial surface parametrization, based upon geodesic distance. It is designed to make region localization as robust as possible regarding expression variations. We have also used a region-based approach for 3D facial expression recognition, which allows us to compensate for errors relative to automatic landmark localization. We also wanted to experiment with a Representation Map system. Here, the main idea is to project 3D surface topology data on the 2D plan. This translation to the 2D domain allows us to benefit from the large amount of related works in the litterature. We first represent the face as a set of maps representing different scales, with the help of a geometric operator inspired by the Mean Curvature measure. For Facial Recognition, we perform a SIFT keypoints extraction. Then, we match extracted keypoints between corresponding maps. As for Facial Expression Recognition, we normalize and describe every map thanks to the Histograms of Oriented Gradients algorithm. We further classify expressions using multi-class SVM. In both cases, a simple fusion step allows us to aggregate the results obtained on every single map. Finally, we have studied the impact of 3D models degradations over the performances of 3D facial analysis algorithms. A 3D facial scan may be an altered representation of its real life model, because of several reasons, which range from the physical caption of the human model to data processing. We propose a methodology that allows us to quantify the impact of every single type of degradation over the performances of 3D face analysis algorithms. The principle is to build a database regarded as free of defaults, then to apply measurable degradations to it. Algorithms are further tested on clean and degraded datasets, which allows us to quantify the performance loss caused by degradations. As an experimental proof of concept, we have tested four different algorithms, as well as their fusion, following the aforementioned protocol. With respect to the various types of contemplated degradations, the diversity of observed behaviours shows the relevance of our approach.