In this paper we propose an algorithm for solving systems of coupled monotone inclusions in Hilbert spaces. The operators arising in each of the inclusions of the system are processed in each iteration separately, namely, the single-valued are evaluated explicitly (forward steps), while the set-valued ones via their resolvents (backward steps). In addition, most of the steps in the iterative scheme can be executed simultaneously, this making the method applicable to a variety of convex minimization problems. The numerical performances of the proposed splitting algorithm are emphasized through applications in average consensus on colored networks and image classification via support vector machines.

Cette thèse s’inscrit dans le domaine mathématique de l’analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l’on perturbe stochastiquement au sens d’Itô. Il s’agit d’introduire l’aléatoire via l’ajout d’une intégrale stochastique (intégrale d’Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d’utiliser tous les outils classiques de l’analyse des EDP. Notre but est d’adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l’existence et l’unicité d’une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d’étendre ce résultat au cas multiplicatif à l’aide d’un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d’équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s’agit là d’une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l’étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l’existence d’une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L’unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov.. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l’étude repose sur l’utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l’unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l’équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel. / This thesis deals with the mathematical field of stochastic nonlinear partial differential equations’ analysis. We are interested in parabolic and hyperbolic PDE stochastically perturbed in the Itô sense. We introduce randomness by adding a stochastic integral (Itô integral), which can depend or not on the solution. We thus talk about a multiplicative noise or an additive one. The presence of the random variable does not allow us to apply systematically classical tools of PDE analysis. Our aim is to adapt known techniques of the deterministic setting to nonlinear stochastic PDE analysis by proposing alternative methods. Here are the obtained results : In Chapter I, we investigate on a stochastic perturbation of Barenblatt equations. By using an implicit time discretization, we establish the existence and uniqueness of the solution in the additive case. Thanks to the properties of such a solution, we are able to extend this result to the multiplicative noise using a fixed-point theorem. In Chapter II, we consider a class of stochastic equations of Barenblatt type but in an abstract frame. It is about a generalization of results from Chapter I. In Chapter III, we deal with the study of the Cauchy problem for a stochastic conservation law. We show existence of solution via an artificial viscosity method. The compactness arguments are based on Young measure theory. The uniqueness result is proved by an adaptation of the Kruzhkov doubling variables technique. In Chapter IV, we are interested in the Dirichlet problem for the stochastic conservation law studied in Chapter III. The remarkable point is the use of the Kruzhkov semi-entropies to show the uniqueness of the solution. In Chapter V, we introduce a splitting method to propose a numerical approach of the problem studied in Chapter IV. Then we finish by some simulations of the stochastic Burgers’ equation in the one dimensional case.

Wir betrachten die lineare inverse Probleme mit gestörter rechter Seite und gestörtem Operator in Hilberträumen, die inkorrekt sind. Um die Auswirkung der Inkorrektheit zu verringen, müssen spezielle Lösungsmethode angewendet werden, hier nutzen wir die sogenannte Tikhonov Regularisierungsmethode. Die Regularisierungsparameter wählen wir aus das verallgemeinerte Defektprinzip. Eine typische numerische Methode zur Lösen der nichtlinearen äquivalenten Defektgleichung ist Newtonverfahren. Wir schreiben einen Algorithmus, die global und monoton konvergent für beliebige Startwerte garantiert. Um die Stabilität zu garantieren, benutzen wir die Glattheit der Lösung, dann erhalten wir eine sogenannte bedingte Stabilität. Wir demonstrieren die sogenannte Interpolationsmethode zur Herleitung von bedingten Stabilitätsabschätzungen bei inversen Problemen für partielle Differentialgleichungen.

Wir betrachten die lineare inverse Probleme mit gestörter rechter Seite und gestörtem Operator in Hilberträumen, die inkorrekt sind. Um die Auswirkung der Inkorrektheit zu verringen, müssen spezielle Lösungsmethode angewendet werden, hier nutzen wir die sogenannte Tikhonov Regularisierungsmethode. Die Regularisierungsparameter wählen wir aus das verallgemeinerte Defektprinzip. Eine typische numerische Methode zur Lösen der nichtlinearen äquivalenten Defektgleichung ist Newtonverfahren. Wir schreiben einen Algorithmus, die global und monoton konvergent für beliebige Startwerte garantiert. Um die Stabilität zu garantieren, benutzen wir die Glattheit der Lösung, dann erhalten wir eine sogenannte bedingte Stabilität. Wir demonstrieren die sogenannte Interpolationsmethode zur Herleitung von bedingten Stabilitätsabschätzungen bei inversen Problemen für partielle Differentialgleichungen.

Die vorliegende Arbeit analysiert die Phänologie photosynthetisch aktiver Vegetation mit Hilfe von NDVI Zeitreihen für einen Zeitraum von 24 Jahren (AVHRR‑GIMMS Daten). Neben einer Datierung des jahreszeitlichen Wechsels zwischen Wachstums-, Reife- und Seneszenzphase wird das Ziel verfolgt, Trends sowohl in phänologischen Ereignissen (Start-of-Season) als auch im NDVI zu identifizieren. Das, in der semi-ariden Sahelregion gelegene, Untersuchungsgebiet weist mit zwei sich teilweise überlagernden Vegetationsperioden eine komplexe Phänologie auf, deren Modellierung durch die sowohl in ihren Zeitpunkten als auch in ihren Ausprägungen hoch variablen Vegetationsabläufe erschwert wird. Vor diesem Hintergrund ist zunächst ein, auf der Fourieranalyse basierender, Ansatz zur flexiblen Glättung der NDVI Zeitreihen entwickelt worden. Um für die Trendanalyse lineare Regressionsverfahren einsetzen zu können, sind die Zeitreihen nach dem Komponentenmodell untergliedert worden (Subtraktion der Saisonfigur). Alternativ kam der saisonale MANN-KENDALL Trendtest zur Anwendung. Die NDVI Zeitreihen wurden ebenfalls auf Änderungen im mehrjährigen Mittelwert (Bruchpunkte) untersucht. Alle Auswertungen sind in einer eigenen Applikation umgesetzt worden. Es konnte gezeigt werden, daß Änderungen im NDVI Niveau eher abrupt als graduell verlaufen. Langfristige Trends weisen nur geringe Anstiege auf. Die Vegetation erholte sich von der Dürre 1984/85 nur im südlichen Teil des Untersuchungsgebietes, im Norden dominieren langfristig negative Trends. Brüche im mean der NDVI Zeitreihen korrelieren mit Brüchen im Abflußverhalten des Niger.

Thèse par articles. / La présente thèse fait état des avancées en logique déontique et propose des outils formels pertinents à l'analyse de la validité des inférences légales. D'emblée, la logique vise l'abstraction de différentes structures. Lorsqu'appliquée en argumentation, la logique permet de déterminer les conditions de validité des inférences, fournissant ainsi un critère afin de distinguer entre les bons et les mauvais raisonnements. Comme le montre la multitude de paradoxes en logique déontique, la modélisation des inférences normatives fait cependant face à divers problèmes. D'un point de vue historique, ces difficultés ont donné lieu à différents courants au sein de la littérature, dont les plus importants à ce jour sont ceux qui traitent de l'action et ceux qui visent la modélisation des obligations conditionnelles. La présente thèse de doctorat, qui a été rédigée par articles, vise le développement d'outils formels pertinents à l'analyse du discours juridique. En première partie, nous proposons une revue de la littérature complémentaire à ce qui a été entamé dans Peterson (2011). La seconde partie comprend la contribution théorique proposée. Dans un premier temps, il s'agit d'introduire une logique déontique alternative au système standard. Sans prétendre aller au-delà de ses limites, le système standard de logique déontique possède plusieurs lacunes. La première contribution de cette thèse est d'offrir un système comparable répondant au différentes objections pouvant être formulées contre ce dernier. Cela fait l'objet de deux articles, dont le premier introduit le formalisme nécessaire et le second vulgarise les résultats et les adapte aux fins de l'étude des raisonnements normatifs. En second lieu, les différents problèmes auxquels la logique déontique fait face sont abordés selon la perspective de la théorie des catégories. En analysant la syntaxe des différents systèmes à l'aide des catégories monoïdales, il est possible de lier certains de ces problèmes avec des propriétés structurelles spécifiques des logiques utilisées. Ainsi, une lecture catégorique de la logique déontique permet de motiver l'introduction d'une nouvelle approche syntaxique, définie dans le cadre des catégories monoïdales, de façon à pallier les problèmes relatifs à la modélisation des inférences normatives. En plus de proposer une analyse des différentes logiques de l'action selon la théorie des catégories, la présente thèse étudie les problèmes relatifs aux inférences normatives conditionnelles et propose un système déductif typé. / The present thesis develops formal tools relevant to the analysis of legal discourse. When applied to legal reasoning, logic can be used to model the structure of legal inferences and, as such, it provides a criterion to discriminate between good and bad reasonings. But using logic to model normative reasoning comes with some problems, as shown by the various paradoxes one finds within the literature. From a historical point of view, these paradoxes lead to the introduction of different approaches, such as the ones that emphasize the notion of action and those that try to model conditional normative reasoning. In the first part of this thesis, we provide a review of the literature, which is complementary to the one we did in Peterson (2011). The second part of the thesis concerns our theoretical contribution. First, we propose a monadic deontic logic as an alternative to the standard system, answering many objections that can be made against it. This system is then adapted to model unconditional normative inferences and test their validity. Second, we propose to look at deontic logic from the proof-theoretical perspective of category theory. We begin by proposing a categorical analysis of action logics and then we show that many problems that arise when trying to model conditional normative reasoning come from the structural properties of the logic we use. As such, we show that modeling normative reasoning within the framework of monoidal categories enables us to answer many objections in favour of dyadic and non-monotonic foundations for deontic logic. Finally, we propose a proper typed deontic system to model legal inferences.

Le fonctionnement d'un système, de façon générale, peut être affecté par un incident imprévu. Lorsque cet incident a de lourdes conséquences tant sur l'intégrité du système que sur la qualité de ses produits, on dit alors qu'il se situe dans le cadre des événements dits extrêmes. Ainsi, de plus en plus les chercheurs portent un intérêt particulier à la modélisation des événements extrêmes pour diverses études telles que la fiabilité des systèmes et la prédiction des différents risques pouvant entraver le bon fonctionnement d'un système en général. C'est dans cette optique que s'inscrit la présente thèse. Nous utilisons la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) et les statistiques d'ordre extrême comme outil d'aide à la décision dans la modélisation et la gestion des risques dans l'usinage et l'aviation. Plus précisément, nous modélisons la surface de rugosité de pièces usinées et la fiabilité de l'outil de coupe associé par les statistiques d'ordre extrême. Nous avons aussi fait une modélisation à l'aide de l'approche dite du "Peaks-Over Threshold, POT" permettant de faire des prédictions sur les éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine (AGA) à la suite d'accidents extrêmes. Par ailleurs, la modélisation des systèmes soumis à des facteurs d'environnement ou covariables passent le plus souvent par les modèles à risque proportionnel basés sur la fonction de risque. Dans les modèles à risque proportionnel, la fonction de risque de base est généralement de type Weibull, qui est une fonction monotone; l'analyse du fonctionnement de certains systèmes comme l'outil de coupe dans l'industrie a montré qu'un système peut avoir un mauvais fonctionnement sur une phase et s'améliorer sur la phase suivante. De ce fait, des modifications ont été apportées à la distribution de Weibull afin d'avoir des fonctions de risque de base non monotones, plus particulièrement les fonctions de risque croissantes puis décroissantes. En dépit de ces modifications, la prise en compte des conditions d'opérations extrêmes et la surestimation des risques s'avèrent problématiques. Nous avons donc, à partir de la loi standard de Gumbel, proposé une fonction de risque de base croissante puis décroissante permettant de prendre en compte les conditions extrêmes d'opérations, puis établi les preuves mathématiques y afférant. En outre, un exemple d'application dans le domaine de l'industrie a été proposé. Cette thèse est divisée en quatre chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion générales. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Le deuxième chapitre s'intéresse aux concepts de base de l'analyse de survie, particulièrement à ceux relatifs à l'analyse de fiabilité, en proposant une fonction de risque croissante-décroissante dans le modèle à risques proportionnels. En ce qui concerne le troisième chapitre, il porte sur l'utilisation des statistiques d'ordre extrême dans l'usinage, notamment dans la détection de pièces défectueuses par lots, la fiabilité de l'outil de coupe et la modélisation des meilleures surfaces de rugosité. Le dernier chapitre porte sur la prédiction d'éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine à partir des données historiques en utilisant l'approche "Peaks-Over Threshold" / The operation of a system in general may at any time be affected by an unforeseen incident. When this incident has major consequences on the system integrity and the quality of system products, then it is said to be in the context of extreme events. Thus, increasingly researchers have a particular interest in modeling such events with studies on the reliability of systems and the prediction of the different risks that can hinder the proper functioning of a system. This thesis takes place in this very perspective. We use Extreme Value Theory (EVT) and extreme order statistics as a decision support tool in modeling and risk management in industry and aviation. Specifically, we model the surface roughness of machined parts and the reliability of the associated cutting tool with the extreme order statistics. We also did a modeling using the "Peaks-Over Threshold, POT" approach to make predictions about the potential victims in the American General Aviation (AGA) following extreme accidents. In addition, the modeling of systems subjected to environmental factors or covariates is most often carried out by proportional hazard models based on the hazard function. In proportional hazard models, the baseline risk function is typically Weibull distribution, which is a monotonic function. The analysis of the operation of some systems like the cutting tool in the industry has shown that a system can deteriorated on one phase and improving on the next phase. Hence, some modifications have been made in the Weibull distribution in order to have non-monotonic basic risk functions, more specifically, the increasing-decreasing risk function. Despite these changes, taking into account extreme operating conditions and overestimating risks are problematics. We have therefore proposed from Gumbel's standard distribution, an increasingdecreasing risk function to take into account extreme conditions, and established mathematical proofs. Furthermore, an example of the application in the field of industry was proposed. This thesis is organized in four chapters and to this must be added a general introduction and a general conclusion. In the first chapter, we recall some basic notions about the Extreme Values Theory. The second chapter focuses on the basic concepts of survival analysis, particularly those relating to reliability analysis by proposing a function of increasing-decreasing hazard function in the proportional hazard model. Regarding the third chapter, it deals with the use of extreme order statistics in industry, particularly in the detection of defective parts, the reliability of the cutting tool and the modeling of the best roughness surfaces. The last chapter focuses on the prediction of potential victims in AGA from historical data using the Peaks-Over Threshold approach.

Les verres métalliques ont commencé à être produit dans les années 1960 et sous forme massive dans les années 1980. De nombreuses études se sont intéressées à ces matériaux sous leur forme amorphe et ont conclu qu’ils avaient une forte résistance mécanique mais présentaient un comportement très fragile. Dans le cadre du projet EDDAM débuté en 2011, ces matériaux ont été introduits sous forme de petites sphères dans une matrice d’aluminium. Le premier objectif de notre étude est de voir si le verre métallique sous cette forme permet de le rendre peu fragile. Le second objectif est de trouver une alternative aux renforts céramique dans les composites à matrice métallique qui présentent une faible cohésion à l’interface matrice/inclusion. Dans le but de caractériser l’endommagement dans des nouveaux composites amorphe-cristallins métalliques, la tomographie aux rayons X a été utilisée. Cette technique permet de caractériser de manière non destructive l’endommagement des matériaux et de le visualiser en 3D. Cela apporte une contribution à l’étude des matériaux composites par rapport aux techniques classiques utilisées. L’objectif général de cette thèse a été d’étudier l’endommagement en termes d’amorçage, de croissance et de coales- cence des matériaux composites amorphe-cristallins métallique par tomographie aux rayons X lors d’essais de traction monotone in situ. Les matériaux sélectionnés sont constitués d’une matrice aluminium ("molle" de type 1070A ou "dure" de type 5083) et de renforts en verre métallique Zr57Cu20Al10Ni8Ti5 de taille peu dispersée et répartis de manière homogène, avec différentes fractions volumiques (1%, 4% et 10%). Les matériaux composites ont été élaborés par la voie de la métallurgie des poudres au Spark Plasma Sintering (SPS) suivi d’une étape d’extrusion à chaud. Une attention particulière a été portée sur la caractérisation microstructurale des constituants de base. L’analyse qualitative a permis de comparer l’ensemble des composites fabriqués au SPS et ceux extrudés à chaud après SPS. Les différents modes d’amorçage de l’endommagement ont été observés ainsi que la croissance et la coa- lescence amenant la rupture des composites. L’analyse quantitative a été essentiellement consacrée au premier stade de l’endommagement. La croissance et la coalescence étant très rapide, il a été difficile de les suivre lors des essais interrompus. La modélisation d’un composite amorphe-cristallin métallique à matrice molle a été introduite dans le but de reproduire l’endommagement observé lors des analyses expérimentales. Cette première approche nécessite d’être approfondie dans le but de prédire, compte tenu des propriétés mécaniques des différentes phases et de la fraction volumique des renforts, le mode d’endommagement préférentiel apparaissant dans les composites étudiés. Elle montre cependant les prémices d’une modélisation innovante basée sur la microstructure expérimentale. / Metallic glasses have been produced in the 1960s and bulk metallic glasses in the 1980s. Many studies, focused on these materials in their amorphous state, concluded that they had high mechanical strength but shown low ductility. As part of EDDAM project that started in 2011, these materials were introduced as small particles in an aluminum matrix. The first objective of this study is to see if the metallic glass is less brittle in this form. The second objective is to find an alternative of ceramic reinforcements in metal matrix composites. These materials have low cohesion at the matrix/inclusion interface. In order to characterize the damage in new amorphous-crystalline composite, X-ray tomography was used. This allows to characterize damage in materials and to obtain a 3D viewing. The main objective of this thesis was to study damage (nucleation, growth and coalescence) in composite materials using X-ray tomography during tensile tests. Selected materials are constituted of an aluminum matrix and small metallic glass reinforcements (Zr57Cu20Al_10Ni8Ti5). Composites with different volume fractions (from 1vol.% to 10vol.%) were prepared by Spark Plasma Sintering (SPS) and hot extrusion. A particular attention was paid to the microstructural characterization of the basic constituents. Qualitative analysis was used to compare SPS composites with SPS plus hot extrusion composites. Damage nucleation, growth and coalescence were observed. Quantitative analysis was mainly devoted to the first damage step. Growth and coalescence were difficult to follow due to fast rupture and interrupted tensile tests. The modeling of an amorphous-crystalline composite has been introduced in order to reproduce experimental damage analyses. The first approach requires further investigation to predict damage with different volume fractions. However, this part shows the beginning of an innovative model based on the experimental microstructure.

Cette thèse s'inscrit dans le domaine mathématique de l'analyse des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires stochastiques. Nous nous intéressons à des EDP paraboliques et hyperboliques que l'on perturbe stochastiquement au sens d'Itô. Il s'agit d'introduire l'aléatoire via l'ajout d'une intégrale stochastique (intégrale d'Itô) qui peut dépendre ou non de la solution, on parle alors de bruit multiplicatif ou additif. La présence de la variable de probabilité ne nous permet pas d'utiliser tous les outils classiques de l'analyse des EDP. Notre but est d'adapter les techniques connues dans le cadre déterministe aux EDP non linéaires stochastiques en proposant des méthodes alternatives. Les résultats obtenus sont décrits dans les cinq chapitres de cette thèse : Dans le Chapitre I, nous étudions une perturbation stochastique des équations de Barenblatt. En utilisant une semi- discrétisation implicite en temps, nous établissons l'existence et l'unicité d'une solution dans le cas additif, et grâce aux propriétés de la solution nous sommes en mesure d'étendre ce résultat au cas multiplicatif à l'aide d'un théorème de point fixe. Dans le Chapitre II, nous considérons une classe d'équations de type Barenblatt stochastiques dans un cadre abstrait. Il s'agit là d'une généralisation des résultats du Chapitre I. Dans le Chapitre III, nous travaillons sur l'étude du problème de Cauchy pour une loi de conservation stochastique. Nous montrons l'existence d'une solution par une méthode de viscosité artificielle en utilisant des arguments de compacité donnés par la théorie des mesures de Young. L'unicité repose sur une adaptation de la méthode de dédoublement des variables de Kruzhkov. Dans le Chapitre IV, nous nous intéressons au problème de Dirichlet pour la loi de conservation stochastique étudiée au Chapitre III. Le point remarquable de l'étude repose sur l'utilisation des semi-entropies de Kruzhkov pour montrer l'unicité. Dans le Chapitre V, nous introduisons une méthode de splitting pour proposer une approche numérique du problème étudié au Chapitre IV, suivie de quelques simulations de l'équation de Burgers stochastique dans le cas unidimensionnel.

The main focus of the present thesis is on the homogenization of some selected elliptic and parabolic problems. More precisely, we homogenize: non-periodic linear elliptic problems in two dimensions exhibiting a homothetic scaling property; two types of evolution-multiscale linear parabolic problems, one having two spatial and two temporal microscopic scales where the latter ones are given in terms of a two-parameter family, and one having two spatial and three temporal microscopic scales that are fixed power functions; and, finally, evolution-multiscale monotone parabolic problems with one spatial and an arbitrary number of temporal microscopic scales that are not restricted to be given in terms of power functions. In order to achieve homogenization results for these problems we study and enrich the theory of two-scale convergence and its kins. In particular the concept of very weak two-scale convergence and generalizations is developed, and we study an application of this convergence mode where it is employed to detect scales of heterogeneity. / Huvudsakligt fokus i avhandlingen ligger på homogeniseringen av vissa elliptiska och paraboliska problem. Mer precist så homogeniserar vi: ickeperiodiska linjära elliptiska problem i två dimensioner med homotetisk skalning; två typer av evolutionsmultiskaliga linjära paraboliska problem, en med två mikroskopiska skalor i både rum och tid där de senare ges i form av en tvåparameterfamilj, och en med två mikroskopiska skalor i rum och tre i tid som ges i form av fixa potensfunktioner; samt, slutligen, evolutionsmultiskaliga monotona paraboliska problem med en mikroskopisk skala i rum och ett godtyckligt antal i tid som inte är begränsade till att vara givna i form av potensfunktioner. För att kunna uppnå homogeniseringsresultat för dessa problem så studerar och utvecklar vi teorin för tvåskalekonvergens och besläktade begrepp. Speciellt så utvecklar vi begreppet mycket svag tvåskalekonvergens med generaliseringar, och vi studerar en tillämpningav denna konvergenstyp där den används för att detektera förekomsten av heterogenitetsskalor.