Au cours des deux dernières décennies, l'intérêt porté aux interfaces cérébrales ou Brain Computer Interfaces (BCI) s’est considérablement accru, avec un nombre croissant de laboratoires de recherche travaillant sur le sujet. Depuis le projet Brain Computer Interface, où la BCI a été présentée à des fins de réadaptation et d'assistance, l'utilisation de la BCI a été étendue à d'autres applications telles que le neurofeedback et l’industrie du jeux vidéo. Ce progrès a été réalisé grâce à une meilleure compréhension de l'électroencéphalographie (EEG), une amélioration des systèmes d’enregistrement du EEG, et une augmentation de puissance de calcul.Malgré son potentiel, la technologie de la BCI n’est pas encore mature et ne peut être utilisé en dehors des laboratoires. Il y a un tas de défis qui doivent être surmontés avant que les systèmes BCI puissent être utilisés à leur plein potentiel. Ce travail porte sur des aspects importants de ces défis, à savoir la spécificité des systèmes BCI aux capacités physiques des utilisateurs, la robustesse de la représentation et de l'apprentissage du EEG, ainsi que la suffisance des données d’entrainement. L'objectif est de fournir un système BCI qui peut s’adapter aux utilisateurs en fonction de leurs capacités physiques et des variabilités dans les signaux du cerveau enregistrés.À ces fins, deux voies principales sont explorées : la première, qui peut être considérée comme un ajustement de haut niveau, est un changement de paradigmes BCI. Elle porte sur la création de nouveaux paradigmes qui peuvent augmenter les performances de la BCI, alléger l'inconfort de l'utilisation de ces systèmes, et s’adapter aux besoins des utilisateurs. La deuxième voie, considérée comme une solution de bas niveau, porte sur l’amélioration des techniques de traitement du signal et d’apprentissage statistique pour améliorer la qualité du signal EEG, la reconnaissance des formes, ainsi que la tache de classification.D'une part, une nouvelle méthodologie dans le contexte de la robotique d'assistance est définie : il s’agit d’une approche hybride où une interface physique est complémentée par une interface cérébrale pour une interaction homme-machine plus fluide. Ce système hybride utilise les capacités motrices résiduelles des utilisateurs et offre la BCI comme un choix optionnel : l'utilisateur choisit quand utiliser la BCI et peut alterner entre les interfaces cérébrales et musculaire selon le besoin.D'autre part, pour l’amélioration des techniques de traitement du signal et d'apprentissage statistique, ce travail utilise un cadre Riemannien. Un frein majeur dans le domaine de la BCI est la faible résolution spatiale du EEG. Ce problème est dû à l'effet de conductance des os du crâne qui agissent comme un filtre passe-bas non linéaire, en mélangeant les signaux de différentes sources du cerveau et réduisant ainsi le rapport signal-à-bruit. Par conséquent, les méthodes de filtrage spatial ont été développées ou adaptées. La plupart d'entre elles – à savoir la Common Spatial Pattern (CSP), la xDAWN et la Canonical Correlation Analysis (CCA) – sont basées sur des estimations de matrice de covariance. Les matrices de covariance sont essentielles dans la représentation d’information contenue dans le signal EEG et constituent un élément important dans leur classification. Dans la plupart des algorithmes d'apprentissage statistique existants, les matrices de covariance sont traitées comme des éléments de l'espace euclidien. Cependant, étant symétrique et défini positive (SDP), les matrices de covariance sont situées dans un espace courbe qui est identifié comme une variété riemannienne. Utiliser les matrices de covariance comme caractéristique pour la classification des signaux EEG, et les manipuler avec les outils fournis par la géométrie de Riemann, fournit un cadre solide pour la représentation et l'apprentissage du EEG. / In the last two decades, interest in Brain-Computer Interfaces (BCI) has tremendously grown, with a number of research laboratories working on the topic. Since the Brain-Computer Interface Project of Vidal in 1973, where BCI was introduced for rehabilitative and assistive purposes, the use of BCI has been extended to more applications such as neurofeedback and entertainment. The credit of this progress should be granted to an improved understanding of electroencephalography (EEG), an improvement in its measurement techniques, and increased computational power.Despite the opportunities and potential of Brain-Computer Interface, the technology has yet to reach maturity and be used out of laboratories. There are several challenges that need to be addresses before BCI systems can be used to their full potential. This work examines in depth some of these challenges, namely the specificity of BCI systems to users physical abilities, the robustness of EEG representation and machine learning, and the adequacy of training data. The aim is to provide a BCI system that can adapt to individual users in terms of their physical abilities/disabilities, and variability in recorded brain signals.To this end, two main avenues are explored: the first, which can be regarded as a high-level adjustment, is a change in BCI paradigms. It is about creating new paradigms that increase their performance, ease the discomfort of using BCI systems, and adapt to the user’s needs. The second avenue, regarded as a low-level solution, is the refinement of signal processing and machine learning techniques to enhance the EEG signal quality, pattern recognition and classification.On the one hand, a new methodology in the context of assistive robotics is defined: it is a hybrid approach where a physical interface is complemented by a Brain-Computer Interface (BCI) for human machine interaction. This hybrid system makes use of users residual motor abilities and offers BCI as an optional choice: the user can choose when to rely on BCI and could alternate between the muscular- and brain-mediated interface at the appropriate time.On the other hand, for the refinement of signal processing and machine learning techniques, this work uses a Riemannian framework. A major limitation in this filed is the EEG poor spatial resolution. This limitation is due to the volume conductance effect, as the skull bones act as a non-linear low pass filter, mixing the brain source signals and thus reducing the signal-to-noise ratio. Consequently, spatial filtering methods have been developed or adapted. Most of them (i.e. Common Spatial Pattern, xDAWN, and Canonical Correlation Analysis) are based on covariance matrix estimations. The covariance matrices are key in the representation of information contained in the EEG signal and constitute an important feature in their classification. In most of the existing machine learning algorithms, covariance matrices are treated as elements of the Euclidean space. However, being Symmetric and Positive-Definite (SPD), covariance matrices lie on a curved space that is identified as a Riemannian manifold. Using covariance matrices as features for classification of EEG signals and handling them with the tools provided by Riemannian geometry provide a robust framework for EEG representation and learning.

Nous étudions les relations qui existent entre des aspects de la géométrie sous-riemannienne et une diversité de singularités typiques dans ce contexte.Avec les théorèmes de Whitney sous-riemanniens, nous conditionnons l’existence de prolongements globaux de courbes horizontales définies sur des fermés à des hypothèses de non-singularité de l’application point-final dans l’approximation nilpotente de la variété.Nous appliquons des méthodes perturbatives pour obtenir des asymptotiques sur la longueur de courbes localement minimisantes perdant leur optimalité proche de leur point de départ dans le cas des variétés sous-riemanniennes de contact de dimension arbitraire. Nous décrivons la géométrie du lieu singulier et prouvons sa stabilité dans le cas des variétés de dimension 5.Nous introduisons une construction permettant de définir des champs de directions à l’aide de couples de champs de vecteurs. Ceci fournit une topologie naturelle pour analyser la stabilité des singularités de champs de directions sur des surfaces. / We investigate the relationship between features of of sub-Riemannian geometry and an array of singularities that typically arise in this context.With sub-Riemannian Whitney theorems, we ensure the existence of global extensions of horizontal curves defined on closed set by requiring a non-singularity hypothesis on the endpoint-map of the nilpotent approximation of the manifold to be satisfied.We apply perturbative methods to obtain asymptotics on the length of short locally-length-minimizing curves losing optimality in contact sub-Riemannian manifolds of arbitrary dimension. We describe the geometry of the singular set and prove its stability in the case of manifolds of dimension 5.We propose a construction to define line fields using pairs of vector fields. This provides a natural topology to study the stability of singularities of line fields on surfaces.

The aim of this thesis is to propose a systematic exposition of some analytic and geometric problems arising from the study of sub-Riemannian geometry, Carnot-Carathéodory spaces and, more broadly, anisotropic metric and differential structures. We deal with four main topics. 1 Calculus of variations for local functionals depending on vector fields 2 PDEs over Carnot-Carathéodory structures. 3 Regularity theory for almost perimeter minimizers in Carnot groups. 4 Geometry of hypersurfaces in Heisenberg groups.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Interaktion von Holonomie und der globalen Geometrie von Lorentzmannigfaltigkeiten und pseudo-Riemannschen Untermannigfaltigkeiten in Räumen konstanter Krümmung. Insbesondere konstruieren wir schwach irreduzible, reduzible Lorentzmetriken auf den Totalräumen von gewissen Kreisbündeln, was zu einer Konstruktionsmethode von Lorentzmannigfaltigkeiten mit vorgegebener Holonomiedarstellung führt. Danach führen wir eine Bochnertechnik für die Lorentzmannigfaltigkeiten ein, die ein nirgends verschwindendes, paralleles, lichtartiges Vektorfeld zulassen, dessen orthogonale Distribution kompakte Blätter hat. Schließlich klassifizieren wir normale Holonomiedarstellungen von raumartigen Untermannigfaltigkeiten in Räumen konstanter Krümmung und verallgemeinern die Klassifikation eine größere Klasse von Untermannigfaltigkeiten. / In this thesis we study the interaction of holonomy and the global geometry of Lorentzian manifolds and pseudo-Riemannian submanifolds in spaces of constant curvature. In particular, we construct weakly irreducible, reducible Lorentzian metrics on the total spaces of certain circle bundles leading to a construction of Lorentzian manifolds with specified holonomy representations. Then we introduce a Bochner technique for Lorentzian manifolds admitting a nowhere vanishing parallel lightlike vector field whose orthogonal distribution has compact leaves. Finally, we classify normal holonomy representations of spacelike submanifolds in spaces of constant curvature and extend the classification to more general submanifolds.

<p dir="ltr">Functional connectomes (FCs) contain all pairwise estimations of functional couplings between brain regions. Neural activity of brain regions is estimated for subjects, sessions and tasks based on fMRI BOLD data. FCs are commonly represented as correlation matrices that are symmetric positive definite (SPD) matrices lying on or inside the SPD manifold. Since the geometry on the SPD manifold is non-Euclidean, the inter-related entries of FCs undermine the use of Euclidean-based distances and its stability when using them as features in machine learning algorithms. By projecting FCs into a tangent space, we can obtain tangent functional connectomes (tangent-FCs), whose entries would not be inter-related, and thus, allow the use of Euclidean-based methods. Tangent-FCs have shown a higher predictive power of behavior and cognition, but no studies have evaluated the effect of such projections with respect to fingerprinting.</p><p dir="ltr">To some extent, FCs possess a recurrent and reproducible individual fingerprint that can identify if two FCs belong to the same participant. This process is referred to as fingerprinting or subject-identification. As research objects, FCs are expected to be reliable, which means FCs of the same person doing the same thing are expected to be more similar to each other compared to FCs of other individuals/conditions. The level of fingerprint, usually estimated by identification rate, tries to capture this expectation of reliability. When focusing on the dynamic functional connectivity (dFC) of a single fMRI scan, we proposed the concept of cognitive fingerprinting where the timing of functional reconfiguration is identified. This suggests that the changes of cognitive states can be reflected by the similarities/dissimilarities among dFCs.</p><p dir="ltr">In this dissertation, we hypothesize that comparing FCs in tangent space by using Euclidean algebra should result in higher subject fingerprinting for static FCs and higher cognitive fingerprinting for dynamic FCs. This hypothesis is evaluated by addressing three research questions. The first question investigates the impact of tangent space projection on subject identification rates for static FCs. The second and third questions focus on dFCs, examining their performance in uncovering cognitive fingerprinting on the manifold and in tangent space, respectively. The timing of functional reconfiguration is identified by performing recurrence quantification analysis on dFCs on the manifold. And then, dFCs are projected onto tangent space to assess the influence of this projection on cognitive fingerprinting. Results reveal that identification rates improve systematically with tangent-FCs. Additionally, critical timepoints of functional reconfigurations align closely with ground truth for both manifold-based and tangent-space dFCs.</p><p dir="ltr">Lastly, we tested those research questions together with data-driven mapping methods, connectome-based predictive modeling (CPM) and partial least squares (PLS), on a dataset of FCs that includes healthy controls and HIV patients as a case study. </p><p dir="ltr">In conclusion, our findings support the proposed hypothesis, demonstrating that tangent space projection enhances comparisons and offers strong advantages as a transformation for FCs before their use in other analysis/applications.</p>

Les travaux présentés dans cette thèse portent sur le rôle que peuvent jouer les différentes courbures extrinsèques d’une hypersurface dans l’étude de sa géométrie, en particulier dans le cas des variétés spinorielles. Dans un premier temps, nous nous intéressons au cas de la courbure moyenne et construisons une nouvelle famille de surfaces minimales non simplement connexes dans le groupe de Lie Sol3, en adaptant une méthode déjà utilisée par Daniel et Hauswirth dans Nil3 et utilisant les propriétés de l’application de Gauss d’une surface. Ensuite, nous démontrons le Théorème d’Alexandrov généralisé aux Hr-courbures dans l’espace euclidien Rn+1 et dans l’espace hyperbolique Hn+1 en testant un spineur adéquat dans des inégalités de type holographiques établies récemment par Hijazi, Montiel et Raulot. Grâce à ces inégalités, nous démontrons également l'Inégalité de Heintze-Karcher dans l'espace euclidien. Enfin, nous donnons des majorations extrinsèques de la première valeur propre de l’opérateur de Dirac des surfaces de S2 x S1(r) et des sphères de Berger Sb3 (τ) grâce aux restrictions de spineurs ambiants construits par Roth, et nous en caractérisons les cas d’égalité. / In this thesis we are interested in the role played by the extrinsic curvatures of a hypersurface in the study of its geometry, especially in the case of spin manifolds. First, we focus our attention on the mean curvature and construct a new family of non simply connected minimal surfaces in the Lie group Sol3, by adapting a method used by Daniel and Hauswirth in Nil3 based on the properties of the Gauss map of a surface. Then we give a new spinorial proof of the Alexandrov Theorem extended to all Hr-curvatures in the euclidean space Rn+1 and in the hyperbolic space Hn+1, using a well-chosen test-spinor in the holographic inequalities recently obtained by Hijazi, Montiel and Raulot. These inequalities lead to a new proof of the Heintze-Karcher Inequality as well. Finally we use restrictions of particular ambient spinor fields constructed by Roth to give some extrinsic upper bounds for the first nonnegative eigenvalue of the Dirac operator of surfaces immersed into S2 x S1(r) and into the Berger spheres Sb3 (τ), and we describe the equality cases.

Les interfaces cerveau-ordinateur (ou BCI en anglais pour Brain-Computer Interfaces) mettent en place depuis le système nerveux central un circuit artificiel secondaire qui remplace l’utilisation des nerfs périphériques, permettant entre autres à des personnes ayant une déficience motrice grave d’interagir, uniquement à l’aide de leur activité cérébrale, avec différents types d’applications, tels qu’un système d’écriture, une neuro-prothèse, un fauteuil roulant motorisé ou un bras robotique. Une technique répandue au sein des BCI pour enregistrer l’activité cérébrale est l’électroencéphalographie (EEG), étant donné que contrairement à d’autres techniques d’imagerie, elle est non invasif et peu coûteuse. En outre, l’imagination motrice (MI), c’est-à-dire les oscillations des neurones du cortex moteur générées lorsque les sujets imaginent effectuer un mouvement sans réellement l’accomplir, est appropriée car détectable dans l’EEG et liée à l’activité motrice pour concevoir des interfaces comme des neuro-prothèses non assujetties à des stimuli. Cependant, même si des progrès importants ont été réalisés au cours des dernières années, un contrôle 3D complet reste un objectif à atteindre. Afin d’explorer de nouvelles solutions pour surmonter les limitations existantes, nous présentons une approche multiclasses qui considère la détection des imaginations motrices combinées. Le paradigme proposé comprend l’utilisation de la main gauche, de la main droite, et des deux pieds ensemble. Ainsi, par combinaison, huit commandes peuvent être fournies pour diriger un bras robotisé comprenant quatorze mouvements différents qui offrent un contrôle 3D complet. À cette fin, un système de commutation entre trois modes (déplacement du bras, du poignet ou des doigts) a été conçu et permet de gérer les différentes actions en utilisant une même commande. Ce système a été mis en oeuvre sur la plate-forme OpenViBE. En outre, pour l’extraction de caractéristiques une nouvelle approche de traitement d’information fournie par les capteurs a été développée sur la base de l’emplacement spécifique des sources d’activité liées aux parties du corps considérées. Cette approche permet de regrouper au sein d’une seule classe les différentes actions pour lesquelles le même membre est engagé, d’une manière que la tâche multiclasses originale se transforme en un problème équivalent impliquant une série de modèles de classification binaires. Cette approche permet d’utiliser l’algorithme de Common Spatial pattern (CSP) dont la capacité à discriminer des rythmes sensorimoteurs a été largement montrée mais qui présente l’inconvénient d’être applicable uniquement pour différencier deux classes. Nous avons donc également contribué à une nouvelle stratégie qui combine un ensemble de CSP et la géométrie riemannienne. Ainsi des caractéristiques plus discriminantes peuvent être obtenues comme les distances séparant les données des centres des classes considérées. Ces stratégies ont été appliquées sur trois nouvelles approches de classification qui ont été comparées à des méthodes de discrimination multiclasses classiques en utilisant les signaux EEG d’un groupe de sujets sains naïfs, montrant ainsi que les alternatives proposées permettent non seulement d’améliorer l’existant, mais aussi de réduire la complexité de la classification / Brain-Computer Interfaces (BCIs) replace the natural nervous system outputs by artificial ones that do not require the use of peripheral nerves, allowing people with severe motor impairments to interact, only by using their brain activity, with different types of applications, such as spellers, neuroprostheses, wheelchairs, or among others robotics devices. A very popular technique to record signals for BCI implementation purposes consists of electroencephalography (EEG), since in contrast with other alternatives, it is noninvasive and inexpensive. In addition, due to the potentiality of Motor Imagery (MI, i.e., brain oscillations that are generated when subjects imagine themselves performing a movement without actually accomplishing it) to generate suitable patterns for scheming self-paced paradigms, such combination has become a common solution for BCI neuroprostheses design. However, even though important progress has been made in the last years, full 3D control is an unaccomplished objective. In order to explore new solutions for overcoming the existing limitations, we present a multiclass approach that considers the detection of combined motor imageries, (i.e., two or more body parts used at the same time). The proposed paradigm includes the use of the left hand, right hand, and both feet together, from which eight commands are provided to direct a robotic arm comprising fourteen different movements that afford a full 3D control. To this end, an innovative switching-mode scheme that allows managing different actions by using the same command was designed and implemented on the OpenViBE platform. Furthermore, for feature extraction a novel signal processing scheme has been developed based on the specific location of the activity sources that are related to the considered body parts. This insight allows grouping together within a single class those conditions for which the same limb is engaged, in a manner that the original multiclass task is transformed into an equivalent problem involving a series of binary classification models. Such approach allows using the Common Spatial Pattern (CSP) algorithm; which has been shown to be powerful at discriminating sensorimotor rhythms, but has the drawback of being suitable only to differentiate between two classes. Based on this perspective we also have contributed with a new strategy that combines together the CSP algorithm and Riemannian geometry. In which the CSP projected trials are mapped into the Riemannian manifold, from where more discriminative features can be obtained as the distances separating the input data from the considered class means. These strategies were applied on three new classification approaches that have been compared to classical multiclass methods by using the EEG signals from a group of naive healthy subjects, showing that the proposed alternatives not only outperform the existing schema, but also reduce the complexity of the classification task

Le travail a consisté, dans une première partie, à modéliser la dynamique des défauts ponctuels dans les mono-cristaux de silicium. Il s'est agi en premier lieu d'analyser en profondeur le modèle physique, pour introduire et comprendre le rôle de la thermodiffusion dans le modèle de transport-diffusion et recombinaison des interstitiels et des lacunes. Par une analyse asymptotique, nous sommes parvenus à prédire la composition du cristal en termes des densités de lacunes ou d'interstitiels. Nous avons également proposé un nouvel ensemble de paramètres matériels tenant compte de résultats d'expériences récentes sur la diffusivité des lacunes. Enfin, nous avons simulé numériquement le calcul des défauts ponctuels dans le procédé Czochralski de croissance de cristaux de silicium et l'avons validé par comparaison avec des résultats expérimentaux. Le travail principal dans cette thèse a consisté en l'élaboration d'une théorie mathématique permettant de décrire de manière rigoureuse la géométrie des dislocations dans les mono-cristaux. Par nature, ces défauts sont concentrés sur des lignes qui sont libres de former des réseaux complexes interagissant à leur tour avec les défauts ponctuels. Il s'est agi de proposer une théorie à l'échelle mésoscopique qui tienne compte à la fois de la multiformité des champs de déplacement et rotation tout en admettant que les effets non-élastiques soient concentrés dans la ligne. Les principaux champs intervenant dans cette théorie sont des densités de dislocations et de disclinations représentés par des tenseurs d'ordre 2 tenant compte à la fois de l'orientation de la ligne et des vecteurs de Frank et Burgers, qui sont des invariants caractérisant respectivement les défauts de rotation et de déplacement dans le cristal. Ces champs sont reliés à l'incompatibilité de la déformation élastique par l'intermédiaire de termes concentrés sur les lignes, qu'il a fallu décrire et formaliser dans un cadre mathématique rigoureux et cohérent. La description de la physique des dislocations a été rendue possible par l'application à la théorie des dislocations de certains nouveaux outils mathématiques tels, par exemple, la théorie des distributions, la théorie géométrique de la mesure, et la géométrie non-riemannienne. Enfin, l'homogénéisation de l'échelle mésoscopique vers l'échelle macroscopique des densités de dislocations, représentées par des tenseurs d'ordre 2, a permis de poser le problème à l'échelle du cristal, où les champs sont réguliers, obéissent à des lois de conservation, de constitution et d'évolution. Le travail de thèse s'est arrêté précisément au moment de modéliser l'échelle macroscopique, notamment les lois de constitution des densités de dislocations. / This thesis comprises two main parts and provides contributions to the fields of point- and line defects in single crystals. The point-defect transport, diffusion and recombination mechanisms are modeled in silicon crystals, whereas a theoretical approach is developped for the description of the geometry of dislocations. Therefore, plasticity, which is caused by the motion of dislocations, is not the topic of the present work. Dislocations are typical line-defects. Once generated during the growth of a silicon or other crystal, they can instantaneously multiply and generate dislocation networks, that render the material unusable for device manufacturing. We develop a theory to represent dislocated single crystals at the mesoscopic scale by considering concentrated effects along the dislocation line, as governed by the distribution theory combined with multiple-valued kinematic fields. Fundamental 2D identities relating the incompatibility tensor to the Frank and Burgers vectors are proved under global assumptions on the elastic strain, relying on the geometric measure theory, thereby giving rise to rigorous homogenisation from mesoscopic to macroscopic scale. The class of point-defects comprises the monoatomic defects which form the fundamental building blocks for grown-in defects in silicon crystals. A general model is build to conduct fully time-dependent and global simulations in order to predict the distribution of point-defects in a growing silicon crystal. Furthermore, the defect governing model is adapted in order to better agree with available measurements of self-interstitial and vacancy diffusion coefficients while respecting the V/G criterion, which characterises the interstitial-vacancy transition in the crystal. It is shown that introducing a thermal drift effect can facilitate the construction of a relevant model satisfying both conditions.

La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des "surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov". Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces "raisonnables" que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés. / If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the "surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense". It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any "reasonable" surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties.

Le travail de cette thèse porte sur l'étude des lieux conjugué et de coupure de métriques riemanniennes ou pseudo-riemanniennes en dimension 2. On se place du point de vue du contrôle optimal pour appliquer le principe du maximum de Pontryagin afin de caractériser les extrémales des problèmes considérés.On va utiliser des méthodes géométriques, numériques et d'intégrabilité pour étudier des métriques de Clairaut-Liouville ou de Liouville sur la sphère. Dans le cas dégénéré de révolution, l'étude de l'ellipsoïde utilise des méthodes géométriques pour déterminer le lieu de coupure et la nature du lieu conjugué dans les cas oblat et prolat. Dans le cas général, les extrémales auront deux types de comportements distincts qui se rapportent à ceux observés dans le cas de révolution, et sont séparés par celles passant par des points ombilicaux. Les méthodes numériques sont utilisées pour retrouver rapidement la dernière conjecture géométrique de Jacobi : le lieu de coupure est un segment et le lieu conjugué contient quatre points de rebroussement.L'étude d'une métrique pseudo-riemannienne vient d'un problème de contrôle quantique où le but est de transférer en temps minimal l'état d'un spin à travers une chaîne de trois spins couplés par des interactions de type Ising. Après réduction, la métrique obtenue possède une intégrale première supplémentaire et on peut donc la mettre sous forme de Liouville, ce qui nous donne les équations des géodésiques. En dehors du cas particulier de Grushin, dont la caustique est décrite, on utilise les méthodes numériques pour étudier le lieu conjugué et le lieu de coupure dans le cas général. / The work of this thesis is about the study of the conjugate and cut loci of 2D riemannian or almost-riemannian metrics. We take the point of view of optimal control to apply the Pontryagin Maximum Principle in the purpose of characterize the extremals of the problem considered.We use geometric, numerical and integrability methods to study some Liouville and Clairaut-Liouville metrics on the sphere. In the degenerate case of revolution, the study of the ellipsoid uses geometric methods to fix the cut locus and the nature of the conjugate locus in the oblate and prolate cases. In the general case, extremals will have two distinct type of comportment which correspond to those observed in the revolution case, and are separated by those which pass by umbilical points. The numerical methods are used to find quickly the Jacobi's Last Geometric Statement : the cut locus is a segment and the conjugate locus has exactly four cusps.The study of an almost-riemannian metric comes from a quantum control problem in which the aim is to transfer in a minimal time the state of one spin through an Ising chain of three spins. After reduction, we obtain a metric with a second first integral so it can be written in the Liouville normal form, which leads us to the equations of geodesics. Outside the particular case of Grushin, of which the caustic is described, we use numerical methods to study the conjugate locus and the cut locus in the general case.