No description available.

Les modèles sur réseau comme ceux de la percolation, d’Ising et de Potts servent à décrire les transitions de phase en deux dimensions. La recherche de leur solution analytique passe par le calcul de la fonction de partition et la diagonalisation de matrices de transfert. Au point critique, ces modèles statistiques bidimensionnels sont invariants sous les transformations conformes et la construction de théories des champs conformes rationnelles, limites continues des modèles statistiques, permet un calcul de la fonction de partition au point critique. Plusieurs chercheurs pensent cependant que le paradigme des théories des champs conformes rationnelles peut être élargi pour inclure les modèles statistiques avec des matrices de transfert non diagonalisables. Ces modèles seraient alors décrits, dans la limite d’échelle, par des théories des champs logarithmiques et les représentations de l’algèbre de Virasoro intervenant dans la description des observables physiques seraient indécomposables. La matrice de transfert de boucles D_N(λ, u), un élément de l’algèbre de Temperley- Lieb, se manifeste dans les théories physiques à l’aide des représentations de connectivités ρ (link modules). L’espace vectoriel sur lequel agit cette représentation se décompose en secteurs étiquetés par un paramètre physique, le nombre d de défauts. L’action de cette représentation ne peut que diminuer ce nombre ou le laisser constant. La thèse est consacrée à l’identification de la structure de Jordan de D_N(λ, u) dans ces représentations. Le paramètre β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixe la théorie : β = 1 pour la percolation et √2 pour le modèle d’Ising, par exemple. Sur la géométrie du ruban, nous montrons que D_N(λ, u) possède les mêmes blocs de Jordan que F_N, son plus haut coefficient de Fourier. Nous étudions la non diagonalisabilité de F_N à l’aide des divergences de certaines composantes de ses vecteurs propres, qui apparaissent aux valeurs critiques de λ. Nous prouvons dans ρ(D_N(λ, u)) l’existence de cellules de Jordan intersectorielles, de rang 2 et couplant des secteurs d, d′ lorsque certaines contraintes sur λ, d, d′ et N sont satisfaites. Pour le modèle de polymères denses critique (β = 0) sur le ruban, les valeurs propres de ρ(D_N(λ, u)) étaient connues, mais les dégénérescences conjecturées. En construisant un isomorphisme entre les modules de connectivités et un sous-espace des modules de spins du modèle XXZ en q = i, nous prouvons cette conjecture. Nous montrons aussi que la restriction de l’hamiltonien de boucles à un secteur donné est diagonalisable et trouvons la forme de Jordan exacte de l’hamiltonien XX, non triviale pour N pair seulement. Enfin nous étudions la structure de Jordan de la matrice de transfert T_N(λ, ν) pour des conditions aux frontières périodiques. La matrice T_N(λ, ν) a des blocs de Jordan intrasectoriels et intersectoriels lorsque λ = πa/b, et a, b ∈ Z×. L’approche par F_N admet une généralisation qui permet de diagnostiquer des cellules intersectorielles dont le rang excède 2 dans certains cas et peut croître indéfiniment avec N. Pour les blocs de Jordan intrasectoriels, nous montrons que les représentations de connectivités sur le cylindre et celles du modèle XXZ sont isomorphes sauf pour certaines valeurs précises de q et du paramètre de torsion v. En utilisant le comportement de la transformation i_N^d dans un voisinage des valeurs critiques (q_c, v_c), nous construisons explicitement des vecteurs généralisés de Jordan de rang 2 et discutons l’existence de blocs de Jordan intrasectoriels de plus haut rang. / Lattice models such as percolation, the Ising model and the Potts model are useful for the description of phase transitions in two dimensions. Finding analytical solutions is done by calculating the partition function, which in turn requires finding eigenvalues of transfer matrices. At the critical point, the two dimensional statistical models are invariant under conformal transformations and the construction of rational conformal field theories, as the continuum limit of these lattice models, allows one to compute the partition function at the critical point. Many researchers think however that the paradigm of rational conformal conformal field theories can be extended to include models with non diagonalizable transfer matrices. These models would then be described, in the scaling limit, by logarithmic conformal field theories and the representations of the Virasoro algebra coming into play would be indecomposable. We recall the construction of the double-row transfer matrix D_N(λ, u) of the Fortuin-Kasteleyn model, seen as an element of the Temperley-Lieb algebra. This transfer matrix comes into play in physical theories through its representation in link modules (or standard modules). The vector space on which this representation acts decomposes into sectors labelled by a physical parameter d, the number of defects, which remains constant or decreases in the link representations. This thesis is devoted to the identification of the Jordan structure of D_N(λ, u) in the link representations. The parameter β = 2 cos λ = −(q + 1/q) fixes the theory : for instance β = 1 for percolation and √2 for the Ising model. On the geometry of the strip with open boundary conditions, we show that D_N(λ, u) has the same Jordan blocks as its highest Fourier coefficient, F_N. We study the non-diagonalizability of F_N through the divergences of some of the eigenstates of ρ(F_N) that appear at the critical values of λ. The Jordan cells we find in ρ(D_N(λ, u)) have rank 2 and couple sectors d and d′ when specific constraints on λ, d, d′ and N are satisfied. For the model of critical dense polymers (β = 0) on the strip, the eigenvalues of ρ(D_N(λ, u)) were known, but their degeneracies only conjectured. By constructing an isomorphism between the link modules on the strip and a subspace of spin modules of the XXZ model at q = i, we prove this conjecture. We also show that the restriction of the Hamiltonian to any sector d is diagonalizable, and that the XX Hamiltonian has rank 2 Jordan cells when N is even. Finally, we study the Jordan structure of the transfer matrix T_N(λ, ν) for periodic boundary conditions. When λ = πa/b and a, b ∈ Z×, the matrix T_N(λ, ν) has Jordan blocks between sectors, but also within sectors. The approach using F_N admits a generalization to the present case and allows us to probe the Jordan cells that tie different sectors. The rank of these cells exceeds 2 in some cases and can grow indefinitely with N. For the Jordan blocks within a sector, we show that the link modules on the cylinder and the XXZ spin modules are isomorphic except for specific curves in the (q, v) plane. By using the behavior of the transformation i_N^d in a neighborhood of the critical values (q_c, v_c), we explicitly build Jordan partners of rank 2 and discuss the existence of Jordan cells with higher rank.

Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent. / This thesis is concerned with the study of critical phenomena for two-dimensional models on the lattice. Its results are contained in two articles: A first one, devoted to measuring geometric exponents, and a second one to the construction of idempotents for the XXZ spin chain projecting on indecomposable modules of the Temperley-Lieb algebra. Monte Carlo experiments, for a family of loop models in their dilute phase, are presented in the first article. Coined "dilute loop models (DLM)", this family is based upon an O(n) model introduced by Nienhuis (1990). It is defined by two coprime integers p,p' and an anisotropy parameter. In the continuum limit, DLM(p,p') is expected to yield a logarithmic conformal field theory of central charge c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), where the ratio \kappa=p/p' is related to the loop gas fugacity \beta=-2\cos\pi/\kappa. Critical exponents pertaining to valuable geometrical objects, namely the hull, external perimeter and red bonds, were measured. The Metropolis-Hastings algorithm, as well as several methods improving its efficiency, are presented. Despite the extrapolation of curves presenting large slopes, values as close as three to four digits from the theoretical predictions were attained through rigorous statistical analysis. The second article describes the decomposition of the XXZ spin chain Hilbert space \otimes^nC^2 using idempotents. The model of interest (Pasquier & Saleur (1990)) is described by a parameter-dependent Hamiltonian H_{XXZ}(q), q\in C^\times, expressible as a sum of elements of the Temperley-Lieb algebra TL_n(q). The spectrum of H_{XXZ}(q) in the continuum limit is also believed to be related to conformal field theories whose central charge is set by q. Using the quantum Schur-Weyl duality, an expression for the primitive idempotents of End_{TL_n}\otimes^nC^2, involving U_qsl_2 elements, is obtained. These idempotents allow for the explicit construction of the indecomposable TL_n-modules of \otimes^nC^2, all of which are irreducible except when q is a root of unity. This case, and the case where q is generic, are treated separately. Since a wide variety of results and tools are required to tackle the problems stated above, this thesis contains many introductory chapters. Its layout is as follows. The first chapter introduces theoretical concepts common to both articles, in particular an overview of critical phenomena and conformal field theory. Before proceeding to the article entitled \emph{Geometric Exponents of Dilute Loop Models} constituting Chapter 3, the second chapter deals briefly with logarithmic conformal fields, Schramm-Loewner evolution and the Metropolis-Hastings algorithm. The fourth chapter defines some algebraic concepts used in the second article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2" of Chapter 5. A summary of the main results, as well as paths to unexplored questions, are suggested in a final chapter.

Καθώς η εξέλιξη της βιοϊατρικής επιστήμης και τεχνολογίας είναι συνεχής και ραγδαία, η έρευνα επικεντρώνεται τόσο στη βελτίωση των κλινικών τεχνικών όσο και στην ανάπτυξη νέων με κυριότερο σκοπό την ακριβέστερη και ασφαλέστερη διάγνωση και θεραπεία. Στην παρούσα διατριβή, μελετάται η χρήση δύο περιοχών του φάσματος, που ανήκουν στο πεδίο των μη ιοντιζουσών ακτινοβολιών, των μικροκυματικών και των ακουστικών συχνοτήτων, για διαγνωστικές λειτουργικές εφαρμογές εγκεφάλου. Παρόλο που η χρήση των υπερήχων έχει αξιοποιηθεί στην κλινική εφαρμογή, οι αναφορές για τη χρήση των ακουστικών κυμάτων στις βιοϊατρικές εφαρμογές είναι περιορισμένες στη διεθνή βιβλιογραφία. Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται η ανάπτυξη ενός συστήματος για διαγνωστικές εφαρμογές εγκεφάλου στις ακουστικές συχνότητες. Στα δύο πρώτα κεφάλαια περιγράφονται οι βασικές αρχές που διέπουν την επιστήμη του ήχου (ακουστική) αλλά και οι φυσικές αρχές αλληλεπίδρασης των ακουστικών κυμάτων με τους βιολογικούς ιστούς (δημιουργία και εξέλιξη των φυσικών φαινομένων ανάκλασης, διάθλασης, μετάδοσης και απορρόφησης της ηχητικής δέσμης). Πιο συγκεκριμένα, μοντελοποιείται και μελετάται θεωρητικά το πρόβλημα της αλληλεπίδρασης των ακουστικών κυμάτων με τον ανθρώπινο εγκέφαλο ενώ τέλος παρουσιάζονται βασικές και σύγχρονες εφαρμογές ακουστικής στην ιατρική. Στο τρίτο κεφάλαιο παρατίθεται η θεωρητική ανάλυση και οι βασικές αρχές της προτεινόμενης μεθόδου για μέτρηση της εγκεφαλικής δραστηριότητας στις ακουστικές συχνότητες και πραγματοποιούνται προσομοιώσεις, με τη βοήθεια του λογισμικού MATLAB, παραθέτοντας τα αντίστοιχα αριθμητικά αποτελέσματα. Ολοκληρώνοντας το πρώτο μέρος της διατριβής, στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η πρακτική υλοποίηση του προτεινόμενου συστήματος, περιλαμβάνοντας ανάλυση του πιεζοηλεκτρικού φαινομένου και των αντίστοιχων αισθητήρων, εκτενής μελέτη του κάθε τμήματός του καθώς και πειραματικές μετρήσεις με ομοιώματα. Τα μικροκύματα έχουν χρησιμοποιηθεί σε πλήθος διαγνωστικών και θεραπευτικών τεχνικών τόσο σε επίπεδο έρευνας όσο και στην κλινική πράξη. Στην παρούσα διατριβή πραγματοποιείται θεωρητική μελέτη και υλοποίηση πολυσυχνοτικών κυρτών προσαρμόσιμων μικροταινιακών τυπωμένων κεραιών και χρήση τους με σύστημα ευαίσθητου δέκτη μικροκυματικής ραδιομετρίας. Στο κεφάλαιο 5 περιγράφονται η βασική τεχνολογία και οι βασικές αρχές λειτουργίας της παθητικής μεθόδου διάγνωσης με μικροκύματα, της μικροκυματικής ραδιομετρίας ενώ στο κεφάλαιο 6 μοντελοποιούνται οι προτεινόμενες κυρτές κεραίες και μελετούνται με τη βοήθεια του ηλεκτρομαγνητικού προσομοιωτικού λογισμικού πακέτου HFSS που χρησιμοποιεί τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Επίσης, παρουσιάζονται αναλυτικά οι ιδιότητες εστίασης των κεραιών αυτών σε δύο διαφορετικά μοντέλα κεφαλιού στο εύρος συχνοτήτων 2 – 3.3 GHz. Τέλος, οι κεραίες που μελετήθηκαν θεωρητικά, κατασκευάζονται και χρησιμοποιούνται ως κεραίες λήψης ραδιομέτρου τύπου διακόπτη Dicke (Dicke switch) για πειραματικές μετρήσεις σε ομοιώματα (κεφάλαιο 7). Ο συνδυασμός των δύο συστημάτων σε μια κοινή υλοποίηση και η πραγματοποίηση κοινών πειραματικών μετρήσεων και στις δύο περιοχές συχνοτήτων είναι μια πολύ σημαντική προοπτική που μπορεί να βελτιώσει τα πιθανά μειονεκτήματα της κάθε μεθόδου αλλά και να τις επαληθεύσει, με την παροχή και το συνδυασμό διαφορετικού είδους πληροφορίας για το ίδιο αίτιο. / As progress in the field of biomedical science and technology is continuous, the research focuses mainly on the improvement of existing clinical techniques and the development of new ones, aiming at the most accurate and safe diagnosis and treatment. In the present thesis, passive diagnosis in the non ionizing radiation regime and especially two frequency bands, microwave and acoustic frequencies, are used for diagnostic functional brain applications. Despite the fact that ultrasounds have been utilized in clinical practice, the references regarding the application of acoustic waves in medical diagnosis are restrained in international literature. In the present thesis the development of a system for diagnostic brain applications operating at acoustic frequencies is studied. In the first two chapters the basic principles of acoustics and the physical principles of the interaction of acoustic waves with biological tissue (including physical phenomena of reflection, diffraction, transmission and absorption of sound) are described. More specifically, the problem of the interaction of acoustic waves with the human brain tissues is theoretically modeled and studied. In the third chapter theoretical analysis is carried out and the basic operation principles of the suggested method for monitoring brain activity in acoustic frequencies are described. Simulations are performed using the MATLAB software and the respective numerical results are presented. Completing the first part of the thesis, the fundamentals of the system’s practical implementation are introduced in the fourth chapter. All system modules are described and the results of the implementation study through experiments using phantoms are presented. Microwaves have been used in many diagnostic and therapeutic techniques both at research level and in clinical practice. Herein, a theoretical study and implementation of various multi-frequency conformal microstrip patch antennas are performed, and finally they are used in conjunction with a sensitive microwave radiometry receiver. In chapter 5 the basic technology and the basic operation principles of the passive diagnostic method with microwaves (microwave radiometry) are described, while in chapter 6 the suggested conformal antennas are modeled and studied using the electromagnetic simulation tool HFSS that implements the finite element method (FEM). Moreover, the properties of these antennas and their focusing ability on specific brain areas are presented at 2 – 3.3 GHz in two different head models. Finally, a few are materialized in Rogers 4350B dielectric substrate and two of them are used together with a Dicke switch type radiometer for experimental measurements with phantoms (chapter 7). The combination of the aforementioned systems in a common implementation and the realization of common experimental measurements in both frequency bands is a very significant prospective which can optimize the performance of each methodology, by collecting and combining different types of information originating from the same event.

Le mouvement Brownien réfléchi de manière oblique dans le quadrant, introduit par Harrison, Reiman, Varadhan et Williams dans les années 80, est un objet largement analysé dans la littérature probabiliste. Cette thèse, qui présente l’étude complète de la mesure invariante de ce processus dans tous les cônes du plan, a pour objectif plus global d’étendre au cadre continu une méthode analytique développée initialement pour les marches aléatoires dans le quart de plan par Fayolle, Iasnogorodski et Malyshev dans les années 70. Cette approche est basée sur des équations fonctionnelles, reliant des fonctions génératrices dans le cas discret et des transformées de Laplace dans le cas continu. Ces équations permettent de déterminer et de résoudre des problèmes frontière satisfaits par ces fonctions génératrices. Dans le cas récurrent, cela permet de calculer explicitement la mesure invariante du processus avec rebonds orthogonaux, dans le chapitre 2, et avec rebonds quelconques, dans le chapitre 3. Les transformées de Laplace des mesures invariantes sont prolongées analytiquement sur une surface de Riemann induite par le noyau de l’équation fonctionnelle. L’étude des singularités et l’application de méthodes du point col sur cette surface permettent de déterminer l’asymptotique complète de la mesure invariante selon toutes les directions dans le chapitre 4. / Obliquely reflected Brownian motion in the quadrant, introduced by Harrison, Reiman, Varadhan and Williams in the eighties, has been studied a lot in the probabilistic literature. This thesis, which presents the complete study of the invariant measure of this process in all the cones of the plan, has for overall aim to extend to the continuous framework an analytic method initially developped for random walks in the quarter plane by Fayolle, Iasnogorodski and Malyshev in the seventies. This approach is based on functional equations which link generating functions in the discrete case and Laplace transform in the continuous case. These equations allow to determine and to solve boundary value problems satisfied by these generating functions. In the recurrent case, it permits to compute explicitly the invariant measure of the process with orthogonal reflexions, in the chapter 2, and with any reflexions, in the chapter 3. The Laplace transform of the invariant measure is analytically extended to a Riemann surface induced by the kernel of the functional equation. The study of singularities and the use of saddle point methods on this surface allows to determine the full asymptotics of the invariant measure along every directions in the chapter 4.

Les comportements critiques des systèmes de mécanique statistique en 2 dimensions ou de mécanique quantique en 1+1 dimensions, ainsi que certains aspects des systèmes sans interactions en 2+1 dimensions, sont efficacement décrits par les méthodes de la théorie des champs conforme et de l'intégrabilité, dont le développement a été spectaculaire au cours des 40 dernières années. Plusieurs problèmes résistent cependant toujours à une compréhension exacte, parmi lesquels celui de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall Quantique Entier. La raison principale en est que de tels problèmes sont généralement associés à des théories non unitaires, ou théories conformes logarithmiques, dont la classification se révèle être d'une grande difficulté mathématique. Se tournant vers la recherche de modèles discrets (chaînes de spins, modèles sur réseau), dans l'espoir en particulier d'en trouver des représentations en termes de modèles exactement solubles (intégrables), on se heurte à la deuxième difficulté représentée par le fait que les théories associées sont la plupart du temps non compactes, ou en d'autres termes qu'elles donnent lieu à un continuum d'exposants critiques. En effet, le lien entre modèles discrets et théories des champs non compactes est à ce jour loin d'être compris, en particulier il a longtemps été cru que de telles théories ne pouvaient pas émerger comme limites continues de modèles discrets construits à partir d'un ensemble compact de degrés de libertés, par ailleurs les seuls qui donnent a accès à une construction systématique de solutions exactes.Dans cette thèse, on montre que le monde des modèles discrets compacts ayant une limite continue non compacte est en fait beaucoup plus grand que ce que les quelques exemples connus jusqu'ici auraient pu laisser suspecter. Plus précisément, on y présente une solution exacte par ansatz de Bethe d'une famille infinie de modèles(les modèles $a_n^{(2)}$, ainsi que quelques résultats sur les modèles $b_n^{(1)}$, où il est observé que tous ces modèles sont décrits dans un certain régime par des théories conformes non compactes. Parmi ces modèles, certains jouent un rôle important dans la description de phénomènes physiques, parmi lesquels la description de polymères en deux dimensions avec des interactions attractives et des modèles de boucles impliqués dans l'étude de modèles de Potts couplés ou dans une tentative de description de la transition entre plateaux dans l'Effet Hall par un modèle géométrique compact.On montre que l'existence insoupçonnéede limite continues non compacts pour de tels modèles peut avoir d'importantes conséquences pratiques, par exemple dans l'estimation numérique d'exposants critiques ou dans le résultats de simulations de Monte Carlo. Nos résultats sont appliqués à une meilleure compréhension de la transition theta décrivant l'effondrement des polymères en deux dimensions, et des perspectives pour une potentielle compréhension de la transition entre plateaux en termes de modèles sur réseaux sont présentées. / The critical points of statistical mechanical systems in 2 dimensions or quantum mechanical systems in 1+1 dimensions (this also includes non interacting systems in 2+1 dimensions) are effciently tackled by the exact methods of conformal fieldtheory (CFT) and integrability, which have witnessed a spectacular progress during the past 40 years. Several problems have however escaped an exact understanding so far, among which the plateau transition in the Integer Quantum Hall Effect,the main reason for this being that such problems are usually associated with non unitary, logarithmic conformal field theories, the tentative classification of which leading to formidable mathematical dificulties. Turning to a lattice approach, andin particular to the quest for integrable, exactly sovable representatives of these problems, one hits the second dificulty that the associated CFTs are usually of the non compact type, or in other terms that they involve a continuum of criticalexponents. The connection between non compact field theories and lattice models or spin chains is indeed not very clear, and in particular it has long been believed that the former could not arise as the continuum limit of discrete models built out of acompact set of degrees of freedom, which are the only ones allowing for a systematic construction of exact solutions.In this thesis, we show that the world of compact lattice models/spin chains with a non compact continuum limit is much bigger than what could be expected from the few particular examples known up to this date. More precisely we propose an exact Bethe ansatz solution of an infinite family of models (the so-called $a_n^{(2)}$ models, as well as some results on the $b_n^{(1)}$ models), and show that all of these models allow for a regime described by a non compact CFT. Such models include cases ofgreat physical relevance, among which a model for two-dimensional polymers with attractive interactions and loop models involved in the description of coupled Potts models or in a tentative description of the quantum Hall plateau transition by somecompact geometrical truncation. We show that the existence of an unsuspected non compact continuum limit for such models can have dramatic practical effects, for instance on the output of numerical determination of the critical exponents or ofMonte-Carlo simulations. We put our results to use for a better understanding of the controversial theta transition describing the collapse of polymers in two dimensions, and draw perspectives on a possible understanding of the quantum Hall plateautransition by the lattice approach.

The idea of holography [1, 2] finds a concrete realization in form of the AdS/CFT correspondence [3, 4]. This duality relates a field theory with conformal symmetries to quantum gravity living in one higher dimension. In this thesis we study aspects of black hole quasinormal modes, higher spin theories and entanglement entropy in the context of this duality. In almost all cases we have been able to subject the duality to some precision tests. Quasinormal modes encode the spectrum of black holes and the time-scale of pertur- bations therein [5]. From the dual CFT viewpoint they are the poles of retarded Green's function (or peaks in the spectral function) [6]. Quasinormal modes were previously studied for scalar, gauge field and fermion fluctuations [7]. We solve for these quasinormal modes of higher spin (s _ 2) fields in the background of the BTZ black hole [8, 9]. We obtain an exact solution for a field of arbitrary spin s (integer or half-integer) in the BTZ background. This implies that the BTZ is perhaps the only known black hole background where such an analysis can be done analytically for all bosonic and fermionic fields. The quasinormal modes are shown to match precisely with the poles of the corresponding Green's function in the CFT living on the boundary. Furthermore, we show that one-loop determinants of higher spin fields can also be written as a product form [10] in terms of these quasinormal modes and this agrees with the same obtained by integrating the heat-kernel [11]. We then turn our attention to dualities relating higher-spin gravity to CFTs with W algebra symmetries. Since higher spin gravity does go beyond diffeomorphism invariance, one needs re_ned notions of the usual concepts in differential geometry. For example, in general relativity black holes are defined by the presence of the horizon. However, higher spin gravity has an enlarged group of symmetries of which the diffeomorphisms form a subgroup. The appropriate way of thinking of solutions in higher spin gravity is via characterizations which are gauge invariant [12, 13]. We study classical solutions embedded in N = 2 higher spin supergravity. We obtain a general gauge-invariant condition { in terms of the odd roots of the superalgebra and the eigenvalues of the holonomy matrix of the background { for the existence of a Killing spinor such that these solutions are supersymmetric [14]. We also study black holes in higher spin supergravity and show that the partition function of these black holes match exactly with that obtained from a CFT with the same asymptotic symmetry algebra [15]. This involved studying the asymptotic symmetries of the black hole and thereby developing the holographic dictionary for the bulk charges and chemical potentials with the corresponding quantities of the CFT. We finally investigate entanglement entropy in the AdS3/CFT2 context. Entanglement entropy is an useful non-local probe in QFT and many-body physics [16]. We analytically evaluate the entanglement entropy of the free boson CFT on a circle at finite temperature (i.e. on a torus) [17]. This is one of the simplest and well-studied CFTs. The entanglement entropy is calculated via the replica trick using correlation functions of bosonic twist operators on the torus [18]. We have then set up a systematic high temperature expansion of the Renyi entropies and determined their finite size corrections. These _nite size corrections both for the free boson CFT and the free fermion CFT were then compared with the one-loop corrections obtained from bulk three dimensional handlebody spacetimes which have higher genus Riemann surfaces (replica geometry) as its boundary [19]. One-loop corrections in these geometries are entirely determined by the spectrum of the excitations present in the bulk. It is shown that the leading _nite size corrections obtained by evaluating the one-loop determinants on these handlebody geometries exactly match with those from the free fermion/boson CFTs. This provides a test for holographic methods to calculate one-loop corrections to entanglement entropy. We also study conformal field theories in 1+1 dimensions with W-algebra symmetries at _nite temperature and deformed by a chemical potential (_) for a higher spin current. Using OPEs and uniformization techniques, we show that the order _2 correction to the Renyi and entanglement entropies (EE) of a single interval in the deformed theory is universal [20]. This universal feature is also supported by explicit computations for the free fermion and free boson CFTs { for which the EE was calculated by using the replica trick in conformal perturbation theory by evaluating correlators of twist fields with higher spin operators [21]. Furthermore, this serves as a verification of the holographic EE proposal constructed from Wilson lines in higher spin gravity [22, 23]. We also examine relative entropy [24] in the context of higher-spin holography [25]. Relative entropy is a measure of distinguishability between two quantum states. We confirm the expected short-distance behaviour of relative entropy from holography. This is done by showing that the difference in the modular Hamiltonian between a high-temperature state and the vacuum matches with the difference in the entanglement entropy in the short-subsystem regime.

Les matériaux de Dirac constituent une classe intéressante de systèmes pouvant subir une transition de phase quantique à température nulle, lorsqu’un paramètre non-thermique atteint un point critique quantique. À l’approche d’un tel point, les observables physiques sont affectées par les importantes fluctuations thermiques et quantiques. Dans ce mémoire, on utilise des techniques de théorie conforme des champs afin d’étudier le tenseur de conductivité électrique dans des théories en 2 + 1 dimensions contenant des fermions de Dirac près d’un point critique quantique. À basse énergie, ces dernières décrivent de façon adéquate de nombreux matériaux de Dirac ainsi que leur transition de phase quantique. La conductivité est étudiée dans le régime des hautes fréquences, à température non-nulle et lorsque le paramètre non-thermique est près de sa valeur critique. Dans ce projet, l’emphase est mise sur les points critiques quantiques invariants sous la parité et le renversement du temps. Dans ce cas, l’expansion de produit d’opérateurs (Operator product expansion en anglais) ainsi que la théorie des perturbations conforme permettent d’obtenir une expression générale pour l’expansion à grandes fréquences des conductivités longitudinales et transverses (de Hall) lorsque le point critique quantique est déformé par un opérateur scalaire relevant. Grâce à ces dernières, nous sommes en mesure de déduire des règles de somme exactes pour ces deux quantités. À titre d’exemple, nos résultats généraux sont appliqués dans le cadre du modèle interagissant de Gross-Neveu, où nous obtenons l’expansion des deux conductivités ainsi que les règles de somme pour un nombre de saveurs de fermions de Dirac N arbitraire. Ces mêmes expressions sont ensuite obtenues par un calcul explicite à N = infini, permettant la comparaison avec les résultats pour un N quelconque. Par la suite, des résultats généraux similaires sont obtenus dans le cas où le point critique quantique est déformé par un opérateur pseudoscalaire relevant. Ces derniers sont finalement appliqués à une théorie de fermions de Dirac libres perturbée par un terme de masse. / Dirac materials constitute an interesting class of systems that can undergo a quantum phase transition at zero temperature, when a non-thermal parameter reaches a quantum critical point. As we approach such a point, physical observables are altered by the important thermal and quantum fluctuations. In this thesis, conformal field theory techniques are used to study the electrical conductivity tensor in theories with Dirac fermions in 2+1 dimensions close to a quantum critical point. At low energies, these adequately describe various Dirac materials as well as their quantum phase transition. In this project, we focus on theories that have a quantum critical point invariant under parity and time-reversal. In this case, the operator product expansion and conformal perturbation theory allow to obtain a general expression for the large frequency expansion of the longitudinal and transverse (Hall) conductivities when the quantum critical point is deformed by a relevant scalar operator. Using these, we are able to deduce exact sum rules for both quantities. As an example, our general results are applied to the Gross-Neveu model, where we obtain the large frequency expansion for both conductivities and the associated sum rules for an arbitrary number of Dirac fermion flavors N. The same expressions are then obtained by an explicit calculation at N = infinity, allowing to compare with our results for any N. Afterwards, analogous general results are obtained for theories where the quantum critical point is deformed by a relevant pseudoscalar. These are finally applied to a theory of massless free Dirac fermions perturbed by a mass term.

<p dir="ltr">In holographic quantum field theories, a bulk geometric semiclassical spacetime emerges from strongly coupled interacting conformal field theories in one less spatial dimension. This is the celebrated AdS/CFT correspondence. The entanglement entropy of a boundary spatial subregion can be calculated as the area of a codimension two bulk surface homologous to the boundary subregion known as the RT surface. The bulk region contained within the RT surface is known as the entanglement wedge and bulk reconstruction tells us that any operator in the entanglement wedge can be reconstructed as a non-local operator on the corresponding boundary subregion. This notion that entanglement creates geometry is dubbed "ER=EPR'' and has been the driving force behind recent progress in quantum gravity research. In this thesis, we put together two results that use Tomita-Takesaki modular theory and quantum ergodic theory to make progress on contemporary problems in quantum gravity.</p><p dir="ltr">A version of the black hole information loss paradox is the inconsistency between the decay of two-point functions of probe operators in large AdS black holes and the dual boundary CFT calculation where it is an almost periodic function of time. We show that any von Neumann algebra in a faithful normal state that is quantum strong mixing (two-point functions decay) with respect to its modular flow is a type III₁ factor and the state has a trivial centralizer. In particular, for Generalized Free Fields (GFF) in a thermofield double (KMS) state, we show that if the two-point functions are strong mixing, then the entire algebra is strong mixing and a type III₁ factor settling a recent conjecture of Liu and Leutheusser.</p><p dir="ltr">The semiclassical bulk geometry that emerges in the holographic description is a pseudo-Riemannian manifold and we expect a local approximate Poincaré algebra. Near a bifurcate Killing horizon, such a local two-dimensional Poincaré algebra is generated by the Killing flow and the outward null translations along the horizon. We show the emergence of such a Poincaré algebra in any quantum system with modular future and past subalgebras in a limit analogous to the near-horizon limit. These are known as quantum K-systems and they saturate the modular chaos bound. We also prove that the existence of (modular) future/past von Neumann subalgebras also implies a second law of (modular) thermodynamics.</p>

Für die Verarbeitung von thermoplastischen Polymeren im Spritzgießprozess ist die Wahl der Werkzeugwandtemperatur entscheidend für die Formteileigenschaften und die optimale Zykluszeit. Das Spritzgießwerkzeug wird standardmäßig bei einer konstanten Werkzeugwandtemperatur betrieben, die bei speziellen Anwendungen, wie zum Beispiel die Abformung von nanostrukturierten Oberflächen, kaum eingesetzt werden kann. Dafür muss die Werkzeugwandtemperatur aktiv über die Dauer eines Spritzgießzyklus variiert werden. Für die variotherme Temperierung wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit eine neue Technik auf Basis einer elektrischen Widerstandsheizung entwickelt und untersucht. Ziel der Arbeit ist die Entwicklung eines hochdynamischen Temperaturwechsels auf einer formgebenden Werkzeugwand, unter Vorgabe der Temperaturverteilung und ohne die Maschinennebenzeit zu verlängern. Dazu werden verschiedene elektrische Heizelemente konzipiert und untersucht. / For the processing of thermoplastic polymers in an injection molding process is the choice of the cavity temperature a critical property and a shape of the optimum cycle time. The standard injection molding process with a quasi constant mold wall temperature cannot be used in the case of special applications, such as the replication of nanostructured surfaces. For this the mold wall temperature has to be varied actively over the duration of an injection molding cycle. These variothermal temperature process is within the scope of the present study especially using a new developed technique based on an electrical resistance heating device. The aim of this work is to develop a highly dynamic temperature change on an injection mold wall by a defined temperature destribution and without an extended machine idle time. Various electric heating elements are designed and tested.