Les modèles de régressions à inflation de zéros constituent un outil très puissant pour l’analyse de données de comptage avec excès de zéros, émanant de divers domaines tels que l’épidémiologie, l’économie de la santé ou encore l’écologie. Cependant, l’étude théorique dans ces modèles attire encore peu d’attention. Ce manuscrit s’intéresse au problème de l’inférence dans des modèles de comptage à inflation de zéro.Dans un premier temps, nous revenons sur la question de l’estimateur du maximum de vraisemblance dans le modèle binomial à inflation de zéro. D’abord nous montrons l’existence de l’estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres dans ce modèle. Ensuite, nous démontrons la consistance de cet estimateur, et nous établissons sa normalité asymptotique. Puis, une étude de simulation exhaustive sur des tailles finies d’échantillons est menée pour évaluer la cohérence de nos résultats. Et pour finir, une application sur des données réelles d’économie de la santé a été conduite.Dans un deuxième temps, nous proposons un nouveau modèle statistique d’analyse de la consommation de soins médicaux. Ce modèle permet, entre autres, d’identifier les causes du non-recours aux soins médicaux. Nous avons étudié rigoureusement les propriétés mathématiques du modèle. Ensuite nous avons mené une étude numérique approfondie à l’aide de simulations informatiques et enfin, nous l’avons appliqué à l’analyse d’une base de données recensant la consommation de soins de plusieurs milliers de patients aux USA.Un dernier aspect de ces travaux de thèse a été de s’intéresser au problème de l’inférence dans le modèle binomial à inflation de zéro dans un contexte de données manquantes sur les covariables. Dans ce cas nous proposons la méthode de pondération par l’inverse des probabilités de sélection pour estimer les paramètres du modèle. Ensuite, nous établissons la consistance et la normalité asymptotique de l’estimateur proposé. Enfin, une étude de simulation sur plusieurs échantillons de tailles finies est conduite pour évaluer le comportement de l’estimateur. / The zero-inflated regression models are a very powerful tool for the analysis of counting data with excess zeros from various areas such as epidemiology, health economics or ecology. However, the theoretical study in these models attracts little attention. This manuscript is interested in the problem of inference in zero-inflated count models.At first, we return to the question of the maximum likelihood estimator in the zero-inflated binomial model. First we show the existence of the maximum likelihood estimator of the parameters in this model. Then, we demonstrate the consistency of this estimator, and let us establish its asymptotic normality. Then, a comprehensive simulation study finite sample sizes are conducted to evaluate the consistency of our results. Finally, an application on real health economics data has been conduct.In a second time, we propose a new statistical analysis model of the consumption of medical care. This model allows, among other things, to identify the causes of the non-use of medical care. We have studied rigorously the mathematical properties of the model. Then, we carried out an exhaustive numerical study using computer simulations and finally applied to the analysis of a database on health care several thousand patients in the USA.A final aspect of this work was to focus on the problem of inference in the zero inflation binomial model in the context of missing covariate data. In this case we propose the weighting method by the inverse of the selection probabilities to estimate the parameters of the model. Then, we establish the consistency and asymptotic normality of the estimator offers. Finally, a simulation study on several samples of finite sizes is conducted to evaluate the behavior of the estimator.

On étudie la distance de Prokhorov, la distance de Geffroy et la distance de Fortet-Mourier-Wasserstein. On résout en particulier le problème du calcul des distances. On traite quelques problèmes relatifs à l'estimation. Puis on donne une condition nécessaire et suffisante de non séparation asymptotique de deux chaines de Markov lorsque l'espace des états est de cardinal M

On construit un test d'ajustement de la normalité pour les innovations d'un modèle ARMA( p,q ) de tendance et moyenne connues, basé sur l'approche du test lisse dépendant des données et simple à appliquer. Une vaste étude de simulation est menée pour étudier ce test pour des tailles échantillonnales modérées. Notre approche est en général plus puissante que les tests existants. Le niveau est tenu sur la majeure partie de l'espace paramétrique. Cela est en accord avec les résultats théoriques montrant la supériorité de l'approche du test lisse dépendant des données dans des contextes similaires. Un test d'indépendance (ou d'indépendance sérielle) semi-paramétrique entre des sous-vecteurs de loi normale est proposé, mais sans supposer la normalité jointe de ces marginales. La statistique de test est une fonctionnelle de type Cramér-von Mises d'un processus défini à partir de la fonction caractéristique empirique. Ce processus est défini de façon similaire à celui de Ghoudi et al. (2001) construit à partir de la fonction de répartition empirique et utilisé pour tester l'indépendance entre des marginales univariées. La statistique de test peut être représentée comme une V-statistique. Il est convergent pour détecter toute forme de dépendance. La convergence faible du processus est établie. La distribution asymptotique des fonctionnelles de Cramér-von Mises est approchée par la méthode de Cornish-Fisher au moyen d'une formule de récurrence pour les cumulants et par le calcul numérique des valeurs propres dans la formule d'inversion. La statistique de test est comparée avec celle de Wilks pour l'hypothèse paramétrique d'indépendance dans le modèle MANOVA à un facteur avec effets aléatoires.

Cette thèse est dediée à l'étude des mécanismes d'instabilité non-modaux dans les écoulements cisaillés, principalement des couches de mélange. On se concentre sur les perturbations linéarisées qui ont la plus grande croissance d'énergie à un temps donné, les 'perturbations optimales', différentes du mode propre le plus instable pour les systémes non-normaux. Une description originale de la non-normalité et ses conséquences est donnée dans le chapitre 2. Le chapitre 3 traite du mécanisme de 'lift-up' dans le cas des perturbations longitudinales non-visqueuses sur un écoulement de base parallèle et arbitraire. On trouve une nouvelle équation 1D qui détermine l'ensemble des perturbations orthogonales, dont l'optimale, et permet de trouver des nouveaux résultats exacts et asymptotiques. Dans le chapitre 4 on s'intéresse aux instabilités secondaires d'une couche de mélange en utilisant comme état de base l'écoulement 2D instationnaire et non-linéaire pour calculer les perturbations optimales 3D. Selon le nombre d'onde et les temps d'optimisation (initial et final), on retrouve comme réponses optimales les perturbations de types 'elliptique' et 'hyperbolique'. Dans les chapitres 5 et 6 on considère une stratification en densité dans la direction orthogonale au plan de l'état de base, et on utilise une décomposition de 'Craya-Herring' pour analyser les perturbations en termes de leur contenu en ondes internes et vorticité verticale. Les équations d'évolution des perturbations linéarisées autour d'un état de base 2D général sont obtenues et analysées au niveau de l'énergie onde/tourbillon. Ces résultats sont appliqués dans le chapitre 6 pour analyser la génération et l'émission d'ondes dans les perturbations optimales sur une couche de cisaillement horizontale.

Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes. Dans une première partie, on introduit et on étudie un nouveau processus de pertes en assurance : c'est un triplet (J, N, S) où (J, N) est un processus de Poisson à modulation markovienne et S est un processus dont toutes les composantes sont des fonctions en escalier, croissantes en temps. Le processus S est supposé à accroissements indépendants conditionnellement au processus (J, N). En faisant une hypothèse paramétrique sur la loi de ses sauts, on démontre que l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle est consistant. On donne un algorithme EM permettant de calculer en pratique cet estimateur : le procédé ainsi développé est utilisé sur des données réelles en assurance et ses performances sont évaluées sur simulations. Dans une seconde partie, on s'intéresse au problème de l'estimation du point terminal, supposé fini, d'une fonction de répartition F : étant donné un échantillon de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de fonction de répartition F, on construit un estimateur du point terminal à droite de F en utilisant une méthode des moments d'ordre élevé. L'étude est scindée en deux cas : dans un premier temps, on suppose que les variables sont positives, puis on généralise la méthode au cas où elles sont de signe quelconque en proposant un autre estimateur. On étudie les propriétés asymptotiques de nos estimateurs, et leurs performances sont examinées sur simulations. On s'inspire ensuite des techniques développées pour construire un estimateur de la frontière du support d'un couple aléatoire. On étudie ses propriétés asymptotiques, et on le compare à des estimateurs classiques dans ce cadre.

Quelques développements récents en traitement du signal

Les modèles linéaires généralisés sont une généralisation des modèles de régression linéaire, et sont très utilisés dans le domaine du vivant. Le modèle de régression logistique, l'un des modèles de cette classe, très souvent utilisé dans les études biomédicales demeure le modèle de régression le plus approprié quand il s'agit de modéliser une variable discrète de nature binaire. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de l'inférence statistique dans le modèle de régression logistique, en présence d'individus immunes dans la population d'étude.Dans un premier temps, nous considérons le problème de l'estimation dans le modèle de régression logistique en présence d'individus immunes, qui entre dans le cadre des modèles de régression à excès de zéros (ou zéro-inflatés). Un individu est dit immune s'il n'est pas exposé à l'événement d'intérêt. Le statut d'immunité est inconnu sauf si l'événement d'intérêt a été observé. Nous développons une méthode d'estimation par maximum de vraisemblance en proposant une modélisation conjointe de l'immunité et des risques d'infection. Nous établissons d'abord l'identifiabilité du modèle proposé. Puis, nous montrons l'existence de l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres de ce modèle. Nous montrons ensuite,la consistance de cet estimateur, et nous établissons sa normalité asymptotique. Enfin, nous étudions, au moyen de simulations, leur comportement sur des échantillons de taille finie.Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à la construction de bandes de confiance simultanées pour la probabilité d'infection, dans le modèle de régression logistique avec fraction immune. Nous proposons trois méthodes de constructions de bandes de confiance pour la fonction de régression. La première méthode (méthodede Scheffé) utilise la propriété de normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance, et une approximation par une loi du khi deux pour approcher le quantile nécessaire à la construction des bandes. La deuxième méthode utilise également la propriété de normalité asymptotique de l'estimateur du maximum de vraisemblance et est basée sur une égalité classique de (Landau & Sheep 1970). La troisième méthode (méthode bootstrap) repose sur des simulations, pour estimer le quantile approprié de la loi du supremum d'un processus gaussien. Enfin, nous évaluons, au moyen de simulations, leurs propriétés sur des échantillons de taille finie.Enfin, nous appliquons les résultats de modélisation à des données réelles surla dengue. Il s'agit d'une maladie vectorielle tropicale à transmission strictement inter-humaine. Les résultats montrent que les probabilités d'infection estimées à partir de notre approche de modélisation sont plus élevées que celles obtenues à partir d'un modèle de régression logistique standard qui ne tient pas compte d'une possible immunité. En particulier, les estimations fournies par notre approche suggèrent que le sous-poids constitue un facteur de risque majeur de l'infection par la dengue, indépendamment de l'âge.

La maintenance d’un système complexe est souvent segmentée par sous-système. Chacun de sous-systèmes faisant intervenir des compétences pointues et variées, déterminer l’état de santé globale du système s’avère être une tâche compliquée. Cependant, les systèmes complexes sont aujourd’hui surveillés avec attention ce qui permet d’enregistrer un nombre important de données hétérogènes permettant à la maintenance d’être efficace sur chaque sous-systèmes. La variété de ces données permet d’avoir une vision d’ensemble sur l’état de santé du système mais du fait de leur quantité et de leur hétérogénéité leur analyse est un exercice complexe. Pour pallier aux problématiques de traitement de données de masse, ces dernières décennies ont vu se développer des outils informatiques et mathématiques permettant d’extraire des informations pertinentes d’un ensemble de données : le data mining. La mise en application d’outils issus des méthodes de data mining peut être une solution à l’identification de l’état santé globale du système.Pour rendre cela possible, la thèse présente dans un premier temps comment construire un modèle de comportement du système hélicoptère en se basant sur des données relatives au bon fonctionnement de l’appareil. Ce modèle de comportement considéré comme normal va ensuite servir de référence. Il permettra donc dans un deuxième temps de répondre à comment détecter et caractériser une déviance, un événement anormal, vis-à-vis du modèle du comportement normal du système. Cette méthode cherche à maximiser l’utilisation des données et minimiser l’introduction d’information relative à la connaissance du système. De cette manière, elle permet de fournir des résultats complètement objectifs qui pourront être comparés à des analyses physiques. La méthode est supportée par un ensemble d’outils mathématiques implémentés dans une infrastructure industrielle permettant l’utilisation de données réelles associées aux appareils d’Eurocopter.Pour accompagner la mise en place de cette méthode, cette thèse présente une application sur des données réelles issues d’hélicoptères de type EC225 de la gamme d’Eurocopter. / The maintenance of complex system is often segmented by subsystem. Each subsystem involving specialized and various skills, assess the global health of the system is a difficult problem. However, today, complex systems are carefully monitored that allows the records of a substantial amount of heterogeneous data that leads to accurate subsystem maintenance. Diversity of data provides an overview of the global health of the system but in the reason of quantity and heterogeneity their analyses is a difficult exercise. To tackle these data treatment difficulties, computational and mathematical tools have been developed. They allows extraction of relevant information in a substantial amount of data, it is the data mining. The implementation of data mining method could be a solution to the assessment of global health of the system.To make that possible, in a first time, this thesis present how define a helicopter behavior model by using data which are recorded in a good way of running. This behavior model considered as normal will be used as a reference. In a second time, this model will allow to answer to how detect and characterize a drift, an abnormal event, from the normal system behavior model. This method tries to maximize the data usage and minimize the expert knowledge. By this way, it provides results totally objective which could be compare to physical analyses. This approach is supported by a set of mathematical tools implemented in an industrial infrastructure which allows the use of Eurocopter aircraft operational data.To support the implementation of this method, this thesis presents an application of the method on real data from the EC225 helicopter of Eurocopter

Le projet de cette thèse est double. Le premier concerne l’extension des résultats précédents sur les conditions nécessaires d’optimalité pour des problèmes avec contraintes d’état, dans le cadre du contrôle optimal ainsi que dans le cadre de calcul des variations. Le deuxième objectif consiste à travailler sur deux nouveaux aspects de recherche : dériver des résultats de viabilité pour une classe de systèmes de contrôle avec des contraintes d’état dans lesquels les conditions dites ‘standard inward pointing conditions’ sont violées; et établir les conditions nécessaires d’optimalité pour des problèmes de minimisation de coût moyen éventuellement perturbés par des paramètres inconnus.Dans la première partie, nous examinons les conditions nécessaires d’optimalité qui jouent un rôle important dans la recherche de candidats pour être des solutions optimales parmi toutes les solutions admissibles. Cependant, dans les problèmes d’optimisation dynamique avec contraintes d’état, certaines situations pathologiques pourraient survenir. Par exemple, il se peut que le multiplicateur associé à la fonction objective (à minimiser) disparaisse. Dans ce cas, la fonction objective à minimiser n’intervient pas dans les conditions nécessaires de premier ordre: il s’agit du cas dit anormal. Un phénomène pire, appelé le cas dégénéré montre que, dans certaines circonstances, l’ensemble des trajectoires admissibles coïncide avec l’ensemble des candidats minimiseurs. Par conséquent, les conditions nécessaires ne donnent aucune information sur les minimiseurs possibles.Pour surmonter ces difficultés, de nouvelles hypothèses supplémentaires doivent être imposées, appelées les qualifications de la contrainte. Nous étudions ces deux problèmes (normalité et non dégénérescence) pour des problèmes de contrôle optimal impliquant des contraintes dynamiques exprimées en termes d’inclusion différentielle, lorsque le minimiseur a son point de départ dans une région où la contrainte d’état est non lisse. Nous prouvons que sous une information supplémentaire impliquant principalement le cône tangent de Clarke, les conditions nécessaires sous la forme dite ‘Extended Euler-Lagrange condition’ sont satisfaites en forme normale et non dégénérée pour deux classes de problèmes de contrôle optimal avec contrainte d’état. Le résultat sur la normalité est également appliqué pour le problème de calcul des variations avec contrainte d’état.Dans la deuxième partie de la thèse, nous considérons d’abord une classe de systèmes de contrôle avec contrainte d’état pour lesquels les qualifications de la contrainte standard du ‘premier ordre’ ne sont pas satisfaites, mais une qualification de la contrainte d’ordre supérieure (ordre 2) est satisfaite.Nous proposons une nouvelle construction des trajectoires admissibles (dit un résultat de viabilité) et nous étudions des exemples (tels que l’intégrateur non holonomique de Brockett) fournissant en plus un résultat d’estimation non linéaire. L’autre sujet de la deuxième partie de la thèse concerne l’étude d’une classe de problèmes de contrôle optimal dans lesquels des incertitudes apparaissent dans les données en termes de paramètres inconnus. En tenant compte d’un critère de performance sous la forme de coût moyen, une question cruciale est clairement de pouvoir caractériser les contrôles optimaux indépendamment de l’action du paramètre inconnu: cela permet de trouver une sorte de ‘meilleur compromis’ parmi toutes les réalisations possibles du système de contrôle tant que le paramètre varie. Pour ce type de problèmes, nous obtenons des conditions nécessaires d’optimalité sous la forme du Principe du Maximum (éventuellement pour le cas non lisse). / The project of this thesis is twofold. The first concerns the extension of previous results on necessary optimality conditions for state constrained problems in optimal control and in calculus of variations. The second aim consists in working along two new research lines: derive viability results for a class of control systems with state constraints in which ‘standard inward pointing conditions’ are violated; and establish necessary optimality conditions for average cost minimization problems possibly perturbed by unknown parameters.In the first part, we examine necessary optimality conditions which play an important role in finding candidates to be optimal solutions among all admissible solutions. However, in dynamic optimization problems with state constraints, some pathological situations might arise. For instance, it might occur that the multiplier associated with the objective function (to minimize) vanishes. In this case, the objective function to minimize does not intervene in first order necessary conditions: this is referred to as the abnormal case. A worse phenomenon, called the degenerate case shows that in some circumstances the set of admissible trajectories coincides with the set of candidates to be minimizers. Therefore the necessary conditions give no information on the possible minimizers.To overcome these difficulties, new additional hypotheses have to be imposed, known as constraint qualifications. We investigate these two issues (normality and non-degeneracy) for optimal control problems involving state constraints and dynamics expressed as a differential inclusion, when the minimizer has its left end-point in a region where the state constraint set in nonsmooth. We prove that under an additional information involving mainly the Clarke tangent cone, necessary conditions in the form of the Extended Euler-Lagrange condition are derived in the normal and non-degenerate form for two different classes of state constrained optimal control problems. Application of the normality result is shown also for the calculus of variations problem subject to a state constraint.In the second part of the thesis, we consider first a class of state constrained control systems for which standard ‘first order’ constraint qualifications are not satisfied, but a higher (second) order constraint qualification is satisfied. We propose a new construction for feasible trajectories (a viability result) and we investigate examples (such as the Brockett nonholonomic integrator) providing in addition a non-linear stimate result. The other topic of the second part of the thesis concerns the study of a class of optimal control problems in which uncertainties appear in the data in terms of unknown parameters. Taking into consideration an average cost criterion, a crucial issue is clearly to be able to characterize optimal controls independently of the unknown parameter action: this allows to find a sort of ‘best compromise’ among all the possible realizations of the control system as the parameter varies. For this type of problems, we derive necessary optimality conditions in the form of Maximum Principle (possibly nonsmooth).

Dans cette thèse, nous considérons le modèle de régression avec plusieurs unités expérimentales, où les erreurs forment un processus d'autocovariance dans un cadre générale, c'est-à-dire, un processus du second ordre (stationnaire ou non stationnaire) avec une autocovariance non différentiable le long de la diagonale. Nous sommes intéressés, entre autres, à l'estimation non paramétrique de la fonction de régression de ce modèle.Premièrement, nous considérons l'estimateur classique proposé par Gasser et Müller. Nous étudions ses performances asymptotiques quand le nombre d'unités expérimentales et le nombre d'observations tendent vers l'infini. Pour un échantillonnage régulier, nous améliorons les vitesses de convergence d'ordre supérieur de son biais et de sa variance. Nous montrons aussi sa normalité asymptotique dans le cas des erreurs corrélées.Deuxièmement, nous proposons un nouvel estimateur à noyau pour la fonction de régression, basé sur une propriété de projection. Cet estimateur est construit à travers la fonction d'autocovariance des erreurs et une fonction particulière appartenant à l'Espace de Hilbert à Noyau Autoreproduisant (RKHS) associé à la fonction d'autocovariance. Nous étudions les performances asymptotiques de l'estimateur en utilisant les propriétés de RKHS. Ces propriétés nous permettent d'obtenir la vitesse optimale de convergence de la variance de cet estimateur. Nous prouvons sa normalité asymptotique, et montrons que sa variance est asymptotiquement plus petite que celle de l'estimateur de Gasser et Müller. Nous conduisons une étude de simulation pour confirmer nos résultats théoriques.Troisièmement, nous proposons un nouvel estimateur à noyau pour la fonction de régression. Cet estimateur est construit en utilisant la règle numérique des trapèzes, pour approximer l'estimateur basé sur des données continues. Nous étudions aussi sa performance asymptotique et nous montrons sa normalité asymptotique. En outre, cet estimateur permet d'obtenir le plan d'échantillonnage optimal pour l'estimation de la fonction de régression. Une étude de simulation est conduite afin de tester le comportement de cet estimateur dans un plan d'échantillonnage de taille finie, en terme d'erreur en moyenne quadratique intégrée (IMSE). De plus, nous montrons la réduction dans l'IMSE en utilisant le plan d'échantillonnage optimal au lieu de l'échantillonnage uniforme.Finalement, nous considérons une application de la régression non paramétrique dans le domaine pharmacocinétique. Nous proposons l'utilisation de l'estimateur non paramétrique à noyau pour l'estimation de la fonction de concentration. Nous vérifions son bon comportement par des simulations et une analyse de données réelles. Nous investiguons aussi le problème de l'estimation de l'Aire Sous la Courbe de concentration (AUC), pour lequel nous proposons un nouvel estimateur à noyau, obtenu par l'intégration de l'estimateur à noyau de la fonction de régression. Nous montrons, par une étude de simulation, que le nouvel estimateur est meilleur que l'estimateur classique en terme d'erreur en moyenne quadratique. Le problème crucial de l'obtention d'un plan d'échantillonnage optimale pour l'estimation de l'AUC est discuté en utilisant l'algorithme de recuit simulé généralisé. / In this thesis, we consider the fixed design regression model with repeated measurements, where the errors form a process with general autocovariance function, i.e. a second order process (stationary or nonstationary), with a non-differentiable covariance function along the diagonal. We are interested, among other problems, in the nonparametric estimation of the regression function of this model.We first consider the well-known kernel regression estimator proposed by Gasser and Müller. We study its asymptotic performance when the number of experimental units and the number of observations tend to infinity. For a regular sequence of designs, we improve the higher rates of convergence of the variance and the bias. We also prove the asymptotic normality of this estimator in the case of correlated errors.Second, we propose a new kernel estimator of the regression function based on a projection property. This estimator is constructed through the autocovariance function of the errors, and a specific function belonging to the Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS) associated to the autocovariance function. We study its asymptotic performance using the RKHS properties. These properties allow to obtain the optimal convergence rate of the variance. We also prove its asymptotic normality. We show that this new estimator has a smaller asymptotic variance then the one of Gasser and Müller. A simulation study is conducted to confirm this theoretical result.Third, we propose a new kernel estimator for the regression function. This estimator is constructed through the trapezoidal numerical approximation of the kernel regression estimator based on continuous observations. We study its asymptotic performance, and we prove its asymptotic normality. Moreover, this estimator allow to obtain the asymptotic optimal sampling design for the estimation of the regression function. We run a simulation study to test the performance of the proposed estimator in a finite sample set, where we see its good performance, in terms of Integrated Mean Squared Error (IMSE). In addition, we show the reduction of the IMSE using the optimal sampling design instead of the uniform design in a finite sample set.Finally, we consider an application of the regression function estimation in pharmacokinetics problems. We propose to use the nonparametric kernel methods, for the concentration-time curve estimation, instead of the classical parametric ones. We prove its good performance via simulation study and real data analysis. We also investigate the problem of estimating the Area Under the concentration Curve (AUC), where we introduce a new kernel estimator, obtained by the integration of the regression function estimator. We prove, using a simulation study, that the proposed estimators outperform the classical one in terms of Mean Squared Error. The crucial problem of finding the optimal sampling design for the AUC estimation is investigated using the Generalized Simulating Annealing algorithm.