Lors de l'optimisation géométrique de structures, un grand nombre d'évaluations de champs est nécessaire. L'idée, développée dans cette thèse, est la construction efficace et rapide d'approximations de ces champs à travers la Proper Generalized Decomposition (PGD), une méthode de réduction de modèle. Les résultats, calculés une fois pour toutes, sont stockés dans des abaques virtuels pour une utilisation ultérieure dans un processus d'optimisation. Le problème considéré est paramétrique et les paramètres définissent la géométrie. Ce type de problème est particulièrement adapté à la PGD. En effet, de nombreux travaux ont traité de la résolution de problèmes paramétriques et des premières études ont porté, en particulier, sur la prise en compte de paramètres géométriques. Toutefois, ce qui caractérise nos travaux est d'aller vers des outils aptes à traiter des situations significatives de la complexité des problèmes rencontrés au niveau industriel. En particulier, l'exploitation de codes éléments finis commerciaux est une contrainte majeure. Il a été décidé de développer des méthodes permettant de traiter des problèmes à paramètres géométriques par la PGD, et, en partenariat avec AIRBUS Defence & Space, d'appliquer ces techniques à un démonstrateur industriel présentant une géométrie complexe (type splines) et de fortes non-linéarités (géométriques, matériaux). Notre démarche a été implémentée dans un process industriel utilisant des codes éléments finis commerciaux. On propose aussi une nouvelle extension de la PGD aux paramètres discrets autorisant la prise en considération, dans une même résolution, de configurations de structures complètement différentes (cas de chargement, matériaux, etc.). / During shape optimisation of structures, numerous evaluations of fiels are necessary. The idea, developed in this PhD thesis, is the efficient construction of approximations of these fiels through the Proper Generalized Decomposition (PGD), a model reduction technique. The results, computed once and for all, are stored in virtual charts for a subsequent use into an optimisation process. Geometry variations correspond to a parametric problem, where the parameters is the geometry. This kind of problem is well suited for PGD. Many studies dealt with the resolution of parametric problems and recent works treated, particularly, the introduction of geometric parameters. However, our approach is to deal with configurations of the complexity of industrial problems. The use of commercial finite elements software is a crucial issue. It was decided, in partnership with AIRBUS Defence & Space, to develop techniques allowing the resolution of geometrically parametrised problems thanks to PGD and to apply them to an industrial demonstrator. The geometry considered is defined by splines and the behaviour of the structure is highly non-linear (geometric and material non-linearities). The approach was implemented into a genuine industrial design process using commercial finite elements software. The thesis proposed, also, a new extension of PGD to discrete parameters. It allows to take into account completely different configurations (loadings, materials, etc.) in the same resolution.

Concevoir une structure composite consiste à relever un défi de taille : alors qu'un ingénieur qui conçoit un produit mécanique à base de matériau métallique se concentre principalement sur le développement d'une forme qui garantira un comportement spécifique, l'ingénieur pour qui le problème de conception est celui d'un produit à base de matériaux composites doit trouver la meilleure combinaison forme - structure de matériau. Ainsi, il doit aussi concevoir simultanément un matériau et la topologie produit. La combinatoire s’avère être complexe et les espaces de solutions de très grande taille.Les outils de CAO et de simulation par éléments finis n'offrent pas au concepteur une approche permettant d'explorer les espaces de recherche de manière interactive et rapide. Le travail de thèse conduit à une nouvelle approche numérique permettant de manipuler chaque paramètre de conception caractérisant une structure composite, quelle que soit l’échelle à laquelle il est pertinent.Premièrement, le modèle de comportement paramétrique et réduit (Parametric and Reduced Behavior Model, PRBM) est un modèle dit séparé. Il permet :1- une approche multi-échelle : les paramètres mécaniques de la structure sont explicitement décrits comme issus de la qualité matérielle de chaque fibre, de la matrice, de chaque couche et de la topologie même du stratifié,2- une approche multi-physique: indépendamment le comportement mécanique de chaque couche et de chaque interface est traité pour donner lieu au comportement du stratifié. Des situations de comportements statiques et dynamiques sont étudiés. Dans le cas du comportement dynamique, le caractère visco-élastique est devenu un enjeu conceptuel.Deuxièmement, une méthode mixant dérivées non entières et usage de la méthode PGD a permis la réalisation du PRBM. Intégré dans un modèle de connaissance paramétrique (Parametric Knowledge Model, PKM) auprès de modèles de connaissances experts, il constitue la base d'une méthode interactive d’aide à la conception.Le PKM est traité par une méthode d'optimisation évolutionnaire. De ce fait, le concepteur peut explorer de façon interactive les espaces de conception. Pour qualifier nos modèles et notre PRBM, nous étudions 2 problèmes de conception de structures stratifiées. Les solutions déterminées sont qualifiées vis-à-vis de simulations par éléments finis ou selon une approche empirique. / The design process of laminated composites faces a major challenge: while an engineer designing a metallic based mechanical product is mainly focusing on the development of a shape that will guarantee a specific behavior, the engineer designing a composite based product must find the best combination of the shape-material structure. Therefore, he must simultaneously create a material and the product topology. The number of design solutions can be huge since the solution space is considerable.Standard CAE systems (CAD, Finite Element Simulation) do not provide an approach to explore these solution spaces efficiently and interactively. A new numerical procedure is proposed to allow engineers to handle each design parameter of a laminated composite structure, each at its relevant scale.First, the Parametric and Reduced Behavior Model (PRBM) is a separated model that enables reasoning based on1- A multiscale approach: the mechanical parameters of the structure are explicitly described as coming from the material quality of each fiber, the matrix, each layer and the topology of the laminate,2- A multiphysical approach: independently the mechanical behavior of each layer and each interface is processed, leading to the behavior of the laminate. Some situations of static and dynamic behavior are studied. In the case of dynamic behavior, the creeping becomes a conceptual issue.Secondly, a method mixing fractional derivatives and the Proper Generalized Decomposition (PGD) method allowed the creation of the PRBM. Integrated into a Parametric Knowledge Model (PKM) with other expert knowledge models, the PRBM makes the basis of an interactive method of design support.The PKM is processed by an evolutionary optimization method. As a result, the designer can interactively explore the design space. To qualify our models and our PRBM, we study two problems of design of laminated composite structures. The solutions determined are qualified versus finite element simulations or according to an empirical approach. / El diseño de una estructura compuesta es un desafío mayor, mientras que un ingeniero que diseña un producto mecánico con materiales metálicos se concentra principalmente en el desarrollo de una geometría que garantice un comportamiento específico, el ingeniero que diseña un producto con materiales compuestos debe encontrar la mejor combinación forma – estructura del material. De esta manera, el ingeniero debe diseñar simultáneamente el material y la topología del producto, razón por la que esta combinación se vislumbra compleja, puesto que los espacios de solución son gran tamaño.Las herramientas CAO y de simulación por elementos finitos no ofrecen al diseñador una metodología que permita explorar los espacios de solución de manera interactiva y rápida. Por lo tanto, este trabajo de tesis propone un nuevo enfoque numérico que permite manipular parámetros de diseño que caracterizan la estructura compuesta, cualquiera que sea la escala de pertinencia.Como primera medida, el modelo de comportamiento paramétrico y reducido (Parametric and Reduced Behavior Model, PRBM) es un modelo definido de manera separada que permite:1- Un enfoque multiescala: los parámetros mecánicos se presentan de manera explícita en términos de las propiedades de cada fibra, de la matriz, de cada capa y de la topología del mismo apilamiento.2- Un enfoque multifísico: el comportamiento mecánico de cada capa y cada interface se modela de manera independiente para dar lugar al comportamiento del apilamiento. Se estudian situaciones de casos de comportamiento estático y dinámico. En el caso dinámico en particular, se tiene en cuenta también la característica viscoelástica de las interfaces.Como segunda medida, un método que combina derivadas no enteras y el uso de la descomposición propia generalizada (PGD), permite la realización del PRBM. Este constituye la base de un método interactivo de ayuda al diseño, pues está integrado dentro de un modelo de conocimiento (PKM) que también incorpora mejores prácticas aprendidas por expertos.El PKM es utilizado por un método de optimización evolucionaria. De esta manera, el diseñador puede explorar de manera interactiva los espacios de solución. Para validar nuestros modelos y el PRBM, se estudian dos problemas de diseño de estructuras apiladas. Las soluciones obtenidas se comparan con respecto a simulaciones obtenidas por el método de los elementos finitos y con respecto a resultados experimentales.

La réalisation par des procédés robotisés de pièces composites à destination, notamment, de l’aéronautique vise à en augmenter la productivité. Cependant le Placement de Fibres Robotisé (PFR) est encore en phase de maturation et requiert de nombreux développements, en particulier dans le cas des composites à matrice thermoplastique ou à fibre sèche. Dans cette thèse, nous proposons différents outils qui permettent in fine de déterminer à l’avance la meilleure puissance de chauffe pour la mise en œuvre de ces composites. La difficulté réside dans le fait que cette puissance dépend de nombreux paramètres, non seulement au niveau de la matière utilisée (densité, chaleur spécifique. . .), mais encore au niveau du procédé lui-même (vitesse de déplacement, nombre et orientation des plis. . .). Nous avons construit un modèle réduit multi-paramétrique en utilisant la technique appelée Proper Generalised Decomposition (PGD). Les résultats ont été confrontés à ceux obtenus par des méthodes plus conventionnelles et aussi à des données expérimentales. / Realising composite parts mainly dedicated to aeronautics sector by robotised processes tends to increase productivity. However, Automated Tape Placement (ATP) is still in ripening stage and requires various developments, particularly in case of thermoplastic composites or dry fibres. In this manuscript, we propose different tools allowing to determine in advance the best heating power to drape composite fibres. Difficulty arises from dependence on many parameters, from material (density, specific heat) or from process itself (velocity, number and orientation of plies). Therefore we construct a multi-parametric reduced order model using the so called Proper Generalised Decomposition (PGD). Results have been faced to those obtained from more conventional methods but also to experimental data.

Introduction: In recent years, the average age of first reproduction has risen significantly, the mean now standing at around 30 years in many countries. The adverse effects of maternal age on fertility and reproduction have been well documented. However, the influence of paternal age on fertility, reproduction and postnatal health is relatively poorly understood, and 50% of all male infertility cases are classed as idiopathic or unexplained infertility. Methods: The aim of this study was to investigate factors that contribute to male infertility, split into two main parts. The first part focused on analysing data collected from patients who had undergone fertility treatment to assess the influence of different factors on infertility, especially at the genome level. The second part attempted to deal with some of the technical challenges of screening and diagnostic methods to study the genome, with the aim of providing tools that would assist future studies in pinpointing genetic factors responsible for infertility, especially in cases of idiopathic infertility. Results: Based on data from the first part of the study, it was determined that advanced paternal age can affect sperm progressive motility, sperm DNA integrity and the fertilisation rate of in vitro fertilisation (IVF) cycles, as well as the development of embryos. Direct analysis of sperm DNA fragmentation (SDF) and degradation levels revealed an association between elevated SDF and impaired embryo development. Furthermore, a correlation was shown between chromosome aneuploidy and variance in SDF and sperm DNA degradation. Moreover, aneuploidy can influence abnormal sperm morphology and consequently also progressive motility. Also, embryo development rate of IVF cycles on day three, demonstrated a significant decline in cycles where the sperm used for fertilisation had a high aneuploidy rate, which can highlight the reduced developmental capacity of aneuploid embryos. From the lifestyle factors assessed, only alcohol consumption significantly correlated with the sperm DNA damage. Therefore, poor semen quality may highlight damage that has been incurred by the sperm DNA. When the semen quality is suboptimal, the intracytoplasmic sperm injection (ICSI) technique is suggested as a standard strategy to improve the prognosis of ART. However, when the progressive motility is poor, the ICSI approach is not as effective. Based on our findings and in line with other studies, the only sperm parameter that can be affected by paternal age is sperm motility, which could be an indicator of SDF. Therefore, the decline in ICSI fertilisation rate in patients with impaired sperm progressive motility could be due to sperm DNA damage, and even ICSI cannot improve the fertilisation rate considerably. Discussion: The aim of the second part of this project was to establish a robust workflow for whole- genome amplification (WGA) and whole-genome sequencing of single cells to improve the coverage rate and fidelity, with the aim of providing means of detecting any mutation in the genome that might be responsible for reduced embryonic developmental competence. Towards this end, the efficiencies of two different WGA protocols (REPLI-g and TruePrime) were compared. Multiple technical factors required optimisation in order to create a suitable protocol. Our results demonstrated the overall superiority of REPLI-g compared to TruePrime in almost all the assessed parameters. The amplification rate of REPLI-g was much faster than that of TruePrime, and prolonged incubation led to overamplification and an increased duplication rate. However, the TruePrime method has a slower amplification rate and therefore, by increasing the incubation time, it was possible to improve the quality of the data. The modified protocol with reduced volume also had the most promising outcome in terms of the data produced, and could fulfil our expectations by being fast, cost-effective and efficient. Conclusion: In conclusion, the results from the first part of this study confirmed the negative impact of male age on assisted reproductive treatments, which can result in decreased success rates of fertilisation. Other factors such as sperm DNA damage may also contribute to this age effect, suggesting that assessing this parameter prior to fertility treatment, and attempting to mitigate elevated levels of sperm DNA damage, may be of value to older patients. Additionally, overcoming the technical challenges in studying genetic contributory factors in infertility is a promising step toward better understanding of the mutations and variations that are involved in this phenomenon.

Certaines applications issues des biotechnologies sont actuellement controversées d’un point de vue sociotechnique. A l’analyse, il s’avère que les protagonistes de ces controverses utilisent des arguments évolutionnistes de façon récurrente à propos de questions très diverses et parfois de façon apparemment contradictoire. Afin de comprendre les raisons d’un tel usage, d’une part, nous avons procédé dans cette thèse à une analyse de discours des controverses relatives au diagnostic préimplantatoire (DPI) et aux OGM agricoles à partir d’essais et d’articles issus de revues spécialisées ou de vulgarisation. D’autre part, nous avons effectué une étude de l’histoire de l’évolutionnisme scientifique et non scientifique. Nous avons ainsi pu établir que se rejoue à travers ces controverses sociotechniques une partie des controverses structurantes de la pensée évolutionniste et que l’évolutionnisme constitue un cadre de représentations prégnant permettant de débattre collectivement des nouvelles techniques du vivant. / Some biotechnologies are currently socially debated. One may notice that the protagonists of the controversies make regular use of evolutionist warrants concerning very diverse subjects and sometimes in an apparently contradictory way. In order to understand this fact, on the one hand, we analysed controversies relating to preimplantation genetic diagnosis (PGD) and GMOs in agriculture on the basis of some essays, review papers and newspaper articles. On the other hand, we studied the history of scientific and non-scientific evolutionist theories. Thus, we established that some essential controversies of evolutionism were repeated into the social controversies about PGD and GMOs and that evolutionism represents a meaningful framework in which new biotechnologies can be collectively debated.

La résolution des problèmes de contrôle optimal nécessite des temps de calcul et des capacités de stockage très élevés. Pour s’affranchir de ces contraintes, il est possible d’utiliser les méthodes de réduction de modèles comme la POD (Proper Orthogonal Decomposition). L’inconvénient de cette approche est que la base POD n’est valable que pour des paramètres situés dans un voisinage proche des paramètres pour lesquels elle a été construite. Par conséquent, en contrôle optimal, cette base peut ne pas être représentative de tous les paramètres qui seront proposés par l’algorithme de contrôle. Pour s’affranchir de cet handicap, une méthodologie de contrôle optimal utilisant des modèles réduits adaptatifs a été proposée dans ce manuscrit. Les bases réduites adaptées sont obtenues à l’aide de la méthode d’interpolation ITSGM (Interpolation on Tangent Subspace of Grassman Manifold) ou de la méthode d’enrichissement PGD (Proper Generalized Decomposition). La robustesse de cette approche en termes de précision et de temps de calcul a été démontrée pour le contrôle optimal (basé sur les équations adjointes) des équations 2D de réaction-diffusion et de Burgers. L’approche basée sur l’interpolation ITSGM a également été appliquée avec succès pour contrôler l’écoulement autour d’un cylindre 2D. Deux méthodes de réduction non intrusives, ne nécessitant pas la connaissance des équations du modèle étudié, ont également été proposées. Ces méthodes appelées NIMR (Non Intrusive Model Reduction) et HNIMR (Hyper Non Intrusive Model Reduction) ont été couplées à un algorithme génétique pour résoudre rapidement un problème de contrôle optimal. Le problème du contrôle optimal de l’écoulement autour d’un cylindre 2D a été étudié et les résultats ont montré l’efficacité de cette approche. En effet, l’algorithme génétique couplé avec la méthode HNIMR a permis d’obtenir les solutions avec une bonne précision en moins de 40 secondes. / The numerical resolution of adjoint based optimal control problems requires high computational time and storage capacities. In order to get over these high requirement, it is possible to use model reduction techniques such as POD (Proper Orthogonal Decomposition). The disadvantage of this approach is that the POD basis is valid only for parameters located in a small neighborhood to the parameters for which it was built. Therefore, this basis may not be representative for all parameters in the optimizer’s path eventually suggested by the optimal control loop. To overcome this issue, a reduced optimal control methodology using adaptive reduced order models obtained by the ITSGM (Interpolation on a Tangent Subspace of the Grassman Manifold) method or by the PGD (Proper Generalized Decomposition) method, has been proposed in this work. The robustness of this approach in terms of precision and computation time has been demonstrated for the optimal control (based on adjoint equations) of the 2D reaction-diffusion and Burgers equations. The interpolation method ITSGM has also been validated in the control of flow around a 2D cylinder. In the context of non intrusive model reduction, two non intrusive reduction methods, which do not require knowledge of the equations of the studied model, have also been proposed. These methods called NIMR (Non-Intrusive Model Reduction) and HNIMR (Hyper Non-Intrusive Model Reduction) were developed and then coupled to a genetic algorithm in order to solve an optimal control problem in quasi-real time. The problem of optimal control of the flow around a 2D cylinder has been studied and the results have shown the effectiveness of this approach. Indeed, the genetic algorithm coupled with the HNIMR method allowed to obtain the solutions with a good accuracy in less than 40 seconds.

Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche. / This thesis is formed of four chapters. The first one presents the mathematical notions and tools used in this thesis and gives a description of the main results obtained within. The second chapter presents our generalization of a result obtained by Rousselet-Chenais in 1990 which describes the sensitivity of eigensubspaces for self-adjoint compact operators. Rousselet-Chenais were limited to sensitivity for specific subspaces of dimension 1, we have extended their result to higher dimensions. We applied our results to the Proper Orthogonal Decomposition (POD) in the case of parametric, temporal and spatial variations (Gappy- POD). The third chapter discusses the optical flow estimate with quadratic or linear energies at infinity. Mathematical results of convergence are shown for the method Progressive Generalized Decomposition (PGD) in the case of quadratic energies. Our proof is based on the decomposition of Brézis-lieb via the convergence almost everywhere of the PGD sequence gradients. A detailed numerical study is made on different types of images : on the passive scalar transport equations, whose displacement fields are solutions of the Navier-Stokes equations. These equations present a challenge for optical flow estimates because of the presence of low gradient regions in the image. We applied our method to the MRI image sequences to estimate the movement of the abdominal organs. PGD presented a superiority in both computing time level (even in 2D) and accuracy representation of the estimated motion. The local diffusion of standard methods (Horn Schunck, for example) limits the convergence rate, in contrast to the PGD which is a more global approach by construction. The last chapter deals with the application of PGD method in the case of variational elliptic equations whose energy present all challenges to classical variational methods : lack of convexity, lack of coercivity and lack of boundedness. We prove convergence results for the weak topology, the PGD sequences converge (when they are well defined) to two extremal solutions on the Nehari manifold. Several mathematical questions about PGD remain open in this chapter. These questions are part of our research perspectives.

La thèse CIFRE s'est déroulée dans un contexte de métallurgie industrielle et de simulation numérique. La modélisation de la solidification, via l'équation de la chaleur et avec des méthodes de réduction de modèle, était un objectif majeur. L'entreprise Montupet, spécialisée dans la fonderie d'aluminium, est le porteur du projet et financeur de la thèse. L'université de Technologie de Compiègne (UTC) a réalisé l'accompagnement académique. La méthode PGD “Proper General Decomposition”, basée sur une séparation de variables, est l'objet de nombreuses recherches. Nous avons proposé, concernant des propriétés matériaux non-linéaires, une discrétisation spatio-temporelle des matrices matériaux. Avec une formulation en température, sans chaleur latente, les gains sont élevés. L'introduction de la chaleur latente réduit fortement les gains. Nous formulons l'hypothèse que la difficulté de convergence de la méthode PGD dans le cas de la solidification repose sur une formulation en température inadaptée. Nous décidons d'opter une formulation en enthalpie. Il s'avère que cette formulation offre des perspectives encourageantes, mais nécessite encore beaucoup de développements. En parallèle de ces développements, un séjour de 5 mois aux États-Unis a été réalisé afin d'obtenir une meilleure caractérisation de la fraction solide. La recherche s'est portée sur l'évolution de la fraction solide en fonction de la vitesse de refroidissement. Sous réserve de mesures complémentaires, les essais ont mis en évidence une modification de la courbe de fraction solide en fonction de la vitesse de refroidissement, notamment un agrandissement de l'intervalle de solidification. / The PhD Thesis was carried out in a metallurgy and numerical simulation environment. The main topic was to model solidification, thought heat equation formulation and reduced order model PGD resolution. Montupet, specialized in aluminium alloys foundry hold and financed the project, the Université de Technologie de Compiègne did the acadernic supervising. The PGD method "Proper General Decomposition" is a hot topic based on variable separation. We proposed, regarding the non-linear materials, a space-time discretization of material matrix. With a temperature formulation, without latent heat, gains are high. With latent heat, gains fall drastically. We proposed the hypothesis that temperature could be an inadapted formulation. We decided to use the enthalpy formulation. This formulation offers good perspectives but needs more developments. During the thesis, five months were spent in the USA to get a better caracterisation of the solid fraction, particularly its variation in function of the cooling rate. Under reservation, the samples show a modification of solid fraction curves and particularly a change of solidification interval in function of cooling rate.

L’objectif de ce travail consiste à développer la méthode de résolution PGD (Proper Generalized Decomposition), qui est une méthode de réduction de modèle où la solution est recherchée sous forme séparée, à la résolution des équations de Navier-Stokes. Dans un premier temps, cette méthode est appliquée à la résolution d’équations modèles disposant d’une solution analytique. L’ équation de diffusion stationnaire 2D et 3D, l’équation de diffusion instationnaire 2D et les équations de Burgers et Stokes sont traitées. Nous montrons que dans tous ces cas la méthode PGD permet de retrouver les solutions analytiques avec une précision équivalente au modèle standard. Nous mettons également en évidence la supériorité de la PGD par rapport au modèle standard en terme de temps de calcul. En effet, dans tous ces cas, laPGD se montre beaucoup plus rapide que le solveur standard (plusieurs dizaine de fois). La résolution des équations de Navier-Stokes isothermes et anisothermes est ensuite effectuée par une discrétisation volumes finis sur un maillage décalé où le couplage vitesse-pression a été géré à l’aide d’un schéma de prédiction-correction. Dans ce cas une décomposition PGD sur les variables d’espaces uniquement a été choisie. Pour les écoulements incompressibles 2D stationnaire ou instationnaire, de type cavité entrainée et/ou différentiellement chauffé, les résultats obtenus par résolution PGD sont similaires à ceux du solveur standard avec un gain de temps significatif (la PGD est une dizaine de fois plus rapide que le solveur standard). Enfin ce travail introduit une première approche de la résolution des équations de transferts par méthode PGD en formulation spectrale. Sur les différents problèmes traités, à savoir l’équation de diffusion stationnaire, l’équation de Darcy et les équations de Navier-Sokes, la PGD a montré une précision aussi bonne que le solveur standard. Un gain de temps a été observé pour le cas de l’équation de Poisson, par contre, concernant le problème de Darcy ou les équations de Navier-Stokes les performances de la PGD en terme de temps de calcul peuvent encore être améliorées. / Motivated by solving the Navier-Stokes equations, this work presents the implementation and development of a reduced order model, the PGD (Proper Generalized Decomposition).Firstly, this method is applied to solving equations models with an analytical solution. The stationary diffusion equation 2D and 3D, 2D unsteady diffusion equation and Burgers equations and Stokes are processed. We show that in all these cases, the PGD method allows to find analytical solutions with a good accuracy compared to the standard model. We also demonstrate the superiority of the PGD relative to the standard model in terms of computing time. Indeed, in all these cases, PGD was much more rapid than the standard solver (several dozen times). The Navier-Stokes 2D and 3D thermal and isothermal isotherms are then processed by a finite volume discretization on a staggered grid where the velocity-pressure coupling was handled using a prediction-correction scheme. In this case a decomposition of the space variables only was chosen. The results in 2D for Reynolds numbers equal to 100, 1000and 10, 000 are similar to those of the solver standard with a significant time saving (PGD isten times faster than the solver standard). Finally, this work introduces a first approach tosolving the Navier-Stokes equations with a spectral method coupled with the PGD. Different cases were dealed, the stationary diffusion equation, the Darcy equation and the Navier-Sokesequations. PGD showed a good accuracy compared with the standard solver. Saving time was observed for the case of the Poisson equation, on the other hand, about Darcy’s problem or Navier-Stokes’ equations, performance of the PGD in terms of computing time may yet be improved.

L'objet de ce projet de recherche est de prédire la durée de vie d'éléments mécaniques qui sont soumis à des phénomènes de fatigue cyclique. L'idée est de développer un schéma numérique novateur pour prédire la rupture de structures sous de tels chargements. Le modèle est basé sur la mécanique des milieux continus qui introduit des variables internes pour décrire l'évolution de l'endommagement. Le défi repose dans le traitement des cycles de chargement pour la prédiction de la durée de vie, particulièrement pour la prédiction de la durée de vie résiduelle de structures existantes. Les approches traditionnelles de l'analyse de la fatigue sont basées sur des méthodes phénoménologiques utilisant des relations empiriques. De telles méthodes considèrent des approximations simplificatrices et sont incapables de prendre en compte aisément des géométries ou des charges complexes associées à des problèmes d'ingénierie réels. Une approche basée sur la description de l'évolution thermodynamique d'un milieu continu est donc utilisée pour modéliser le comportement en fatigue. Cela permet de considérer efficacement des problèmes d'ingénierie complexe et la détérioration des propriétés du matériau due à la fatigue peut être quantifiée à l'aide de variables internes. Cependant, cette approche peut être numériquement coûteuse et, par conséquent, des approches numériques sophistiquées doivent être utilisées.La stratégie numérique sur laquelle ce projet est basé est singulière par rapport aux schémas incrémentaux en temps usuellement utilisés pour résoudre des problèmes élasto-(visco)plastique avec endommagement dans le cadre de la mécanique des milieux continus. Cette stratégie numérique appelée méthode LATIN (Large Time Increment method) est une méthode non-incrémentale qui recherche la solution de manière itérative sur l'ensemble du domaine spacio-temporel. Une importante innovation de la méthode LATIN est d'incorporer une stratégie de réduction de modèle adaptative pour réduire de manière très importante le coût numérique. La Décomposition Propre Généralisée (PGD) est une stratégie de réduction de modèle a priori qui sépare les quantités d'intérêt spacio-temporelles en deux composantes indépendantes, l'une dépendant du temps, l'autre de l'espace, et estime itérativement les approximations de ces deux composantes. L'utilisation de l'approche LATIN-PGD a montré son efficacité depuis des années pour résoudre des problèmes élasto-(visco)plastiques. La première partie de ce projet vise à étendre cette approche aux modèles incorporant de l'endommagement.Bien que l'utilisation de la PGD réduise les coûts numériques, le gain n'est pas suffisant pour permettre de résoudre des problèmes considérant un grand nombre de cycles de chargement, le temps de calcul peut être très conséquent, rendant les simulations de problèmes de fatigue intraitables même en utilisant les techniques LATIN-PGD. Cette limite peut être dépassée en introduisant une approche multi-échelle en temps, qui prend en compte l'évolution rapide des quantités d'intérêt lors d'un cycle et leur évolution lente au cours de l'ensemble des cycles. Une description type « éléments finis » en temps est proposée, où l'ensemble du domaine temporel est discrétisé en éléments temporels, et seulement les cycles nodaux, qui forment les limites des éléments, sont calculés en utilisant la technique LATIN-PGD. Puis, des fonctions de forme classiques sont utilisées pour interpoler les quantités d'intérêt à l'intérieur des éléments temporels. Cette stratégie LATIN-PGD à deux échelles permet de réduire le coût numérique de manière significative, et peut être utilisée pour simuler l'évolution de l'endommagement dans une structure soumise à un chargement de fatigue comportant un très grand nombre de cycles. / The motivation of the research project is to predict the life time of mechanical components that are subjected to cyclic fatigue phenomena. The idea herein is to develop an innovative numerical scheme to predict failure of structures under such loading. The model is based on classical continuum damage mechanics introducing internal variables which describe the damage evolution. The challenge lies in the treatment of large number of load cycles for the life time prediction, particularly the residual life time for existing structures.Traditional approaches for fatigue analysis are based on phenomenological methods and deal with the usage of empirical relations. Such methods consider simplistic approximations and are unable to take into account complex geometries, and complicated loadings which occur in real-life engineering problems. A thermodynamically consistent continuum-based approach is therefore used for modelling the fatigue behaviour. This allows to consider complicated geometries and loads quite efficiently and the deterioration of the material properties due to fatigue can be quantified using internal variables. However, this approach can be computationally expensive and hence sophisticated numerical frameworks should be used.The numerical strategy used in this project is different when compared to regular time incremental schemes used for solving elasto-(visco)plastic-damage problems in continuum framework. This numerical strategy is called Large Time Increment (LATIN) method, which is a non-incremental method and builds the solution iteratively for the complete space-time domain. An important feature of the LATIN method is to incorporate an on-the-fly model reduction strategy to reduce drastically the numerical cost. Proper generalised decomposition (PGD), being a priori a model reduction strategy, separates the quantities of interest with respect to space and time, and computes iteratively the spatial and temporal approximations. LATIN-PGD framework has been effectively used over the years to solve elasto-(visco)plastic problems. Herein, the first effort is to solve continuum damage problems using LATIN-PGD techniques. Although, usage of PGD reduces the numerical cost, the benefit is not enough to solve problems involving large number of load cycles and computational time can be severely high, making simulations of fatigue problems infeasible. This can be overcome by using a multi-time scale approach, that takes into account the rapid evolution of the quantities of interest within a load cycle and their slow evolution along the load cycles. A finite element like description with respect to time is proposed, where the whole time domain is discretised into time elements, and only the nodal cycles, which form the boundary of the time elements, are calculated using LATIN-PGD technique. Thereby, classical shape functions are used to interpolate within the time element. This two-scale LATIN-PGD strategy enables the reduction of the computational cost remarkably, and can be used to simulate damage evolution in a structure under fatigue loading for a very large number of cycles.